Section Formula Questions in Hindi

(C) आंतरिक विभाजन के लिए अनुभाग सूत्र का उपयोग करते हुए,$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ होते हैं।
दिए गए बिंदु $(a, b)$ और $(5, 7)$ हैं,अनुपात $2:1$ है और विभाजन बिंदु $(4, 6)$ है।
$x$-निर्देशांक के लिए: $\frac{2(5) + 1(a)}{2 + 1} = 4$ $\Rightarrow \frac{10 + a}{3} = 4$ $\Rightarrow 10 + a = 12$ $\Rightarrow a = 2$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $\frac{2(7) + 1(b)}{2 + 1} = 6$ $\Rightarrow \frac{14 + b}{3} = 6$ $\Rightarrow 14 + b = 18$ $\Rightarrow b = 4$.
अतः,$a = 2$ और $b = 4$ है।

(A) माना कि बिंदु रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $x$-निर्देशांक के लिए:
$\frac{k(-7) + 1(3)}{k + 1} = \frac{1}{2}$
$-14k + 6 = k + 1$
$5 = 15k$
$k = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$
चूंकि $k$ धनात्मक है,इसलिए विभाजन $1 : 3$ के अनुपात में आंतरिक है।

(D) दिए गए बिंदु $(a, b)$,$(c, d)$ और $P = \left( \frac{kc + la}{k + l}, \frac{kd + lb}{k + l} \right)$ हैं।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$ होते हैं।
यहाँ,बिंदु $P$,$(a, b)$ और $(c, d)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:l$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $P$,$(a, b)$ और $(c, d)$ को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है,इसलिए तीनों बिंदु संरेख हैं।

(A) दिया गया है $AB = 3AM$। चूंकि $A-M-B$ है,इसलिए $AB = AM + MB$ होगा।
$AB$ का मान रखने पर,$AM + MB = 3AM$,जिसका अर्थ है $MB = 2AM$।
अतः,अनुपात $AM : MB = 1 : 2$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$M(x, y)$ जो $AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$x = \frac{1(4) + 2(2)}{1+2} = \frac{8}{3}$।
$y = \frac{1(2) + 2(4)}{1+2} = \frac{10}{3}$।
इसलिए,$M$ के निर्देशांक $\left( \frac{8}{3}, \frac{10}{3} \right)$ हैं।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का सूत्र $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n} \right)$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$,$(x_2, y_2, z_2) = (3, -5, 6)$,$m = 3$,और $n = -5$ है।
अनुपात का योग $m + n = 3 - 5 = -2$ है।
$x$-निर्देशांक की गणना: $x = \frac{3(3) + (-5)(1)}{-2} = \frac{9 - 5}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$.
$y$-निर्देशांक की गणना: $y = \frac{3(-5) + (-5)(2)}{-2} = \frac{-15 - 10}{-2} = \frac{-25}{-2} = \frac{25}{2}$.
$z$-निर्देशांक की गणना: $z = \frac{3(6) + (-5)(3)}{-2} = \frac{18 - 15}{-2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$.
अतः,बिंदु $\left( -2, \frac{25}{2}, -\frac{3}{2} \right)$ है,जो विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(A) बिंदु $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक का सूत्र है:
$P = \left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n} \right)$
यहाँ $A(1, 2, -1)$,$B(-1, 0, 1)$,$m = 1$ और $n = 2$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{1(-1) - 2(1)}{1 - 2} = \frac{-1 - 2}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3$
$y = \frac{1(0) - 2(2)}{1 - 2} = \frac{0 - 4}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$
$z = \frac{1(1) - 2(-1)}{1 - 2} = \frac{1 + 2}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(3, 4, -3)$ हैं।

(A) माना बिंदु $C(5, 4, -6)$,$A(9, 8, -10)$ और $B(3, 2, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$C$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$C = \left( \frac{3k + 9}{k + 1}, \frac{2k + 8}{k + 1}, \frac{-4k - 10}{k + 1} \right)$
$x$-निर्देशांक को $5$ के बराबर रखने पर:
$\frac{3k + 9}{k + 1} = 5$
$3k + 9 = 5k + 5$
$4 = 2k$
$k = 2$
अतः,अनुपात $k:1$ का मान $2:1$ है।
इसलिए,बिंदु $C$ रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(D) माना बिंदु $A(2, -1, 3)$ और $B(4, 3, 1)$ हैं। अनुपात $m_1 : m_2 = 3 : 4$ है।
आंतरिक विभाजन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} = \frac{3(4) + 4(2)}{3 + 4} = \frac{12 + 8}{7} = \frac{20}{7}$
$y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} = \frac{3(3) + 4(-1)}{3 + 4} = \frac{9 - 4}{7} = \frac{5}{7}$
$z = \frac{m_1 z_2 + m_2 z_1}{m_1 + m_2} = \frac{3(1) + 4(3)}{3 + 4} = \frac{3 + 12}{7} = \frac{15}{7}$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(\frac{20}{7}, \frac{5}{7}, \frac{15}{7})$ हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना कि $xy$-समतल बिंदुओं $P(a, b, c)$ और $Q(-a, -c, -b)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक:
$\left( \frac{k(-a) + 1(a)}{k+1}, \frac{k(-c) + 1(b)}{k+1}, \frac{k(-b) + 1(c)}{k+1} \right)$
चूंकि बिंदु $xy$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $z$-निर्देशांक $0$ होगा:
$\frac{-kb + c}{k+1} = 0$
इसका अर्थ है $-kb + c = 0$ या $kb = c$।
अतः,$k = \frac{c}{b}$।
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $c:b$ है।

(C) माना कि $yz$-समतल बिंदुओं $A(2, 4, 5)$ और $B(3, 5, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,विभाजन करने वाले बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{3k+2}{k+1}, \frac{5k+4}{k+1}, \frac{-4k+5}{k+1} \right)$ होंगे।
चूंकि यह बिंदु $yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$\frac{3k+2}{k+1} = 0$।
इसका अर्थ है $3k + 2 = 0$,जिससे $k = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $-\frac{2}{3}:1$ है,जो कि $-2:3$ है।

(B) माना $AD$,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक है,जहाँ $D$,$BC$ पर स्थित है। बिंदु $D$,$BC$ को $AB : AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$\vec{AB} = (2-4, 3-7, 4-8) = (-2, -4, -4) \implies |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{AC} = (2-4, 5-7, 7-8) = (-2, -2, -1) \implies |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अनुपात $AB : AC = 6 : 3 = 2 : 1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक:
$D = \frac{1 \cdot B + 2 \cdot C}{1 + 2} = \frac{(2, 3, 4) + 2(2, 5, 7)}{3} = \frac{(6, 13, 18)}{3} = (2, \frac{13}{3}, 6)$.
अब,कोण समद्विभाजक $AD$ की लंबाई $A(4, 7, 8)$ और $D(2, \frac{13}{3}, 6)$ के बीच की दूरी है:
$|AD| = \sqrt{(2-4)^2 + (\frac{13}{3} - 7)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{4 + (-\frac{8}{3})^2 + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2\sqrt{34}}{3}$.

(B) माना बिंदु $A(2, 4, 5)$ और $B(3, 5, -4)$ हैं। अनुपात $m : n = -2 : 3$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P(x, y, z)$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{(-2)(3) + (3)(2)}{-2 + 3} = \frac{-6 + 6}{1} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{(-2)(5) + (3)(4)}{-2 + 3} = \frac{-10 + 12}{1} = 2$
$z = \frac{mz_2 + nz_1}{m + n} = \frac{(-2)(-4) + (3)(5)}{-2 + 3} = \frac{8 + 15}{1} = 23$
बिंदु के निर्देशांक $(0, 2, 23)$ हैं।
चूंकि $x$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए यह बिंदु $YOZ$ समतल पर स्थित है।

(A) $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m : n$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक का सूत्र है:
$\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n} \right)$
यहाँ,$A = (1, 2, -1)$,$B = (-1, 0, 1)$,$m = 1$,और $n = 2$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{1(-1) - 2(1)}{1 - 2} = \frac{-1 - 2}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3$
$y = \frac{1(0) - 2(2)}{1 - 2} = \frac{0 - 4}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$
$z = \frac{1(1) - 2(-1)}{1 - 2} = \frac{1 + 2}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$
अतः,निर्देशांक $(3, 4, -3)$ हैं।

(A) माना कि $yz$-समतल बिंदुओं $A(-2, 4, 7)$ और $B(3, -5, 8)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक:
$P = \left( \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(7)}{k+1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$,$yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा:
$\frac{3k - 2}{k + 1} = 0$
$k$ के लिए हल करने पर:
$3k - 2 = 0$
$3k = 2$
$k = \frac{2}{3}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $k : 1 = 2 : 3$ है।

(C) विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $A$ के निर्देशांक: $A = \left( \frac{3k - 5}{k + 1}, \frac{5k + 1}{k + 1} \right)$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $ = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 2$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \left| \frac{3k - 5}{k + 1}(5 - (-2)) + 1(-2 - \frac{5k + 1}{k + 1}) + 7(\frac{5k + 1}{k + 1} - 5) \right| = 2$.
सरलीकरण करने पर:
$|14k - 66| = 4|k + 1|$.
स्थिति $1$: $14k - 66 = 4k + 4 \Rightarrow k = 7$.
स्थिति $2$: $14k - 66 = -4k - 4 \Rightarrow k = 31/9$.
अतः,$k = 7$ या $k = 31/9$.

(C) माना बिंदु $B$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(5, -1)$,रेखाखंड $AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$
मान रखने पर:
$5 = \frac{2(x) + 3(11)}{2+3} \implies 5 = \frac{2x + 33}{5} \implies 25 = 2x + 33 \implies 2x = -8 \implies x = -4$
$-1 = \frac{2(y) + 3(-3)}{2+3} \implies -1 = \frac{2y - 9}{5} \implies -5 = 2y - 9 \implies 2y = 4 \implies y = 2$
अतः,बिंदु $B$ के निर्देशांक $(-4, 2)$ हैं।

(A) माना कि $x$-अक्ष बिंदुओं $A(3, 4)$ और $B(5, 6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $P(x, 0)$ पर $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}$
चूंकि बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ है।
$0 = \frac{k(6) + 1(4)}{k + 1}$
$0 = 6k + 4$
$6k = -4$
$k = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$
अतः,अनुपात $-2:3$ या $-\frac{2}{3}$ है।

(A) माना अनुपात $k : 1$ है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k : 1$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $(\frac{kx_2 + x_1}{k+1}, \frac{ky_2 + y_1}{k+1})$ होते हैं।
दिए गए बिंदु $(8, 4)$ और $(9, 6)$ हैं,और विभाजित करने वाला बिंदु $(5, -2)$ है।
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर: $\frac{9k + 8}{k+1} = 5$.
$9k + 8 = 5k + 5$.
$4k = -3$.
$k = -\frac{3}{4}$.
चूंकि $k$ ऋणात्मक है,इसलिए विभाजन $3 : 4$ के अनुपात में बाह्य है।

(A) माना $P(x, y, z)$ वह बिंदु है जो बिंदुओं $A(1, -2, 3)$ और $B(3, 4, -5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2(3) + 3(1)}{2+3} = \frac{9}{5}$
$y = \frac{2(4) + 3(-2)}{2+3} = \frac{2}{5}$
$z = \frac{2(-5) + 3(3)}{2+3} = -\frac{1}{5}$
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{9}{5}, \frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)$ है।

(A) माना बिंदु $A(1, -2, 3)$ और $B(3, 4, -5)$ हैं। बिंदु $P(x, y, z)$ रेखाखंड $AB$ को $2:3$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन का सूत्र:
$x = \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, y = \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, z = \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}$
मान रखने पर:
$x = \frac{2(3) - 3(1)}{2 - 3} = -3$
$y = \frac{2(4) - 3(-2)}{2 - 3} = -14$
$z = \frac{2(-5) - 3(3)}{2 - 3} = 19$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(-3, -14, 19)$ हैं।

(N/A) माना बिंदु $A(-4, 6, 10)$,$B(2, 4, 6)$ और $C(14, 0, -2)$ हैं।
मान लीजिए कि एक बिंदु $P$,रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{2k - 4}{k + 1}, \frac{4k + 6}{k + 1}, \frac{6k + 10}{k + 1} \right)$
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,बिंदु $C$ को $k$ के किसी मान के लिए बिंदु $P$ के साथ संपाती होना चाहिए।
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{2k - 4}{k + 1} = 14$
$2k - 4 = 14k + 14 \implies -12k = 18 \implies k = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}$
अब,$k = -\frac{3}{2}$ के लिए $y$-निर्देशांक की जाँच करें:
$\frac{4(-\frac{3}{2}) + 6}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-6 + 6}{-\frac{1}{2}} = 0$
अब,$k = -\frac{3}{2}$ के लिए $z$-निर्देशांक की जाँच करें:
$\frac{6(-\frac{3}{2}) + 10}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-9 + 10}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$
चूंकि निर्देशांक बिंदु $C(14, 0, -2)$ से मेल खाते हैं,इसलिए बिंदु $C$,$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित है।
अतः,बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं।

(B) माना $A, B, C$ त्रिभुज के शीर्ष हैं जिनके निर्देशांक क्रमशः $(x_{1}, y_{1}, z_{1}), (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ और $(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ हैं।
माना $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}, \frac{z_{2}+z_{3}}{2}\right)$ हैं।
केंद्रक $G$,माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$G$ के निर्देशांक $\left(\frac{2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) + x_{1}}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) + y_{1}}{2+1}, \frac{2\left(\frac{z_{2}+z_{3}}{2}\right) + z_{1}}{2+1}\right)$ हैं।
इसे सरल करने पर,हमें $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $YZ$-समतल बिंदुओं $A(4, 8, 10)$ और $B(6, 10, -8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $P$ पर $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{6k+4}{k+1}, \frac{10k+8}{k+1}, \frac{-8k+10}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि $P$,$YZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{6k+4}{k+1} = 0$.
इसका अर्थ है $6k + 4 = 0$,जिससे $k = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि विभाजन बाह्य है।
अतः,$YZ$-समतल रेखाखंड को $2:3$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।

(A) बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु $R$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$
दिए गए बिंदु $P(-2, 3, 5)$ और $Q(1, -4, 6)$ हैं और अनुपात $m:n = 2:3$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{2(1) + 3(-2)}{2+3} = \frac{2 - 6}{5} = -\frac{4}{5}$
$y = \frac{2(-4) + 3(3)}{2+3} = \frac{-8 + 9}{5} = \frac{1}{5}$
$z = \frac{2(6) + 3(5)}{2+3} = \frac{12 + 15}{5} = \frac{27}{5}$
अतः,अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक $\left(-\frac{4}{5}, \frac{1}{5}, \frac{27}{5}\right)$ हैं।

(A) बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिंदु $R$ के निर्देशांक का सूत्र है:
$\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m-n}\right)$
दिए गए बिंदु $P(-2, 3, 5)$ और $Q(1, -4, 6)$ हैं और अनुपात $m:n = 2:3$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{2(1) - 3(-2)}{2-3} = -8$
$y = \frac{2(-4) - 3(3)}{2-3} = 17$
$z = \frac{2(6) - 3(5)}{2-3} = 3$
अतः,अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक $(-8, 17, 3)$ हैं।

(A) माना बिंदु $Q(5, 4, -6)$,बिंदुओं $P(3, 2, -4)$ और $R(9, 8, -10)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$Q$ के निर्देशांक:
$Q = \left( \frac{k(9) + 3}{k + 1}, \frac{k(8) + 2}{k + 1}, \frac{k(-10) - 4}{k + 1} \right)$
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{9k + 3}{k + 1} = 5$
$9k + 3 = 5k + 5$
$4k = 2$
$k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $k: 1$ का मान $\frac{1}{2}: 1$ अर्थात $1: 2$ है।
इसलिए,बिंदु $Q$,$PR$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(A) माना कि $YZ$-समतल बिंदुओं $A(-2, 4, 7)$ और $B(3, -5, 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(\frac{3k - 2}{k + 1}, \frac{-5k + 4}{k + 1}, \frac{8k + 7}{k + 1}\right)$ हैं।
चूंकि बिंदु $P$,$YZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{3k - 2}{k + 1} = 0$.
इसका अर्थ है $3k - 2 = 0$,जिससे $k = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $2: 3$ है।

(N/A) माना कि बिंदु $C$ रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$AB$ को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{k(-1) + 2}{k+1}, \frac{k(2) - 3}{k+1}, \frac{k(1) + 4}{k+1}\right)$ हैं।
इन्हें बिंदु $C(0, \frac{1}{3}, 2)$ के निर्देशांकों के बराबर रखने पर:
$\frac{-k+2}{k+1} = 0 \implies -k+2 = 0 \implies k = 2$.
अब,$k=2$ के लिए अन्य निर्देशांकों की जाँच करने पर:
$y$-निर्देशांक: $\frac{2(2)-3}{2+1} = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3}$.
$z$-निर्देशांक: $\frac{2(1)+4}{2+1} = \frac{6}{3} = 2$.
चूंकि $k=2$ के लिए निर्देशांक मेल खाते हैं,बिंदु $C$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित है और इसे $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।

(A) माना $A$ और $B$ वे बिंदु हैं जो $P(4, 2, -6)$ और $Q(10, -16, 6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को समत्रिभाजित करते हैं।
बिंदु $A$,$PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,विभाजन सूत्र द्वारा,बिंदु $A$ के निर्देशांक:
$A = \left(\frac{1(10) + 2(4)}{1 + 2}, \frac{1(-16) + 2(2)}{1 + 2}, \frac{1(6) + 2(-6)}{1 + 2}\right) = (6, -4, -2)$
बिंदु $B$,$PQ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,विभाजन सूत्र द्वारा,बिंदु $B$ के निर्देशांक:
$B = \left(\frac{2(10) + 1(4)}{2 + 1}, \frac{2(-16) + 1(2)}{2 + 1}, \frac{2(6) + 1(-6)}{2 + 1}\right) = (8, -10, 2)$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(6, -4, -2)$ और $(8, -10, 2)$ हैं।

(A) बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $P(2, -3, 4)$ और $Q(8, 0, 10)$ दिए गए हैं।
माना $R$ रेखाखंड $PQ$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,बिंदु $R$ के निर्देशांक $\left(\frac{8k+2}{k+1}, \frac{-3}{k+1}, \frac{10k+4}{k+1}\right)$ हैं।
यह दिया गया है कि बिंदु $R$ का $x$-निर्देशांक $4$ है।
$\therefore \frac{8k+2}{k+1} = 4$
$\Rightarrow 8k + 2 = 4k + 4$
$\Rightarrow 4k = 2$
$\Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ का मान $R$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$y$-निर्देशांक: $\frac{-3}{\frac{1}{2} + 1} = -2$.
$z$-निर्देशांक: $\frac{10(\frac{1}{2}) + 4}{\frac{1}{2} + 1} = 6$.
अतः,बिंदु $R$ के निर्देशांक $(4, -2, 6)$ हैं।

(N/A) मान लीजिए $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ वे बिंदु हैं जो रेखाखंड $AB$ को समत्रिभाजित करते हैं।
चूंकि बिंदु $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,इसलिए:
$P = \left(\frac{1(5) 2(2)}{1 2}, \frac{1(-8) 2(1)}{1 2}, \frac{1(3) 2(-3)}{1 2}\right)$
$P = \left(\frac{9}{3}, \frac{-6}{3}, \frac{-3}{3}\right) = (3, -2, -1)$
चूंकि बिंदु $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,इसलिए:
$Q = \left(\frac{2(5) 1(2)}{2 1}, \frac{2(-8) 1(1)}{2 1}, \frac{2(3) 1(-3)}{2 1}\right)$
$Q = \left(\frac{12}{3}, \frac{-15}{3}, \frac{3}{3}\right) = (4, -5, 1)$
अतः,बिंदुओं के निर्देशांक $(3, -2, -1)$ और $(4, -5, 1)$ हैं।

(D) माना बिंदु $P$ रेखाखंड $QR$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{-2\lambda + 1}{\lambda + 1} \right)$.
दिया गया है कि $P$ का $x-$निर्देशांक $4$ है,इसलिए:
$\frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1} = 4$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर:
$5\lambda + 2 = 4(\lambda + 1) \Rightarrow 5\lambda + 2 = 4\lambda + 4 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब,$z-$निर्देशांक के व्यंजक में $\lambda = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$z = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-4 + 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$.
अतः,बिंदु का $z-$निर्देशांक $-1$ है।

(2:3) दिए गए बिंदु $A (1,-2,-8), B (5,0,-2)$ और $C (11,3,7)$ हैं।
$\overrightarrow{AB} = (5-1)\hat{i} + (0+2)\hat{j} + (-2+8)\hat{k} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = (11-5)\hat{i} + (3-0)\hat{j} + (7+2)\hat{k} = 6\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = (11-1)\hat{i} + (3+2)\hat{j} + (7+8)\hat{k} = 10\hat{i} + 5\hat{j} + 15\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{16+4+36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{36+9+81} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{10^2 + 5^2 + 15^2} = \sqrt{100+25+225} = \sqrt{350} = 5\sqrt{14}$.
चूंकि $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|$,अतः बिंदु $A, B,$ और $C$ संरेख हैं।
मान लीजिए बिंदु $B, AC$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\vec{b} = \frac{\lambda\vec{c} + 1\vec{a}}{\lambda + 1}$.
$5\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k} = \frac{\lambda(11\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}) + (1\hat{i} - 2\hat{j} - 8\hat{k})}{\lambda + 1}$.
$\hat{j}$ घटकों की तुलना करने पर:
$0 = \frac{3\lambda - 2}{\lambda + 1} \Rightarrow 3\lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
अतः,अनुपात $2:3$ है।

(D) माना कि बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$C = \left( \frac{k(2) + 1(1)}{k+1}, \frac{k(-1) + 1(0)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(1)}{k+1} \right)$
दिया गया है कि $C = (3, -2, 5)$,इसलिए $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2k + 1}{k+1} = 3$
$2k + 1 = 3k + 3$
$2k - 3k = 3 - 1$
$-k = 2$
$k = -2$
अतः,अनुपात $-2: 1$ है।

(D) समत्रिभाजन बिंदु रेखाखंड $AB$ को $1:2$ और $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करते हैं।
मान लीजिए बिंदु $P$ और $Q$ हैं,जहाँ $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में और $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का $z$-निर्देशांक $\frac{mz_2 + nz_1}{m+n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$z_1$ के लिए (अनुपात $1:2$):
$z_1 = \frac{1(6) + 2(4)}{1 + 2} = \frac{6 + 8}{3} = \frac{14}{3}$.
$z_2$ के लिए (अनुपात $2:1$):
$z_2 = \frac{2(6) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{12 + 4}{3} = \frac{16}{3}$.
अतः,$z_1 + z_2 = \frac{14}{3} + \frac{16}{3} = \frac{30}{3} = 10$.

(A) चूँकि $AD$,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक है।
$\Rightarrow \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$
अब,
$AB = \sqrt{(5-7)^2 + (4-6)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}$
$AC = \sqrt{(3-7)^2 + (2-6)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{16+16+16} = 4\sqrt{3}$
$\Rightarrow \frac{BD}{CD} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow D$,$BC$ को $1:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$\Rightarrow D = \left(\frac{1(3) + 2(5)}{1+2}, \frac{1(2) + 2(4)}{1+2}, \frac{1(0) + 2(6)}{1+2}\right)$
$\Rightarrow D = \left(\frac{13}{3}, \frac{10}{3}, 4\right)$

(A) माना बिंदु $A(3,-2,2)$ और $B(6,-17,-4)$ हैं। माना $P(2,3,4)$ रेखाखंड $AB$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{6\lambda + 3}{\lambda + 1}$
$2\lambda + 2 = 6\lambda + 3$
$-4\lambda = 1 \implies \lambda = -\frac{1}{4}$.
$P$ का हार्मोनिक संयुग्मी $Q$,$AB$ को $-\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $1 : 4$ के अनुपात में।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $Q$ के निर्देशांक:
$Q = \left( \frac{1(6) + 4(3)}{1+4}, \frac{1(-17) + 4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4) + 4(2)}{1+4} \right)$
$Q = \left( \frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5} \right)$.

(D) माना $O$ लंबकेंद्र $(3, -4, 2)$ है और $C$ परिकेंद्र $(2, 1, 3)$ है।
हम जानते हैं कि केंद्रक $G$,लंबकेंद्र और परिकेंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,केंद्रक $G$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$G = \left(\frac{1(3) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(-4) + 2(1)}{1+2}, \frac{1(2) + 2(3)}{1+2}\right)$
$G = \left(\frac{3+4}{3}, \frac{-4+2}{3}, \frac{2+6}{3}\right)$
$G = \left(\frac{7}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{8}{3}\right)$

(A) माना बिंदु $P$ जिसका भुज $3$ है,$A(6, 5)$ और $B(-1, 4)$ को मिलाने वाली रेखा को $\lambda: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}$
$3 = \frac{\lambda(-1) + 1(6)}{\lambda + 1}$
$3(\lambda + 1) = -\lambda + 6$
$3\lambda + 3 = -\lambda + 6$
$4\lambda = 3$
$\lambda = \frac{3}{4}$
अतः,अनुपात $\lambda: 1$ का मान $3: 4$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) माना बिंदु $A(3,-2,2)$ और $B(6,-17,-4)$ हैं। माना $P(2,3,4)$,$AB$ को $k:1$ अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $(2,3,4) = \left(\frac{6k+3}{k+1}, \frac{-17k-2}{k+1}, \frac{-4k+2}{k+1}\right)$.
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $2 = \frac{6k+3}{k+1}$ $\Rightarrow 2k+2 = 6k+3$ $\Rightarrow -4k = 1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{4}$.
हार्मोनिक संयुग्मी $Q$,$AB$ को $-k:1$ अनुपात में विभाजित करता है,जो $\frac{1}{4}:1$ या $1:4$ बाह्य विभाजन है।
$Q$ के निर्देशांक: $\left(\frac{1(6)+4(3)}{1+4}, \frac{1(-17)+4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4)+4(2)}{1+4}\right)$.
गणना करने पर: $Q = \left(\frac{6+12}{5}, \frac{-17-8}{5}, \frac{-4+8}{5}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.

(B) माना कि अभीष्ट बिंदु $P$ है। विभाजन सूत्र के अनुसार,$(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, 1)$,$(x_2, y_2, z_2) = (-2, 3, 11)$,$m = 2$,और $n = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \left(\frac{2(-2) + 3(3)}{2+3}, \frac{2(3) + 3(-2)}{2+3}, \frac{2(11) + 3(1)}{2+3}\right)$
$P = \left(\frac{-4 + 9}{5}, \frac{6 - 6}{5}, \frac{22 + 3}{5}\right)$
$P = \left(\frac{5}{5}, \frac{0}{5}, \frac{25}{5}\right)$
$P = (1, 0, 5)$

(D) दिया गया है $P=(3,12,4)$ और $O=(0,0,0)$.
दूरी $OP = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
चूंकि $Q$,$OP$ पर स्थित है और $OQ=3$ है,इसलिए $Q$,$OP$ को $3 : 10$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$Q$ के निर्देशांक $\left( \frac{9}{13}, \frac{36}{13}, \frac{12}{13} \right)$ प्राप्त होते हैं।
निर्देशांकों का योग $= \frac{9+36+12}{13} = \frac{57}{13}$.

(B) सबसे पहले,$\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{6}$,$AC = 2\sqrt{6}$,$BC = \sqrt{26}$
चूंकि $AD$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,यह $BC$ को $AB:AC = 1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$D$ के निर्देशांक $\left( \frac{1}{3}, 0, \frac{4}{3} \right)$ प्राप्त होते हैं।
$AD$ की लंबाई $\sqrt{(1 - 1/3)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 4/3)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{3}$ है।

(A) माना बिंदु $A(2, -5, 3)$ और $B(-1, -8, 0)$ हैं। बिंदु $P(0, -7, 1)$ रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$0 = \frac{k(-1) + 1(2)}{k+1} \implies -k + 2 = 0 \implies k = 2$.
अतः,$P$ रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में अंतःविभाजित करता है।
चूंकि $Q$,$AB$ के सापेक्ष $P$ का हार्मोनिक संयुग्मी है,इसलिए $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$Q(\alpha, \beta, \gamma)$ के लिए बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{2(-1) - 1(2)}{2-1} = -2 - 2 = -4$.
$\beta = \frac{2(-8) - 1(-5)}{2-1} = -16 + 5 = -11$.
$\gamma = \frac{2(0) - 1(3)}{2-1} = 0 - 3 = -3$.
इस प्रकार,$Q = (-4, -11, -3)$.
हमें $\alpha - \beta + \gamma = -4 - (-11) + (-3) = -4 + 11 - 3 = 4$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए बिंदु $P(\alpha, 4, 7)$ और $Q(3, \beta, 8)$ हैं।
चूंकि $YZ$-समतल $PQ$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए विभाजन बिंदु का $x$-निर्देशांक शून्य होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{2(3) + 3(\alpha)}{2+3} = 0 \Rightarrow 6 + 3\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -2$.
चूंकि $ZX$-समतल $PQ$ को $4:5$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए विभाजन बिंदु का $y$-निर्देशांक शून्य होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{4(\beta) + 5(4)}{4+5} = 0 \Rightarrow 4\beta + 20 = 0 \Rightarrow \beta = -5$.
अतः,बिंदु $P(-2, 4, 7)$ और $Q(3, -5, 8)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PQ$ की लंबाई:
$PQ = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-5 - 4)^2 + (8 - 7)^2}$
$PQ = \sqrt{(5)^2 + (-9)^2 + (1)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 81 + 1} = \sqrt{107}$.

(A) माना कि बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $k: 1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन के सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $C$ के निर्देशांक:
$C = \left( \frac{k x_2 - x_1}{k - 1}, \frac{k y_2 - y_1}{k - 1}, \frac{k z_2 - z_1}{k - 1} \right)$
$A(1, 2, 3)$ और $B(3, 4, 7)$ के मान रखने पर:
$C = \left( \frac{3k - 1}{k - 1}, \frac{4k - 2}{k - 1}, \frac{7k - 3}{k - 1} \right)$
दिया गया है कि $C = (-3, -2, -5)$,इसलिए $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{3k - 1}{k - 1} = -3$
$3k - 1 = -3(k - 1)$
$3k - 1 = -3k + 3$
$6k = 4$
$k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $k: 1$ अर्थात $2: 3$ है।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक का सूत्र है:
$\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}\right)$
दिए गए बिंदु $(2, 3, 4)$ और $(3, -4, 7)$ हैं और अनुपात $m:n = 2:4$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{2(3) - 4(2)}{2 - 4} = \frac{6 - 8}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
$y = \frac{2(-4) - 4(3)}{2 - 4} = \frac{-8 - 12}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10$
$z = \frac{2(7) - 4(4)}{2 - 4} = \frac{14 - 16}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(1, 10, 1)$ हैं।

(B) दिया गया है कि बिंदु $(a, 8, -2)$,$(1, 4, 6)$ और $(5, 2, 10)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m: n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{5m + n}{m + n}$,$y = \frac{2m + 4n}{m + n}$,$z = \frac{10m + 6n}{m + n}$.
$y$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$8 = \frac{2m + 4n}{m + n} \implies 8m + 8n = 2m + 4n \implies 6m = -4n \implies \frac{m}{n} = -\frac{2}{3}$.
$z$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$-2 = \frac{10m + 6n}{m + n} \implies -2m - 2n = 10m + 6n \implies -12m = 8n \implies \frac{m}{n} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$.
चूंकि दोनों समीकरण समान अनुपात देते हैं,हम $x$-निर्देशांक का उपयोग करके $a$ ज्ञात करते हैं:
$a = \frac{5m + n}{m + n} = \frac{5(-\frac{2}{3}) + 1}{(-\frac{2}{3}) + 1} = \frac{-\frac{10}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = -7$.
अंत में,व्यंजक की गणना करने पर:
$\frac{2m}{n} - \frac{a}{3} = 2(-\frac{2}{3}) - (\frac{-7}{3}) = -\frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

(B) दिए गए बिंदु $A(1, 2, -1)$ और $B(-1, 0, 1)$ हैं। बिंदु $P$,रेखाखंड $AB$ को $1: 2$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन के लिए,$P$ के निर्देशांक $\left( \frac{m_1 x_2 - m_2 x_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1 y_2 - m_2 y_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1 z_2 - m_2 z_1}{m_1 - m_2} \right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर:
$P = \left( \frac{1(-1) - 2(1)}{1 - 2}, \frac{1(0) - 2(2)}{1 - 2}, \frac{1(1) - 2(-1)}{1 - 2} \right)$
$P = \left( \frac{-1 - 2}{-1}, \frac{-4}{-1}, \frac{1 + 2}{-1} \right)$
$P = \left( \frac{-3}{-1}, \frac{-4}{-1}, \frac{3}{-1} \right) = (3, 4, -3)$.
अब,$Q = (1, 3, -1)$ के लिए दूरी $PQ$ ज्ञात करते हैं:
$PQ = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 3)^2 + (-3 - (-1))^2}$
$PQ = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (-2)^2}$
$PQ = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ इकाई।