Point and Distance formula Questions in Gujarati

(C) $y$-અક્ષથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{x^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $(1, 2, 3)$ ના યામોને સૂત્રમાં મૂકતા:
અંતર $= \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
આમ,બિંદુ $(1, 2, 3)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{10}$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
આપેલા બિંદુઓ $(1, 3, 2)$ અને $(2, 1, 3)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (3 - 2)^2}$
$d = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (1)^2}$
$d = \sqrt{1 + 4 + 1}$
$d = \sqrt{6}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું યામ અક્ષોથી અંતર નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. $x$-અક્ષથી અંતર: $d_x = \sqrt{y^2 + z^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
$2$. $y$-અક્ષથી અંતર: $d_y = \sqrt{x^2 + z^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$3$. $z$-અક્ષથી અંતર: $d_z = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
આમ,અંતર $\sqrt{13}, \sqrt{10}, \sqrt{5}$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $z$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $36$ છે:
$(\sqrt{y^2 + z^2})^2 + (\sqrt{x^2 + z^2})^2 + (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = 36$
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 36$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 36$
$x^2 + y^2 + z^2 = 18$
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ થાય.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે. બિંદુ $P$ એ આપેલા બિંદુઓ $O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PO^2 = PA^2 = PB^2 = PC^2$ થાય.
$x^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - b)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - c)^2$.
$x^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2$ પરથી,આપણને $x^2 = x^2 - 2ax + a^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2ax = a^2$,તેથી $x = \frac{a}{2}$.
તે જ રીતે,$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - b)^2 + z^2$ પરથી,$y = \frac{b}{2}$ મળે.
અને $x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - c)^2$ પરથી,$z = \frac{c}{2}$ મળે.
આમ,બિંદુના યામ $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)$ છે.

(A) આપેલ બિંદુના યામ $(x, y, z) = (3, 4, 5)$ છે.
કોઈ બિંદુ $(x, y, z)$ નું $y$-અક્ષથી લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{x^2 + z^2}$ છે.
સૂત્રમાં $x = 3$ અને $z = 5$ ની કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{3^2 + 5^2}$
$d = \sqrt{9 + 25}$
$d = \sqrt{34}$.

(B) જ્યારે કોઈ બિંદુ $x$-અક્ષને સમાંતર ગતિ કરે છે,ત્યારે $yz$-સમતલથી તેનું અંતર અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ બિંદુ ગતિ કરે છે તેમ $y$ અને $z$ યામ બદલાતા નથી.
માત્ર $x$-યામ બદલાય છે કારણ કે બિંદુ $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા પર ગતિ કરે છે.
તેથી,$y$ અને $z$ ચલ અચળ રહે છે.

(C) બે બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$ અને $B(x_2, y_2, z_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(-1, -1, -1)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-4)^2}$
$AB = \sqrt{4 + 9 + 16}$
$AB = \sqrt{29}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{x^2 + z^2}$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(4, 3, 5)$ માટે,$x = 4$,$y = 3$ અને $z = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$
$d = \sqrt{16 + 25}$
$d = \sqrt{41}$
આમ,અંતર $\sqrt{41}$ છે.

(D) આપેલ બિંદુઓ $A(a, 2, 1), B(1, -1, 1), C(2, -3, 4), D(a+1, a+2, a+3)$ છે.
પ્રથમ,$AB = 5$ ની ગણતરી કરો:
$AB = \sqrt{(a-1)^2 + (2 - (-1))^2 + (1-1)^2} = 5$
$\sqrt{(a-1)^2 + 3^2 + 0} = 5$
$(a-1)^2 + 9 = 25$
$(a-1)^2 = 16$
$a-1 = \pm 4$
$a = 5$ અથવા $a = -3$ $(i)$
ત્યારબાદ,$CD = 6$ ની ગણતરી કરો:
$CD = \sqrt{(a+1-2)^2 + (a+2 - (-3))^2 + (a+3-4)^2} = 6$
$\sqrt{(a-1)^2 + (a+5)^2 + (a-1)^2} = 6$
$(a-1)^2 + (a+5)^2 + (a-1)^2 = 36$
$(a^2 - 2a + 1) + (a^2 + 10a + 25) + (a^2 - 2a + 1) = 36$
$3a^2 + 6a + 27 = 36$
$3a^2 + 6a - 9 = 0$
$a^2 + 2a - 3 = 0$
$(a+3)(a-1) = 0$
$a = -3$ અથવા $a = 1$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ બંને માટે સામાન્ય ઉકેલ $a = -3$ છે.

(A) ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$ અને $(x_4, y_4, z_4)$ શિરોબિંદુઓ માટે $\left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$A(a, 2, 3)$,$B(1, b, 2)$ અને $C(2, 1, c)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, -1)$ આપેલ છે.
યામોને સરખાવતા:
$\frac{a+1+2+0}{4} = 1 \Rightarrow a+3 = 4 \Rightarrow a = 1$.
$\frac{2+b+1+0}{4} = 2 \Rightarrow b+3 = 8 \Rightarrow b = 5$.
$\frac{3+2+c+0}{4} = -1 \Rightarrow c+5 = -4 \Rightarrow c = -9$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(1, 5, -9)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $P$ નું અંતર $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 25 + 81} = \sqrt{107}$ થાય.

(C) બિંદુ $(x, y, z)$ નું ઊગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ છે. $(1, 2, 3)$ માટે,આ $\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ થાય.
બિંદુ $(x, y, z)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2 + z^2}$ છે. $(1, 2, 3)$ માટે,આ $\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ થાય.
બિંદુ $(x, y, z)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + z^2}$ છે. $(1, 2, 3)$ માટે,આ $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ થાય.
બિંદુ $(x, y, z)$ નું $z$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે. $(1, 2, 3)$ માટે,આ $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ થાય.
આમ,બિંદુ $(1, 2, 3)$ એ $y$-અક્ષથી $\sqrt{10}$ ના અંતરે છે.

(A) ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,બિંદુ $P$ નું સ્થાન તેના યામ $(x, y, z)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$yz$-સમતલનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
$yz$-સમતલ માટે,સમીકરણ $1x + 0y + 0z + 0 = 0$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ ના યામને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|1(x) + 0(y) + 0(z) + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}$
$d = \frac{|x|}{1} = |x|$.
આમ,$yz$-સમતલથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $|x|$ છે.

(A) $x$-અક્ષથી બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{y_1^2 + z_1^2}$ છે.
અહીં બિંદુ $P(1, 2, 3)$ આપેલ છે,તેથી $x_1 = 1$,$y_1 = 2$,અને $z_1 = 3$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{2^2 + 3^2}$
$d = \sqrt{4 + 9}$
$d = \sqrt{13}$ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $X$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P\ (x, 0, 0)$ છે.
$P$ એ $A\ (2, -5, 7)$ અને $B\ (1, 3, 6)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - 2)^2 + (0 - (-5))^2 + (0 - 7)^2 = (x - 1)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 6)^2$.
$(x - 2)^2 + 25 + 49 = (x - 1)^2 + 9 + 36$.
$x^2 - 4x + 4 + 74 = x^2 - 2x + 1 + 45$.
$x^2 - 4x + 78 = x^2 - 2x + 46$.
$-4x + 2x = 46 - 78$.
$-2x = -32$.
$x = 16$.
આમ,બિંદુ $P\ (16, 0, 0)$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (3, 4, 5)$ અને $B = (-1, 3, -7)$.
અંતર $PA$ નો વર્ગ $PA^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 10z + 25 = x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 10z + 50$.
અંતર $PB$ નો વર્ગ $PB^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 7)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 + z^2 + 14z + 49 = x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y + 14z + 59$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $PA^2 - PB^2 + 2k^2 = 0$ માં મૂકતા:
$(x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 10z + 50) - (x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y + 14z + 59) + 2k^2 = 0$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$(-6x - 2x) + (-8y + 6y) + (-10z - 14z) + (50 - 59) + 2k^2 = 0$.
$-8x - 2y - 24z - 9 + 2k^2 = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$8x + 2y + 24z = 2k^2 - 9$.

(C) ધારો કે બિંદુના યામ $P(x, y, z)$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2 + z^2}$ છે. આ અંતરનો વર્ગ $y^2 + z^2$ થાય.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + z^2}$ છે. આ અંતરનો વર્ગ $x^2 + z^2$ થાય.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $z$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે. આ અંતરનો વર્ગ $x^2 + y^2$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $36$ છે:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 36$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 36$
$x^2 + y^2 + z^2 = 18$
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમત મૂકતા:
$d = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$.

(A) $z$-અક્ષથી બિંદુ $P(a, b, c)$ નું અંતર એ $P(a, b, c)$ અને $z$-અક્ષ પરના લંબપાદ વચ્ચેનું અંતર છે.
$P(a, b, c)$ માંથી $z$-અક્ષ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(0, 0, c)$ છે.
અંતરના સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2 + (c - c)^2}$
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + 0^2}$
$d = \sqrt{a^2 + b^2}$
આમ,અંતર $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુના યામ $P(x, y, z)$ છે.
બિંદુ $yz$-સમતલમાં હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થશે. તેથી,$P = (0, y, z)$.
યામોનો સરવાળો $y + z = 3$ છે (સમીકરણ $1$).
બિંદુ $(0, y, z)$ નું $xz$-સમતલથી અંતર $|y|$ છે.
બિંદુ $(0, y, z)$ નું $xy$-સમતલથી અંતર $|z|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$xz$-સમતલથી અંતર એ $xy$-સમતલથી અંતર કરતાં બમણું છે,તેથી $|y| = 2|z|$.
કિસ્સો $1$: $y = 2z$.
સમીકરણ $1$ માં કિંમત મૂકતા: $2z + z = 3 \implies 3z = 3 \implies z = 1$.
તેથી $y = 2(1) = 2$.
બિંદુ $(0, 2, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $y = -2z$.
સમીકરણ $1$ માં કિંમત મૂકતા: $-2z + z = 3 \implies -z = 3 \implies z = -3$.
તેથી $y = -2(-3) = 6$.
બિંદુ $(0, 6, -3)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(0, 2, 1)$ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z)$ છે,જેથી $PA = PB = PC = PO$ થાય.
$PO^2 = PA^2$ પરથી,આપણને મળે:
$x^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2$
$x^2 = x^2 - 2ax + a^2$
$2ax = a^2 \implies x = \frac{a}{2}$ (કારણ કે $a \neq 0$).
તે જ રીતે,$PO^2 = PB^2$ પરથી:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - b)^2 + z^2$
$y^2 = y^2 - 2by + b^2$
$2by = b^2 \implies y = \frac{b}{2}$ (કારણ કે $b \neq 0$).
તે જ રીતે,$PO^2 = PC^2$ પરથી:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - c)^2$
$z^2 = z^2 - 2cz + c^2$
$2cz = c^2 \implies z = \frac{c}{2}$ (કારણ કે $c \neq 0$).
તેથી,બિંદુ $P$ ના યામ $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)$ છે.

(A) અહીં બિંદુઓ $P(5, 4, a)$ અને $Q(-1, 2, -2)$ આપેલ છે અને અંતર $PQ = 7$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $PQ^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $7^2 = (-1 - 5)^2 + (2 - 4)^2 + (-2 - a)^2$.
$49 = (-6)^2 + (-2)^2 + (-(2 + a))^2$.
$49 = 36 + 4 + (a + 2)^2$.
$49 = 40 + (a + 2)^2$.
$(a + 2)^2 = 49 - 40 = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $a + 2 = \pm 3$.
કિસ્સો $1$: $a + 2 = 3 \implies a = 1$.
કિસ્સો $2$: $a + 2 = -3 \implies a = -5$.
આમ,$a$ નાં મૂલ્યો $-5$ અને $1$ છે.

(B) બિંદુના યામ $P(a, b, c)$ છે.
બિંદુ $P(a, b, c)$ થી $X-$અક્ષનું લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે બિંદુનો $X-$અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
બિંદુ $P(a, b, c)$ નો $X-$અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $P'(a, 0, 0)$ છે.
$P(a, b, c)$ અને $P'(a, 0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ અંતરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(a - a)^2 + (b - 0)^2 + (c - 0)^2}$
$d = \sqrt{0^2 + b^2 + c^2}$
$d = \sqrt{b^2 + c^2}$
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $\sqrt{b^2 + c^2}$ છે.

(A) બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z) = (2, 4, 5)$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $X$-અક્ષ પરનું અંતર $2$,$Y$-અક્ષ પરનું અંતર $4$ અને $Z$-અક્ષ પરનું અંતર $5$ છે.
બિંદુ $F$ એ $XZ$-સમતલ પર આવેલું છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો $Y$-યામ $0$ છે.
$F$ એ $X$-અક્ષની ઉપર $P$ જેટલી જ ઊંચાઈએ અને $P$ જેટલા જ $X$-અક્ષ પરના અંતરે હોવાથી,તેના યામ $(2, 0, 5)$ થાય છે.

(A) ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$x$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનું $y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષ બંનેથી અંતર $0$ હોય છે.
તેથી,$x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,યામ $(x, 0, 0)$ સ્વરૂપના હોય છે.
આમ,$y$-યામ $0$ છે અને $z$-યામ $0$ છે.

(A) $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ સાથે મળીને જે સમતલ નક્કી કરે છે તેને $XY$-સમતલ કહેવાય છે.

(A) બિંદુઓ $P(1, -3, 4)$ અને $Q(-4, 1, 2)$ વચ્ચેનું અંતર $PQ$ અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
$PQ = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (1 - (-3))^2 + (2 - 4)^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (4)^2 + (-2)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 16 + 4}$
$PQ = \sqrt{45}$
$PQ = 3\sqrt{5} \text{ એકમ}$

બિંદુઓ સમરેખ છે જો તેઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોય.
પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ.
$PQ = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$.
$QR = \sqrt{(7 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
$PR = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 9 + 36} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$.
અહીં $PQ + QR = \sqrt{14} + 2\sqrt{14} = 3\sqrt{14} = PR$ હોવાથી,બે રેખાખંડોની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજા રેખાખંડની લંબાઈ જેટલો થાય છે.
તેથી,બિંદુઓ $P$,$Q$ અને $R$ સમરેખ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
$PA^{2} = (x-3)^{2} + (y-4)^{2} + (z-5)^{2} = x^{2} - 6x + 9 + y^{2} - 8y + 16 + z^{2} - 10z + 25 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50$.
$PB^{2} = (x+1)^{2} + (y-3)^{2} + (z+7)^{2} = x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 6y + 9 + z^{2} + 14z + 49 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59$.
આપેલ શરત $PA^{2} + PB^{2} = 2k^{2}$ મુજબ:
$(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50) + (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59) = 2k^{2}$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 4x - 14y + 4z + 109 = 2k^{2}$.
આમ,$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 4x - 14y + 4z = 2k^{2} - 109$.

(A) બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ વચ્ચેનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}$
આપેલા બિંદુઓ $(2, 3, 5)$ અને $(4, 3, 1)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(4-2)^{2} + (3-3)^{2} + (1-5)^{2}}$
$PQ = \sqrt{(2)^{2} + (0)^{2} + (-4)^{2}}$
$PQ = \sqrt{4 + 0 + 16}$
$PQ = \sqrt{20}$
$PQ = 2 \sqrt{5}$

(A) બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ વચ્ચેનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}$
આપેલા બિંદુઓ $(-3, 7, 2)$ અને $(2, 4, -1)$ છે.
અહીં,$x_{1} = -3, y_{1} = 7, z_{1} = 2$ અને $x_{2} = 2, y_{2} = 4, z_{2} = -1$.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(2 - (-3))^{2} + (4 - 7)^{2} + (-1 - 2)^{2}}$
$PQ = \sqrt{(2 + 3)^{2} + (-3)^{2} + (-3)^{2}}$
$PQ = \sqrt{(5)^{2} + 9 + 9}$
$PQ = \sqrt{25 + 9 + 9}$
$PQ = \sqrt{43}$

(A) બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ વચ્ચેનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}$
આપેલા બિંદુઓ $P(-1, 3, -4)$ અને $Q(1, -3, 4)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(1 - (-1))^{2} + (-3 - 3)^{2} + (4 - (-4))^{2}}$
$d = \sqrt{(1 + 1)^{2} + (-6)^{2} + (4 + 4)^{2}}$
$d = \sqrt{(2)^{2} + (-6)^{2} + (8)^{2}}$
$d = \sqrt{4 + 36 + 64}$
$d = \sqrt{104}$
$d = \sqrt{4 \times 26} = 2 \sqrt{26}$

(A) બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ વચ્ચેનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}$
આપેલા બિંદુઓ $(2, -1, 3)$ અને $(-2, 1, 3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$Distance = \sqrt{(-2 - 2)^{2} + (1 - (-1))^{2} + (3 - 3)^{2}}$
$= \sqrt{(-4)^{2} + (2)^{2} + (0)^{2}}$
$= \sqrt{16 + 4 + 0}$
$= \sqrt{20}$
$= \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$

ધારો કે બિંદુઓ $(-2, 3, 5), (1, 2, 3)$ અને $(7, 0, -1)$ ને અનુક્રમે $P, Q$ અને $R$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
જો બિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ એક જ રેખા પર આવેલા હોય,તો તે સમરેખ છે.
$PQ = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$
$QR = \sqrt{(7 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$
$PR = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 9 + 36} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$
અહીં,$PQ + QR = \sqrt{14} + 2\sqrt{14} = 3\sqrt{14} = PR$ હોવાથી,બિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ સમરેખ છે.

(A) જો કોઈ બિંદુ $y$-અક્ષ પર હોય,તો તેનો $x$-યામ અને $z$-યામ $0$ હોય છે.
ધારો કે બિંદુ $A(0, b, 0)$ છે.
બિંદુ $A(0, b, 0)$ અને $P(3, -2, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $5\sqrt{2}$ આપેલ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AP = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-b)^2 + (5-0)^2} = 5\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(3)^2 + (-2-b)^2 + (5)^2 = (5\sqrt{2})^2$.
$9 + (4 + 4b + b^2) + 25 = 50$.
$b^2 + 4b - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(b + 6)(b - 2) = 0$.
આમ,$b = 2$ અથવા $b = -6$.
તેથી,માંગેલ બિંદુઓના યામ $(0, 2, 0)$ અને $(0, -6, 0)$ છે.

(N/A) ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું સ્થાન નક્કી કરવા માટે:
$1.$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી શરૂઆત કરો.
$2.$ $x$-અક્ષ પર $x$ એકમ અંતર કાપો (ધન કે ઋણ).
$3.$ તે સ્થાનથી,$y$-અક્ષને સમાંતર $y$ એકમ અંતર કાપો.
$4.$ અંતે,$z$-અક્ષને સમાંતર $z$ એકમ અંતર કાપો.
બિંદુઓ નીચે મુજબ દર્શાવેલ છે:
- બિંદુ $A(1, -1, 3)$ એ અષ્ટમાંશમાં છે જ્યાં $x > 0, y < 0, z > 0$ છે.
- બિંદુ $B(-1, 2, 4)$ એ અષ્ટમાંશમાં છે જ્યાં $x < 0, y > 0, z > 0$ છે.
- બિંદુ $C(-2, -4, -7)$ એ અષ્ટમાંશમાં છે જ્યાં $x < 0, y < 0, z < 0$ છે.
- બિંદુ $D(-4, 2, -5)$ એ અષ્ટમાંશમાં છે જ્યાં $x < 0, y > 0, z < 0$ છે.

(N/A) અષ્ટક (octant) નક્કી કરવા માટે યામ $(x, y, z)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:

અષ્ટક	ચિહ્નો $(x, y, z)$
$I$	$(+, +, +)$
$II$	$(-, +, +)$
$III$	$(-, -, +)$
$IV$	$(+, -, +)$
$V$	$(+, +, -)$
$VI$	$(-, +, -)$
$VII$	$(-, -, -)$
$VIII$	$(+, -, -)$

યામના ચિહ્નોના આધારે:
$(i) (1, 2, 3)$ એ $I$ અષ્ટકમાં છે.
$(ii) (4, -2, 3)$ એ $IV$ અષ્ટકમાં છે.
$(iii) (4, -2, -5)$ એ $VIII$ અષ્ટકમાં છે.
$(iv) (4, 2, -5)$ એ $V$ અષ્ટકમાં છે.
$(v) (-4, 2, 5)$ એ $II$ અષ્ટકમાં છે.
$(vi) (-3, -1, 6)$ એ $III$ અષ્ટકમાં છે.
$(vii) (2, -4, -7)$ એ $VIII$ અષ્ટકમાં છે.
$(viii) (-4, 2, -5)$ એ $VI$ અષ્ટકમાં છે.

(N/A) બિંદુ $P(x, y, z)$ માંથી અક્ષો પરના લંબપાદના યામ નીચે મુજબ છે:
- $x$-અક્ષ પર,લંબપાદ $A(x, 0, 0)$ છે.
- $y$-અક્ષ પર,લંબપાદ $B(0, y, 0)$ છે.
- $z$-અક્ષ પર,લંબપાદ $C(0, 0, z)$ છે.
આ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(i)$ $P(3, 4, 2)$ માટે: $A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 2)$.
$(ii)$ $P(-5, 3, 7)$ માટે: $A(-5, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 7)$.
$(iii)$ $P(4, -3, -5)$ માટે: $A(4, 0, 0), B(0, -3, 0), C(0, 0, -5)$.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $xy$-સમતલ પર $z=0$,$yz$-સમતલ પર $x=0$ અને $zx$-સમતલ પર $y=0$ હોય છે.
તેથી,બિંદુ $P(x, y, z)$ માંથી દોરેલા લંબના લંબપાદના યામ $xy$-સમતલ પર $A(x, y, 0)$,$yz$-સમતલ પર $B(0, y, z)$ અને $zx$-સમતલ પર $C(x, 0, z)$ થાય.
$(i)$ $P(3, 4, 5)$ માટે:
$A(3, 4, 0), B(0, 4, 5), C(3, 0, 5)$
(ii) $P(-5, 3, 7)$ માટે:
$A(-5, 3, 0), B(0, 3, 7), C(-5, 0, 7)$
(iii) $P(4, -3, -5)$ માટે:
$A(4, -3, 0), B(0, -3, -5), C(4, 0, -5)$

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A = (2, 0, 0)$ અને $B = (-3, 0, 0)$ છે.
$3D$ અવકાશમાં બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ વચ્ચેના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + 0 + 0}$
$d = \sqrt{25} = 5$
આમ,બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $5$ એકમ છે.

(B) ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
આપેલ બિંદુ $(6, 6, 7)$ માટે કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{6^2 + 6^2 + 7^2}$
$d = \sqrt{36 + 36 + 49}$
$d = \sqrt{121}$
$d = 11$
આમ,ઉગમબિંદુથી બિંદુ $(6, 6, 7)$ નું અંતર $11$ એકમ છે.

(B) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $z$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $242$ છે:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 242$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 242$
$x^2 + y^2 + z^2 = 121$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમત મૂકતા,$d = \sqrt{121} = 11$.
આમ,અંતર $11$ એકમ છે.

(C) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P$ નું $z$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
આપેલ છે કે આ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $324$ છે:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 324$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 324$
$x^2 + y^2 + z^2 = 162$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમત મૂકતા,આપણને $d = \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = 9 \sqrt{2}$ મળે છે.

(A) બિંદુ $P$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
બિંદુ $P$ નું $x$-અક્ષથી અંતર શોધવા માટે,આપણે બિંદુનો $x$-અક્ષ પર પ્રક્ષેપ લઈએ છીએ.
બિંદુ $P(a, b, c)$ નો $x$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ બિંદુ $A(a, 0, 0)$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ છે.
$P(a, b, c)$ અને $A(a, 0, 0)$ ના યામો મૂકતા:
$d = \sqrt{(a-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2}$
$d = \sqrt{0^2 + (-b)^2 + (-c)^2}$
$d = \sqrt{b^2 + c^2}$.

(D) $yz$-સમતલથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર તેના $x$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|x|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $P(-3, 4, 5)$ માટે,$x$-યામ $-3$ છે.
તેથી,$yz$-સમતલથી અંતર $|-3| = 3 \text{ એકમ}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,અષ્ટક બિંદુના યામ $(x, y, z)$ ની નિશાનીઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
બિંદુ $(1, -3, 4)$ માટે,આપણી પાસે $x > 0$,$y < 0$,અને $z > 0$ છે.
અષ્ટકો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$I: (+, +, +)$
$II: (-, +, +)$
$III: (-, -, +)$
$IV: (+, -, +)$
$V: (+, +, -)$
$VI: (-, +, -)$
$VII: (-, -, -)$
$VIII: (+, -, -)$
અહીં નિશાનીઓ $(+, -, +)$ હોવાથી,બિંદુ $(1, -3, 4)$ એ $IV$ અષ્ટકમાં આવેલું છે.

(B) બિંદુ $(x, y, z)$ નું $X, Y, Z$-અક્ષોથી અંતર $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$,$d_2 = \sqrt{x^2 + z^2}$,અને $d_3 = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(1, 2, 3)$ માટે:
$d_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \implies d_1^2 = 13$.
$d_2 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \implies d_2^2 = 10$.
$d_3 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \implies d_3^2 = 5$.
હવે,$2 d_2^2 + d_3^2 + 1$ ની ગણતરી કરતા:
$2(10) + 5 + 1 = 26$.
$d_1^2 = 13$ હોવાથી,$26 = 2 \times 13 = 2 d_1^2$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
બાજુ $a$ વાળા ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $d = a\sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બે બિંદુઓ $(1, -2, 3)$ અને $(2, -3, 5)$ વચ્ચેનું અંતર એ વિકર્ણની લંબાઈ $d$ છે.
$d = \sqrt{(2-1)^2 + (-3 - (-2))^2 + (5-3)^2}$
$d = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$d = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
કારણ કે $d = a\sqrt{2}$,તેથી $a\sqrt{2} = \sqrt{6}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે.
$(a)$ બિંદુ $P$ નું $x$-અક્ષથી લંબ અંતર $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$ છે. તેથી,$d_1^2 = y^2 + z^2$.
$(b)$ બિંદુ $P$ નું $y$-અક્ષથી લંબ અંતર $d_2 = \sqrt{x^2 + z^2}$ છે. તેથી,$d_2^2 = x^2 + z^2$.
$(c)$ બિંદુ $P$ નું $z$-અક્ષથી લંબ અંતર $d_3 = \sqrt{x^2 + y^2}$ છે. તેથી,$d_3^2 = x^2 + y^2$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ છે. તેથી,$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$.
લંબ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = (y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 2(x^2 + y^2 + z^2)$ થાય છે.
આ સરવાળો ઉગમબિંદુથી અંતરના વર્ગના $k$ ગણો આપેલ છે,તેથી $2(x^2 + y^2 + z^2) = k(x^2 + y^2 + z^2)$.
આમ,$k = 2$ મળે છે.