Section Formula Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બિંદુઓ $P(1,2,3)$ અને $R(4,5,6)$ છે. બિંદુ $Q(3,4,5)$ એ $PR$ નું $\lambda: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$Q = \left( \frac{\lambda(4) + 1(1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(5) + 1(2)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(6) + 1(3)}{\lambda + 1} \right) = (3,4,5)$
$x$-યામની સરખામણી કરતા:
$\frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1} = 3$
$4\lambda + 1 = 3\lambda + 3$
$\lambda = 2$
હવે,આપણે તે બિંદુ શોધવાનું છે જે $Q(3,4,5)$ અને $P(1,2,3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $-1: \lambda$ (એટલે કે $-1: 2$) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે જરૂરી બિંદુ $S(x, y, z)$ છે. $-1: 2$ ગુણોત્તર માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1(1) + 2(3)}{-1 + 2} = \frac{-1 + 6}{1} = 5$
$y = \frac{-1(2) + 2(4)}{-1 + 2} = \frac{-2 + 8}{1} = 6$
$z = \frac{-1(3) + 2(5)}{-1 + 2} = \frac{-3 + 10}{1} = 7$
આમ,જરૂરી બિંદુ $(5,6,7)$ છે.

(D) ધારો કે $A = (3, -2, 2)$ અને $B = (6, -17, -4)$. ધારો કે $P = (2, 3, 4)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left(\frac{6m + 3n}{m+n}, \frac{-17m - 2n}{m+n}, \frac{-4m + 2n}{m+n}\right) = (2, 3, 4)$.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{6m + 3n}{m+n} = 2 \implies 6m + 3n = 2m + 2n \implies 4m = -n \implies \frac{m}{n} = -\frac{1}{4}$.
આમ,$P$ એ $AB$ ને $1:4$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજિત કરે છે.
$P$ નો $A$ અને $B$ ના સંદર્ભમાં હાર્મોનિક કોન્જુગેટ એ રેખાખંડ $AB$ ને $1:4$ ના ગુણોત્તરમાં અંદરની તરફ વિભાજિત કરશે.
અંતઃવિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \left(\frac{1(6) + 4(3)}{1+4}, \frac{1(-17) + 4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4) + 4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+12}{5}, \frac{-17-8}{5}, \frac{-4+8}{5}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા ($x$-યામ માટે):
$x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}$
$-5 = \frac{\lambda(-9) + 1(-3)}{\lambda + 1}$
$-5(\lambda + 1) = -9\lambda - 3$
$-5\lambda - 5 = -9\lambda - 3$
$-5\lambda + 9\lambda = 5 - 3$
$4\lambda = 2$
$\lambda = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $\lambda : 1$ એ $\frac{1}{2} : 1$ એટલે કે $1 : 2$ થાય છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(-9, 12, -15)$ એ $A(1, -2, 3)$ અને $B(-4, 5, -6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$-9 = \frac{-4\lambda + 1}{\lambda + 1} \implies -9\lambda - 9 = -4\lambda + 1 \implies -5\lambda = 10 \implies \lambda = -2$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
$AB$ ના સંદર્ભમાં $P$ નો હાર્મોનિક કોન્જુગેટ એ બિંદુ $Q$ છે જે $AB$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃ વિભાજન કરે છે.
અંતઃ વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \left(\frac{2(-4) + 1(1)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-6) + 1(3)}{2+1}\right)$
$Q = \left(\frac{-8 + 1}{3}, \frac{10 - 2}{3}, \frac{-12 + 3}{3}\right)$
$Q = \left(-\frac{7}{3}, \frac{8}{3}, -3\right)$.

(C) અને $C$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $A$ નો હાર્મોનિક કોન્જુગેટ એ બિંદુ $P$ છે જે રેખાખંડ $BC$ નું તે જ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે જેમાં $A$ કરે છે.
પ્રથમ,આપણે $AB$ અને $AC$ ના અંતર શોધીએ:
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (2-4)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{14}$.
$AC = \sqrt{(8-5)^2 + (-2-4)^2 + (-7-2)^2} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$.
ગુણોત્તર $1:3$ છે.
હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $P$ એ $BC$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન કરે છે.
$P = \left(\frac{1(8) + 3(6)}{1+3}, \frac{1(-2) + 3(2)}{1+3}, \frac{1(-7) + 3(-1)}{1+3}\right) = (\frac{26}{4}, \frac{4}{4}, \frac{-10}{4}) = (\frac{13}{2}, 1, \frac{-5}{2})$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $B$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(-2, 3, 5)$ એ $A(1, 3, 4)$ અને $B(x, y, z)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$(-2, 3, 5) = \left( \frac{1(x) + 3(1)}{1+3}, \frac{1(y) + 3(3)}{1+3}, \frac{1(z) + 3(4)}{1+3} \right)$
$(-2, 3, 5) = \left( \frac{x+3}{4}, \frac{y+9}{4}, \frac{z+12}{4} \right)$
યામોને સરખાવતા:
$1) \frac{x+3}{4} = -2 \Rightarrow x+3 = -8 \Rightarrow x = -11$
$2) \frac{y+9}{4} = 3 \Rightarrow y+9 = 12 \Rightarrow y = 3$
$3) \frac{z+12}{4} = 5 \Rightarrow z+12 = 20 \Rightarrow z = 8$
આમ,$B$ ના યામ $(-11, 3, 8)$ છે.

(A) ધારો કે $yz$-સમતલ,બિંદુઓ $A(-3, 4, -2)$ અને $B(2, 1, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left( \frac{k(2) + 1(-3)}{k+1}, \frac{k(1) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1} \right)$.
બિંદુ $P$ એ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{2k - 3}{k+1} = 0$.
$2k - 3 = 0 \implies 2k = 3 \implies k = \frac{3}{2}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $k: 1 = \frac{3}{2}: 1 = 3: 2$ છે.

(D) અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ ગણવામાં આવે છે.
$c = AB = \sqrt{(2-2)^2 + (5-(-1))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = 6$.
$b = AC = \sqrt{(0-2)^2 + (-2-(-1))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
$a = BC = \sqrt{(0-2)^2 + (-2-5)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{4+49+4} = \sqrt{57}$.
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,બિંદુ $D$ એ $BC$ ને $c:b$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $6:3 = 2:1$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ મળે છે.
હવે,$AD = \sqrt{(\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{1}{3}-(-1))^2 + (\frac{7}{3}-1)^2} = \sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{48}{9}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(B) કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને ખૂણાની પાસપાસેની બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $BD/DC = AB/AC$.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ ગણો:
$AB = \sqrt{(5-3)^2 + (3-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-9-3)^2 + (6-2)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13$.
આમ,ગુણોત્તર $BD:DC = AB:AC = 3:13$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$D = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$ જ્યાં $m=3, n=13$,$B(5,3,2)$,અને $C(-9,6,-3)$.
$x = \frac{3(-9) + 13(5)}{3+13} = \frac{-27 + 65}{16} = \frac{38}{16}$.
$y = \frac{3(6) + 13(3)}{3+13} = \frac{18 + 39}{16} = \frac{57}{16}$.
$z = \frac{3(-3) + 13(2)}{3+13} = \frac{-9 + 26}{16} = \frac{17}{16}$.
તેથી,$D$ ના યામ $\left(\frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16}\right)$ છે.

(B) ધારો કે માંગેલ બિંદુ $P(x, y, z)$ છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ:
$P = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, 1)$,$(x_2, y_2, z_2) = (-2, 3, 11)$,$m = 2$,અને $n = 3$ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \left(\frac{2(-2) + 3(3)}{2+3}, \frac{2(3) + 3(-2)}{2+3}, \frac{2(11) + 3(1)}{2+3}\right)$
$P = \left(\frac{-4 + 9}{5}, \frac{6 - 6}{5}, \frac{22 + 3}{5}\right)$
$P = \left(\frac{5}{5}, \frac{0}{5}, \frac{25}{5}\right)$
$P = (1, 0, 5)$

(A) કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $BD:CD = AB:AC$.
પહેલા બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(0-4)^2 + (-2-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(3-4)^2 + (2-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $BD:CD = AB:AC = 5\sqrt{2} : 3\sqrt{2} = 5:3$.
બિંદુ $D$ એ $BC$ નું $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ ના યામ:
$D = \left(\frac{5(3) + 3(0)}{5+3}, \frac{5(2) + 3(-2)}{5+3}, \frac{5(1) + 3(2)}{5+3}\right) = \left(\frac{15}{8}, \frac{4}{8}, \frac{11}{8}\right)$.

(C) બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$AB = \sqrt{(4-3)^2 + (1-2)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{3}$
$AC = \sqrt{(2-3)^2 + (1-2)^2 + (4-(-1))^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3}$
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D(p, q, r)$ ના યામ:
$D = \left( \frac{1(2) + 3(4)}{4}, \frac{1(1) + 3(1)}{4}, \frac{1(4) + 3(0)}{4} \right) = \left( \frac{7}{2}, 1, 1 \right)$
તેથી,$p = \frac{7}{2}, q = 1, r = 1$.
અંતે,$\sqrt{2p + q + r} = \sqrt{2(\frac{7}{2}) + 1 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

(C) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(4,7,8)$,$B(2,3,4)$ અને $C(2,5,7)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (7-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = \sqrt{(4-2)^2 + (7-5)^2 + (8-7)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,ખૂણા $A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને $AB:AC = 6:3 = 2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $D$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$D = \left( \frac{2(2) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(7) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{13}{3}, \frac{18}{3} \right) = \left( 2, \frac{13}{3}, 6 \right)$.
આંતરિક દ્વિભાજકની લંબાઈ એ અંતર $AD$ છે:
$AD = \sqrt{(4-2)^2 + (7 - \frac{13}{3})^2 + (8-6)^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{4 \times 34}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{34}$.

(C) ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0), A(3,1,4), B(1,3,2)$ અને $C(0,4,-2)$ છે.
ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ તેના શિરોબિંદુઓની સરેરાશ દ્વારા મળે છે: $G = \left(\frac{0+3+1+0}{4}, \frac{0+1+3+4}{4}, \frac{0+4+2-2}{4}\right) = \left(1, 2, 1\right)$.
બાજુ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G_1$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ની સરેરાશ દ્વારા મળે છે: $G_1 = \left(\frac{3+1+0}{3}, \frac{1+3+4}{3}, \frac{4+2-2}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
આપણે $GG_1$ રેખાખંડને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ $P$ શોધવાનું છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$ જ્યાં $m=1, n=2$,$G(1,2,1)$ અને $G_1(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3})$ છે:
$x = \frac{1(\frac{4}{3}) + 2(1)}{1+2} = \frac{\frac{4}{3} + 2}{3} = \frac{10}{9}$.
$y = \frac{1(\frac{8}{3}) + 2(2)}{1+2} = \frac{\frac{8}{3} + 4}{3} = \frac{20}{9}$.
$z = \frac{1(\frac{4}{3}) + 2(1)}{1+2} = \frac{\frac{4}{3} + 2}{3} = \frac{10}{9}$.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{10}{9}, \frac{20}{9}, \frac{10}{9}\right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, p, 2)$ અને $B(p, -2, p)$ છે. બિંદુ $P\left(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5}, \frac{8}{5}\right)$ એ $AB$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ નો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{m(-2) + n(p)}{m+n} = -\frac{1}{5}$
$-10m + 5np = -m - n$
$9m = n(5p + 1) \implies \frac{m}{n} = \frac{5p+1}{9}$
$P$ ના $x$-યામનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m(p) + n(2)}{m+n} = \frac{8}{5}$
$5mp + 10n = 8m + 8n$
$m(5p - 8) = -2n \implies \frac{m}{n} = \frac{-2}{5p-8} = \frac{2}{8-5p}$
બંને ગુણોત્તરને સરખાવતા:
$\frac{5p+1}{9} = \frac{2}{8-5p}$
$(5p+1)(8-5p) = 18$
$40p - 25p^2 + 8 - 5p = 18$
$25p^2 - 35p + 10 = 0$
$5p^2 - 7p + 2 = 0$
$(5p-2)(p-1) = 0$
$p$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$p = 1$.
તેથી $\frac{m}{n} = \frac{5(1)+1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
આપણે $\frac{3m+n}{3n} = \frac{3(m/n) + 1}{3} = \frac{3(2/3) + 1}{3} = \frac{2+1}{3} = 1$ શોધવાનું છે.
$p=1$ હોવાથી,જવાબ $p$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (3-(-2))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(4-3)^2 + (3-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો આંતરિક દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને ખૂણો બનાવતી બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{5}{3}$
આમ,બિંદુ $D$ એ $BC$ નું $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{5(3) + 3(1)}{5+3}, \frac{5(2) + 3(-2)}{5+3}, \frac{5(1) + 3(1)}{5+3} \right) = \left( \frac{18}{8}, \frac{4}{8}, \frac{8}{8} \right) = \left( \frac{9}{4}, \frac{1}{2}, 1 \right)$
હવે,$C(3,2,1)$ અને $D(\frac{9}{4}, \frac{1}{2}, 1)$ વચ્ચેના અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $CD$ ની લંબાઈ શોધો:
$CD = \sqrt{(\frac{9}{4} - 3)^2 + (\frac{1}{2} - 2)^2 + (1 - 1)^2}$
$CD = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{9 + 36}{16}} = \sqrt{\frac{45}{16}} = \frac{3\sqrt{5}}{4}$

(C) બિંદુ $P$ જે $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તેના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P = \left( \frac{1(2) + 2(1)}{1+2}, \frac{1(3) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(1) + 2(3)}{1+2} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3} \right)$
બિંદુ $Q$ જે $BC$ નું $-2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તેના યામ:
$Q = \left( \frac{-2(3) + 3(2)}{-2+3}, \frac{-2(1) + 3(3)}{-2+3}, \frac{-2(2) + 3(1)}{-2+3} \right) = (0, 7, -1)$
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$:
$PQ = \sqrt{\left(0 - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(7 - \frac{7}{3}\right)^2 + \left(-1 - \frac{7}{3}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{196}{9} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{312}{9}} = \frac{2\sqrt{78}}{3}$

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $AC$ નું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
આપેલ છે કે $B = \left( \frac{33}{5}, \frac{28}{5}, \frac{38}{5} \right)$,તેથી $x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{9k + 3}{k + 1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$45k - 33k = 33 - 15$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $3: 2$ છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(-1,0,7), B(3,2, t)$ અને $C(5, k,-2)$ સમરેખ છે,તેથી $AB$ અને $BC$ ના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
$\frac{3-(-1)}{5-3} = \frac{2-0}{k-2} = \frac{t-7}{-2-t}$
$\frac{4}{2} = \frac{2}{k-2} = \frac{t-7}{-2-t}$
$2 = \frac{2}{k-2} \Rightarrow k-2 = 1 \Rightarrow k = 3$
$2 = \frac{t-7}{-2-t} \Rightarrow -4-2t = t-7 \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$
આમ,બિંદુઓ $B(3,2,1)$ અને $C(5,3,-2)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $P(t, k-2t, t+k) = P(1, 3-2(1), 1+3) = P(1, 1, 4)$ છે.
ધારો કે $P$ એ રેખાખંડ $BC$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$x$-યામ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$1 = \frac{\lambda(5) + 1(3)}{\lambda + 1}$
$\lambda + 1 = 5\lambda + 3$
$-2 = 4\lambda$
$\lambda = -\frac{1}{2}$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $-1: 2$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(4,3,2), B(5,4,6)$ અને $C(-1,-1,5)$ છે.
પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(5-4)^2 + (4-3)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(-1-4)^2 + (-1-3)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને $AB : AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $3\sqrt{2} : 5\sqrt{2} = 3 : 5$ છે.
ધારો કે $D$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે જ્યાં દ્વિભાજક તેને મળે છે. $D$ એ $BC$ ને $3:5$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર $D = \left(\frac{mx_C + nx_B}{m+n}, \frac{my_C + ny_B}{m+n}, \frac{mz_C + nz_B}{m+n}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_D = \frac{3(-1) + 5(5)}{3+5} = \frac{22}{8}$.
$y_D = \frac{3(-1) + 5(4)}{3+5} = \frac{17}{8}$.
$z_D = \frac{3(5) + 5(6)}{3+5} = \frac{45}{8}$.
આમ,બિંદુ $D$ ના યામ $\left(\frac{22}{8}, \frac{17}{8}, \frac{45}{8}\right)$ છે.

(B) $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા $P_1$ ના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P_1 = \left( \frac{1(9) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(-10) + 2(-4)}{1+2} \right) = \left( \frac{15}{3}, \frac{12}{3}, \frac{-18}{3} \right) = (5, 4, -6)$.
$AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા $P_2$ ના યામ:
$P_2 = \left( \frac{2(9) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(-10) + 1(-4)}{2+1} \right) = \left( \frac{21}{3}, \frac{18}{3}, \frac{-24}{3} \right) = (7, 6, -8)$.
કારણ કે $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $P_1 P_2$ નું મધ્યબિંદુ છે ($1:1$ ગુણોત્તર):
$P = \left( \frac{5+7}{2}, \frac{4+6}{2}, \frac{-6-8}{2} \right) = (6, 5, -7)$.
આમ,$\alpha = 6$,$\beta = 5$,અને $\gamma = -7$.
પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$\alpha + 2\beta + 2\gamma = 6 + 2(5) + 2(-7) = 6 + 10 - 14 = 2$.

(D) ધારો કે $B$ એ રેખાખંડ $\overline{AC}$ ને $k: 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{9k + 3}{k+1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $\frac{3}{2}: 1$ એટલે કે $3: 2$ છે.

(B) ધારો કે $P$ એ $Q(2,2,1)$ અને $R(5,1,-2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{5m+2}{m+1}, \frac{m+2}{m+1}, \frac{-2m+1}{m+1} \right)$.
આપેલ છે કે $P$ નો $x$-યામ $4$ છે,તેથી:
$\frac{5m+2}{m+1} = 4$.
બંને બાજુ $(m+1)$ વડે ગુણતા:
$5m + 2 = 4(m + 1) \Rightarrow 5m + 2 = 4m + 4$.
$m$ માટે ઉકેલતા,આપણને $m = 2$ મળે છે.
હવે,$z$-યામના સૂત્રમાં $m = 2$ મૂકતા:
$z = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-4 + 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$.
આમ,$P$ નો $z$-યામ $-1$ છે.

(A) $yz$-સમતલનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
ધારો કે $yz$-સમતલ $A(-3, 4, -2)$ અને $B(2, 1, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન કરતા બિંદુના યામ:
$P = \left( \frac{k(2) + 1(-3)}{k+1}, \frac{k(1) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1} \right)$.
બિંદુ $P$ એ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{2k - 3}{k+1} = 0$.
$2k - 3 = 0
\implies 2k = 3
\implies k = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $k: 1 = \frac{3}{2}: 1 = 3: 2$ છે.

(D) ધારો કે ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $A(1,2,3), B(2,-3,1), C(3,2,-1)$ અને $D(a, b, c)$ છે.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$G = \frac{A+B+C+D}{4}$
$\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) = \frac{(1+2+3+a, 2-3+2+b, 3+1-1+c)}{4}$
$\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) = \frac{(6+a, 1+b, 3+c)}{4}$
$4$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$(10, 6, 9) = (6+a, 1+b, 3+c)$
યામોની સરખામણી કરતા:
$6+a = 10 \Rightarrow a = 4$
$1+b = 6 \Rightarrow b = 5$
$3+c = 9 \Rightarrow c = 6$
આમ,$D = (4, 5, 6)$.
હવે,વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $GD$ ને $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ $P$ શોધીએ:
$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$
અહીં $m=1, n=2$,$G = \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ અને $D = (4, 5, 6)$.
$x = \frac{1(4) + 2(5/2)}{1+2} = \frac{4+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{1(5) + 2(3/2)}{1+2} = \frac{5+3}{3} = \frac{8}{3}$
$z = \frac{1(6) + 2(9/4)}{1+2} = \frac{6+9/2}{3} = \frac{21/2}{3} = \frac{7}{2}$
તેથી,જરૂરી બિંદુ $\left(3, \frac{8}{3}, \frac{7}{2}\right)$ છે.

(C) ધારો કે $XOZ$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 3, 1)$ અને $B(6, 7, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m: n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$\left(\frac{m(6)+n(2)}{m+n}, \frac{m(7)+n(3)}{m+n}, \frac{m(1)+n(1)}{m+n}\right)$
આ બિંદુ $XOZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{7m + 3n}{m+n} = 0$
$7m + 3n = 0$
$7m = -3n$
$\frac{m}{n} = -\frac{3}{7}$
આમ,ગુણોત્તર $-3: 7$ છે.