Limit of trigonometric function Questions in Hindi

(C) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}\cot x}}{{1 - \cos x}}$.
सर्वसमिका $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ का उपयोग करके या संयुग्मी से गुणा करके:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}\cos x}}{{\sin x (1 - \cos x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \right) \cdot \frac{x^2}{1 - \cos x} \cdot \cos x$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{2\sin^2(x/2)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{( \sin(x/2) / (x/2) )^2} = 2$.
अतः,सीमा $1 \times 2 \times \cos(0) = 1 \times 2 \times 1 = 2$ है।

(A) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ होता है।
अतः,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x}$ हो जाती है।
इसे $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \sin x \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $2 \cdot 1 \cdot \sin(0) = 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} kx\,\text{cosec}\,x = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\,\text{cosec}\,kx$
हम जानते हैं कि $\text{cosec}\,\theta = \frac{1}{\sin \theta}$ होता है।
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{kx}{\sin x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin kx}$
दाहिनी ओर $k$ से गुणा और भाग करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{kx}{\sin x} = \frac{1}{k} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{kx}{\sin kx}$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin \theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$k(1) = \frac{1}{k}(1)$
$k = \frac{1}{k}$
$k^2 = 1$
$k = \pm 1$

(D) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ होता है।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2$ से गुणा और भाग करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \times \frac{\sin 2x}{2x} \right)$।
चूंकि जैसे $x \to 0$,$2x \to 0$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$2 \times \mathop {\lim }\limits_{2x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \times 1 = 2$।

(C) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करते हुए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos mx}{1 - \cos nx} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(mx/2)}{2 \sin^2(nx/2)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ \left( \frac{\sin(mx/2)}{mx/2} \right)^2 \cdot \frac{m^2 x^2}{4} \cdot \left( \frac{nx/2}{\sin(nx/2)} \right)^2 \cdot \frac{4}{n^2 x^2} \right]$
चूँकि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{m^2}{n^2} \cdot 1 = \frac{m^2}{n^2}$.
वैकल्पिक विधि: $L$-Hospital नियम का प्रयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos mx}{1 - \cos nx} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m \sin mx}{n \sin nx}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m^2 \cos mx}{n^2 \cos nx} = \frac{m^2(1)}{n^2(1)} = \frac{m^2}{n^2}$.

(C) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1$.
दिया गया व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}3x}}{{{x^2}}}$ है।
$= 2 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\sin 3x}}{x} \right)^2$.
$= 2 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 3 \times \frac{{\sin 3x}}{{3x}} \right)^2$.
$= 2 \times 3^2 \times \left( \mathop {\lim }\limits_{3x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{3x}} \right)^2$.
$= 2 \times 9 \times (1)^2 = 18$.

(A) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$.
दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$ है।
$ax$ और $bx$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \cdot ax \cdot \frac{1}{\frac{\sin bx}{bx} \cdot bx} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right) \cdot \left( \frac{bx}{\sin bx} \right) \cdot \frac{ax}{bx}$
$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$.

(B) हम जानते हैं कि $x^\circ = \frac{\pi x}{180} \text{ रेडियन}$.
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin {x^\circ}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( \frac{\pi x}{180} \right)}}{x}$.
$\frac{\pi}{180}$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\pi}{180} \right) \cdot \frac{{\sin \left( \frac{\pi x}{180} \right)}}{\frac{\pi x}{180}}$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए व्यंजक $\frac{\pi}{180} \cdot 1 = \frac{\pi}{180}$ हो जाता है।

(D) योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ और $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x + \sin 6x}}{{\sin 5x - \sin 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 \sin 4x \cos (-2x)}}{{2 \cos 4x \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x \cos 2x}}{{\cos 4x \sin x}}$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने के लिए $4x$ और $x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \right) \left( \frac{x}{\sin x} \right) \frac{4x \cos 2x}{x \cos 4x} = 1 \times 1 \times 4 \times \frac{\cos(0)}{\cos(0)} = 4 \times 1 = 4$.

(B) हम मानक सीमा सूत्र जानते हैं $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$.
दी गई अभिव्यक्ति में इसे लागू करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta/4)}{\theta} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin(\theta/4)}{\theta/4}$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ जहां $u = \theta/4$,
अतः अभिव्यक्ति का मान $\frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$ होगा।

(C) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\tan 3x}}{x} + \cos x} \right)$.
सीमा के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)$,हमें प्राप्त होता है:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 3x}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x$.
प्रथम पद के लिए,$3$ से गुणा और भाग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3 \cdot \frac{{\tan 3x}}{{3x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\tan \theta}}{\theta} = 1$,प्रथम पद $3 \cdot 1 = 3$ हो जाता है।
दूसरे पद के लिए,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x = \cos(0) = 1$.
अतः,कुल सीमा $3 + 1 = 4$ है।

(C) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,सीमा इस प्रकार होगी:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2(\theta/2)}{\theta^2} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2(\theta/2)}{4(\theta/2)^2} = \frac{2}{4} \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin(\theta/2)}{\theta/2} \right)^2 = \frac{1}{2} \times (1)^2 = \frac{1}{2}$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का प्रयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{2\theta} = \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.

(B) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin 3\theta - \sin \theta }}{{\sin \theta }}$
$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) - \sin \theta }}{{\sin \theta }}$
$= \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{2\sin \theta - 4\sin^3 \theta }}{{\sin \theta }}$
$= \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} (2 - 4\sin^2 \theta)$
$= 2 - 4(0)^2 = 2$
वैकल्पिक रूप से,$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin n\theta }}{{\sin \theta }} = n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin 3\theta }}{{\sin \theta }} - \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{{\sin \theta }}$
$= 3 - 1 = 2$

(A) हम $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{x}$ सीमा का मूल्यांकन करते हैं।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(x/2)}{x}$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin(x/2)}{x/2} \right)^2 \cdot \frac{x}{4} \right) = 2 \cdot (1)^2 \cdot 0 = 0$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{1} = \sin(0) = 0$.

(B) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - \tan 2x}}{{\tan x}}$.
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{x} - \frac{\tan 2x}{x}}{\frac{\tan x}{x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x - 2 \cdot \frac{\tan 2x}{2x}}{\frac{\tan x}{x}}$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{0 - 2(1)}{1} = -2$.

(A) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{5\theta \cos \theta - 2\sin \theta }{3\theta + \tan \theta }$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\theta$ से विभाजित करें:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\frac{5\theta \cos \theta - 2\sin \theta}{\theta}}{\frac{3\theta + \tan \theta}{\theta}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{5\cos \theta - 2\frac{\sin \theta}{\theta}}{3 + \frac{\tan \theta}{\theta}}$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए,और यह जानते हुए कि $\cos(0) = 1$:
$= \frac{5(1) - 2(1)}{3 + 1} = \frac{5 - 2}{4} = \frac{3}{4}$

(D) हमारे पास सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\left[ {\sqrt 3 \sin \left( {\frac{\pi }{6} + h} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{6} + h} \right)} \right]}}{{\sqrt 3 h(\sqrt 3 \cos h - \sin h)}}$
कोष्ठक के अंदर अंश और हर को $\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{4\left[ {\frac{\sqrt 3}{2} \sin \left( {\frac{\pi }{6} + h} \right) - \frac{1}{2} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + h} \right)} \right]}}{{\sqrt 3 h(\sqrt 3 \cos h - \sin h)}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \frac{\pi}{6} + h$ और $B = \frac{\pi}{6}$ है:
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{4 \sin \left( {\frac{\pi }{6} + h - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{\sqrt 3 h(\sqrt 3 \cos h - \sin h)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{4 \sin h}}{{\sqrt 3 h(\sqrt 3 \cos h - \sin h)}}$
$= \frac{4}{\sqrt 3} \times \left( \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\sqrt 3 \cos h - \sin h}} \right)$
$= \frac{4}{\sqrt 3} \times 1 \times \frac{1}{{\sqrt 3(1) - 0}} = \frac{4}{\sqrt 3} \times \frac{1}{\sqrt 3} = \frac{4}{3}$.

(A) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ और $\sin^2 x = 4 \sin^2(\frac{x}{2}) \cos^2(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 \sin^2(\frac{x}{2})}}{{4 \sin^2(\frac{x}{2}) \cos^2(\frac{x}{2})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}$.
जैसे ही $x \to 0$,$\cos(\frac{x}{2}) \to \cos(0) = 1$.
अतः,सीमा का मान $\frac{1}{2(1)^2} = \frac{1}{2}$ है।

(C) हमें दिया गया सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x + \sin x}}{x}$.
सीमा के गुणधर्म का उपयोग करके,हम व्यंजक को विभाजित कर सकते हैं:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
पहले पद को $3$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4$.

(A) हम जानते हैं कि $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$.
इसलिए,$1 - \cos 6x = 2 \sin^2(3x)$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(3x)}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\sin^2(3x)}{x} \right)$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने के लिए $9x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\sin^2(3x)}{(3x)^2} \cdot 9x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot 1^2 \cdot 9x \right) = 0$.

(B) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(mx)}{\tan(nx)}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम मानक सीमाओं $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan(\theta)}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हैं।
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(mx)}{x}}{\frac{\tan(nx)}{x}}$
अंश में $m$ और हर में $n$ से गुणा और भाग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m \cdot \frac{\sin(mx)}{mx}}{n \cdot \frac{\tan(nx)}{nx}}$
जैसे $x \to 0$,वैसे ही $mx \to 0$ और $nx \to 0$,इसलिए सीमा:
$\frac{m \cdot 1}{n \cdot 1} = \frac{m}{n}$.

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\sin x - (3\sin x - 4\sin^3 x)}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\sin^3 x}}{{{x^3}}}$
$= 4 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^3$
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= 4 \times (1)^3 = 4$.

(A) हमें दिया गया सीमा मान है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}}}{{\sin {x^2}}}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{\sin {x^2}} \times x \right)$.
सीमा के गुणधर्म $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = 1$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x^2$,जैसे $x \to 0$,$u \to 0$.
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin {x^2}} = 1$.
इसलिए,सीमा का मान: $1 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 1 \times 0 = 0$ होगा।

(B) हम जानते हैं कि मानक सीमा सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = 1$ है।
सीमा का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}} = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x}}} = \frac{1}{1} = 1$.

(A) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ कलन (calculus) में एक मानक सीमा है।
$\sin x$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
अतः,$\frac{\sin x}{x} = \frac{x - \frac{x^3}{6} + \dots}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \dots$
जैसे-जैसे $x \to 0$ होता है,यह व्यंजक $1$ की ओर अग्रसर होता है।

(C) योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\sin(a+x) + \sin(a-x) = 2\sin a \cos x$.
सीमा में इस मान को रखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2\sin a \cos x - 2\sin a}{x \sin x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2\sin a (\cos x - 1)}{x \sin x}$.
$= -2\sin a \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{x}{\sin x} \right)$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$,इसलिए:
$= -2\sin a \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = -\sin a$.

(A) दिया गया सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{\sin a - \tan a}}{{{{\sin }^3}a}}$
$\tan a$ को $\frac{\sin a}{\cos a}$ के रूप में लिखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{\sin a - \frac{\sin a}{\cos a}}}{{{{\sin }^3}a}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{\sin a(\cos a - 1)}}{{\cos a \cdot \sin^3 a}}$
$\sin a$ को काटने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{\cos a - 1}}{{\cos a \cdot \sin^2 a}}$
$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = (1 - \cos a)(1 + \cos a)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{-(\cos a - 1)}}{{\cos a \cdot (1 - \cos a)(1 + \cos a)}}$
$(1 - \cos a)$ को काटने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{-1}}{{\cos a(1 + \cos a)}}$
$a = 0$ रखने पर:
$= \frac{{-1}}{{1(1 + 1)}} = -\frac{1}{2}$

(C) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{k^u - 1}{u} = \ln k$.
दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{a^{\sin x} - 1}{b^{\sin x} - 1}$.
$\sin x$ से गुणा और भाग करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{a^{\sin x} - 1}{\sin x} \times \frac{\sin x}{b^{\sin x} - 1} \right)$.
जैसे $x \to 0$,वैसे $\sin x \to 0$. अतः,व्यंजक $\ln a \times \frac{1}{\ln b}$ हो जाता है।
इसलिए,उत्तर $\frac{\log a}{\log b}$ है।

(A) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(1 - \cos 2x)\sin 5x}{x^2 \sin 3x}$
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x \sin 5x}{x^2 \sin 3x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{\sin 5x}{\sin 3x}$
$5x$ और $3x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5x}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}$
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$:
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{10}{3}$.

(B) हमें सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi {{\cos }^2}x)}}{{{x^2}}}$ का मूल्यांकन करना है।
चूंकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi (1 - \sin^2 x))}}{{{x^2}}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi - \pi \sin^2 x)}}{{{x^2}}}$
सर्वसमिका $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi \sin^2 x)}}{{{x^2}}}$
$\pi \sin^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\sin (\pi \sin^2 x)}}{{\pi \sin^2 x}} \right) \times \frac{{\pi \sin^2 x}}{{{x^2}}}$
जैसे $x \to 0$,$\pi \sin^2 x \to 0$,इसलिए $\frac{{\sin (\pi \sin^2 x)}}{{\pi \sin^2 x}} \to 1$.
साथ ही,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin^2 x}}{{{x^2}}} = 1$.
अतः,$L = 1 \times \pi \times 1 = \pi $.

(D) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos (\sin x) - 1}}{{{x^2}}}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \theta - 1 = -2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करते हुए,$\theta = \sin x$ रखने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2 \sin^2(\frac{\sin x}{2})}}{{{x^2}}}$
$= -2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{\sin x}{2})}{\frac{\sin x}{2}} \cdot \frac{\sin x}{2x} \right)^2$
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:
$= -2 \cdot (1)^2 \cdot (1/2)^2 = -2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{4\theta (\tan \theta - \sin \theta )}}{{{{(1 - \cos 2\theta )}^2}}}$.
$\tan \theta - \sin \theta = \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta )}{\cos \theta }$ और $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{4\theta \sin \theta (1 - \cos \theta )}}{{\cos \theta (2\sin^2 \theta )^2}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{2\theta \sin^2(\theta /2)}}{{\sin^3 \theta \cos \theta }} = \frac{1}{2}$.

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (1 - x)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)$.
$y = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,जब $x \to 1$,तब $y \to 0$ और $x = 1 - y$.
अतः $L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{{\pi (1 - y)}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi y}}{2}} \right)$.
सर्वसमिका $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \cot \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{y}{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}$.
$\frac{\pi }{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\pi }{2}} \cdot \frac{{\frac{{\pi y}}{2}}}{{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}} = \frac{2}{\pi } \cdot 1 = \frac{2}{\pi }$.

(D) माना $f(x) = \frac{\sqrt{1 - \cos\{2(x - 2)\}}}{x - 2}$ है।
सर्वसमिका $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें $1 - \cos\{2(x - 2)\} = 2\sin^2(x - 2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{\sqrt{2\sin^2(x - 2)}}{x - 2} = \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$ है।
बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$। जब $x \to 2^-$,तब $(x - 2) < 0$,इसलिए $|\sin(x - 2)| = -\sin(x - 2)$ है।
$LHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{-\sqrt{2}\sin(x - 2)}{x - 2} = -\sqrt{2}(1) = -\sqrt{2}$ है।
दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$। जब $x \to 2^+$,तब $(x - 2) > 0$,इसलिए $|\sin(x - 2)| = \sin(x - 2)$ है।
$RHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{2}\sin(x - 2)}{x - 2} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$ है।
चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cot x - \cos x}}{{{{\left( {\pi - 2x} \right)}^3}}}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x(1 - \sin x)}}{{\sin x \cdot 8{{\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}^3}}}$.
$t = \frac{\pi }{2} - x$ प्रतिस्थापित करने पर। जब $x \to \frac{\pi }{2}$,तब $t \to 0$. अतः $x = \frac{\pi }{2} - t$ और $\cos x = \sin t$,$\sin x = \cos t$.
$L = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t(1 - \cos t)}}{{8{t^3}\cos t}}$.
$L = \frac{1}{8} \cdot \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( \frac{{\sin t}}{t} \right) \cdot \left( \frac{{1 - \cos t}}{{{t^2}}} \right) \cdot \frac{1}{{\cos t}}$.
मानक सीमाओं $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t}}{t} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 - \cos t}}{{{t^2}}} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$L = \frac{1}{8} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{{16}}$.

(B) माना $L = \lim_{x \to 0} (\cos ax)^{\csc^2 bx}$. यह $1^\infty$ के रूप में है।
सूत्र $\lim_{x \to 0} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to 0} g(x)(f(x)-1)}$ का उपयोग करने पर:
$L = e^{\lim_{x \to 0} \csc^2 bx (\cos ax - 1)}$
$L = e^{-\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ax}{\sin^2 bx}}$
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$ और $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = e^{-\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(ax/2)}{\sin^2 bx}} = e^{-\lim_{x \to 0} \frac{2(ax/2)^2}{(bx)^2}} = e^{-\frac{2(a^2/4)}{b^2}} = e^{-\frac{a^2}{2b^2}}$

(D) एक छोटे धनात्मक कोण $\theta$ (रेडियन में) के लिए,हम इकाई वृत्त की ज्यामिति पर विचार करते हैं।
प्रथम चतुर्थांश में,$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,निम्नलिखित असमिका सत्य है: $\sin \theta < \theta < \tan \theta$.
पूरी असमिका को $\sin \theta$ (जो धनात्मक है) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 < \frac{\theta}{\sin \theta} < \frac{1}{\cos \theta}$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1$.
साथ ही,मूल असमिका $\sin \theta < \theta < \tan \theta$ को $\theta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\sin \theta}{\theta} < 1 < \frac{\tan \theta}{\theta}$.
यह दर्शाता है कि $\frac{\tan \theta}{\theta} > 1 > \frac{\sin \theta}{\theta}$,जो यह पुष्टि करता है कि $\frac{\tan \theta}{\theta} > \frac{\sin \theta}{\theta}$ है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) माना व्यंजक $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\sin }^2}x + \cos x \cos (x + 2) - {{\cos }^2}(x + 1)}}$ है।
सर्वसमिका $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ का उपयोग करने पर,$\cos x \cos (x+2) = \frac{1}{2} [\cos(2x+2) + \cos 2]$ प्राप्त होता है।
अतः,हर $\sin(x+1) \sin(x-1)$ में परिवर्तित हो जाता है।
इस प्रकार,$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{\sin(x+1) \sin(x-1)} = \frac{2}{\sin 2}$।

(A) दिया गया सीमा $1^\infty$ रूप का है।
सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {f(x)^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) - 1)g(x)}$ का उपयोग करने पर:
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\cos ax - 1) \csc^2 bx}$
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-(1 - \cos ax)}{\sin^2 bx}}$
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -\left( \frac{1 - \cos ax}{(ax)^2} \right) \cdot \frac{(ax)^2}{\left( \frac{\sin bx}{bx} \cdot bx \right)^2}}$
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ और $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$:
$L = e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{b^2}} = e^{\left( -\frac{a^2}{2b^2} \right)}$

(A) दिया गया सीमा: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - \cos 2ax} }}{{\sin bx}}$
सर्वसमिका $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {2\sin^2 ax} }}{{\sin bx}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt{2} |\sin ax|}}{{\sin bx}}$
चूंकि $x \to 0^+$ और $a > 0$,इसलिए $ax > 0$,अतः $|\sin ax| = \sin ax$.
$L = \sqrt{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \sqrt{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( \frac{\sin ax}{ax} \cdot \frac{bx}{\sin bx} \cdot \frac{ax}{bx} \right)$
$L = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a\sqrt{2}}{b}$

(B) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5\sin x + x\cos x}}{{2\tan x - {x^2}}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{5\sin x}{x} + \frac{x\cos x}{x}}}{{\frac{2\tan x}{x} - \frac{x^2}{x}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5(\frac{\sin x}{x}) + \cos x}}{{2(\frac{\tan x}{x}) - x}}$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{5(1) + \cos(0)}{2(1) - 0} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

(D) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\tan 2x - 2x\tan x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}$.
$\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}$ और $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} \right) - 2x\tan x}}{{{{\left( {2\sin^2 x} \right)}^2}}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x\tan x - 2x\tan x(1 - {{\tan }^2}x)}}{{(1 - {{\tan }^2}x) \cdot 4\sin^4 x}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x\tan^3 x}}{{4\sin^4 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
चूँकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,हमें प्राप्त होता है:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x}}}{{4\sin^4 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{4\sin x \cdot \cos^3 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{2\sin x} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos^3 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1(1 - 0)} = \frac{1}{2}$.

(D) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi {{\cos }^2}x} \right)}}{{{x^2}}}$
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi (1 - \sin^2 x)} \right)}}{{{x^2}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi - \pi \sin^2 x} \right)}}{{{x^2}}}$
चूंकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,इसलिए:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi \sin^2 x} \right)}}{{{x^2}}}$
$\pi \sin^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\sin \left( {\pi \sin^2 x} \right)}}{{\pi \sin^2 x}} \times \frac{{\pi \sin^2 x}}{{{x^2}}} \right)$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta}}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 \times \pi \times (\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x})^2 = 1 \times \pi \times 1^2 = \pi$

(D) दिया गया सीमा: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cot(4x)}{\sin^2 x \cot^2(2x)}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ रखने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cos(4x) \sin^2(2x)}{\sin^2 x \sin(4x) \cos^2(2x)}$
$\sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cos(4x) \sin^2(2x)}{\sin^2 x (2 \sin(2x) \cos(2x)) \cos^2(2x)}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \right)^2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{\cos(4x)}{\cos^3(2x)}$
जब $x \to 0$,तब $\frac{\sin \theta}{\theta} \to 1$ और $\cos \theta \to 1$:
$L = (1)^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1^3} = 1$

(B) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 2x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4x \cdot \frac{1}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{4x}{2x} \right)$
$= \left( \mathop {\lim }\limits_{4x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \right) \cdot \left( \mathop {\lim }\limits_{2x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} \right) \cdot 2$
$= 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$.

(A) हमारे पास $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}$ है
$= \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \right)$
$= 1 \times \frac{1}{\cos(0)} = 1 \times 1 = 1$

(A) दी गई सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx}$
$x=0$ पर,फलन $\frac{0}{0}$ का अनिर्धार्य रूप लेता है।
हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ होता है।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \times \frac{ax}{bx} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right) \times \frac{a}{b}$
चूंकि $x \to 0$,इसलिए $ax \to 0$ होगा। अतः:
$= \frac{a}{b} \times \mathop {\lim }\limits_{ax \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right)$
$= \frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b}$

(A) हमें दी गई सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$.
$x=0$ पर,व्यंजक $\frac{0}{0}$ का अनिर्धारित रूप लेता है।
हम मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करेंगे।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \cdot ax \cdot \frac{1}{\frac{\sin bx}{bx} \cdot bx} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right) \cdot \frac{1}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin bx}{bx} \right)} \cdot \frac{ax}{bx}$
$= 1 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$.

(A) हमें दी गई सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)}$
माना $y = \pi - x$. जैसे $x \to \pi$,वैसे ही $y \to 0$.
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{\sin y}{\pi y}$
$= \frac{1}{\pi} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}$
मानक सीमा सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{\pi} \times 1 = \frac{1}{\pi}$