$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{{{e^x} - 1}} = $

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$,$f \left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ और $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ है। यदि $g(x)=\int\limits_{x}^{\pi / 4}\left(f^{\prime}(t) \sec t+\tan t \sec t f(t)\right) d t$ जहाँ $x \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ है,तो $\lim\limits _{ x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} g ( x )$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a b^x-a^x b}{x^2-1} = $

$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{x} - \frac{{\log (1 + x)}}{{{x^2}}}} \right] =$

$\lim _{x \rightarrow 1} (\log _3 3x)^{\log _x 8} = \ldots$