Binomial theorem for any index Questions in Hindi

(A) परिमेय घातांक $n$ के लिए द्विपद विस्तार का सामान्य पद $T_{k+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} x^k$ है।
$(1+\frac{3x}{5})^{22/3}$ के विस्तार के लिए,$p^{\text{th}}$ पद $T_p = \frac{n(n-1)\dots(n-p+2)}{(p-1)!} (\frac{3x}{5})^{p-1}$ है।
पद तब ऋणात्मक होता है जब गुणनफल $n(n-1)\dots(n-p+2) < 0$ हो।
चूंकि $n = 22/3 \approx 7.33$,पद तब तक धनात्मक रहते हैं जब तक $n-k+1 > 0$ हो।
$p^{\text{th}}$ पद के लिए,हमें $n-p+2 < 0$ की आवश्यकता है।
$22/3 - p + 2 < 0 \implies 28/3 < p \implies p > 9.33$। अतः,$p=10$।
$(1-\frac{3x}{5})^{22/3}$ के विस्तार के लिए,$r^{\text{th}}$ पद के बाद सभी पद धनात्मक होने के लिए,समान तर्क से $r=10$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,विस्तार $(10x + \frac{10}{x})^{100}$ है।
$(a+b)^n$ में पदों की संख्या $n+1$ होती है।
अतः,पदों की संख्या $100+1 = 101$ है।

(A) द्विपद विस्तार $(1+y)^n$ के लिए जहाँ $|y| < 1$ हो,वह $1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3 + \ldots$ होता है।
यहाँ,$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}$ का विस्तार सीधे द्विपद प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है,जो विकल्प $A$ में दिया गया है।

(B) दी गई श्रेणी $1 - \frac{3}{16} + \frac{1 \cdot 4}{2!} \left(\frac{3}{16}\right)^2 - \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3!} \left(\frac{3}{16}\right)^3 + \ldots$ है।
द्विपद प्रसार $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ के साथ तुलना करने पर,
हमें $nx = -\frac{3}{16}$ और $\frac{n(n-1)}{2!}x^2 = \frac{1 \cdot 4}{2!} \left(\frac{3}{16}\right)^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $n(n-1)x^2 = 4 \left(\frac{3}{16}\right)^2$।
चूंकि $nx = -\frac{3}{16}$,इसलिए $x = -\frac{3}{16n}$ है।
$n(n-1)x^2 = 4(nx)^2$ में $x$ का मान रखने पर,$n(n-1) \left(-\frac{3}{16n}\right)^2 = 4 \left(-\frac{3}{16}\right)^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{n-1}{n} = 4$ $\Rightarrow n-1 = 4n$ $\Rightarrow 3n = -1$ $\Rightarrow n = -\frac{1}{3}$।
अतः $x = -\frac{3}{16(-1/3)} = \frac{9}{16}$।
इस प्रकार,योग $(1+x)^n = (1 + \frac{9}{16})^{-1/3} = (\frac{25}{16})^{-1/3} = (\frac{16}{25})^{1/3} = (\frac{4}{5})^{2/3}$ है।

(B) दिया गया व्यंजक $(7+3x)^{-2/5} = 7^{-2/5}(1+\frac{3}{7}x)^{-2/5}$ है।
द्विपद विस्तार सूत्र $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = -2/5$ और $z = \frac{3x}{7}$ है।
$4^{th}$ पद $\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} z^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$T_4 = 7^{-2/5} \times \frac{(-2/5)(-7/5)(-12/5)}{6} \times \frac{27x^3}{343}$
गणना करने पर $T_4 = -\frac{108}{125} \times 7^{-12/5} x^3$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -\frac{108}{125} \times 7^{-12/5}$।
इसलिए,$7^{12/5}k = -\frac{108}{125}$।

(C) दिया गया है कि $|x| < \frac{4}{3}$.
हमारे पास $\frac{1}{(4-3 x)^{\frac{1}{2}}} = (4-3 x)^{-\frac{1}{2}} = 4^{-\frac{1}{2}} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$ है।
द्विपद विस्तार $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!} u^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = -\frac{3x}{4}$ और $n = -\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left[ 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3x}{4}\right) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2} \left(-\frac{3x}{4}\right)^2 + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{3x}{8} + \frac{3}{8} \cdot \frac{9x^2}{16} + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{3x}{8} + \frac{27x^2}{128} + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} + \frac{3x}{16} + \frac{27x^2}{256} + \dots$

(C) $|x| < 1$ के लिए $(1+x)^n$ का विस्तार $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = \frac{7}{5}$ और $x = \frac{5}{7}$ दिया गया है।
$t_1 = 1$
$t_2 = nx = \frac{7}{5} \times \frac{5}{7} = 1$
$t_3 = \frac{n(n-1)}{2!}x^2 = \frac{\frac{7}{5}(\frac{2}{5})}{2} \times (\frac{5}{7})^2 = \frac{7}{25} \times \frac{25}{49} = \frac{1}{7}$
$t_4 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 = \frac{\frac{7}{5}(\frac{2}{5})(-\frac{3}{5})}{6} \times (\frac{5}{7})^3 = \frac{-\frac{42}{125}}{6} \times \frac{125}{343} = -\frac{7}{343} = -\frac{1}{49}$
चूँकि $t_4$ पहला ऋणात्मक पद है,$k=4$ है।
योग $t_1+t_2+t_3+t_4 = 1 + 1 + \frac{1}{7} - \frac{1}{49} = 2 + \frac{7-1}{49} = 2 + \frac{6}{49} = \frac{98+6}{49} = \frac{104}{49}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $E = (1 + \frac{2x}{3})^{3/2} \cdot (32 + 5x)^{-1/5}$
छोटे $u$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर:
$E \approx (1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{3}) \cdot (32)^{-1/5} (1 + \frac{5x}{32})^{-1/5}$
$E \approx (1 + x) \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{5x}{32})$
$E \approx \frac{1}{2} (1 + x) (1 - \frac{x}{32})$
$x^2$ वाले पदों को नगण्य मानने पर:
$E \approx \frac{1}{2} (1 + x - \frac{x}{32}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{31x}{32}) = \frac{32 + 31x}{64}$

(A) व्यंजक $\left(125 x^2 - \frac{27}{x}\right)^{-2/3} = \left(\frac{125 x^3 - 27}{x}\right)^{-2/3} = \frac{x^{2/3}}{(125 x^3 - 27)^{2/3}}$ है।
द्विपद विस्तार $(1+z)^n$ के मान्य होने के लिए,$|z| < 1$ होना आवश्यक है।
व्यंजक को पुनः लिखने पर: $\left(-\frac{27}{x}\right)^{-2/3} \left(1 - \frac{125 x^3}{27}\right)^{-2/3}$।
यह विस्तार तब मान्य है जब $|\frac{125 x^3}{27}| < 1$ हो।
$|x^3| < \frac{27}{125} \Rightarrow |x| < \frac{3}{5}$।
अतः,$x \in \left(-\frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)$ और $x \neq 0$।

(C) द्विपद विस्तार $(1+u)^n$ के लिए $n \notin N$ तब मान्य है यदि $|u| < 1$ हो।
यहाँ,$u = x+x^2$ है।
अतः,$(1+x+x^2)^{-3/2}$ का विस्तार तब मान्य है यदि $|x^2+x| < 1$ हो।
इसका अर्थ है $-1 < x^2+x < 1$।
$x^2+x < 1$ को हल करने पर:
$x^2+x-1 < 0$।
$x^2+x-1 = 0$ के मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
अतः,$x^2+x-1 < 0$ के लिए $\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$।
साथ ही,$x^2+x > -1$ हमेशा सत्य है क्योंकि $x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $|x^2+x| < 1$ प्राप्त होता है,जो $\left|x+\frac{1}{2}\right| < \frac{\sqrt{5}}{2}$ के समतुल्य है।

(D) हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{4-x}(2+x)^3} = (4-x)^{-1/2} (2+x)^{-3}$ है।
$= 4^{-1/2} \left(1-\frac{x}{4}\right)^{-1/2} \cdot 2^{-3} \left(1+\frac{x}{2}\right)^{-3}$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \left(1 - \frac{1}{2}\left(-\frac{x}{4}\right) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2} \left(-\frac{x}{4}\right)^2\right) \left(1 + (-3)\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{(-3)(-4)}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^2\right)$
$= \frac{1}{16} \left(1 + \frac{x}{8} + \frac{3}{128} x^2\right) \left(1 - \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{2}\right)$
$= \frac{1}{16} \left(1 - \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{2} + \frac{x}{8} - \frac{3x^2}{16} + \frac{3x^2}{128}\right)$
$= \frac{1}{16} \left(1 - \frac{11x}{8} + \frac{171x^2}{128}\right)$.

(D) $(a+bx)^n$ का द्विपद विस्तार तब मान्य होता है जब $|bx/a| < 1$ हो।
दी गई अभिव्यक्ति: $(7-5x)^{-2/3} = 7^{-2/3} (1 - \frac{5x}{7})^{-2/3}$।
विस्तार के मान्य होने के लिए,हमें आवश्यकता है:
$|\frac{5x}{7}| < 1$
$|x| < \frac{7}{5}$
अतः,$x \in (-\frac{7}{5}, \frac{7}{5})$।
इसे दिए गए अंतराल $(-c, c)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$5c + 7 = 5(\frac{7}{5}) + 7 = 7 + 7 = 14$।

(B) माना $S = \frac{1}{8} - \frac{7}{8 \times 12} + \frac{7 \times 10}{8 \times 12 \times 16} - \ldots$
द्विपद विस्तार $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ का उपयोग करते हुए
$(1 + \frac{3}{4})^{-1/3} = 1 + (-\frac{1}{3})(\frac{3}{4}) + \frac{(-\frac{1}{3})(-\frac{4}{3})}{2!}(\frac{3}{4})^2 + \frac{(-\frac{1}{3})(-\frac{4}{3})(-\frac{7}{3})}{3!}(\frac{3}{4})^3 + \ldots$
$= 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{7}{8 \times 12} + \ldots$
$= \frac{3}{4} + S$
अतः,$\sqrt[3]{\frac{4}{7}} = \frac{3}{4} + S$
इसलिए,$S = \sqrt[3]{\frac{4}{7}} - \frac{3}{4}$

(D) $\left(1+\frac{3x}{2}\right)^{-5}$ के विस्तार में $x^{10}$ का गुणांक $\binom{14}{10} \left(\frac{3}{2}\right)^{10}$ है।
$(1+ax)^n$ के विस्तार में $x^{10}$ का गुणांक $\binom{n}{10} a^{10}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$n=14$ और $a=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$na = 14 \times \frac{3}{2} = 21$।

(A) दी गई व्यंजक $\frac{(1-x)^{-1/p}}{(1-x)^n} = (1-x)^{-\frac{np+1}{p}}$ है।
किसी भी घातांक के लिए द्विपद प्रमेय $(1-x)^{-k} = 1 + kx + \frac{k(k+1)}{2!}x^2 + \frac{k(k+1)(k+2)}{3!}x^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $k = \frac{np+1}{p}$ है।
$x^3$ का गुणांक $\frac{k(k+1)(k+2)}{3!}$ है।
$k = \frac{np+1}{p}$ प्रतिस्थापित करने पर:
गुणांक $= \frac{\left(\frac{np+1}{p}\right)\left(\frac{np+1}{p} + 1\right)\left(\frac{np+1}{p} + 2\right)}{3!}$.
$= \frac{\left(\frac{np+1}{p}\right)\left(\frac{np+p+1}{p}\right)\left(\frac{np+2p+1}{p}\right)}{3!}$.
$= \frac{(np+1)(np+p+1)(np+2p+1)}{p^3 \times 3!}$.

(C) $(1-ax)^{-n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n+r-1}C_r (ax)^r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n=4$,$a=4$,और हमें $13$ वाँ पद चाहिए,इसलिए $r+1=13$,जिसका अर्थ है $r=12$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$T_{13} = {}^{4+12-1}C_{12} (4x)^{12}$।
$T_{13} = {}^{15}C_{12} (4x)^{12}$।
गुणधर्म ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास ${}^{15}C_{12} = {}^{15}C_{15-12} = {}^{15}C_3$ है।
अतः,$T_{13} = {}^{15}C_3 4^{12} x^{12}$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $(2a + 5b)^{-4}$ है।
हम इसे $(2a)^{-4} \left(1 + \frac{5b}{2a}\right)^{-4}$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $\left|\frac{5b}{2a}\right| < 1$ है।
$(1+x)^{-n}$ के विस्तार के लिए सामान्य पद $T_{r+1} = \frac{(-n)(-n-1)...(-n-r+1)}{r!} x^r$ है।
$4^{th}$ पद के लिए,$r = 3$ और $n = 4$ है।
$T_{4} = (2a)^{-4} \left[ \frac{(-4)(-5)(-6)}{3!} \left(\frac{5b}{2a}\right)^3 \right]$.
$T_{4} = \frac{1}{2^4 a^4} \left[ -\frac{4 \times 5 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5^3 b^3}{2^3 a^3} \right]$.
संचय सूत्र ${ }^{n+r-1}C_{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $\frac{4 \times 5 \times 6}{3!} = { }^{6}C_{3}$ है।
अतः,$T_{4} = -{ }^{6}C_{3} \frac{5^3 b^3}{2^{4+3} a^{4+3}} = -{ }^{6}C_{3} \frac{5^3 b^3}{2^7 a^7}$।

(A) हमारे पास है,$\frac{x}{x+1} = x(1+x)^{-1}$.
चूंकि $|x| < 1$,$(1+x)^{-1}$ का द्विपद प्रसार $1-x+x^2-x^3+\dots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$ है।
अतः,$\frac{x}{x+1} = x \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{n+1}$.
इसलिए,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$,$|x| < 1$ के लिए $(1+x)^{-1}$ का मानक प्रसार है,जो कि सत्य है।
चूंकि कथन को सीधे कारण से प्राप्त किया जा सकता है,इसलिए $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(D) हम द्विपद विस्तार $(1+y)^{-n} = 1 - ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 - \ldots \infty$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $x = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} - \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9}\left(\frac{2}{5}\right) + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}\left(\frac{2}{5}\right)^2 - \ldots \infty$.
दोनों पक्षों को $\left(\frac{2}{5}\right)^2$ से गुणा करने पर,$\frac{4}{25}x = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6}\left(\frac{2}{5}\right)^2 - \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9}\left(\frac{2}{5}\right)^3 + \ldots \infty$.
दोनों पक्षों में $1 - \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)$ जोड़ने पर,श्रेणी $(1 + \frac{2}{5})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{7}{5})^{-\frac{2}{3}}$ प्राप्त होती है।
अतः,$\frac{4x}{25} + 1 - \frac{4}{15} = (\frac{7}{5})^{-\frac{2}{3}} \implies \frac{4x}{25} + \frac{11}{15} = (\frac{7}{5})^{-\frac{2}{3}}$.
सही उत्तर $3^3 \cdot 5^8$ है।

(D) दिया गया विस्तार: $(a+bx)^{-3} = \frac{1}{27} + \frac{1}{3}x + \dots$
हम लिख सकते हैं $(a+bx)^{-3} = a^{-3}(1 + \frac{bx}{a})^{-3}$.
द्विपद विस्तार $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$a^{-3}(1 + (-3)(\frac{bx}{a}) + \dots) = \frac{1}{a^3} - \frac{3bx}{a^4} + \dots$
अचर पदों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{a^3} = \frac{1}{27} \implies a^3 = 27 \implies a = 3$.
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-\frac{3b}{a^4} = \frac{1}{3}$.
$a=3$ रखने पर:
$-\frac{3b}{3^4} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{3^3} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{27} = \frac{1}{3} \implies b = -\frac{27}{3} = -9$.
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (3, -9)$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $E = \frac{(1-2 x)^{-1}(1-3 x)^{-2}}{(1-4 x)^{-3}}$ है।
छोटे $x$ के लिए द्विपद प्रसार $(1+ax)^n \approx 1+nax$ का उपयोग करने पर:
$(1-2 x)^{-1} \approx 1 + 2x$.
$(1-3 x)^{-2} \approx 1 + 6x$.
$(1-4 x)^{-3} \approx 1 + 12x$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E \approx \frac{(1+2x)(1+6x)}{(1+12x)} = \frac{1 + 8x + 12x^2}{1+12x}$.
$x^2$ और उच्च घातों को नगण्य मानने पर:
$E \approx \frac{1+8x}{1+12x} = (1+8x)(1+12x)^{-1}$.
पुनः द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर:
$E \approx (1+8x)(1-12x) = 1 - 12x + 8x - 96x^2$.
$x^2$ को नगण्य मानने पर:
$E \approx 1 - 4x$.

(B) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \dots$ है।
यह $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ के रूप में एक द्विपद श्रेणी है।
हम पदों को $1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2!}(\frac{2}{3})^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+2)}{3!}(\frac{2}{3})^3 + \dots$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $(1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$ है।

(A) माना $S = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots \infty$.
$x$ से गुणा करने पर,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots \infty$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + \ldots = \frac{1}{1-x}$.
अतः,$S = \frac{1}{(1-x)^2} = (1-x)^{-2}$.
दिया गया व्यंजक $(S)^{1/2} = ((1-x)^{-2})^{1/2} = (1-x)^{-1}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^n$ का गुणांक $1$ है।