Limit using Binomial theorem Questions in Hindi

(A) $(1+x)^n$ के द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए:
$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + ...$
इस मान को सीमा में रखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + ...) - 1}{x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + ...}{x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (n + \frac{n(n-1)}{2}x + ...)$
$= n$
वैकल्पिक रूप से,$L-Hospital$ नियम का उपयोग करते हुए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}((1+x)^n - 1)}{\frac{d}{dx}(x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{n(1+x)^{n-1}}{1} = n(1+0)^{n-1} = n$.

(B) $\text{दिया गया सीमा } L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sin (\pi \sqrt {{n^2} + 1} )$
$\text{द्विपद विस्तार } (1+x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots \text{ का उपयोग करने पर:}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sin \left( \pi n \sqrt {1 + \frac{1}{n^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sin \left( \pi n \left( 1 + \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{8n^4} + \dots \right) \right)$
$L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sin \left( n\pi + \frac{\pi}{2n} - \frac{\pi}{8n^3} + \dots \right)$
$\text{चूंकि } \sin(n\pi + \theta) = (-1)^n \sin(\theta), \text{ इसलिए:}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (-1)^n \sin \left( \frac{\pi}{2n} - \frac{\pi}{8n^3} + \dots \right)$
$\text{जैसे } n \to \infty, \text{ साइन का कोण } 0 \text{ के करीब पहुंचता है, इसलिए } \sin(0) = 0.$
$L = 0.$

(A) माना सीमा $L = \mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } [(x^5 + 7x^4 + 2)^c - x]$ है。
सीमा को परिमित और अशून्य होने के लिए, हम $x^{5c}$ को उभयनिष्ठ (factor out) लेते हैं:
$L = \mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } [x^{5c}(1 + \frac{7}{x} + \frac{2}{x^5})^c - x]$.
इसे $\infty \times 0$ के रूप में होने के लिए, $5c = 1$ होना चाहिए, अतः $c = 1/5$ है。
$c = 1/5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } x[(1 + \frac{7}{x} + \frac{2}{x^5})^{1/5} - 1]$.
द्विपद प्रसार $(1+u)^n \approx 1 + nu$ का उपयोग करने पर (जब $u$ छोटा हो):
$L = \mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } x[1 + \frac{1}{5}(\frac{7}{x} + \frac{2}{x^5}) - 1]$.
$L = \mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } x[\frac{7}{5x} + \frac{2}{5x^5}] = \frac{7}{5}$.
अतः, $c = 1/5$ और सीमा का मान $7/5$ है।

(A) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^{\frac{1}{3}}}\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{2}{3}}} - {{\left( {x - 1} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right)$.
हम व्यंजक को $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x \left( {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^{\frac{2}{3}} - \left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{2}{3}}} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
छोटे $u$ के लिए द्विपद प्रसार $(1+u)^n \approx 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2}u^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \pm \frac{1}{x}$ और $n = \frac{2}{3}$ है:
$\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^{\frac{2}{3}} \approx 1 + \frac{2}{3x} + \frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1)}{2x^2} = 1 + \frac{2}{3x} - \frac{1}{9x^2}$.
$\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{2}{3}} \approx 1 - \frac{2}{3x} + \frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1)}{2x^2} = 1 - \frac{2}{3x} - \frac{1}{9x^2}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x \left( (1 + \frac{2}{3x} - \frac{1}{9x^2}) - (1 - \frac{2}{3x} - \frac{1}{9x^2}) \right)$.
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x \left( \frac{4}{3x} \right) = \frac{4}{3}$.

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(1-\sin x)^{1/8}-(1+\sin x)^{1/8}}$.
$\text{द्विपद प्रसार}$ $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n = 1/8$:
$(1-\sin x)^{1/8} \approx 1 - \frac{1}{8} \sin x$.
$(1+\sin x)^{1/8} \approx 1 + \frac{1}{8} \sin x$.
इन मानों को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(1 - \frac{1}{8} \sin x) - (1 + \frac{1}{8} \sin x)}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{-\frac{2}{8} \sin x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{-\frac{1}{4} \sin x}$.
$\text{चूँकि}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,$\text{इसलिए}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x} = 1$.
$\text{अतः}$,$L = -4 \times 1 = -4$.

(B) हमारे पास $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a - a(1 - \frac{x^2}{a^2})^{1/2} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$ है।
द्विपद विस्तार $(1 - u)^{1/2} = 1 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 - \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \frac{x^2}{a^2}$:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{a - a(1 - \frac{1}{2}(\frac{x^2}{a^2}) - \frac{1}{8}(\frac{x^2}{a^2})^2) - \frac{x^2}{4}}{x^4}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a - a + \frac{x^2}{2a} + \frac{x^4}{8a^3} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\frac{1}{2a} - \frac{1}{4}) + \frac{x^4}{8a^3}}{x^4}$.
सीमा को परिमित होने के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$\frac{1}{2a} - \frac{1}{4} = 0 \implies a = 2$.
$a = 2$ रखने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^4}{8(2)^3}}{x^4} = \frac{1}{8 \times 8} = \frac{1}{64}$.
अतः,$a = 2$ और $L = \frac{1}{64}$ है।
इसलिए,विकल्प $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(A) सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2+x^5+x^6}}{x^4}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम परिमेयकरण का उपयोग करते हैं।
अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2+x^5+x^6}$ से गुणा करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+\sqrt{1+x^4})-(2+x^5+x^6)}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2+x^5+x^6})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^4}-1-x^5-x^6}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2+x^5+x^6})}$
द्विपद विस्तार $\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{u}{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x^4$,हमें $\sqrt{1+x^4} \approx 1 + \frac{x^4}{2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 + \frac{x^4}{2} - 1 - x^5 - x^6}{x^4(\sqrt{1+1} + \sqrt{2})} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^4}{2} - x^5 - x^6}{x^4(2\sqrt{2})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} - x - x^2}{2\sqrt{2}} = \frac{1/2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$

(A) $\text{माना } L = \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{x^3+4 x^2}-\sqrt{x^2-3 x}\right)$.
$\text{प्रत्येक पद से } x \text{ बाहर निकालने पर:}$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( x(1+\frac{4}{x})^{1/3} - x(1-\frac{3}{x})^{1/2} \right)$.
$\text{द्विपद प्रसार } (1+u)^n \approx 1 + nu \text{ का उपयोग करने पर:}$
$(1+\frac{4}{x})^{1/3} \approx 1 + \frac{4}{3x} \text{ और } (1-\frac{3}{x})^{1/2} \approx 1 - \frac{3}{2x}$.
$\text{इन मानों को रखने पर:}$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( x + \frac{4}{3} - x + \frac{3}{2} \right) = \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{17}{6}$.

(B) माना $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left\{x-\left(\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots\left(x-a_n\right)\right)^{1/n}\right\}$.
$n$-वें मूल के अंदर के पद से $x$ कॉमन लेने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \left\{ x - x \left( \left(1-\frac{a_1}{x}\right)\left(1-\frac{a_2}{x}\right) \ldots\left(1-\frac{a_n}{x}\right) \right)^{1/n} \right\}$.
द्विपद सन्निकटन $(1-u)^k \approx 1-ku$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} x \left\{ 1 - \left(1-\frac{a_1}{nx}\right)\left(1-\frac{a_2}{nx}\right) \ldots\left(1-\frac{a_n}{nx}\right) \right\}$.
गुणनफल का विस्तार करने और $O(1/x)$ तक के पदों को रखने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} x \left\{ 1 - \left( 1 - \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{nx} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \right\}$.
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{nx} \right) = \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}$.