Section Formula Questions in Gujarati

(C) અંતઃવિભાજન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ થાય.
અહીં બિંદુઓ $(a, b)$ અને $(5, 7)$ છે,ગુણોત્તર $2:1$ છે અને વિભાજન બિંદુ $(4, 6)$ છે.
$x$-યામ માટે: $\frac{2(5) + 1(a)}{2 + 1} = 4$ $\Rightarrow \frac{10 + a}{3} = 4$ $\Rightarrow 10 + a = 12$ $\Rightarrow a = 2$.
$y$-યામ માટે: $\frac{2(7) + 1(b)}{2 + 1} = 6$ $\Rightarrow \frac{14 + b}{3} = 6$ $\Rightarrow 14 + b = 18$ $\Rightarrow b = 4$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 4$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ રેખાખંડનું $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$-યામ માટે:
$\frac{k(-7) + 1(3)}{k + 1} = \frac{1}{2}$
$-14k + 6 = k + 1$
$5 = 15k$
$k = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$
અહીં $k$ ધન હોવાથી,વિભાજન $1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન છે.

(D) આપેલ બિંદુઓ $(a, b)$,$(c, d)$ અને $P = \left( \frac{kc + la}{k + l}, \frac{kd + lb}{k + l} \right)$ છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$ થાય છે.
અહીં,બિંદુ $P$ એ $(a, b)$ અને $(c, d)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:l$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,બિંદુ $P$ એ $(a, b)$ અને $(c, d)$ ને જોડતી રેખા પર આવેલું હોવાથી,ત્રણેય બિંદુઓ સમરેખ છે.

(A) આપેલ છે કે $AB = 3AM$. $A-M-B$ હોવાથી,$AB = AM + MB$ થાય.
$AB$ ની કિંમત મૂકતા,$AM + MB = 3AM$,જેનો અર્થ છે કે $MB = 2AM$.
આમ,ગુણોત્તર $AM : MB = 1 : 2$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$M(x, y)$ જે $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$x = \frac{1(4) + 2(2)}{1+2} = \frac{8}{3}$.
$y = \frac{1(2) + 2(4)}{1+2} = \frac{10}{3}$.
તેથી,$M$ ના યામ $\left( \frac{8}{3}, \frac{10}{3} \right)$ છે.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n} \right)$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$,$(x_2, y_2, z_2) = (3, -5, 6)$,$m = 3$,અને $n = -5$ છે.
ગુણોત્તરનો સરવાળો $m + n = 3 - 5 = -2$ થાય છે.
$x$-યામની ગણતરી: $x = \frac{3(3) + (-5)(1)}{-2} = \frac{9 - 5}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$.
$y$-યામની ગણતરી: $y = \frac{3(-5) + (-5)(2)}{-2} = \frac{-15 - 10}{-2} = \frac{-25}{-2} = \frac{25}{2}$.
$z$-યામની ગણતરી: $z = \frac{3(6) + (-5)(3)}{-2} = \frac{18 - 15}{-2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$.
આમ,બિંદુ $\left( -2, \frac{25}{2}, -\frac{3}{2} \right)$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(A) બિંદુ $A(x_1, y_1, z_1)$ અને $B(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના યામ શોધવાનું સૂત્ર:
$P = \left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n} \right)$
અહીં $A(1, 2, -1)$,$B(-1, 0, 1)$,$m = 1$ અને $n = 2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{1(-1) - 2(1)}{1 - 2} = \frac{-1 - 2}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3$
$y = \frac{1(0) - 2(2)}{1 - 2} = \frac{0 - 4}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$
$z = \frac{1(1) - 2(-1)}{1 - 2} = \frac{1 + 2}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(3, 4, -3)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $C(5, 4, -6)$ એ $A(9, 8, -10)$ અને $B(3, 2, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$C = \left( \frac{3k + 9}{k + 1}, \frac{2k + 8}{k + 1}, \frac{-4k - 10}{k + 1} \right)$
$x$-યામને $5$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3k + 9}{k + 1} = 5$
$3k + 9 = 5k + 5$
$4 = 2k$
$k = 2$
આમ,ગુણોત્તર $k:1$ એ $2:1$ છે.
તેથી,બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, -1, 3)$ અને $B(4, 3, 1)$ છે. ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 3 : 4$ છે.
અંતઃવિભાજન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} = \frac{3(4) + 4(2)}{3 + 4} = \frac{12 + 8}{7} = \frac{20}{7}$
$y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} = \frac{3(3) + 4(-1)}{3 + 4} = \frac{9 - 4}{7} = \frac{5}{7}$
$z = \frac{m_1 z_2 + m_2 z_1}{m_1 + m_2} = \frac{3(1) + 4(3)}{3 + 4} = \frac{3 + 12}{7} = \frac{15}{7}$
આમ,બિંદુના યામ $(\frac{20}{7}, \frac{5}{7}, \frac{15}{7})$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $xy$-સમતલ બિંદુઓ $P(a, b, c)$ અને $Q(-a, -c, -b)$ ને જોડતા રેખાખંડને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન કરતા બિંદુના યામ:
$\left( \frac{k(-a) + 1(a)}{k+1}, \frac{k(-c) + 1(b)}{k+1}, \frac{k(-b) + 1(c)}{k+1} \right)$
બિંદુ $xy$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $z$-યામ $0$ થાય:
$\frac{-kb + c}{k+1} = 0$
આથી,$-kb + c = 0$ અથવા $kb = c$.
તેથી,$k = \frac{c}{b}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $c:b$ છે.

(C) ધારો કે $yz$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 4, 5)$ અને $B(3, 5, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,વિભાજન કરતા બિંદુના યામ $\left( \frac{3k+2}{k+1}, \frac{5k+4}{k+1}, \frac{-4k+5}{k+1} \right)$ થાય.
આ બિંદુ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{3k+2}{k+1} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $3k + 2 = 0$,તેથી $k = -\frac{2}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $-\frac{2}{3}:1$ એટલે કે $-2:3$ છે.

(B) ધારો કે $AD$ એ ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક છે,જ્યાં $D$ એ $BC$ પર આવેલું છે. બિંદુ $D$ એ $BC$ નું $AB : AC$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$\vec{AB} = (2-4, 3-7, 4-8) = (-2, -4, -4) \implies |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{AC} = (2-4, 5-7, 7-8) = (-2, -2, -1) \implies |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
ગુણોત્તર $AB : AC = 6 : 3 = 2 : 1$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ:
$D = \frac{1 \cdot B + 2 \cdot C}{1 + 2} = \frac{(2, 3, 4) + 2(2, 5, 7)}{3} = \frac{(6, 13, 18)}{3} = (2, \frac{13}{3}, 6)$.
હવે,દ્વિભાજક $AD$ ની લંબાઈ એ $A(4, 7, 8)$ અને $D(2, \frac{13}{3}, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$|AD| = \sqrt{(2-4)^2 + (\frac{13}{3} - 7)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{4 + (-\frac{8}{3})^2 + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2\sqrt{34}}{3}$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 4, 5)$ અને $B(3, 5, -4)$ છે. ગુણોત્તર $m : n = -2 : 3$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P(x, y, z)$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{(-2)(3) + (3)(2)}{-2 + 3} = \frac{-6 + 6}{1} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{(-2)(5) + (3)(4)}{-2 + 3} = \frac{-10 + 12}{1} = 2$
$z = \frac{mz_2 + nz_1}{m + n} = \frac{(-2)(-4) + (3)(5)}{-2 + 3} = \frac{8 + 15}{1} = 23$
બિંદુના યામ $(0, 2, 23)$ છે.
અહીં $x$-યામ $0$ હોવાથી,આ બિંદુ $YOZ$ સમતલ પર આવેલું છે.

(A) બિંદુ $A(x_1, y_1, z_1)$ અને $B(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m : n$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરતા બિંદુના યામ શોધવાનું સૂત્ર:
$\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n} \right)$
અહીં,$A = (1, 2, -1)$,$B = (-1, 0, 1)$,$m = 1$,અને $n = 2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{1(-1) - 2(1)}{1 - 2} = \frac{-1 - 2}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3$
$y = \frac{1(0) - 2(2)}{1 - 2} = \frac{0 - 4}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$
$z = \frac{1(1) - 2(-1)}{1 - 2} = \frac{1 + 2}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$
આમ,બિંદુના યામ $(3, 4, -3)$ છે.

(A) ધારો કે $yz$-સમતલ બિંદુઓ $A(-2, 4, 7)$ અને $B(3, -5, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(7)}{k+1} \right)$
બિંદુ $P$ એ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થશે:
$\frac{3k - 2}{k + 1} = 0$
$k$ માટે ઉકેલતા:
$3k - 2 = 0$
$3k = 2$
$k = \frac{2}{3}$
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $k : 1 = 2 : 3$ છે.

(C) વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $A$ ના યામ: $A = \left( \frac{3k - 5}{k + 1}, \frac{5k + 1}{k + 1} \right)$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $ = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \left| \frac{3k - 5}{k + 1}(5 - (-2)) + 1(-2 - \frac{5k + 1}{k + 1}) + 7(\frac{5k + 1}{k + 1} - 5) \right| = 2$.
સાદુરૂપ આપતા:
$|14k - 66| = 4|k + 1|$.
કિસ્સો $1$: $14k - 66 = 4k + 4 \Rightarrow k = 7$.
કિસ્સો $2$: $14k - 66 = -4k - 4 \Rightarrow k = 31/9$.
આમ,$k = 7$ અથવા $k = 31/9$.

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(5, -1)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{2(x) + 3(11)}{2+3} \implies 5 = \frac{2x + 33}{5} \implies 25 = 2x + 33 \implies 2x = -8 \implies x = -4$
$-1 = \frac{2(y) + 3(-3)}{2+3} \implies -1 = \frac{2y - 9}{5} \implies -5 = 2y - 9 \implies 2y = 4 \implies y = 2$
તેથી,બિંદુ $B$ ના યામ $(-4, 2)$ છે.

(A) ધારો કે $x$-અક્ષ બિંદુઓ $A(3, 4)$ અને $B(5, 6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $P(x, 0)$ આગળ વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ નો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}$
બિંદુ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ છે.
$0 = \frac{k(6) + 1(4)}{k + 1}$
$0 = 6k + 4$
$6k = -4$
$k = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$
આમ,ગુણોત્તર $-2:3$ અથવા $-\frac{2}{3}$ છે.

(A) ધારો કે ગુણોત્તર $k : 1$ છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ $(\frac{kx_2 + x_1}{k+1}, \frac{ky_2 + y_1}{k+1})$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(8, 4)$ અને $(9, 6)$ છે,અને વિભાજન કરતું બિંદુ $(5, -2)$ છે.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{9k + 8}{k+1} = 5$.
$9k + 8 = 5k + 5$.
$4k = -3$.
$k = -\frac{3}{4}$.
$k$ ઋણ હોવાથી,વિભાજન $3 : 4$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય છે.

(A) ધારો કે $P(x, y, z)$ એ બિંદુઓ $A(1, -2, 3)$ અને $B(3, 4, -5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:3$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2(3) + 3(1)}{2+3} = \frac{9}{5}$
$y = \frac{2(4) + 3(-2)}{2+3} = \frac{2}{5}$
$z = \frac{2(-5) + 3(3)}{2+3} = -\frac{1}{5}$
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left(\frac{9}{5}, \frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -2, 3)$ અને $B(3, 4, -5)$ છે. બિંદુ $P(x, y, z)$ રેખાખંડ $AB$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બહારની તરફ વિભાજન માટેનું સૂત્ર:
$x = \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, y = \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, z = \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}$
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{2(3) - 3(1)}{2 - 3} = -3$
$y = \frac{2(4) - 3(-2)}{2 - 3} = -14$
$z = \frac{2(-5) - 3(3)}{2 - 3} = 19$
આમ,બિંદુના યામ $(-3, -14, 19)$ છે.

(N/A) ધારો કે બિંદુઓ $A(-4, 6, 10)$,$B(2, 4, 6)$ અને $C(14, 0, -2)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \left( \frac{2k - 4}{k + 1}, \frac{4k + 6}{k + 1}, \frac{6k + 10}{k + 1} \right)$
બિંદુઓ સમરેખ હોવા માટે,બિંદુ $C$ એ $k$ ની કોઈ કિંમત માટે બિંદુ $P$ સાથે સંપાતી હોવું જોઈએ.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{2k - 4}{k + 1} = 14$
$2k - 4 = 14k + 14 \implies -12k = 18 \implies k = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}$
હવે,$k = -\frac{3}{2}$ માટે $y$-યામ તપાસીએ:
$\frac{4(-\frac{3}{2}) + 6}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-6 + 6}{-\frac{1}{2}} = 0$
હવે,$k = -\frac{3}{2}$ માટે $z$-યામ તપાસીએ:
$\frac{6(-\frac{3}{2}) + 10}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-9 + 10}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$
યામ બિંદુ $C(14, 0, -2)$ સાથે બંધબેસતા હોવાથી,બિંદુ $C$ એ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે.
આમ,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(B) ધારો કે $A, B, C$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે જેના યામ અનુક્રમે $(x_{1}, y_{1}, z_{1}), (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ અને $(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ છે.
ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ $\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}, \frac{z_{2}+z_{3}}{2}\right)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યગા $AD$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$G$ ના યામ $\left(\frac{2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) + x_{1}}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) + y_{1}}{2+1}, \frac{2\left(\frac{z_{2}+z_{3}}{2}\right) + z_{1}}{2+1}\right)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $YZ$-સમતલ બિંદુઓ $A(4, 8, 10)$ અને $B(6, 10, -8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $P$ બિંદુએ $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $\left(\frac{6k+4}{k+1}, \frac{10k+8}{k+1}, \frac{-8k+10}{k+1}\right)$ મળે છે.
$P$ એ $YZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{6k+4}{k+1} = 0$.
આથી $6k + 4 = 0$,એટલે કે $k = -\frac{2}{3}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિભાજન બહિઃવિભાજન છે.
આમ,$YZ$-સમતલ રેખાખંડનું $2:3$ ગુણોત્તરમાં બહિઃવિભાજન કરે છે.

(A) બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુ $R$ ના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$
આપેલ બિંદુઓ $P(-2, 3, 5)$ અને $Q(1, -4, 6)$ છે અને ગુણોત્તર $m:n = 2:3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{2(1) + 3(-2)}{2+3} = \frac{2 - 6}{5} = -\frac{4}{5}$
$y = \frac{2(-4) + 3(3)}{2+3} = \frac{-8 + 9}{5} = \frac{1}{5}$
$z = \frac{2(6) + 3(5)}{2+3} = \frac{12 + 15}{5} = \frac{27}{5}$
આમ,જરૂરી બિંદુના યામ $\left(-\frac{4}{5}, \frac{1}{5}, \frac{27}{5}\right)$ છે.

(A) બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ ના યામ શોધવાનું સૂત્ર:
$\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m-n}\right)$
અહીં $P(-2, 3, 5)$,$Q(1, -4, 6)$ અને ગુણોત્તર $m:n = 2:3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{2(1) - 3(-2)}{2-3} = -8$
$y = \frac{2(-4) - 3(3)}{2-3} = 17$
$z = \frac{2(6) - 3(5)}{2-3} = 3$
આમ,માંગેલ બિંદુના યામ $(-8, 17, 3)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $Q(5, 4, -6)$ એ બિંદુઓ $P(3, 2, -4)$ અને $R(9, 8, -10)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$Q$ ના યામ:
$Q = \left( \frac{k(9) + 3}{k + 1}, \frac{k(8) + 2}{k + 1}, \frac{k(-10) - 4}{k + 1} \right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{9k + 3}{k + 1} = 5$
$9k + 3 = 5k + 5$
$4k = 2$
$k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $\frac{1}{2}: 1$ એટલે કે $1: 2$ છે.
તેથી,બિંદુ $Q$ એ $PR$ નું $1: 2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(A) ધારો કે $YZ$-સમતલ બિંદુઓ $A(-2, 4, 7)$ અને $B(3, -5, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,છેદબિંદુ $P$ ના યામ $\left(\frac{3k - 2}{k + 1}, \frac{-5k + 4}{k + 1}, \frac{8k + 7}{k + 1}\right)$ છે.
$YZ$-સમતલ પર હોવાથી,$x$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{3k - 2}{k + 1} = 0$.
આથી $3k - 2 = 0$,એટલે કે $k = \frac{2}{3}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2: 3$ છે.

(N/A) ધારો કે બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$AB$ નું વિભાજન કરતા બિંદુના યામ $\left(\frac{k(-1) + 2}{k+1}, \frac{k(2) - 3}{k+1}, \frac{k(1) + 4}{k+1}\right)$ છે.
આને બિંદુ $C(0, \frac{1}{3}, 2)$ ના યામ સાથે સરખાવતા:
$\frac{-k+2}{k+1} = 0 \implies -k+2 = 0 \implies k = 2$.
હવે,$k=2$ માટે અન્ય યામો તપાસતા:
$y$-યામ: $\frac{2(2)-3}{2+1} = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3}$.
$z$-યામ: $\frac{2(1)+4}{2+1} = \frac{6}{3} = 2$.
જેથી,$k=2$ માટે યામો સમાન હોવાથી,બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે અને તેનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ એ $P(4, 2, -6)$ અને $Q(10, -16, 6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું ત્રિભાગ કરતા બિંદુઓ છે.
બિંદુ $A$ એ $PQ$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,વિભાજન સૂત્ર મુજબ,બિંદુ $A$ ના યામ:
$A = \left(\frac{1(10) + 2(4)}{1 + 2}, \frac{1(-16) + 2(2)}{1 + 2}, \frac{1(6) + 2(-6)}{1 + 2}\right) = (6, -4, -2)$
બિંદુ $B$ એ $PQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,વિભાજન સૂત્ર મુજબ,બિંદુ $B$ ના યામ:
$B = \left(\frac{2(10) + 1(4)}{2 + 1}, \frac{2(-16) + 1(2)}{2 + 1}, \frac{2(6) + 1(-6)}{2 + 1}\right) = (8, -10, 2)$
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(6, -4, -2)$ અને $(8, -10, 2)$ છે.

(A) બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ $P(2, -3, 4)$ અને $Q(8, 0, 10)$ આપેલા છે.
ધારો કે $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,બિંદુ $R$ ના યામ $\left(\frac{8k+2}{k+1}, \frac{-3}{k+1}, \frac{10k+4}{k+1}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે બિંદુ $R$ નો $x$-યામ $4$ છે.
$\therefore \frac{8k+2}{k+1} = 4$
$\Rightarrow 8k + 2 = 4k + 4$
$\Rightarrow 4k = 2$
$\Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ ની કિંમત $R$ ના યામમાં મૂકતા:
$y$-યામ: $\frac{-3}{\frac{1}{2} + 1} = -2$.
$z$-યામ: $\frac{10(\frac{1}{2}) + 4}{\frac{1}{2} + 1} = 6$.
આમ,બિંદુ $R$ ના યામ $(4, -2, 6)$ છે.

(N/A) ધારો કે $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ એ રેખાખંડ $AB$ નું ત્રિભાગ કરતા બિંદુઓ છે.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું હોવાથી:
$P = \left(\frac{1(5) + 2(2)}{1 + 2}, \frac{1(-8) + 2(1)}{1 + 2}, \frac{1(3) + 2(-3)}{1 + 2}\right)$
$P = \left(\frac{9}{3}, \frac{-6}{3}, \frac{-3}{3}\right) = (3, -2, -1)$
બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું હોવાથી:
$Q = \left(\frac{2(5) + 1(2)}{2 + 1}, \frac{2(-8) + 1(1)}{2 + 1}, \frac{2(3) + 1(-3)}{2 + 1}\right)$
$Q = \left(\frac{12}{3}, \frac{-15}{3}, \frac{3}{3}\right) = (4, -5, 1)$
આમ,બિંદુઓના યામ $(3, -2, -1)$ અને $(4, -5, 1)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $QR$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \left( \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{-2\lambda + 1}{\lambda + 1} \right)$.
આપેલ છે કે $P$ નો $x-$યામ $4$ છે,તેથી:
$\frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1} = 4$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$5\lambda + 2 = 4(\lambda + 1) \Rightarrow 5\lambda + 2 = 4\lambda + 4 \Rightarrow \lambda = 2$.
હવે,$z-$યામના સૂત્રમાં $\lambda = 2$ મૂકતા:
$z = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-4 + 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$.
આમ,બિંદુનો $z-$યામ $-1$ છે.

(2:3) આપેલા બિંદુઓ $A (1,-2,-8), B (5,0,-2)$ અને $C (11,3,7)$ છે.
$\overrightarrow{AB} = (5-1)\hat{i} + (0+2)\hat{j} + (-2+8)\hat{k} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = (11-5)\hat{i} + (3-0)\hat{j} + (7+2)\hat{k} = 6\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = (11-1)\hat{i} + (3+2)\hat{j} + (7+8)\hat{k} = 10\hat{i} + 5\hat{j} + 15\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{16+4+36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{36+9+81} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{10^2 + 5^2 + 15^2} = \sqrt{100+25+225} = \sqrt{350} = 5\sqrt{14}$.
અહીં $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|$ હોવાથી,બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ સમરેખ છે.
ધારો કે બિંદુ $B$ એ $AC$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{b} = \frac{\lambda\vec{c} + 1\vec{a}}{\lambda + 1}$.
$5\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k} = \frac{\lambda(11\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}) + (1\hat{i} - 2\hat{j} - 8\hat{k})}{\lambda + 1}$.
$\hat{j}$ ઘટકોને સરખાવતા:
$0 = \frac{3\lambda - 2}{\lambda + 1} \Rightarrow 3\lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$C = \left( \frac{k(2) + 1(1)}{k+1}, \frac{k(-1) + 1(0)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(1)}{k+1} \right)$
આપેલ છે કે $C = (3, -2, 5)$,તેથી $x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{2k + 1}{k+1} = 3$
$2k + 1 = 3k + 3$
$2k - 3k = 3 - 1$
$-k = 2$
$k = -2$
આમ,ગુણોત્તર $-2: 1$ છે.

(D) ત્રિભાગ બિંદુઓ રેખાખંડ $AB$ નું $1:2$ અને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ છે,જ્યાં $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં અને $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુનો $z$-યામ $\frac{mz_2 + nz_1}{m+n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$z_1$ માટે (ગુણોત્તર $1:2$):
$z_1 = \frac{1(6) + 2(4)}{1 + 2} = \frac{6 + 8}{3} = \frac{14}{3}$.
$z_2$ માટે (ગુણોત્તર $2:1$):
$z_2 = \frac{2(6) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{12 + 4}{3} = \frac{16}{3}$.
તેથી,$z_1 + z_2 = \frac{14}{3} + \frac{16}{3} = \frac{30}{3} = 10$.

(A) $\because AD$ એ $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે.
$\Rightarrow \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$
હવે,
$AB = \sqrt{(5-7)^2 + (4-6)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}$
$AC = \sqrt{(3-7)^2 + (2-6)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{16+16+16} = 4\sqrt{3}$
$\Rightarrow \frac{BD}{CD} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow D$ એ $BC$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
$\Rightarrow D = \left(\frac{1(3) + 2(5)}{1+2}, \frac{1(2) + 2(4)}{1+2}, \frac{1(0) + 2(6)}{1+2}\right)$
$\Rightarrow D = \left(\frac{13}{3}, \frac{10}{3}, 4\right)$

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(3,-2,2)$ અને $B(6,-17,-4)$ છે. ધારો કે $P(2,3,4)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{6\lambda + 3}{\lambda + 1}$
$2\lambda + 2 = 6\lambda + 3$
$-4\lambda = 1 \implies \lambda = -\frac{1}{4}$.
$P$ નું હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $Q$ એ $AB$ ને $-\lambda : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $1 : 4$ ના ગુણોત્તરમાં.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ $Q$ ના યામ:
$Q = \left( \frac{1(6) + 4(3)}{1+4}, \frac{1(-17) + 4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4) + 4(2)}{1+4} \right)$
$Q = \left( \frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5} \right)$.

(D) ધારો કે $O$ લંબકેન્દ્ર $(3, -4, 2)$ છે અને $C$ પરિકેન્દ્ર $(2, 1, 3)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left(\frac{1(3) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(-4) + 2(1)}{1+2}, \frac{1(2) + 2(3)}{1+2}\right)$
$G = \left(\frac{3+4}{3}, \frac{-4+2}{3}, \frac{2+6}{3}\right)$
$G = \left(\frac{7}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{8}{3}\right)$

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ જેનો $x$-યામ $3$ છે,તે $A(6, 5)$ અને $B(-1, 4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}$
$3 = \frac{\lambda(-1) + 1(6)}{\lambda + 1}$
$3(\lambda + 1) = -\lambda + 6$
$3\lambda + 3 = -\lambda + 6$
$4\lambda = 3$
$\lambda = \frac{3}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $\lambda: 1$ એ $3: 4$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(3,-2,2)$ અને $B(6,-17,-4)$ છે. ધારો કે $P(2,3,4)$ એ $AB$ ને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(2,3,4) = \left(\frac{6k+3}{k+1}, \frac{-17k-2}{k+1}, \frac{-4k+2}{k+1}\right)$.
$x$-યામ સરખાવતા: $2 = \frac{6k+3}{k+1}$ $\Rightarrow 2k+2 = 6k+3$ $\Rightarrow -4k = 1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{4}$.
હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $Q$ એ $AB$ ને $-k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $\frac{1}{4}:1$ એટલે કે $1:4$ બાહ્ય વિભાજન છે.
$Q$ ના યામ: $\left(\frac{1(6)+4(3)}{1+4}, \frac{1(-17)+4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4)+4(2)}{1+4}\right)$.
ગણતરી કરતા: $Q = \left(\frac{6+12}{5}, \frac{-17-8}{5}, \frac{-4+8}{5}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.

(B) ધારો કે માંગેલ બિંદુ $P$ છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, 1)$,$(x_2, y_2, z_2) = (-2, 3, 11)$,$m = 2$,અને $n = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \left(\frac{2(-2) + 3(3)}{2+3}, \frac{2(3) + 3(-2)}{2+3}, \frac{2(11) + 3(1)}{2+3}\right)$
$P = \left(\frac{-4 + 9}{5}, \frac{6 - 6}{5}, \frac{22 + 3}{5}\right)$
$P = \left(\frac{5}{5}, \frac{0}{5}, \frac{25}{5}\right)$
$P = (1, 0, 5)$

(D) આપેલ છે કે $P=(3,12,4)$ અને $O=(0,0,0)$.
અંતર $OP = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
$Q$ એ $OP$ પર હોવાથી અને $OQ=3$ હોવાથી,$Q$ એ $OP$ નું $3 : 10$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ ના યામ $\left( \frac{9}{13}, \frac{36}{13}, \frac{12}{13} \right)$ મળે છે.
યામોનો સરવાળો $= \frac{9+36+12}{13} = \frac{57}{13}$.

(B) પ્રથમ,$\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{6}$,$AC = 2\sqrt{6}$,$BC = \sqrt{26}$
$AD$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,તે $BC$ ને $AB:AC = 1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ $\left( \frac{1}{3}, 0, \frac{4}{3} \right)$ મળે છે.
$AD$ ની લંબાઈ $\sqrt{(1 - 1/3)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 4/3)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{3}$ થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, -5, 3)$ અને $B(-1, -8, 0)$ છે. બિંદુ $P(0, -7, 1)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0 = \frac{k(-1) + 1(2)}{k+1} \implies -k + 2 = 0 \implies k = 2$.
આમ,$P$ એ $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
કારણ કે $Q$ એ $AB$ ના સંદર્ભમાં $P$ નું હાર્મોનિક કોન્જુગેટ છે,તેથી $Q$ એ $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.
$Q(\alpha, \beta, \gamma)$ માટે બહિર્વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{2(-1) - 1(2)}{2-1} = -2 - 2 = -4$.
$\beta = \frac{2(-8) - 1(-5)}{2-1} = -16 + 5 = -11$.
$\gamma = \frac{2(0) - 1(3)}{2-1} = 0 - 3 = -3$.
આમ,$Q = (-4, -11, -3)$.
આપણે $\alpha - \beta + \gamma = -4 - (-11) + (-3) = -4 + 11 - 3 = 4$ મેળવીએ છીએ.

(A) આપેલ બિંદુઓ $P(\alpha, 4, 7)$ અને $Q(3, \beta, 8)$ છે.
$YZ$-સમતલ $PQ$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી વિભાજન બિંદુનો $x$-યામ શૂન્ય થાય.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ: $\frac{2(3) + 3(\alpha)}{2+3} = 0 \Rightarrow 6 + 3\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -2$.
$ZX$-સમતલ $PQ$ નું $4:5$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી વિભાજન બિંદુનો $y$-યામ શૂન્ય થાય.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ: $\frac{4(\beta) + 5(4)}{4+5} = 0 \Rightarrow 4\beta + 20 = 0 \Rightarrow \beta = -5$.
આમ,બિંદુઓ $P(-2, 4, 7)$ અને $Q(3, -5, 8)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PQ$ ની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-5 - 4)^2 + (8 - 7)^2}$
$PQ = \sqrt{(5)^2 + (-9)^2 + (1)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 81 + 1} = \sqrt{107}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બહારના વિભાજન માટેના સૂત્ર મુજબ બિંદુ $C$ ના યામ:
$C = \left( \frac{k x_2 - x_1}{k - 1}, \frac{k y_2 - y_1}{k - 1}, \frac{k z_2 - z_1}{k - 1} \right)$
$A(1, 2, 3)$ અને $B(3, 4, 7)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$C = \left( \frac{3k - 1}{k - 1}, \frac{4k - 2}{k - 1}, \frac{7k - 3}{k - 1} \right)$
આપેલ છે કે $C = (-3, -2, -5)$,તેથી $x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{3k - 1}{k - 1} = -3$
$3k - 1 = -3(k - 1)$
$3k - 1 = -3k + 3$
$6k = 4$
$k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $k: 1$ એટલે કે $2: 3$ છે.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરતા બિંદુના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}\right)$
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(2, 3, 4)$ અને $(3, -4, 7)$ છે અને ગુણોત્તર $m:n = 2:4$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{2(3) - 4(2)}{2 - 4} = \frac{6 - 8}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
$y = \frac{2(-4) - 4(3)}{2 - 4} = \frac{-8 - 12}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10$
$z = \frac{2(7) - 4(4)}{2 - 4} = \frac{14 - 16}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
આમ,બિંદુના યામ $(1, 10, 1)$ છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $(a, 8, -2)$ એ $(1, 4, 6)$ અને $(5, 2, 10)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m: n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,યામો નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{5m + n}{m + n}$,$y = \frac{2m + 4n}{m + n}$,$z = \frac{10m + 6n}{m + n}$.
$y$-યામને સરખાવતા:
$8 = \frac{2m + 4n}{m + n} \implies 8m + 8n = 2m + 4n \implies 6m = -4n \implies \frac{m}{n} = -\frac{2}{3}$.
$z$-યામને સરખાવતા:
$-2 = \frac{10m + 6n}{m + n} \implies -2m - 2n = 10m + 6n \implies -12m = 8n \implies \frac{m}{n} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$.
બંને સમીકરણો સમાન ગુણોત્તર આપે છે,તેથી $x$-યામનો ઉપયોગ કરીને $a$ શોધીએ:
$a = \frac{5m + n}{m + n} = \frac{5(-\frac{2}{3}) + 1}{(-\frac{2}{3}) + 1} = \frac{-\frac{10}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = -7$.
અંતે,પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$\frac{2m}{n} - \frac{a}{3} = 2(-\frac{2}{3}) - (\frac{-7}{3}) = -\frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

(B) આપેલ બિંદુઓ $A(1, 2, -1)$ અને $B(-1, 0, 1)$ છે. બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $1: 2$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બહારના વિભાજન માટે,$P$ ના યામ $\left( \frac{m_1 x_2 - m_2 x_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1 y_2 - m_2 y_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1 z_2 - m_2 z_1}{m_1 - m_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( \frac{1(-1) - 2(1)}{1 - 2}, \frac{1(0) - 2(2)}{1 - 2}, \frac{1(1) - 2(-1)}{1 - 2} \right)$
$P = \left( \frac{-1 - 2}{-1}, \frac{-4}{-1}, \frac{1 + 2}{-1} \right)$
$P = \left( \frac{-3}{-1}, \frac{-4}{-1}, \frac{3}{-1} \right) = (3, 4, -3)$.
હવે,$Q = (1, 3, -1)$ માટે અંતર $PQ$ શોધીએ:
$PQ = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 3)^2 + (-3 - (-1))^2}$
$PQ = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (-2)^2}$
$PQ = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ એકમ.