Binomial theorem for any index Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक $(x+y)^{-5} = \frac{1}{x^5} \left(1 + \frac{y}{x}\right)^{-5}$ है,जहाँ $\left|\frac{y}{x}\right| < 1$ है।
द्विपद प्रसार $(1+z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $z = \frac{y}{x}$ और $n = 5$ है।
व्यापक पद $\binom{-5}{r} \left(\frac{y}{x}\right)^r$ द्वारा प्राप्त होता है।
हमें $\frac{y^3}{x^8} = \frac{1}{x^5} \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^3$ का गुणांक चाहिए।
यह $\left(1 + \frac{y}{x}\right)^{-5}$ के प्रसार में $r = 3$ वाले पद के अनुरूप है।
गुणांक $\binom{-5}{3} = \frac{(-5)(-6)(-7)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{-210}{6} = -35$ है।
अतः,गुणांक $-35$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है.

(A) माना $\frac{2x+1}{(1+x)(1-2x)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-2x}$.
तुलना करने पर $A = -\frac{1}{3}$ और $B = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2x+1}{(1+x)(1-2x)} = -\frac{1}{3}(1+x)^{-1} + \frac{4}{3}(1-2x)^{-1}$.
$x$ की प्रथम $5$ विषम घातों के गुणांकों का योग:
$= -\frac{1}{3}(-1-1-1-1-1) + \frac{4}{3}(2^1+2^3+2^5+2^7+2^9)$.
$= \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \times \frac{2(4^5-1)}{4-1} = \frac{5}{3} + \frac{8}{9}(4^5-1)$.

(D) दी गई श्रेणी $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \dots (3n-1)}{n! 3^{n-1}}$ है।
यह द्विपद विस्तार $(1-z)^{-p}$ के समान है।
पदों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि यह श्रेणी $(1-z)^{-2/3}$ से संबंधित है।
गणना करने पर,$x^2 + 8x + 8$ का मान $23$ प्राप्त होता है।

(C) $(1-x)^{-n} = 1+nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\dots$ for $|x| < 1$. This matches $(iii)$.
$(B)$ $(1+x)^{-n} = 1-nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2-\dots$ for $|x| < 1$. This matches $(ii)$.
$(C)$ For $x>1$,the series $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\dots$ is a geometric progression with first term $a=1$ and common ratio $r=\frac{1}{x}$. The sum is $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{x}} = \frac{x}{x-1}$. This matches $(iv)$.
$(D)$ Let $S = 1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{4}{x^6}+\dots$. This is of the form $(1+y)^{-2}$ where $y = \frac{1}{x^2}$.
$(1+y)^{-2} = 1-2y+3y^2-4y^3+\dots = 1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{4}{x^6}+\dots$.
Thus,$S = (1+\frac{1}{x^2})^{-2} = (\frac{x^2+1}{x^2})^{-2} = \frac{x^4}{(x^2+1)^2}$. This matches $(v)$.
Therefore,the correct matching is $(A)-(iii), (B)-(ii), (C)-(iv), (D)-(v)$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $E = \left(\frac{3x-5}{4x^2+3}\right)^{-4/5} = \left(\frac{4x^2+3}{3x-5}\right)^{4/5} = \left(\frac{4x}{3}\right)^{4/5} \left(1+\frac{3}{4x^2}\right)^{4/5} \left(1-\frac{5}{3x}\right)^{-4/5}$.
द्विपद प्रसार $(1+z)^n \approx 1+nz + \frac{n(n-1)}{2}z^2$ का उपयोग करते हुए:
$(1+\frac{3}{4x^2})^{4/5} \approx 1 + \frac{3}{5x^2}$.
$(1-\frac{5}{3x})^{-4/5} \approx 1 + \frac{4}{3x} + \frac{2}{x^2}$.
गुणा करने पर: $(1 + \frac{3}{5x^2})(1 + \frac{4}{3x} + \frac{2}{x^2}) \approx 1 + \frac{4}{3x} + \frac{13}{5x^2}$.
अतः,$E \approx \left(\frac{4x}{3}\right)^{4/5} \left(1 + \frac{4}{3x} + \frac{13}{5x^2}\right)$.

(B) व्यंजक $(2-3x)^{-1/3} = 2^{-1/3} (1 - \frac{3x}{2})^{-1/3}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!}z^4 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 1/3$ और $z = \frac{3x}{2}$ है।
$5^{\text{th}}$ पद $T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!} z^4$ है।
$n = 1/3$ रखने पर:
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{(1/3)(4/3)(7/3)(10/3)}{24} \times (\frac{3x}{2})^4$.
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{280/81}{24} \times \frac{81x^4}{16} = 2^{-1/3} \times \frac{35}{48} x^4$.
चूँकि $x = 1/2$ दिया गया है,$x^4 = 1/16$.
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{35}{48} \times \frac{1}{16} = \frac{35}{768 \times 2^{1/3}} = \frac{35}{768(\sqrt[3]{2})}$.

(B) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{4}{15} + \frac{4 \times 10}{15 \times 30} + \frac{4 \times 10 \times 16}{15 \times 30 \times 45} + \ldots \infty$ है।
यह श्रेणी $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \ldots$ के रूप में है।
तुलना करने पर,$nx = \frac{4}{15}$ और $\frac{n(n+1)}{2} x^2 = \frac{4}{45}$ प्राप्त होता है।
हल करने पर,$x = \frac{2}{5}$ और $n = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = (1 - 2/5)^{-2/3} = (3/5)^{-2/3} = (5/3)^{2/3}$।

(B) दी गई श्रेणी $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1 + y = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
यह $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ के रूप में है।
तुलना करने पर,$nx = \frac{3}{4}$ और $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{15}{32}$ प्राप्त होता है।
$n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ हल करने पर,$1 + y = (1 - 1/2)^{-3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1 + y)^2 = 8$,अतः $y^2 + 2y - 7 = 0$।

(D) $(1+x)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!}x^r + \dots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = \frac{27}{5} = 5.4$ है।
चूंकि $x > 0$ है,पद ऋणात्मक होंगे यदि $x^r$ का गुणांक ऋणात्मक हो।
व्यापक पद $t_{r+1} = \binom{n}{r} x^r = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^r$ है।
हम गुणांकों के चिह्नों की जाँच करते हैं:
$r=6$ के लिए गुणांक धनात्मक है,लेकिन $r=7$ के लिए गुणांक ऋणात्मक हो जाता है।
अतः,पहला ऋणात्मक पद $t_{7+1} = t_8$ है।
इस प्रकार,$k=8$।

(B) किसी भी घातांक $n$ के लिए $(1-x)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots$ द्वारा दिया जाता है।
$n = \frac{3}{2}$ के लिए,$x^3$ वाला पद $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3!}(-x)^3$ है।
इसकी गणना करने पर: $\frac{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2})}{6} \times (-x^3) = \frac{-\frac{3}{8}}{6} \times (-x^3) = \frac{3}{48}x^3 = \frac{1}{16}x^3$।
अतः,$x^3$ का गुणांक $\frac{1}{16}$ है।

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{(1-x)^{1/3}+(1-5x)^2}{(16-x)^{1/4}}$
$= \frac{1}{2} (1-x)^{1/3} (1-\frac{x}{16})^{-1/4} + \frac{1}{2} (1-5x)^2 (1-\frac{x}{16})^{-1/4}$
द्विपद प्रसार $(1+z)^n \approx 1+nz$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} (1-\frac{1}{3}x)(1+\frac{x}{64}) + \frac{1}{2} (1-10x)(1+\frac{x}{64})$
$= \frac{1}{2} [ (1 - \frac{1}{3}x + \frac{x}{64}) + (1 - 10x + \frac{x}{64}) ]$
$= \frac{1}{2} [ 2 - x(\frac{1}{3} + 10 - \frac{2}{64}) ]$
$= 1 - \frac{x}{2} (\frac{1}{3} + 10 - \frac{1}{32})$
$= 1 - \frac{x}{2} (\frac{32 + 960 - 3}{96}) = 1 - \frac{989}{192}x$
अतः,$x$ का गुणांक $-\frac{989}{192}$ है।

(C) $(1+x)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = \frac{21}{5} = 4.2$ है।
जब $(n-r+1) < 0$ होता है,तब गुणांक ऋणात्मक हो जाता है।
चूँकि $n-5 = 4.2 - 5 = -0.8$,इसलिए $x^6$ का गुणांक पहला ऋणात्मक पद होगा।
गणना करने पर,गुणांक $\frac{\frac{21}{5} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{11}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot (-\frac{4}{5})}{6!} = \frac{-616}{5^7}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक: $\sqrt{x^2+4}-\sqrt{x^2+9}$
$= 2(1+\frac{x^2}{4})^{1/2} - 3(1+\frac{x^2}{9})^{1/2}$
द्विपद विस्तार $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए
$= 2[1 + \frac{1}{2}(\frac{x^2}{4}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{x^2}{4})^2 + \dots] - 3[1 + \frac{1}{2}(\frac{x^2}{9}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{x^2}{9})^2 + \dots]$
$x^4$ वाला पद: $2[\frac{-1/4}{2}(\frac{x^4}{16})] - 3[\frac{-1/4}{2}(\frac{x^4}{81})]$
$= 2[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^4}{16}] - 3[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^4}{81}]$
$= -\frac{x^4}{64} + \frac{x^4}{216} = x^4(\frac{-216+64}{13824}) = x^4(\frac{-152}{13824}) = -\frac{19}{1728}x^4$
अतः,$x^4$ का गुणांक $-\frac{19}{1728}$ है।

(B) द्विपद विस्तार $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करते हुए:
$\sqrt{4+x} = 2(1+\frac{x}{4})^{\frac{1}{2}} \approx 2(1+\frac{x}{8}) = 2+\frac{x}{4}$
$\sqrt[3]{8-x} = 2(1-\frac{x}{8})^{\frac{1}{3}} \approx 2(1-\frac{x}{24}) = 2-\frac{x}{12}$
$(1-\frac{2x}{3})^{-\frac{3}{2}} \approx 1+(-\frac{3}{2})(-\frac{2x}{3}) = 1+x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(2+\frac{x}{4})+(2-\frac{x}{12})}{1} \times (1+x) = (4+\frac{3x-x}{12})(1+x) = (4+\frac{x}{6})(1+x)$
$x^2$ वाले पदों को नगण्य मानने पर:
$4+4x+\frac{x}{6} = 4+\frac{25x}{6}$
$x=\frac{6}{25}$ रखने पर:
$4+\frac{25}{6} \times \frac{6}{25} = 4+1 = 5$

(B) दिया गया है कि,$x = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12} + \ldots \infty \text{ पद}$.
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = \frac{1 \cdot 3}{3^2 \cdot 2!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3^3 \cdot 3!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3^4 \cdot 4!} + \ldots$
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \ldots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 1/2$ और $z = 2/3$ है।
$x = \left[ 1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2!}(\frac{2}{3})^2 + \ldots \right] - (1 + \frac{1}{3})$
$x = (1 - \frac{2}{3})^{-1/2} - \frac{4}{3}$
$x = (\frac{1}{3})^{-1/2} - \frac{4}{3} = \sqrt{3} - \frac{4}{3}$
$3x + 4 = 3\sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3x + 4)^2 = (3\sqrt{3})^2$
$9x^2 + 24x + 16 = 27$
$9x^2 + 24x = 11$.

(D) माना $u = x^{-2}$ है। चूंकि $x > \sqrt{3}$,इसलिए $x^2 > 3$,अतः $u = \frac{1}{x^2} < \frac{1}{3}$।
व्यंजक को $\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+3)}$ के रूप में लिखते हैं।
अंश और हर को $x^4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^{-2} + x^{-4}}{(1 + 2x^{-2})(1 + 3x^{-2})} = (u + u^2)(1 + 2u)^{-1}(1 + 3u)^{-1}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1+z)^{-1} = 1 - z + z^2 - z^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$(1+2u)^{-1} = 1 - 2u + 4u^2 - 8u^3 + \dots$
$(1+3u)^{-1} = 1 - 3u + 9u^2 - 27u^3 + \dots$
इनका गुणा करने पर: $(1+2u)^{-1}(1+3u)^{-1} = 1 - 5u + 19u^2 - 65u^3 + \dots$
अब,$(u + u^2)(1 - 5u + 19u^2 - 65u^3 + \dots) = u - 4u^2 + 14u^3 - 46u^4 + \dots$
$x^{-8}$ पद $u^4$ के अनुरूप है। अतः गुणांक $-46$ है।

(C) हम जानते हैं कि $(1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + . . . \infty$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + . . . \infty$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2(1 - x)^{-3} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty$.
अतः,$(1 - x)^{-3} = \frac{1}{2}(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty)$.
दिए गए व्यंजक में मान रखने पर: $[\frac{1}{2}(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty)]^{-25} = [(1 - x)^{-3}]^{-25} = (1 - x)^{75}$.
$(1 - x)^{75}$ के विस्तार में पदों की संख्या $75 + 1 = 76$ है।

(D) $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots$ के द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{1}{4}$ और $z = 3x$:
विस्तार $(1-3x)^{-1/4} = 1 + (\frac{1}{4})(3x) + \frac{(\frac{1}{4})(\frac{1}{4}+1)}{2!}(3x)^2 + \dots$
$x^2$ वाला पद $\frac{(\frac{1}{4})(\frac{5}{4})}{2} \times (9x^2)$ है।
$x^2$ का गुणांक $= \frac{5}{16 \times 2} \times 9 = \frac{45}{32}$

(C) चूंकि $x$ बहुत छोटा है,हम द्विपद सन्निकटन $(1+nx) \approx (1+x)^n$ का उपयोग कर सकते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति के लिए:
$\left(1+\frac{3}{4} x\right)^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} x = 1 + \frac{3}{8} x$
$\left(1-\frac{2}{3} x\right)^{-2} \approx 1 + (-2) \cdot \left(-\frac{2}{3} x\right) = 1 + \frac{4}{3} x$
इन दोनों का गुणा करने पर और $x^2$ वाले पदों को छोड़ने पर:
$\left(1+\frac{3}{8} x\right)\left(1+\frac{4}{3} x\right) \approx 1 + \frac{3}{8} x + \frac{4}{3} x = 1 + \frac{41}{24} x = \frac{24+41 x}{24}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दी गई श्रेणी $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}{4 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 4n}$ है।
इसे $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{2n+1}{2}}{n!} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विपद प्रसार $(1-y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 + \ldots$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \sqrt{2} - 5/4$ प्राप्त होता है।
अब,$2x^2 + 5x$ की गणना करने पर:
$2x^2 = 4 + 25/8 - 5\sqrt{2}$.
$5x = 5\sqrt{2} - 25/4$.
योग करने पर: $2x^2 + 5x = 4 - 25/8 = 7/8$.

(C) माना $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$
$3$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots \right)$
हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ होता है।
कोष्ठक के अंदर की श्रेणी की तुलना विस्तार से करने पर,हम $n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ रखते हैं।
श्रेणी $1 - \frac{3}{2}(\frac{1}{2}) + \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}{2!}(\frac{1}{2})^2 - \ldots$ का मान $(1 + \frac{1}{2})^{-3/2}$ के बराबर है।
चूँकि हमारी श्रेणी दूसरे पद से शुरू होती है:
$\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \ldots = 1 - (1 + \frac{1}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{3}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{2}{3})^{3/2} = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.
इस मान को $S$ के समीकरण में रखने पर:
$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \right) = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}$.

(B) दी गई श्रेणी $\alpha = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{5 \times 7 \times \ldots \times (2k+1)}{k! \times 3^{k-1}}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$(\alpha+2)^2 = 27$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + 4\alpha + 4 = 27$.
इस प्रकार,$\alpha^2 + 4\alpha = 23$।

(C) हमारे पास $(1+x)^2(8-x)^{-\frac{1}{3}} = (1+2x+x^2) \cdot 8^{-\frac{1}{3}} (1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}}$ है।
चूंकि $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$,व्यंजक $\frac{1}{2}(1+2x+x^2)(1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}}$ हो जाता है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए,$(1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}} = 1 + \frac{x}{24} + \frac{x^2}{288}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{1}{2}(1+2x+x^2)(1 + \frac{x}{24} + \frac{x^2}{288})$ का गुणा करने पर $x^2$ का गुणांक $\frac{1}{2} [\frac{1}{288} + \frac{2}{24} + 1] = \frac{313}{576}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \dots$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \dots$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + x = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \dots$
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$1 + x = (1 - 2/5)^{-1/2} = (3/5)^{-1/2} = (5/3)^{1/2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1 + x)^2 = 5/3$
$1 + 2x + x^2 = 5/3$
$3 + 6x + 3x^2 = 5$
$3x^2 + 6x = 2$

(A) द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ का उपयोग करने पर।
$n = \frac{1}{2}$ रखने पर,$(1-x)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{8}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{48}x^3 + \ldots$
दी गई श्रेणी से तुलना करने पर,$\frac{1}{2}x = \frac{1}{4}$ रखने पर $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1 - \frac{1}{2})^{-1/2} = (\frac{1}{2})^{-1/2} = \sqrt{2}$।

(C) दी गई श्रेणी $(1-\alpha)^{-p/q} = 1 + \frac{p}{1!}(\frac{\alpha}{q}) + \frac{p(p+q)}{2!}(\frac{\alpha}{q})^2 + \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!}(\frac{\alpha}{q})^3 + \ldots$ के रूप में है।
इस श्रेणी की तुलना करने पर,हमें $p=3$,$p+q=7$,और $p+2q=11$ प्राप्त होता है।
$p=3$ और $p+q=7$ से,$q=4$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\frac{\alpha}{q} = \frac{1}{6}$ है,इसलिए $\alpha = \frac{q}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$।
अतः,$x = (1-\alpha)^{-p/q} = (1-\frac{2}{3})^{-3/4} = (\frac{1}{3})^{-3/4} = (3)^{3/4}$।
इसलिए,$x^4 = (3^{3/4})^4 = 3^3 = 27$।

(B) माना कि श्रेणी $S = \frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \ldots$ है।
द्विपद विस्तार $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots$ का उपयोग करते हुए,
$n = -1/2$ के लिए,$(1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \ldots$
इस श्रेणी का योग $\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $f(x) = \left(\frac{2-x}{1+2x}\right)^2 = (2-x)^2 (1+2x)^{-2}$ है।
$(2-x)^2 = 4 - 4x + x^2$ का विस्तार।
$(1+2x)^{-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए।
अतः,$f(x) = (4 - 4x + x^2) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$।
$x^6$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$4 \times [x^6 \text{ का गुणांक}] - 4 \times [x^5 \text{ का गुणांक}] + 1 \times [x^4 \text{ का गुणांक}]$।
$= 4 \times (7 \times 64) - 4 \times (-6 \times 32) + (5 \times 16)$।
$= 1792 + 768 + 80 = 2640$।

(C) हम जानते हैं कि $(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)y^2}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)y^3}{3!} + \dots$
दिया गया व्यंजक: $\left(5x + \frac{7}{x}\right)^{-3/2} = (5x)^{-3/2} \left(1 + \frac{7}{5x^2}\right)^{-3/2}$.
माना $y = \frac{7}{5x^2}$ और $n = -3/2$.
चौथा पद $T_4$,$y^3$ वाला पद है:
$T_4 = (5x)^{-3/2} \times \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} y^3$.
मान रखने पर:
$T_4 = (5x)^{-3/2} \times \frac{(-3/2)(-5/2)(-7/2)}{6} \left(\frac{7}{5x^2}\right)^3$.
$T_4 = -\frac{7^4}{2^4 \times 5^{7/2} x^{15/2}}$.
अब,$\left(x^7 \sqrt{5x}\right) T_4 = x^7 \cdot 5^{1/2} x^{1/2} \cdot \left(-\frac{7^4}{2^4 \cdot 5^{7/2} x^{15/2}}\right) = -\frac{7^4}{2^4 \cdot 5^3}$.

(B) दी गई श्रेणी $3x = 1 + \frac{5}{8} + \frac{5 \times 9}{8 \times 16} + \dots$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$x=1$ प्राप्त होता है।
$x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x = (x+1)^4 - 1$।
$x=1$ रखने पर,$(1+1)^4 - 1 = 16 - 1 = 15$।
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1$ है।

(B) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ,$n = \frac{1}{2}$ और $z = -\frac{3}{4}x$ है।
$x^3$ वाला पद $\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!} (-\frac{3}{4}x)^3$
$= \frac{\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{3}{2})}{6} \times (-\frac{27}{64}x^3)$
$= \frac{3/8}{6} \times (-\frac{27}{64}x^3)$
$= \frac{1}{16} \times (-\frac{27}{64}x^3) = -\frac{27}{1024}x^3$.
अतः,$x^3$ का गुणांक $-\frac{27}{1024}$ है।

(A) व्यंजक $(7-5 x)^{-\frac{2}{3}} = 7^{-\frac{2}{3}} \left(1 - \frac{5x}{7}\right)^{-\frac{2}{3}}$ है।
द्विपद विस्तार के मान्य होने के लिए,यह आवश्यक है कि $\left| \frac{5x}{7} \right| < 1$ हो।
इसका अर्थ है $-1 < \frac{5x}{7} < 1$।
$7$ से गुणा करने पर,हमें $-7 < 5x < 7$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $-\frac{7}{5} < x < \frac{7}{5}$ हो जाता है।
इसे अंतराल $(-a, a)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$5a + 7 = 5 \times \left(\frac{7}{5}\right) + 7 = 7 + 7 = 14$।

(C) व्यंजक $\frac{(1+x)^2}{(1-2x)^3} = (1+2x+x^2)(1-2x)^{-3}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{n+r-1}{r} z^r$ का उपयोग करने पर,$(1-2x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} (2x)^r$ प्राप्त होता है।
$(1-2x)^{-3}$ में $x^r$ का गुणांक $\binom{r+2}{2} 2^r$ है।
हमें $(1+2x+x^2) \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} 2^r x^r$ में $x^{13}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $1 \cdot \binom{15}{2} 2^{13} + 2 \cdot \binom{14}{2} 2^{12} + 1 \cdot \binom{13}{2} 2^{11}$ के बराबर है।
$= 105 \cdot 2^{13} + 91 \cdot 2^{13} + 78 \cdot 2^{11}$.
$= 2^{11} (105 \cdot 4 + 91 \cdot 4 + 78) = 2^{11} (420 + 364 + 78) = 2^{11} (862) = 2^{10} (1724)$.
अतः,$A = 1724$।

(C) $(1+x)^{15}$ के विस्तार में,$x^{10}$ का गुणांक ${}^{15}C_{10}$ है।
$(1-x)^{-n}$ का विस्तार $1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{n(n+1)\dots(n+r-1)}{r!}x^r + \dots$ है।
अतः,$(1-x)^{-n}$ में $x^5$ का गुणांक $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!} = {}^{15}C_{10}$ है।
हम जानते हैं कि ${}^{15}C_{10} = {}^{15}C_{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$ है।
अतः,$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 5! \times {}^{15}C_{5} = 120 \times 3003 = 360360$ है।
वैकल्पिक रूप से,$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15$ है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $n = 11$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{1+2x}{(1-2x)^2} = (1+2x)(1-2x)^{-2}$ है।
ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1-y)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)y^k$ है।
$y = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,$(1-2x)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k$ प्राप्त होता है।
अब,$(1+2x)$ से गुणा करने पर:
$(1+2x) \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} 2(k+1) 2^k x^{k+1}$।
$x^r$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम पहले योग से $k=r$ वाला पद और दूसरे योग से $k+1=r$ (अर्थात $k=r-1$) वाला पद लेते हैं:
$x^r$ का गुणांक $= (r+1) 2^r + 2((r-1)+1) 2^{r-1}$।
$= (r+1) 2^r + 2(r) 2^{r-1} = (r+1) 2^r + r 2^r$।
$= (r+1+r) 2^r = (2r+1) 2^r$।

(A) ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद प्रसार: $(1-x)^{-n} = 1+nx+\frac{n(n+1)}{1 \cdot 2} x^2+\frac{n(n+1)(n+2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3+\ldots$
$n = \frac{2}{3}$ और $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$(1-\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = 1 + (\frac{2}{3})(\frac{1}{2}) + \frac{(\frac{2}{3})(\frac{5}{3})}{1 \cdot 2} (\frac{1}{2})^2 + \frac{(\frac{2}{3})(\frac{5}{3})(\frac{8}{3})}{1 \cdot 2 \cdot 3} (\frac{1}{2})^3 + \ldots$
$(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9} \cdot \frac{1}{8} + \ldots$
चूँकि $(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = (2^{-1})^{-\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}$,अतः कथन $(A)$ सही है और कारण $(R)$ इसकी सही व्याख्या है।

(B) दी गई श्रेणी $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$y + 1 = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$।
यह $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ के रूप में है।
यहाँ,$nx = \frac{3}{4}$ और $\frac{n(n+1)}{2!}x^2 = \frac{15}{32}$ है।
$n$ और $x$ के लिए हल करने पर,हमें $n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y + 1 = (1 - \frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y + 1)^2 = 2^3 = 8$।
$y^2 + 2y + 1 = 8 \Rightarrow y^2 + 2y - 7 = 0$।

(C) दी गई श्रेणी $x = \frac{2 \cdot 5}{2! \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 7}{3! \cdot 3^2} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{4! \cdot 3^3} + \ldots$ है।
द्विपद प्रसार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!} z^2 + \ldots$ का उपयोग करने पर,
$n = \frac{3}{2}$ और $z = \frac{2}{3}$ रखने पर,
$(1/3)^{-3/2} = 2 + x$ प्राप्त होता है।
अतः $3^{3/2} = 2 + x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$27 = (2+x)^2 = 4 + x^2 + 4x$।
$x^2 + 4x = 23$।
इस प्रकार,$x^2 + 8x + 8 = 100$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक: $f(x) = \sqrt{3+x} + \sqrt{5+x}$.
$3 < x < 5$ के लिए, हम पदों का विस्तार इस प्रकार करते हैं:
$f(x) = x^{1/2}(1 + 3/x)^{1/2} + \sqrt{5}(1 + x/5)^{1/2}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए:
पद $1$: $x^{1/2} [1 + \frac{1}{2}(\frac{3}{x}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}(\frac{3}{x})^2 + \dots] = x^{1/2} + \frac{3}{2}x^{-1/2} - \frac{9}{8}x^{-3/2} + \dots$
$x^{-3/2}$ का गुणांक $-\frac{9}{8}$ है।
पद $2$: $\sqrt{5} [1 + \frac{1}{2}(\frac{x}{5}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}(\frac{x}{5})^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{6}(\frac{x}{5})^3 + \dots]$
$x^3$ का गुणांक $\sqrt{5} \times \frac{(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{6} \times \frac{1}{5^3} = \frac{1}{16 \times 5^{5/2}}$ है।
गुणांकों का योग: $-\frac{9}{8} + \frac{3 \times 5^{-5/2}}{8} = \frac{3 \times 5^{-5/2} - 18}{8}$.
अतः, विकल्प $B$ सही है।

(B) माना श्रेणी $S = \frac{3}{10} + \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 11}{10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$ है।
पदों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$S = \frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 7}{5^2 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 11}{5^3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots$
द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ के साथ तुलना करने पर,
श्रेणी का योग $\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - \frac{8}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई श्रेणी $1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \dots = (1-x)^{-n}$ के रूप में है।
पदों की तुलना करने पर,$nx = \frac{2}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{12}$ और $x = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n \times \frac{1}{8} = \frac{1}{12} \implies n = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
श्रेणी $(1 - \frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$ होगी।
$= (\frac{7}{8})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{8}{7})^{\frac{2}{3}} = \frac{8^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = \frac{(2^3)^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^2}{\sqrt[3]{49}} = \frac{4}{\sqrt[3]{49}}$.

(B) दी गई व्यंजक $x^{3/2}(3+x)^{1/2}$ है।
चूंकि $|x|>3$,हम इसे $x^{3/2} \cdot x^{1/2} (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(1+z)^k = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{k}{r} z^r$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\binom{k}{r} = \frac{k(k-1)\dots(k-r+1)}{r!}$ है।
यहाँ $k = 1/2$ और $z = 3/x$ है।
अतः,$x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} (\frac{3}{x})^r = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} 3^r x^{2-r}$।
हमें $\frac{1}{x^n}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $2-r = -n$ रखने पर,$r = n+2$ प्राप्त होता है।
गुणांक $\binom{1/2}{n+2} 3^{n+2}$ है।
$\binom{1/2}{n+2} = \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)\dots(-(2n+1)/2)}{(n+2)!} = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2} (n+2)!}$।
इसे $3^{n+2}$ से गुणा करने पर,गुणांक $(-1)^{n+1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2}(n+2)!} 3^{n+2}$ प्राप्त होता है।