mathop {lim }limits_{x to 0^+} {x^x} = | vedclass

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Question

(B) माना $y = x^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log y = x \log x$ प्राप्त होता है।अब,$x 	o 0^+$ के लिए सीमा का मूल्यांकन करते हैं:$\ma

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(B) माना $y = x^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log y = x \log x$ प्राप्त होता है।अब,$x 	o 0^+$ के लिए सीमा का मूल्यांकन करते हैं:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0^+} \log y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0^+} x \log x = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0^+} \frac{\log x}{1/x}$.एल-हॉपिटल नियम का उपयोग करने पर:$= \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0^+} (-x) = 0$.चूंकि $\log y 	o 0$,इसलिए $y 	o e^0 = 1$.अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0^+} x^x = 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} {x^x} = $

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6}}{x^5} \right) = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {3x - a} - \sqrt {x + a} }}{{x - a}} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{x}{2}\right)^{5 / 7}-1}{x} = $

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