Sandwich theorem Questions in Hindi

(B) दिया गया है $f(x) = x\sin \frac{1}{x}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(0) = 0$.
हम जानते हैं कि सभी $x \ne 0$ के लिए,$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$.
$|x|$ से गुणा करने पर,हमें $-|x| \le x\sin \frac{1}{x} \le |x|$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) का उपयोग करने पर,चूँकि $\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0$ और $\lim_{x \to 0} |x| = 0$,इसलिए $\lim_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.

(B) हमें $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin x}}{x}$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$\sin x$ का मान $-1 \le \sin x \le 1$ के बीच परिबद्ध है।
$x > 0$ के लिए,असमिका को $x$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$.
जब $x \to \infty$ हो,तब स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) लागू करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( -\frac{1}{x} \right) = 0$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( \frac{1}{x} \right) = 0$.
अतः,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin x}}{x} = 0$.

(A) किसी भी अनुक्रम $x_n$ के लिए जैसे कि $x_n \to 0$,हमारे पास $|f(x_n)| = |x_n|$ है।
चूंकि $\lim_{n \to \infty} |x_n| = 0$,स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) द्वारा,$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0$ है।
इसलिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$।

(D) चूँकि $f(x)$ एक धनात्मक वर्धमान फलन है,$x > 0$ के लिए,$f(x) < f(2x) < f(3x)$ होता है।
$f(x) > 0$ से विभाजित करने पर,$1 < \frac{f(2x)}{f(x)} < \frac{f(3x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।
$x \to \infty$ पर सीमा लेने पर,$\lim_{x \to \infty} 1 \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(3x)}{f(x)}$ होता है।
दिया गया है कि $\lim_{x \to \infty} \frac{f(3x)}{f(x)} = 1$,अतः सैंडविच प्रमेय (Sandwich theorem) के अनुसार,$1 \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} \le 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = 1$ है।

(B) हमें असमिका दी गई है: $\frac{\cos(2x - 4) - 33}{2} < f(x) < \frac{x^2 |4x - 8|}{x - 2}$.
सबसे पहले,$x \to 2^-$ के लिए बाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें:
$\lim_{x \to 2^-} \frac{\cos(2x - 4) - 33}{2} = \frac{\cos(0) - 33}{2} = \frac{1 - 33}{2} = -16$.
अब,$x \to 2^-$ के लिए दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें:
चूंकि $x < 2$,$x - 2 < 0$,इसलिए $|4x - 8| = -4(x - 2)$.
$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 |4x - 8|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 (-4(x - 2))}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} (-4x^2) = -16$.
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -16$ है।

(C) दिया गया है $1 < f(x) \cdot g(x) < 10$ और $g(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}$।
$g(x)$ का मान रखने पर,$1 < f(x) \cdot \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) < 10$।
$\frac{x}{x^2 + 1}$ से गुणा करने पर,$\frac{x}{x^2 + 1} < f(x) < \frac{10x}{x^2 + 1}$।
जब $x \to \infty$ हो,तो सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 + 1} = 0$ और $\lim_{x \to \infty} \frac{10x}{x^2 + 1} = 0$।
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$।

(B) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x - \sin x}}{x}} \right)\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 - \frac{\sin x}{x}} \right) \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$.
हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 - \frac{\sin x}{x}} \right) = 1 - 1 = 0$.
पद $\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$,$x \to 0$ होने पर $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,जिसका अर्थ है कि यह एक परिबद्ध फलन है।
स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,चूंकि पहले भाग की सीमा $0$ है और दूसरा भाग परिबद्ध है,इसलिए गुणनफल $0 \times (\text{परिबद्ध मान}) = 0$ होगा।
अतः,सीमा $0$ है।

(D) दिया गया है कि $x \ne 2$ के लिए $\frac{x}{[x]} \le f(x) \le \sqrt{6 - x}$ है।
$x \to 2^-$ के लिए,$[x] = 1$ है। अतः,$\lim_{x \to 2^-} \frac{x}{[x]} = \frac{2}{1} = 2$ और $\lim_{x \to 2^-} \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - 2} = 2$ है।
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2$ है। अतः,कथन $1$ सत्य है।
$x \to 2^+$ के लिए,$[x] = 2$ है। अतः,$\lim_{x \to 2^+} \frac{x}{[x]} = \frac{2}{2} = 1$ और $\lim_{x \to 2^+} \sqrt{6 - x} = 2$ है।
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$1 \le \lim_{x \to 2^+} f(x) \le 2$ है। चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $2$ है और दाएँ पक्ष की सीमा का $2$ होना आवश्यक नहीं है,इसलिए $\lim_{x \to 2} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
चूँकि $\lim_{x \to 2} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f$,$x = 2$ पर सतत नहीं है। अतः,कथन $2$ असत्य है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x-1 < [x] \leq x$ होता है।
$k=1, 2, \ldots, n$ के लिए $[kr]$ पदों पर इसे लागू करने पर:
$kr-1 < [kr] \leq kr$.
इन असमिकाओं का $k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$\sum_{k=1}^{n} (kr-1) < \sum_{k=1}^{n} [kr] \leq \sum_{k=1}^{n} kr$.
$r \frac{n(n+1)}{2} - n < \sum_{k=1}^{n} [kr] \leq r \frac{n(n+1)}{2}$.
पूरी असमिका को $n^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{r \frac{n(n+1)}{2} - n}{n^2} < \frac{\sum_{k=1}^{n} [kr]}{n^2} \leq \frac{r \frac{n(n+1)}{2}}{n^2}$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{r(n^2+n)}{2n^2} - \frac{n}{n^2} \right) = \frac{r}{2}$
और
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{r(n^2+n)}{2n^2} = \frac{r}{2}$.
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,सीमा $\frac{r}{2}$ है।

(C) दिया गया अनुक्रम $s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$ है।
प्रत्येक $k$ के लिए जहाँ $0 \leq k \leq n$,हमारे पास $n^2 \leq n^2+k \leq n^2+n$ है।
वर्गमूल और व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2}}$ प्राप्त होता है।
$k=0$ से $n$ तक योग करने पर ($n+1$ पद),हमें मिलता है:
$(n+1) \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \leq s_n \leq (n+1) \frac{1}{\sqrt{n^2}}$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,बायां पक्ष $\frac{n+1}{\sqrt{n^2+n}} = \sqrt{1+1/n} \rightarrow 1$ होता है।
दायां पक्ष $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \rightarrow 1$ होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) द्वारा,$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = 1$ है।
चूंकि $1$ अंतराल $[1, 2)$ में स्थित है,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना $L_n = \prod_{k=1}^{n} \left(2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2k+1}}\right)$.
प्रत्येक $k \ge 1$ के लिए,$2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2k+1}} > 0$ है।
साथ ही,$2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2k+1}} < 2^{\frac{1}{2}} - 2^0 = \sqrt{2} - 1 < 1$ है।
अतः,$0 < L_n < (\sqrt{2} - 1)^n$ होगा।
जैसे ही $n \rightarrow \infty$,$(\sqrt{2} - 1)^n \rightarrow 0$ होगा क्योंकि $|\sqrt{2} - 1| < 1$ है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{n \rightarrow \infty} L_n = 0$।

(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow (0, \infty)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
हमें सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$ दी गई है।
चूंकि $f$ एक निरंतर वर्धमान फलन है और $x > 0$ के लिए $x < 5x < 7x$ होता है,इसलिए $f(x) < f(5x) < f(7x)$ होगा।
असमिका को $f(x) > 0$ से विभाजित करने पर,हमें $1 < \frac{f(5x)}{f(x)} < \frac{f(7x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।
$x \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर,हमें $\lim _{x \rightarrow \infty} 1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।
दी गई सीमा का मान रखने पर,$1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq 1$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} = 1$ होगा।
अतः,$\lim _{x \rightarrow \infty} \left[\frac{f(5x)}{f(x)} - 1\right] = 1 - 1 = 0$ होगा।

(B) हमें $\lim _{x \rightarrow 0} x^7 \left[ \frac{1}{x^3} \right]$ का मान ज्ञात करना है।
महत्तम पूर्णांक फलन के गुणधर्म के अनुसार,$\frac{1}{x^3} - 1 < \left[ \frac{1}{x^3} \right] \le \frac{1}{x^3}$.
स्थिति $1$: $x > 0$. $x^7$ से गुणा करने पर,$x^4 - x^7 < x^7 \left[ \frac{1}{x^3} \right] \le x^4$.
जब $x \rightarrow 0^+$,तो स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार सीमा $0$ है।
स्थिति $2$: $x < 0$. $x^7$ से गुणा करने पर,असमिका बदल जाएगी: $x^4 \le x^7 \left[ \frac{1}{x^3} \right] < x^4 - x^7$.
जब $x \rightarrow 0^-$,तो स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार सीमा $0$ है।
अतः,बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा समान होने के कारण,उत्तर $0$ है।

(A) दिया गया है,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{\sqrt{x^4+4 x^2+5}}=k$.
$x=0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k = \frac{0}{\sqrt{0+0+5}} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$\lim _{x \rightarrow 0} x^4 \sin \left(\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)=l$ पर विचार करें।
चूंकि जैसे-जैसे $x \rightarrow 0$ होता है,$\sin \left(\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)$ का मान $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,और $x^4 \rightarrow 0$ होता है,इसलिए स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) द्वारा,$0 \times (\text{finite value}) = 0$।
अतः,$l = 0$।
इसलिए,$k+l = 0+0 = 0$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$\sin x$ का मान $[-1, 1]$ अंतराल में होता है।
अतः,$2 + \sin x$ का मान $[2 - 1, 2 + 1] = [1, 3]$ अंतराल में होता है।
जैसे-जैसे $x \rightarrow \infty$,हर $x^2 + 3 \rightarrow \infty$ होता है।
इस प्रकार,$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{2+\sin x}{x^2+3}\right) = \frac{1 \text{ और } 3 \text{ के बीच का कोई निश्चित मान}}{\infty} = 0$।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$y - 1 < [y] \leq y$ होता है।
$y = 2x - 3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2x - 3) - 1 < [2x - 3] \leq 2x - 3$
$2x - 4 < [2x - 3] \leq 2x - 3$
पूरी असमिका को $x$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ के लिए):
$\frac{2x - 4}{x} < \frac{[2x - 3]}{x} \leq \frac{2x - 3}{x}$
$2 - \frac{4}{x} < \frac{[2x - 3]}{x} \leq 2 - \frac{3}{x}$
$x \rightarrow \infty$ के रूप में सीमा (limit) लागू करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \infty} (2 - \frac{4}{x}) \leq \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} \leq \lim_{x \rightarrow \infty} (2 - \frac{3}{x})$
$2 - 0 \leq \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} \leq 2 - 0$
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} = 2$.

(D) हम सीमा को दो भागों में विभाजित करके उसका मूल्यांकन करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 2} \left[ (x-2)^2 \cos \left(\frac{2}{x-2}\right) \right] + \lim _{x \rightarrow 2} \left[ \frac{x^2-4}{x^3-2 x-4} \right]$
पहले भाग के लिए,$\lim _{x \rightarrow 2} (x-2)^2 \cos \left(\frac{2}{x-2}\right)$. चूँकि $(x-2)^2 \rightarrow 0$ और $\cos \left(\frac{2}{x-2}\right)$ $[-1, 1]$ में परिबद्ध है,इसलिए स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) द्वारा,सीमा $0 \times [-1, 1] = 0$ है।
दूसरे भाग के लिए,$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2+2x+2)} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x^2+2x+2}$.
$x=2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2+2}{2^2+2(2)+2} = \frac{4}{4+4+2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल सीमा $0 + \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$ है।

(B) सीमा (limit) का मूल्यांकन करने के लिए हम स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) का उपयोग करते हैं।
हम जानते हैं कि सभी $x \neq 0$ के लिए,$-1 \leq \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq 1$ होता है।
असमिका को $x^2$ से गुणा करने पर (चूंकि $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ है),हमें प्राप्त होता है:
$-x^2 \leq x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq x^2$.
अब,दोनों पक्षों में $x \rightarrow 0$ सीमा लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2$.
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) = 0$ और $\lim _{x \rightarrow 0} x^2 = 0$,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) = 0$ है।

(A) दिया गया है कि $f$ एक वर्धमान फलन है और सभी $x \in R^{+}$ के लिए $f(x) > 0$ है।
हमें दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9 x)}{f(3 x)}=1$ है।
चूंकि $f$ एक वर्धमान फलन है,किसी भी $x > 0$ के लिए,हमारे पास असमिका है:
$3x < 6x < 9x$
$\Rightarrow f(3x) < f(6x) < f(9x)$
पूरी असमिका को $f(3x)$ (जो धनात्मक है) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f(3x)}{f(3x)} < \frac{f(6x)}{f(3x)} < \frac{f(9x)}{f(3x)}$
$1 < \frac{f(6x)}{f(3x)} < \frac{f(9x)}{f(3x)}$
अब,सभी पक्षों पर $x \rightarrow \infty$ की सीमा लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} 1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9x)}{f(3x)}$
$1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} \leq 1$
सैंडविच प्रमेय (Sandwich Theorem) द्वारा,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} = 1$.

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$y - 1 < [y] \leq y$ होता है।
$y = \frac{q}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{q}{x} - 1 < \left[ \frac{q}{x} \right] \leq \frac{q}{x}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x}{p}$ से गुणा करने पर (मान लें $x > 0$ और $p > 0$),हमें $\frac{x}{p} \left( \frac{q}{x} - 1 \right) < \frac{x}{p} \left[ \frac{q}{x} \right] \leq \frac{x}{p} \left( \frac{q}{x} \right)$ मिलता है।
यह सरल होकर $\frac{q}{p} - \frac{x}{p} < \frac{x}{p} \left[ \frac{q}{x} \right] \leq \frac{q}{p}$ हो जाता है।
जब $x \rightarrow 0^{+}$ हो,तो स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) का उपयोग करने पर,मान $\frac{q}{p}$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x-1 < [x] \leq x$ होता है।
$x = n\sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n\sqrt{2}-1 < [n\sqrt{2}] \leq n\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
पूरी असमिका को $n$ से विभाजित करने पर,$\frac{n\sqrt{2}-1}{n} < \frac{[n\sqrt{2}]}{n} \leq \frac{n\sqrt{2}}{n}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sqrt{2} - \frac{1}{n} < \frac{[n\sqrt{2}]}{n} \leq \sqrt{2}$ हो जाता है।
जब $n \rightarrow \infty$ हो,तो सीमा लेने पर $\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2} - \frac{1}{n}) = \sqrt{2}$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{2} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{[n\sqrt{2}]}{n} = \sqrt{2}$।

(A) हमें $\lim_{x \rightarrow 0} x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ होता है,इसलिए $-1 \leq \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right) \leq 1$ होगा।
$x$ से गुणा करने पर (मान लीजिए $x > 0$): $-x \leq x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right) \leq x$।
जैसे ही $x \rightarrow 0^+$,$-x$ और $x$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं। स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \rightarrow 0^+} x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right) = 0$।
$x < 0$ के लिए,$x = -h$ लें जहाँ $h > 0$। जैसे ही $x \rightarrow 0^-$,$h \rightarrow 0^+$।
व्यंजक $\lim_{h \rightarrow 0^+} (-h) \sin \left(e^{-\frac{1}{h}}\right)$ बन जाता है।
जैसे ही $h \rightarrow 0^+$,$e^{-\frac{1}{h}} \rightarrow e^{-\infty} = 0$,इसलिए $\sin \left(e^{-\frac{1}{h}}\right) \rightarrow \sin(0) = 0$।
अतः,$\lim_{h \rightarrow 0^+} (-h) \cdot 0 = 0$।
चूंकि बायां सीमा और दायां सीमा दोनों $0$ हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व है और यह $0$ के बराबर है।