Finding unknown using limit Questions in Hindi

(D) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{[(a - n)nx - \tan x]\sin nx}{x^2} = 0$
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{(a - n)nx - \tan x}{x} \cdot \frac{\sin nx}{x} \right) = 0$
दूसरे पद में $n$ से गुणा और भाग करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( ((a - n)n - \frac{\tan x}{x}) \cdot n \cdot \frac{\sin nx}{nx} \right) = 0$
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin nx}{nx} = 1$,समीकरण बनता है:
$n((a - n)n - 1) = 0$
चूंकि $n \neq 0$,इसलिए $(a - n)n - 1 = 0$
$(a - n)n = 1$
$a - n = \frac{1}{n}$
$a = n + \frac{1}{n}$

(C) दिया गया है $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} - \alpha x - \beta \right) = 0$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x^2 + 1 - (\alpha x + \beta)(x + 1)}{x + 1} = \frac{x^2(1 - \alpha) - x(\alpha + \beta) + (1 - \beta)}{x + 1}$।
सीमा का मान $0$ होने के लिए,अंश की घात हर की घात से कम होनी चाहिए।
अतः,$x^2$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:
$1 - \alpha = 0 \implies \alpha = 1$।
इसी प्रकार,$x$ का गुणांक भी $0$ होना चाहिए:
$-(\alpha + \beta) = 0 \implies \alpha + \beta = 0$।
$\alpha = 1$ रखने पर:
$1 + \beta = 0 \implies \beta = -1$।
अतः,$\alpha = 1$ और $\beta = -1$ है।

(A) दिया गया संबंध $a_{n+1} = \frac{4 + 3a_n}{3 + 2a_n}$ है।
जब $n \to \infty$ हो,तब $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ लेने पर,हमें $a = \frac{4 + 3a}{3 + 2a}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$a(3 + 2a) = 4 + 3a \Rightarrow 3a + 2a^2 = 4 + 3a$।
अतः,$2a^2 = 4 \Rightarrow a^2 = 2$।
इस प्रकार,$a = \pm \sqrt{2}$।
चूंकि $a_1 = 1$ है और सभी पद धनात्मक हैं,इसलिए $a = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 + a\cos x) - b\sin x}}{{{x^3}}} = 1$।
$\cos x$ और $\sin x$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 + a(1 - \frac{x^2}{2} + \dots)) - b(x - \frac{x^3}{6} + \dots)}}{{{x^3}}} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 + a - b) + x^3(\frac{b}{6} - \frac{a}{2}) + \dots}}{{{x^3}}} = 1$
सीमा के अस्तित्व और $1$ के बराबर होने के लिए,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:
$1 + a - b = 0 \implies b - a = 1$
और $x^3$ का गुणांक $1$ होना चाहिए:
$\frac{b}{6} - \frac{a}{2} = 1 \implies b - 3a = 6$
समीकरणों को हल करने पर: $a = -\frac{5}{2}$ और $b = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\lim_{x \to 5} \frac{(f(x))^2 - 9}{\sqrt{|x - 5|}} = 0$ है।
माना $L = \lim_{x \to 5} f(x)$ है।
यदि $L^2 - 9 \neq 0$ होता,तो सीमा $\infty$ हो जाती।
चूंकि सीमा $0$ है,इसलिए अंश को $x \to 5$ पर $0$ होना चाहिए।
अतः,$L^2 - 9 = 0$,जिसका अर्थ है $L^2 = 9$।
चूंकि $f$ का सह-प्रांत $[0, \infty)$ है,इसलिए $L = 3$ होगा।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ है।
हमें $L = \lim_{x \to \alpha} \frac{1 - \cos(ax^2 + bx + c)}{(x - \alpha)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{x \to \alpha} \frac{2 \sin^2(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{(x - \alpha)^2}$.
$(\frac{a(x - \beta)}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = 2 \lim_{x \to \alpha} \left[ \frac{\sin(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2}} \right]^2 \cdot \frac{a^2(x - \beta)^2}{4}$.
चूंकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,जैसे ही $x \to \alpha$,कोष्ठक में पद $1$ हो जाता है।
$L = 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{a^2(\alpha - \beta)^2}{4} = \frac{a^2}{2}(\alpha - \beta)^2$.

(C) दिया है $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}} - (ax + b)} \right) = 2$.
सीमा के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{{{x^3} + 1 - (ax + b)({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^3} + 1 - (a{x^3} + ax + b{x^2} + b)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^3}(1 - a) - b{x^2} - ax + (1 - b)}}{{{x^2} + 1}}$.
सीमा का मान परिमित $(2)$ होने के लिए $x^3$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,अतः $1 - a = 0 \implies a = 1$.
अब व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - b{x^2} - x + (1 - b)}}{{{x^2} + 1}} = 2$ हो जाता है।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - b - \frac{1}{x} + \frac{{1 - b}}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = 2$.
जैसे ही $x \to \infty$,यह $-b = 2$ हो जाता है,इसलिए $b = -2$.
अतः,$a = 1$ और $b = -2$.

(A) दिया गया सीमा $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} (\frac{\sin 3x}{x^3} + \frac{a}{x^2} + b) = 0$.
पदों को संयोजित करने पर: $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x + ax + bx^3}{x^3} = 0$.
$\sin 3x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर: $\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \dots = 3x - \frac{27x^3}{6} + O(x^5)$.
इसे व्यंजक में रखने पर: $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{3x - \frac{27}{6}x^3 + ax + bx^3}{x^3} = 0$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $3 + a = 0 \Rightarrow a = -3$.
अब,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{27}{6}x^3 + bx^3}{x^3} = -\frac{27}{6} + b = 0$.
$b$ के लिए हल करने पर: $b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\sin ^{ - 1}}\left( {k\left( {\frac{{x - 1 - \ln x}}{{(x - 1)\ln x}}} \right)} \right)$ है।
सबसे पहले, $\sin^{-1}$ फलन के अंदर की सीमा का मूल्यांकन करें:
$L_{in} = k \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{x - 1 - \ln x}}{{(x - 1)\ln x}}} \right)$।
माना $x = 1 + h$, जहाँ $h \to 0$ है:
$L_{in} = k \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{h - \ln(1 + h)}}{{h \ln(1 + h)}}} \right)$।
टेलर श्रेणी विस्तार $\ln(1 + h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \dots$ का उपयोग करते हुए:
$L_{in} = k \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{h - (h - \frac{h^2}{2} + \dots)}}{{h(h - \frac{h^2}{2} + \dots)}}} \right) = k \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{\frac{h^2}{2}}}{{h^2}}} \right) = \frac{k}{2}$।
$\sin^{-1}\left( \frac{k}{2} \right)$ के अस्तित्व के लिए, तर्क को $-1 \le \frac{k}{2} \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इसका अर्थ है $-2 \le k \le 2$।
इस परिसर में पूर्णांक $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ हैं।
अतः, पूर्णांकों की संख्या $5$ है।

(A) हम $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करते हैं।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \dots} \right) - ax}}{{{x^2}}} = l$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - a} \right)x - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \dots}}{{{x^2}}} = l$
सीमा के परिमित संख्या $l$ होने के लिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$1 - a = 0 \implies a = 1$।
$a = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $l = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{{{x^3}}}{3}}}{{{x^2}}} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + l = 1 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$।

(A) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\ln \left( {{x^2} + 5x} \right) - 2\ln \left( {cx + 1} \right)} \right\} = -2$.
$\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln \left( \frac{x^2 + 5x}{(cx + 1)^2} \right) = -2$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x^2 + 5x}{c^2x^2 + 2cx + 1} = e^{-2}$.
जब $x \to \infty$ हो,तो अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{c^2} = \frac{1}{e^2}$.
अतः,$c^2 = e^2$,जिसका अर्थ है $c = e$।

(D) दिया गया है कि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}$.
यहाँ $a{x^2} + bx + c = \frac{1}{2}(2x - 1)^2 = 2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 2, b = -2, c = \frac{1}{2}$.
अब,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 2)(x - \frac{1}{2})}}{{x - 2}}$ की गणना करने पर,
$= (2 + 2)(2 - \frac{1}{2}) = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.

(B) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan (x - 2)({x^2} + (a - 2)x - 2a)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 7$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: ${x^2} + (a - 2)x - 2a = (x - 2)(x + a)$
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan (x - 2)(x - 2)(x + a)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 7$
व्यंजक को सरल करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan (x - 2)}}{{(x - 2)}} \times (x + a) = 7$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\tan \theta }}{\theta } = 1$ का उपयोग करने पर: $1 \times (2 + a) = 7$
अतः,$a = 7 - 2 = 5$.

(B) $\sin x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots) - 3x + \frac{x^3}{2}}{2x^n}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{40} - 3x + \frac{x^3}{2}}{2x^n}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{40}}{2x^n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^5}{80x^n}$
सीमा के परिमित और अशून्य होने के लिए,हर में $x$ की घात अंश में $x$ की घात के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$n = 5$.

(D) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)\{ {x^2} + (k - 2)x - 2k\} }}{{{x^2} - 4x + 4}} = 5$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)\{ x(x - 2) + k(x - 2) \} }}{{{(x - 2)^2}}} = 5$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)(x + k)(x - 2)}}{{{(x - 2)^2}}} = 5$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} \times (x + k) = 5$
चूँकि $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\tan h}}{h} = 1$,इसलिए:
$1 \times (2 + k) = 5$
$2 + k = 5$
$k = 3$

(B) सबसे पहले,बाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x-1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x+1)(x^2+1) = (1+1)(1^2+1) = 2 \times 2 = 4$.
अब,दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{{{x^3} - {k^3}}}{{{x^2} - {k^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{(x-k)(x^2+xk+k^2)}{(x-k)(x+k)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{x^2+xk+k^2}{x+k} = \frac{k^2+k^2+k^2}{k+k} = \frac{3k^2}{2k} = \frac{3k}{2}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$4 = \frac{3k}{2}$ $\Rightarrow 3k = 8$ $\Rightarrow k = \frac{8}{3}$.

(D) सीमा के अस्तित्व में होने और परिमित होने के लिए,$x = 1$ पर अंश $0$ होना चाहिए।
अतः,$1^2 - a(1) + b = 0$,जिसका अर्थ है $1 - a + b = 0$,या $b = a - 1$।
$L'Hopital$ नियम का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{d/dx(x^2 - ax + b)}{d/dx(x - 1)} = 3$।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x - a) = 3$।
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 - a = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -1$।
चूंकि $b = a - 1$,इसलिए $b = -1 - 1 = -2$।
अतः,$a + b = -1 + (-2) = -3$।

(C) दिया गया है कि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x^{2}-1}=\pi.$
सीमा के अस्तित्व के लिए और उसका मान $\pi$ होने के लिए,अंश को $x \to 1$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए क्योंकि हर $x^2 - 1$ का मान $0$ की ओर अग्रसर होता है।
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (f(x) - 2) = 0.$
इसका अर्थ है $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2 = 0.$
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2 = 2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) - 2 = 0.$
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 2.$

(C) दिया गया सीमा: $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+x^{2}+\ldots+x^{n}-n}{x-1}=820$
अंश को प्रत्येक पद से $1$ घटाकर पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lim_{x \rightarrow 1} \left(\frac{x-1}{x-1} + \frac{x^{2}-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^{n}-1}{x-1}\right) = 820$
मानक सीमा सूत्र $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} = na^{n-1}$ का उपयोग करने पर,जब $x \rightarrow 1$ होता है तो प्रत्येक पद $k$ हो जाता है: $\sum_{k=1}^{n} k = 820$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2} = 820$ होता है।
$\Rightarrow n(n+1) = 1640$
$\Rightarrow n^{2}+n-1640 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $n(n+1) = 40 \times 41$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n \in N$,इसलिए $n = 40$।

(A) दिया गया समीकरण $p(x) = x^{2} - x - 2 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः मूल $x = 2$ और $x = -1$ हैं।
चूंकि $\alpha$ धनात्मक मूल है,इसलिए $\alpha = 2$।
सीमा व्यंजक में $\alpha = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x + 2 - 4} = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x - 2}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^{2}(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2 \sin^{2}(\frac{x^{2} - x - 2}{2})}}{x - 2}$ हो जाता है।
चूंकि $x \rightarrow 2^{+}$,$\sin(\frac{x^{2} - x - 2}{2})$ धनात्मक है,इसलिए $\sqrt{\sin^{2}(\theta)} = \sin(\theta)$।
यह सरल होकर $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{x - 2}$ हो जाता है।
सीमा $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,$\frac{x + 1}{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \sqrt{2} \cdot \frac{\sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{\frac{(x - 2)(x + 1)}{2}} \cdot \frac{x + 1}{2} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{2 + 1}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$।

(C) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax-(e^{4x}-1)}{ax(e^{4x}-1)} = b$ है।
चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए $x=0$ पर इसका रूप $\frac{0}{0}$ होना चाहिए।
विस्तार $e^{4x} = 1 + 4x + \frac{(4x)^2}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax - (1 + 4x + 8x^2 + \dots - 1)}{ax(4x + 8x^2 + \dots)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(a-4)x - 8x^2}{4ax^2 + 8ax^3}$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश में $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $a-4 = 0$,जिससे $a = 4$ प्राप्त होता है।
अब,सीमा में $a=4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$b = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8x^2}{4(4)x^2 + 8(4)x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8x^2}{16x^2 + 32x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8}{16 + 32x} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$a = 4$ और $b = -\frac{1}{2}$.
अंत में,$a - 2b = 4 - 2(-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$.

(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x \sin ^{2} x}=10$.
चूंकि $\sin x \approx x$ जब $x \rightarrow 0$,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x^{3}}=10$ हो जाता है।
टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\dots$
$\log _{e}(1+x) = x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots$
$e^{-x} = 1-x+\frac{x^{2}}{2}-\dots$
मान रखने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\alpha x(1+x+\frac{x^{2}}{2}) - \beta(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}) + \gamma x^{2}(1-x)}{x^{3}} = 10$
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{x(\alpha-\beta) + x^{2}(\alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma) + x^{3}(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma)}{x^{3}} = 10$
सीमा के अस्तित्व के लिए $x$ और $x^{2}$ के गुणांक $0$ होने चाहिए:
$1) \alpha-\beta = 0 \Rightarrow \alpha = \beta$
$2) \alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -\frac{3\alpha}{2}$
$3) \frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma = 10$
$\alpha, \beta, \gamma$ के मान रखने पर:
$\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{3}-(-\frac{3\alpha}{2}) = 10$ $\Rightarrow \frac{10\alpha}{6} = 10$ $\Rightarrow \alpha = 6$.
अतः,$\alpha = 6, \beta = 6, \gamma = -9$.
$\alpha+\beta+\gamma = 6+6-9 = 3$.

(C) दिया गया है कि सीमा $\lim \limits_{x \rightarrow 7} \frac{18-[1-x]}{[x]-3a}$ का अस्तित्व है।
$x \rightarrow 7^-$ के लिए,$[x] = 6$ और $[1-x] = [1 - (7-h)] = [-6+h] = -6$ (जहाँ $h > 0$ एक बहुत छोटी संख्या है)।
$L.H.L. = \lim \limits_{x \rightarrow 7^-} \frac{18 - (-6)}{6 - 3a} = \frac{24}{6 - 3a}$.
$x \rightarrow 7^+$ के लिए,$[x] = 7$ और $[1-x] = [1 - (7+h)] = [-6-h] = -7$.
$R.H.L. = \lim \limits_{x \rightarrow 7^+} \frac{18 - (-7)}{7 - 3a} = \frac{25}{7 - 3a}$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए $L.H.L. = R.H.L.$
$\frac{24}{6 - 3a} = \frac{25}{7 - 3a}$.
वज्र गुणन करने पर:
$24(7 - 3a) = 25(6 - 3a)$
$168 - 72a = 150 - 75a$
$75a - 72a = 150 - 168$
$3a = -18$
$a = -6$.

(C) दिया गया है $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \left(3 x^{2}-4 x+1\right)-x^{2}+1}{2 x^{3}-7 x^{2}+a x+b}=-2$.
चूंकि सीमा परिमित है और अंश $x \rightarrow 1$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए हर को भी $0$ होना चाहिए।
$2(1)^3 - 7(1)^2 + a(1) + b = 0 \implies a + b - 5 = 0 \dots (1)$.
$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\cos \left(3 x^{2}-4 x+1\right)(6 x-4) - 2x}{6x^2 - 14x + a} = -2$.
सीमा के परिमित होने के लिए,हर को $x=1$ पर $0$ होना चाहिए:
$6(1)^2 - 14(1) + a = 0 \implies a - 8 = 0 \implies a = 8$.
$(1)$ में $a=8$ रखने पर:
$8 + b - 5 = 0 \implies b = -3$.
अतः,$(a - b) = 8 - (-3) = 11$.

(C) हमें दिया गया है $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}-n-1}+n \alpha+\beta\right)=0$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$n$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$\sqrt{n^{2}-n-1} = n\sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}} = n - \frac{1}{2} + O(\frac{1}{n})$.
इस मान को सीमा में रखने पर: $\lim _{n \rightarrow \infty} (n - \frac{1}{2} + n\alpha + \beta) = 0$.
$n$ के पदों को समूहित करने पर: $\lim _{n \rightarrow \infty} (n(1+\alpha) + (\beta - \frac{1}{2})) = 0$.
अतः,$1+\alpha = 0 \implies \alpha = -1$ और $\beta - \frac{1}{2} = 0 \implies \beta = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$8(\alpha+\beta) = 8(-1 + \frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2}) = -4$.

(C) दिया गया है $\beta = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha x - (e^{3x} - 1)}{\alpha x(e^{3x} - 1)}$.
$e^{3x} = 1 + 3x + \frac{(3x)^2}{2!} + \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$\beta = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha x - (1 + 3x + \frac{9x^2}{2} + \dots - 1)}{\alpha x(3x + \frac{9x^2}{2} + \dots)}$
$\beta = \lim_{x \to 0} \frac{(\alpha - 3)x - \frac{9}{2}x^2 - \dots}{3\alpha x^2 + \dots}$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश में $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $\alpha - 3 = 0$,जिससे $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 3$ रखने पर:
$\beta = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{9}{2}x^2}{3(3)x^2} = \frac{-9/2}{9} = -\frac{1}{2}$.
अंत में,$\alpha + \beta = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x \sin ^{2} x}=\frac{2}{3}$.
चूंकि $\sin x \approx x$ है,सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x^{3}}=\frac{2}{3}$ हो जाती है।
श्रेणी का विस्तार करने पर: $\alpha(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots) + \beta(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\dots) + \gamma(x-\frac{x^3}{6}+\dots) = \frac{2}{3}x^3$.
सीमा के अस्तित्व के लिए $x^0, x^1, x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
$x^0: \alpha + \beta = 0 \implies \beta = -\alpha$.
$x^1: \alpha - \beta + \gamma = 0 \implies 2\alpha + \gamma = 0 \implies \gamma = -2\alpha$.
$x^3$ का गुणांक $\frac{\alpha}{6} - \frac{\beta}{6} - \frac{\gamma}{6} = \frac{2}{3}$ है।
$\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = -2$ प्राप्त होता है।
विकल्प $C$ गलत है।

(B) दिया गया है कि $ax^2 + bx + 1 = a(x - \alpha)(x - \beta)$,इसलिए $\alpha\beta = \frac{1}{a}$.
साथ ही,$x^2 + bx + a = a(1 - \alpha x)(1 - \beta x)$.
सीमा (limit) की गणना करने पर,हमें $L = \frac{1}{2\alpha} (\frac{1}{\beta} - \frac{1}{\alpha})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{k} = \frac{1}{2\alpha}$,जिसका अर्थ है कि $k = 2\alpha$।

(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a x}-\cos (b x)-\frac{c x e^{-c x}}{2}}{1-\cos (2 x)}=17$.
$x \to 0$ के लिए $e^{ax}$,$\cos(bx)$,$e^{-cx}$ और $1 - \cos(2x)$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + ax + \frac{a^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2}) - \frac{cx}{2}(1 - cx)}{2x^2} = 17$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(a - \frac{c}{2})x + x^2(\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2})}{2x^2} = 17$
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$a - \frac{c}{2} = 0 \implies c = 2a$
$c = 2a$ को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{(2a)^2}{2}}{2} = 17$
$\frac{a^2 + b^2 + 4a^2}{4} = 17$
$5a^2 + b^2 = 68$

(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3+\alpha \sin x+\beta \cos x+\log _e(1-x)}{3 \tan ^2 x}=\frac{1}{3}$।
$\sin x$,$\cos x$,और $\log _e(1-x)$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \dots$
$\log _e(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$
अंश में मान रखने पर:
$3 + \alpha(x - \frac{x^3}{6}) + \beta(1 - \frac{x^2}{2}) + (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}) = (3+\beta) + (\alpha-1)x - (\frac{\beta+1}{2})x^2 + \dots$
सीमा के अस्तित्व के लिए $x^0$ और $x^1$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$3+\beta = 0 \Rightarrow \beta = -3$
$\alpha-1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$
अतः,$2\alpha - \beta = 2(1) - (-3) = 2 + 3 = 5$।

(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2 e^x - b \log _e(1+x) + c x e^{-x}}{x^2 \sin x} = 1$.
टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$,$\log _e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$,$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \dots$,और $\sin x \approx x$.
व्यंजक बनता है $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{a x^2(1+x+\dots) - b(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) + c x(1 - x + \frac{x^2}{2} - \dots)}{x^3} = 1$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(c-b)x + (a + \frac{b}{2} - c)x^2 + (a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2})x^3 + \dots}{x^3} = 1$.
सीमा के अस्तित्व और $1$ के बराबर होने के लिए,$x$ और $x^2$ के गुणांक $0$ होने चाहिए:
$c - b = 0 \implies c = b$.
$a + \frac{b}{2} - c = 0 \implies a + \frac{b}{2} - b = 0 \implies a = \frac{b}{2}$.
$x^3$ का गुणांक $1$ होना चाहिए: $a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2} = 1$.
$a = \frac{b}{2}$ और $c = b$ रखने पर: $\frac{b}{2} - \frac{b}{3} + \frac{b}{2} = 1 \implies b - \frac{b}{3} = 1 \implies \frac{2b}{3} = 1 \implies b = \frac{3}{2}$.
अतः,$c = \frac{3}{2}$ और $a = \frac{3}{4}$.
इसलिए $16(a^2 + b^2 + c^2) = 16((\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2) = 16(\frac{9}{16} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}) = 9 + 36 + 36 = 81$.

(B) समीकरण $2x^2 + x - 2 = 0$ के मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$ हैं। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ है।
अतः,$\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{17} + 1}{4}$ है।
सीमा (limit) का मान ज्ञात करने पर,हमें $L = 153 + 17\sqrt{17}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\alpha = 153$ और $\beta = 17$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 153 + 17 = 170$।

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin (\beta x)}{\alpha x-\sin x}=1$.
$\sin(x)$ और $\sin(\beta x)$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\beta x - \frac{\beta^3 x^3}{6} + \dots)}{\alpha x - (x - \frac{x^3}{6} + \dots)} = 1$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{(\alpha - 1)x + \frac{x^3}{6} - \dots} = 1$
सीमा के अस्तित्व के लिए,हर में $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,अतः $\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
$\alpha = 1$ रखने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{\frac{x^3}{6} - \dots} = 1$
अंश और हर को $x^3$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\beta}{1/6} = 1$ $\Rightarrow 6\beta = 1$ $\Rightarrow \beta = \frac{1}{6}$.
अतः,$6(\alpha + \beta) = 6(1 + \frac{1}{6}) = 7$.

(B) दिया गया समीकरण $((1+a)^{1/3}-1)x^2 + ((1+a)^{1/2}-1)x + ((1+a)^{1/6}-1) = 0$ है।
मान लीजिए $1+a = t^6$। जैसे $a \rightarrow 0^{+}$,$t \rightarrow 1^{+}$।
समीकरण $(t^2-1)x^2 + (t^3-1)x + (t-1) = 0$ बन जाता है।
$(t-1)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a > 0$ है,इसलिए $t \neq 1$):
$(t+1)x^2 + (t^2+t+1)x + 1 = 0$।
$t \rightarrow 1$ पर सीमा लेने पर:
$(1+1)x^2 + (1^2+1+1)x + 1 = 0$।
$2x^2 + 3x + 1 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2x+1)(x+1) = 0$।
अतः,मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = -1$ हैं।

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a x+\sin (x-1)+a}{x+\sin (x-1)-1}\right\}^{\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}}$.
चूंकि $\frac{1-x}{1-\sqrt{x}} = 1+\sqrt{x}$,सीमा $\lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a(x-1)+\sin(x-1)}{(x-1)+\sin(x-1)}\right\}^{1+\sqrt{x}} = \frac{1}{4}$ हो जाती है।
$x-1 = h$ रखने पर,जैसे $x \rightarrow 1$,$h \rightarrow 0$. व्यंजक $\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{-ah+\sin h}{h+\sin h}\right\}^{1+\sqrt{1+h}} = \frac{1}{4}$ बन जाता है।
अंश और हर को $h$ से विभाजित करने पर,$\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{-a+\frac{\sin h}{h}}{1+\frac{\sin h}{h}}\right\}^{1+\sqrt{1+h}} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$h=0$ रखने पर,$\left(\frac{1-a}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{1-a}{2} = \frac{1}{2}$ या $\frac{1-a}{2} = -\frac{1}{2}$ मिलता है।
यदि $\frac{1-a}{2} = \frac{1}{2}$,तो $a=0$. यदि $\frac{1-a}{2} = -\frac{1}{2}$,तो $a=2$.
$a=2$ के लिए आधार ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $a=0$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया सीमा $1^\infty$ रूप की है। हम सूत्र $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)(f(x)-1)}$ का उपयोग करते हैं।
दिया है $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin (\sin k x)+\cos x+x)^{\frac{2}{x}}= e ^6$,अतः:
$e^{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{x}(\sin (\sin k x)+\cos x+x-1)} = e^6$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{x}(\sin (\sin k x) + (\cos x - 1) + x) = 6$.
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0^{+}} \left[ 2 \cdot \frac{\sin(\sin kx)}{\sin kx} \cdot \frac{\sin kx}{kx} \cdot k + 2 \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot x + 2 \cdot \frac{x}{x} \right] = 6$.
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2(1 \cdot 1 \cdot k) + 2(-\frac{1}{2} \cdot 0) + 2(1) = 6$.
$2k + 2 = 6$ $\Rightarrow 2k = 4$ $\Rightarrow k = 2$.

(C) दिया गया समीकरण: $f(x) - 6f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{35}{3x} - \frac{5}{2} \quad (1)$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर:
$f\left(\frac{1}{x}\right) - 6f(x) = \frac{35x}{3} - \frac{5}{2} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को $6$ से गुणा करने पर:
$6f\left(\frac{1}{x}\right) - 36f(x) = 70x - 15 \quad (3)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$-35f(x) = \frac{35}{3x} - \frac{35}{2} + 70x$
$f(x) = -\frac{1}{3x} - 2x + \frac{1}{2}$
$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{\alpha x} - \frac{1}{3x} - 2x + \frac{1}{2}\right) = \beta$
यहाँ $\alpha = 3$ और $\beta = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta = 3 + 2(1/2) = 4$.

(A) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}}{\sin(2x) - \beta x} = 3$।
सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,अंश को $x \rightarrow 0$ पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए।
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} (x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}) = 0 + (\gamma-1)(1) = \gamma-1$,इसलिए $\gamma-1 = 0$ होना चाहिए,जिससे $\gamma = 1$ प्राप्त होता है।
अब व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\alpha x + O(x^3)) + 0(e^{x^2}-1)}{(2x - \frac{8x^3}{6} + O(x^5)) - \beta x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{(2-\beta)x - \frac{4}{3}x^3} = 3$ बन जाता है।
सीमा के शून्यतर होने के लिए,हर में $x$ की घात अंश के समान होनी चाहिए। अतः,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए,यानी $2-\beta = 0$,जिससे $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
अब सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{-\frac{4}{3}x^3} = -\frac{3\alpha}{4} = 3$ है।
$\alpha$ के लिए हल करने पर,$\alpha = -4$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\beta + \gamma - \alpha = 2 + 1 - (-4) = 7$।

(A) दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x+a \cos 4 x-b}{x^4}$ परिमित है।
$\cos \theta$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\left(1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{24} - \dots\right) + a\left(1 - \frac{(4x)^2}{2} + \frac{(4x)^4}{24} - \dots\right) - b}{x^4}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + a - b) - x^2(2 + 8a) + x^4(\frac{2}{3} + \frac{32}{3}a) + \dots}{x^4}$
सीमा के परिमित होने के लिए,$x^0$ और $x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
$1 + a - b = 0 \implies b = 1 + a$
$2 + 8a = 0 \implies a = -\frac{1}{4}$
$b$ के लिए $a$ का मान रखने पर: $b = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
अतः,$a + b = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(A) माना $x-1 = h$. जैसे $x \rightarrow 1^{+}$,वैसे $h \rightarrow 0^{+}$.
सीमा में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6+\lambda \cos h) - \mu \sin h}{h^3} = -1$.
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$\cos h = 1 - \frac{h^2}{2!} + \dots$ और $\sin h = h - \frac{h^3}{3!} + \dots$,व्यंजक इस प्रकार बनता है:
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6 + \lambda(1 - \frac{h^2}{2})) - \mu(h - \frac{h^3}{6})}{h^3} = -1$.
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(6 + \lambda - \mu)h + (\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2})h^3}{h^3} = -1$.
सीमा के अस्तित्व और $-1$ के बराबर होने के लिए,$h$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:
$6 + \lambda - \mu = 0 \implies \mu - \lambda = 6$.
$h^3$ का गुणांक $-1$ होना चाहिए:
$\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2} = -1 \implies \mu - 3\lambda = -6$.
समीकरणों को हल करने पर: $\mu - \lambda = 6$ और $\mu - 3\lambda = -6$.
घटाने पर: $2\lambda = 12 \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ को $\mu - \lambda = 6$ में रखने पर,$\mu = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + \mu = 6 + 12 = 18$.

(C) मान लीजिए $y = (t+2)^{\frac{1}{42}}$. जैसे $t \rightarrow -1^{+}$,$y \rightarrow 1^{+}$.
तब $(t+2)^{\frac{1}{7}} = y^6$,$(t+2)^{\frac{1}{6}} = y^7$,और $(t+2)^{\frac{1}{21}} = y^2$.
समीकरण $(y^6-1)x^2 + (y^7-1)x + (y^2-1) = 0$ बन जाता है।
$(y-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{y^6-1}{y-1}x^2 + \frac{y^7-1}{y-1}x + \frac{y^2-1}{y-1} = 0$ प्राप्त होता है।
$y \rightarrow 1$ पर सीमा लेने पर,हमें $6x^2 + 7x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $a+b = -\frac{7}{6}$.
अतः,$72(a+b)^2 = 72 \times \left(-\frac{7}{6}\right)^2 = 72 \times \frac{49}{36} = 2 \times 49 = 98$.

(B) सीमा $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ को दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ के बराबर होना चाहिए।
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^-} (b - ax) = b - 2a$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^+} (a + 2bx) = a + 4b$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$b - 2a = a + 4b$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $-2a - a = 4b - b$,जो सरल होकर $-3a = 3b$ हो जाता है।
दोनों पक्षों को $3b$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $b \neq 0$),हमें $\frac{a}{b} = -1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-ax+b}{x-1}=5$.
चूंकि हर $x \rightarrow 1$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए अंश को भी $0$ होना चाहिए।
अतः,$1^2 - a(1) + b = 0 \Rightarrow b = a - 1$.
$L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2x - a}{1} = 5$.
$2(1) - a = 5 \Rightarrow a = -3$.
अब $b = a - 1 = -3 - 1 = -4$.
अतः,$a + b = -3 + (-4) = -7$.

(A) हम जानते हैं कि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{7^x-1}{x} = \log 7$,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(x/k)}{x/k} = 1$,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^2/3)}{x^2/3} = 1$,और $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1$ है।
सीमा को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\frac{7^x-1}{x})^4 \cdot x^4}{(\frac{\tan(x/k)}{x/k} \cdot \frac{x}{k}) \cdot (\frac{\log(1+x^2/3)}{x^2/3} \cdot \frac{x^2}{3}) \cdot (\frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4x)} = 3(\log 7)^3$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\log 7)^4 \cdot x^4}{1 \cdot \frac{x}{k} \cdot 1 \cdot \frac{x^2}{3} \cdot 1 \cdot 4x} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{(\log 7)^4 \cdot x^4}{\frac{4x^4}{3k}} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{3k(\log 7)^4}{4} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{k \log 7}{4} = 1$.
$k = \frac{4}{\log 7} = 4(\log 7)^{-1}$.

(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-ax+b}{x-1}=7$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है और हर $x \rightarrow 1$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए अंश को भी $x=1$ पर $0$ होना चाहिए।
अतः,$(1)^2 - a(1) + b = 0$,जिसका अर्थ है $1 - a + b = 0$,या $a - b = 1 \dots (i)$.
$L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर,$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{d}{dx}(x^2 - ax + b) = 7$.
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} (2x - a) = 7$.
$x=1$ रखने पर,$2(1) - a = 7$,जिससे $2 - a = 7$,अर्थात $a = -5$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ में $a = -5$ रखने पर,$-5 - b = 1$,जिससे $b = -6$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = -5 + (-6) = -11$.

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1}{x+1}-a x-b\right)=4$.
सीमा के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1}\right)=4$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{(1-a)x^2+(1-a-b)x+(1-b)}{x+1}\right)=4$
सीमा का मान परिमित होने के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$1-a=0 \Rightarrow a=1$.
अब,$a=1$ को व्यंजक में रखने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-bx+(1-b)}{x+1}\right)=4$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-b+\frac{1-b}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right)=4$
$-b=4 \Rightarrow b=-4$.
अतः,$a=1$ और $b=-4$.

(C) हम जानते हैं कि मानक सीमा सूत्र: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = n a^{n-1}$ है।
दी गई अभिव्यक्ति: $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^k-5^k}{x-5} = 500$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $k(5)^{k-1} = 500$।
हम $500$ को $4 \times 125 = 4 \times 5^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
$k(5)^{k-1}$ की तुलना $4(5)^3$ से करने पर,हम देखते हैं कि $k = 4$ और $k-1 = 3$,जो सुसंगत है।
अतः,$k$ का मान $4$ है।

(A) दिया गया है,$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$
$\Rightarrow \lim_{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{ax + b}{x + 1} = 1$
$\Rightarrow \lim_{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{a + \frac{b}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 1$
$\Rightarrow a = 1$
दिया गया है,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 2$
$\Rightarrow \frac{a(0) + b}{0 + 1} = 2$
$\Rightarrow b = 2$
अतः,$f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$
इसलिए,$f(-2) = \frac{-2 + 2}{-2 + 1} = \frac{0}{-1} = 0$