Partial fractions Questions in Gujarati

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{2x + 3}{(x + 1)(x - 3)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 3}$.
બંને બાજુ $(x + 1)(x - 3)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $2x + 3 = a(x - 3) + b(x + 1)$.
$a$ શોધવા માટે,$x = -1$ મૂકતા: $2(-1) + 3 = a(-1 - 3)$ $\Rightarrow 1 = -4a$ $\Rightarrow a = -\frac{1}{4}$.
$b$ શોધવા માટે,$x = 3$ મૂકતા: $2(3) + 3 = b(3 + 1)$ $\Rightarrow 9 = 4b$ $\Rightarrow b = \frac{9}{4}$.
તેથી,$a + b = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{3x + a}{x^2 - 3x + 2} = \frac{A}{x - 2} - \frac{10}{x - 1}$
કારણ કે $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{3x + a}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{A(x - 1) - 10(x - 2)}{(x - 2)(x - 1)}$
અંશને સરખાવતા:
$3x + a = A(x - 1) - 10(x - 2)$
$3x + a = Ax - A - 10x + 20$
$3x + a = (A - 10)x + (20 - A)$
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોને સરખાવતા:
$3 = A - 10 \implies A = 13$
$a = 20 - A \implies a = 20 - 13 = 7$
આમ,$a = 7$ અને $A = 13$ બંને સાચા છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x + 4}{{(x + 1)}^2(x - 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{{(x + 1)}^2}$
બંને બાજુઓને છેદ ${(x + 1)}^2(x - 1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$3x + 4 = A{(x + 1)}^2 + B(x + 1)(x - 1) + C(x - 1)$
$A$ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$3(1) + 4 = A(1 + 1)^2 + B(1 + 1)(1 - 1) + C(1 - 1)$
$7 = A(2)^2 + 0 + 0$
$7 = 4A$
$A = \frac{7}{4} = 1.75$

(C) ધારો કે $\frac{3x - 1}{(x^2 - x + 1)(x + 2)} = \frac{Ax + B}{x^2 - x + 1} + \frac{C}{x + 2}$.
બંને બાજુ $(x^2 - x + 1)(x + 2)$ વડે ગુણતા:
$3x - 1 = (Ax + B)(x + 2) + C(x^2 - x + 1)$.
$x = -2$ માટે:
$3(-2) - 1 = C((-2)^2 - (-2) + 1)$
$-7 = C(4 + 2 + 1) \implies -7 = 7C \implies C = -1$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$0 = A + C \implies A = -C = 1$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$-1 = 2B + C \implies -1 = 2B - 1 \implies 2B = 0 \implies B = 0$.
$A=1, B=0, C=-1$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{(x - 1)(x^2 + 1)^2} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^2 + 1} \right] + y$
ડાબી બાજુનું આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજન કરતા: $\frac{x}{(x - 1)(x^2 + 1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} + \frac{Dx + E}{(x^2 + 1)^2}$
આપેલ પદ સાથે સરખાવતા,$y = \frac{Dx + E}{(x^2 + 1)^2}$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$y = \frac{1 - x}{2(x^2 + 1)^2}$ મળે છે.

(A) આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને: $\frac{5x + 6}{(2 + x)(1 - x)} = \frac{A}{2 + x} + \frac{B}{1 - x}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા: $5x + 6 = A(1 - x) + B(2 + x)$.
$x = 1$ માટે: $11 = 3B \implies B = \frac{11}{3}$.
$x = -2$ માટે: $-4 = 3A \implies A = -\frac{4}{3}$.
આમ,પદાવલિ $\frac{-4/3}{2 + x} + \frac{11/3}{1 - x} = \frac{-2/3}{1 + x/2} + \frac{11/3}{1 - x}$ થાય.
દ્વિપદી શ્રેણી $(1 + z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^n$ અને $(1 - z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$ નો ઉપયોગ કરીને:
$= -\frac{2}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x}{2}\right)^n + \frac{11}{3} \sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
$x^n$ નો સહગુણક $-\frac{2}{3} \cdot \frac{(-1)^n}{2^n} + \frac{11}{3}$ છે.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{1}{x(x + 1)...(x + n)} = \sum_{r=0}^{n} \frac{A_r}{x + r}$.
$A_r$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $(x + r)$ વડે ગુણો અને $x \to -r$ લેતા:
$A_r = \lim_{x \to -r} \frac{x + r}{x(x + 1)...(x + n)}$.
આ $\frac{1}{\prod_{k=0, k \neq r}^{n} (-r + k)}$ ની બરાબર છે.
છેદમાં ગુણાકાર: $(-r)(-r+1)...(-1) \times (1)(2)...(n-r)$ છે.
આનું સાદું રૂપ $(-1)^r \times r! \times (n-r)!$ થાય છે.
તેથી,$A_r = \frac{1}{(-1)^r r! (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r!(n-r)!}$.

(C) ધારો કે $\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$.
બંને બાજુ $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ વડે ગુણતા:
$x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2)$.
$x = 1$ માટે: $1 + 1 = A(1 - 2)(1 - 3)$ $\Rightarrow 2 = A(-1)(-2)$ $\Rightarrow 2 = 2A$ $\Rightarrow A = 1$.
$x = 2$ માટે: $2 + 1 = B(2 - 1)(2 - 3)$ $\Rightarrow 3 = B(1)(-1)$ $\Rightarrow 3 = -B$ $\Rightarrow B = -3$.
$x = 3$ માટે: $3 + 1 = C(3 - 1)(3 - 2)$ $\Rightarrow 4 = C(2)(1)$ $\Rightarrow 4 = 2C$ $\Rightarrow C = 2$.
તેથી,આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન $\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{ax^2 + bx + c}{(x - 1)(x + 2)(2x + 3)} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 2} - \frac{5}{2x + 3}$.
બંને બાજુ છેદ $(x - 1)(x + 2)(2x + 3)$ વડે ગુણતા:
$ax^2 + bx + c = 3(x + 2)(2x + 3) + 2(x - 1)(2x + 3) - 5(x - 1)(x + 2)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(2x^2 + 7x + 6) + 2(2x^2 + x - 3) - 5(x^2 + x - 2)$
$= (6x^2 + 21x + 18) + (4x^2 + 2x - 6) - (5x^2 + 5x - 10)$
$= (6 + 4 - 5)x^2 + (21 + 2 - 5)x + (18 - 6 + 10)$
$= 5x^2 + 18x + 22$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = 5$,$b = 18$,અને $c = 22$ મળે છે.
આમ,$a = 5$ સાચું છે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{e^x + 2}{(e^x - 1)(2e^x - 3)} = -\frac{3}{e^x - 1} + \frac{B}{2e^x - 3}$
છેદ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $(e^x - 1)(2e^x - 3)$ વડે ગુણતા:
$e^x + 2 = -3(2e^x - 3) + B(e^x - 1)$
$e^x + 2 = -6e^x + 9 + Be^x - B$
$e^x + 2 = (B - 6)e^x + (9 - B)$
$e^x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$B - 6 = 1 \Rightarrow B = 7$
$9 - B = 2 \Rightarrow B = 7$
આમ,$B = 7$.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x + 4}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{A}{x - 2} - \frac{B}{x - 1}$.
બંને બાજુ $(x - 2)(x - 1)$ વડે ગુણતા: $3x + 4 = A(x - 1) - B(x - 2)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x + 4 = Ax - A - Bx + 2B = (A - B)x + (-A + 2B)$.
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$A - B = 3$ (સમીકરણ $1$)
$-A + 2B = 4$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(A - B) + (-A + 2B) = 3 + 4 \Rightarrow B = 7$.
$B = 7$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $A - 7 = 3 \Rightarrow A = 10$.
તેથી,$(A, B) = (10, 7)$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} = k \left( \frac{a^2}{x^2 + a^2} - \frac{b^2}{x^2 + b^2} \right)$
જમણી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{x^2}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} = k \left( \frac{a^2(x^2 + b^2) - b^2(x^2 + a^2)}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} \right)$
અંશને સરખાવતા:
$x^2 = k [a^2 x^2 + a^2 b^2 - b^2 x^2 - a^2 b^2]$
$x^2 = k [a^2 x^2 - b^2 x^2]$
$x^2 = k x^2 (a^2 - b^2)$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા:
$1 = k(a^2 - b^2)$
તેથી,$k = \frac{1}{a^2 - b^2}$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{9}{(x - 1)(x + 2)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^2}$.
બંને બાજુ $(x - 1)(x + 2)^2$ વડે ગુણતા: $9 = A(x + 2)^2 + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)$.
$x = 1$ માટે: $9 = A(1 + 2)^2$ $\Rightarrow 9 = 9A$ $\Rightarrow A = 1$.
$x = -2$ માટે: $9 = C(-2 - 1)$ $\Rightarrow 9 = -3C$ $\Rightarrow C = -3$.
બંને બાજુ $x^2$ ના સહગુણકોને સરખાવતા: $0 = A + B \Rightarrow B = -A = -1$.
તેથી,$A - B - C = 1 - (-1) - (-3) = 1 + 1 + 3 = 5$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{ax + b}{(3x + 4)^2} = \frac{1}{3x + 4} - \frac{3}{(3x + 4)^2}$
$a$ અને $b$ શોધવા માટે,બંને બાજુને $(3x + 4)^2$ વડે ગુણતા:
$ax + b = (3x + 4) - 3$
$ax + b = 3x + 1$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$a = 3$
$b = 1$
આમ,વિકલ્પ $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે $\frac{x^2 + 13x + 15}{(2x + 3)(x + 3)^2} = \frac{A}{2x + 3} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^2}$.
બંને બાજુ $(2x + 3)(x + 3)^2$ વડે ગુણતા:
$x^2 + 13x + 15 = A(x + 3)^2 + B(2x + 3)(x + 3) + C(2x + 3)$.
$x = -3$ માટે,$C = 5$ મળે છે.
$x = -\frac{3}{2}$ માટે,$A = -1$ મળે છે.
$x^2$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$1 = A + 2B \Rightarrow B = 1$.
આમ,જવાબ $\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{2x + 3} + \frac{5}{(x + 3)^2}$ છે.

(C) ધારો કે $\frac{3x^3 - 8x^2 + 10}{(x - 1)^4} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x - 1)^3} + \frac{D}{(x - 1)^4}$.
બંને બાજુ $(x - 1)^4$ વડે ગુણતા:
$3x^3 - 8x^2 + 10 = A(x - 1)^3 + B(x - 1)^2 + C(x - 1) + D$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3x^3 - 8x^2 + 10 = A(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + B(x^2 - 2x + 1) + C(x - 1) + D$.
$x$ ના ઘાતાંકોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^3$ નો સહગુણક: $A = 3$.
$x^2$ નો સહગુણક: $-3A + B = -8$ $\Rightarrow -3(3) + B = -8$ $\Rightarrow B = 1$.
$x$ નો સહગુણક: $3A - 2B + C = 0$ $\Rightarrow 3(3) - 2(1) + C = 0$ $\Rightarrow 9 - 2 + C = 0$ $\Rightarrow C = -7$.
અચળ પદ: $-A + B - C + D = 10$ $\Rightarrow -3 + 1 - (-7) + D = 10$ $\Rightarrow 5 + D = 10$ $\Rightarrow D = 5$.
આમ,આંશિક અપૂર્ણાંકો $\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{7}{(x - 1)^3} + \frac{5}{(x - 1)^4}$ છે.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{(x - 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$.
બંને બાજુ $x(x^2 + 1)$ વડે ગુણતા: $(x - 1)^2 = A(x^2 + 1) + x(Bx + C)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx$.
$x$ ના ઘાત મુજબ પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 2x + 1 = (A + B)x^2 + Cx + A$.
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) અચળ પદ: $A = 1$.
$2$) $x$ નો સહગુણક: $C = -2$.
$3$) $x^2$ નો સહગુણક: $A + B = 1$. $A = 1$ હોવાથી,$1 + B = 1$,જે $B = 0$ આપે છે.
આમ,$A = 1, B = 0, C = -2$.

(D) આપેલ છે $\frac{2x}{x^3 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}$.
બંને બાજુ $(x^3 - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ વડે ગુણતા:
$2x = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1)$.
$x = 1$ માટે,$2 = 3A \Rightarrow A = \frac{2}{3}$.
$RHS$ નું વિસ્તરણ કરતા: $2x = (A + B)x^2 + (A - B + C)x + (A - C)$.
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $A + B = 0 \Rightarrow B = -\frac{2}{3}$.
અચળ પદ સરખાવતા: $A - C = 0 \Rightarrow C = \frac{2}{3}$.
આમ,$A = \frac{2}{3}$,$B = -\frac{2}{3}$,અને $C = \frac{2}{3}$.
તેથી $A = C \neq B$ થાય છે.

(B) આપેલ અપૂર્ણાંકને આંશિક અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવતા:
$\frac{x^2 + 1}{(2x - 1)(x^2 - 1)} = \frac{A}{2x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$
બંને બાજુ $(2x - 1)(x^2 - 1)$ વડે ગુણતા:
$x^2 + 1 = A(x^2 - 1) + B(2x - 1)(x - 1) + C(2x - 1)(x + 1)$
$x = 1$ માટે:
$1^2 + 1 = C(2(1) - 1)(1 + 1)$ $\Rightarrow 2 = 2C$ $\Rightarrow C = 1$
$x = -1$ માટે:
$(-1)^2 + 1 = B(2(-1) - 1)(-1 - 1)$ $\Rightarrow 2 = B(-3)(-2)$ $\Rightarrow 2 = 6B$ $\Rightarrow B = \frac{1}{3}$
$x = \frac{1}{2}$ માટે:
$(\frac{1}{2})^2 + 1 = A((\frac{1}{2})^2 - 1)$ $\Rightarrow \frac{5}{4} = A(\frac{1}{4} - 1)$ $\Rightarrow \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}A$ $\Rightarrow A = -\frac{5}{3}$
$A, B,$ અને $C$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-5}{3(2x - 1)} + \frac{1}{3(x + 1)} + \frac{1}{x - 1}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{ax - 1}{(1 - x + x^2)(2 + x)} = \frac{x}{1 - x + x^2} - \frac{1}{2 + x}$
બંને બાજુ સામાન્ય છેદ $(1 - x + x^2)(2 + x)$ વડે ગુણતા:
$ax - 1 = x(2 + x) - 1(1 - x + x^2)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$ax - 1 = 2x + x^2 - 1 + x - x^2$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$ax - 1 = 3x - 1$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$a = 3$

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$
બંને બાજુ $x(x^2 + 1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$
$1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx$
$1 = (A + B)x^2 + Cx + A$
બંને બાજુ $x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A + B = 0$
$C = 0$
$A = 1$
$A = 1$ ને $A + B = 0$ માં મૂકતા,આપણને $1 + B = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $B = -1$.
આમ,$(A, B, C) = (1, -1, 0)$.

(D) આપણે પદાવલિ $\frac{2x}{x^4 + x^2 + 1}$ થી શરૂઆત કરીએ છીએ.
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડો: $x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$.
વર્ગોના તફાવતનું સૂત્ર $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$ મળે છે.
હવે,અપૂર્ણાંકને આ રીતે દર્શાવો: $\frac{2x}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\frac{2x}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x^2 - x + 1} + \frac{B}{x^2 + x + 1}$ લઈએ છીએ.
ઉકેલતા,આપણને તફાવત મળે છે: $\frac{1}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x^2 + x + 1} = \frac{(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{2x}{x^4 + x^2 + 1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x^2 + 5}{(x^2 + 1)^2} = \frac{a}{x^2 + 1} + \frac{b}{(x^2 + 1)^2}$
બંને બાજુ $(x^2 + 1)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $3x^2 + 5 = a(x^2 + 1) + b$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x^2 + 5 = ax^2 + a + b$
બંને બાજુ $x^2$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$a = 3$
$a + b = 5$
બીજા સમીકરણમાં $a = 3$ મૂકતા: $3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$
તેથી,$(a, b) = (3, 2)$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)(x - d)} = \frac{A}{x - c} - \frac{B}{x - d} + C$
બંને બાજુ $(x - c)(x - d)$ વડે ગુણતા:
$(x - a)(x - b) = A(x - d) - B(x - c) + C(x - c)(x - d)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - (a + b)x + ab = Ax - Ad - Bx + Bc + C(x^2 - (c + d)x + cd)$
બંને બાજુ $x^2$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$1 = C$
તેથી,$C = 1$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2}$.
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આપણે ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2} = 1 + \frac{3x - 7}{x^2 - 3x + 2}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
બાકી રહેલા પદને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં દર્શાવતા: $\frac{3x - 7}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
$3x - 7 = A(x - 2) + B(x - 1)$.
$x = 1$ લેતા: $3(1) - 7 = A(1 - 2)$ $\Rightarrow -4 = -A$ $\Rightarrow A = 4$.
$x = 2$ લેતા: $3(2) - 7 = B(2 - 1) \Rightarrow -1 = B$.
આમ,$\frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2} = 1 + \frac{4}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}$.

(A) અંશને છેદ વડે ભાગતા: $\frac{6x^4 + 5x^3 + x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x + 1} = x^2 + \frac{5x + 2}{6x^2 + 5x + 1}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $6x^2 + 5x + 1 = (2x + 1)(3x + 1)$.
હવે,$\frac{5x + 2}{(2x + 1)(3x + 1)}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવતા: $\frac{5x + 2}{(2x + 1)(3x + 1)} = \frac{A}{2x + 1} + \frac{B}{3x + 1}$.
$5x + 2 = A(3x + 1) + B(2x + 1)$.
$x = -\frac{1}{2}$ લેતા,$A = 1$ મળે છે.
$x = -\frac{1}{3}$ લેતા,$B = 1$ મળે છે.
આમ,અભિવ્યક્તિ $x^2 + \frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{3x + 1}$ થાય છે.

(D) ધારો કે $u = \sin x$. પદાવલિ $\frac{u^2 + 1}{2u^2 - 5u + 3} = \frac{u^2 + 1}{(2u - 3)(u - 1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ $\frac{u^2 + 1}{(2u - 3)(u - 1)} = C + \frac{A}{2u - 3} + \frac{B}{u - 1}$.
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,$C$ એ અગ્ર સહગુણકોનો ગુણોત્તર છે: $C = \frac{1}{2}$.
હવે,$\frac{u^2 + 1}{(2u - 3)(u - 1)} = \frac{1}{2} + \frac{A}{2u - 3} + \frac{B}{u - 1}$.
$\frac{u^2 + 1 - \frac{1}{2}(2u^2 - 5u + 3)}{(2u - 3)(u - 1)} = \frac{\frac{5}{2}u - \frac{1}{2}}{(2u - 3)(u - 1)} = \frac{A}{2u - 3} + \frac{B}{u - 1}$.
કવર-અપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$B$ માટે: $(u - 1)$ વડે ગુણીને $u = 1$ મૂકતા: $B = \frac{\frac{5}{2}(1) - \frac{1}{2}}{2(1) - 3} = \frac{2}{-1} = -2$.
$A$ માટે: $(2u - 3)$ વડે ગુણીને $u = \frac{3}{2}$ મૂકતા: $A = \frac{\frac{5}{2}(\frac{3}{2}) - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{\frac{15}{4} - \frac{2}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{13}{4} \times 2 = \frac{13}{2}$.
આમ,$A = \frac{13}{2}$,$B = -2$,$C = \frac{1}{2}$.
$A + B + C = \frac{13}{2} - 2 + \frac{1}{2} = 7 - 2 = 5$.
તેથી,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(B) આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{3x}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $A = 2$ અને $B = 1$ મળે છે,તેથી $\frac{3x}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} = -\frac{1}{1 - x/2} + \frac{1}{1 + x}$.
દ્વિપદી શ્રેણી $(1 - z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + \dots$ અને $(1 + z)^{-1} = 1 - z + z^2 - z^3 + z^4 - \dots$ નો ઉપયોગ કરીને બંને પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$-\left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \frac{x^4}{16} + \dots\right) + \left(1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \dots\right)$.
$x^4$ નો સહગુણક $-\frac{1}{16} + 1 = \frac{15}{16}$ છે.

(D) ધારો કે $\frac{x^2 + 1}{(x^2 + 4)(x - 2)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 4} + \frac{C}{x - 2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતથી,$x^2 + 1 = (Ax + B)(x - 2) + C(x^2 + 4)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A + C = 1$,$-2A + B = 0$,અને $-2B + 4C = 1$ મળે છે.
ઉકેલતા,$A = 3/8$,$B = 3/4$,અને $C = 5/8$ મળે છે.
આમ,પદાવલિ $\frac{3x/8 + 3/4}{x^2 + 4} + \frac{5/8}{x - 2}$ થાય.
વિસ્તરણ માટે: $\frac{1}{4}(\frac{3x}{8} + \frac{3}{4})(1 + \frac{x^2}{4})^{-1} - \frac{5}{16}(1 - \frac{x}{2})^{-1}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$x^5$ નો સહગુણક $\frac{3}{512} - \frac{5}{512} = -\frac{1}{256}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $x - 1 = y$,તેથી $x = y + 1$.
તેથી,$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{(1 + y)^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)} = -\frac{1 + 2y + y^2}{y^3(1 - y)}$.
$(1 + 2y + y^2)$ ને $(y - 1)$ વડે ભાગતા $(y^2 + 2y + 1) = (y - 1)(y + 3) + 4$ મળે છે.
આમ,$\frac{y^2 + 2y + 1}{y^3(y - 1)} = \frac{(y - 1)(y + 3) + 4}{y^3(y - 1)} = \frac{y + 3}{y^3} + \frac{4}{y^3(y - 1)}$.
$\frac{4}{y^3(y - 1)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{-1}{(x - 1)^3} + \frac{-3}{(x - 1)^2} + \frac{-4}{(x - 1)} + \frac{4}{(x - 2)}$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^3 - 6x^2 + 10x - 2}{x^2 - 5x + 6}$ છે.
પ્રથમ,અંશને છેદ વડે ભાગાકાર કરતા:
છેદ $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ છે.
ભાગાકાર કરતા આપણને $(x - 1) + \frac{-x + 4}{(x - 2)(x - 3)}$ મળે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$f(x) = x - 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\frac{x^4 + 24x^2 + 28}{(x^2 + 1)^3} = \frac{A_1 x + B_1}{x^2 + 1} + \frac{A_2 x + B_2}{(x^2 + 1)^2} + \frac{A_3 x + B_3}{(x^2 + 1)^3}$.
તેથી,$x^4 + 24x^2 + 28 = (A_1 x + B_1)(x^2 + 1)^2 + (A_2 x + B_2)(x^2 + 1) + (A_3 x + B_3)$.
ધારો કે $x^2 = y$. તો $\frac{y^2 + 24y + 28}{(y + 1)^3} = \frac{A}{y + 1} + \frac{B}{(y + 1)^2} + \frac{C}{(y + 1)^3}$.
ધારો કે $y + 1 = t$,તેથી $y = t - 1$. તો $y^2 + 24y + 28 = (t - 1)^2 + 24(t - 1) + 28 = t^2 - 2t + 1 + 24t - 24 + 28 = t^2 + 22t + 5$.
આમ,$\frac{t^2 + 22t + 5}{t^3} = \frac{1}{t} + \frac{22}{t^2} + \frac{5}{t^3}$.
$t = x^2 + 1$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{x^2 + 1} + \frac{22}{(x^2 + 1)^2} + \frac{5}{(x^2 + 1)^3}$ મળે છે.

(A) આપણે પદાવલિને વિભાજિત કરવા માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{1}{(1 - x)(3 - x)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{3 - x} \right) = \frac{1}{2} \left[ (1 - x)^{-1} - \frac{1}{3} (1 - x/3)^{-1} \right]$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left( 1 - \frac{1}{3^{n+1}} \right) x^n$.
તેથી,${x^n}$ નો સહગુણક $\frac{3^{n+1} - 1}{2 \cdot 3^{n+1}}$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)} = \frac{A}{1 - ax} + \frac{B}{1 - bx}$.
$A$ અને $B$ ની કિંમત શોધતા,$A = \frac{a}{a - b}$ અને $B = \frac{b}{b - a}$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{a}{a - b}(1 - ax)^{-1} + \frac{b}{b - a}(1 - bx)^{-1}$.
દ્વિપદી શ્રેણી $(1 - z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{a}{a - b} \sum_{n=0}^{\infty} (ax)^n + \frac{b}{b - a} \sum_{n=0}^{\infty} (bx)^n$.
$x^n$ નો સહગુણક $a_n = \frac{a}{a - b} a^n + \frac{b}{b - a} b^n$ છે.
$a_n = \frac{a^{n+1}}{a - b} + \frac{b^{n+1}}{b - a} = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{b - a}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^3}{(2x - 1)(x + 2)(x - 3)} = p + \frac{q}{2x - 1} + \frac{r}{x + 2} + \frac{s}{x - 3}$.
બંને બાજુ $(2x - 1)(x + 2)(x - 3)$ વડે ગુણતા:
$x^3 = p(2x - 1)(x + 2)(x - 3) + q(x + 2)(x - 3) + r(2x - 1)(x - 3) + s(2x - 1)(x + 2)$.
$x^3$ ના સહગુણકને સરખાવતા: $1 = 2p \Rightarrow p = \frac{1}{2}$.
અચળ પદ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$0 = 6p - 6q + 3r - 2s$.
$p = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$0 = 3 - 6q + 3r - 2s \Rightarrow 6q - 3r + 2s = 3$.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{2x + 3}{(x + 1)(x - 3)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 3}$.
બંને બાજુ $(x + 1)(x - 3)$ વડે ગુણતા: $2x + 3 = a(x - 3) + b(x + 1)$.
$x = -1$ લેતા: $2(-1) + 3 = a(-1 - 3)$ $\Rightarrow 1 = -4a$ $\Rightarrow a = -\frac{1}{4}$.
$x = 3$ લેતા: $2(3) + 3 = b(3 + 1)$ $\Rightarrow 9 = 4b$ $\Rightarrow b = \frac{9}{4}$.
તેથી,$a + b = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{3x + a}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{A}{x - 2} - \frac{10}{x - 1}$.
બંને બાજુ $(x - 2)(x - 1)$ વડે ગુણતા:
$3x + a = A(x - 1) - 10(x - 2)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$3x + a = Ax - A - 10x + 20$.
$3x + a = (A - 10)x + (20 - A)$.
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$3 = A - 10 \implies A = 13$.
$a = 20 - A \implies a = 20 - 13 = 7$.
આમ,$a = 7$ અને $A = 13$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x + 4}{(x + 1)^2(x - 1)} = \frac{A}{(x - 1)} + \frac{B}{(x + 1)} + \frac{C}{(x + 1)^2}$
બંને બાજુ $(x + 1)^2(x - 1)$ વડે ગુણતા:
$3x + 4 = A(x + 1)^2 + B(x + 1)(x - 1) + C(x - 1)$
$A$ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$3(1) + 4 = A(1 + 1)^2 + B(1 + 1)(1 - 1) + C(1 - 1)$
$7 = A(2)^2 + 0 + 0$
$7 = 4A$
$A = \frac{7}{4}$

(C) ધારો કે $(x - 1) = y$,તેથી $x = y + 1$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{(1 + y)^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)}$.
$(y^2 + 2y + 1)$ ને $(y - 1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{y^2 + 2y + 1}{y - 1} = (y + 3) + \frac{4}{y - 1}$.
આમ,$\frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1}{y^3} \left( \frac{y^2 + 2y + 1}{y - 1} \right) = \frac{1}{y^3} \left( y + 3 + \frac{4}{y - 1} \right) = \frac{1}{y^2} + \frac{3}{y^3} + \frac{4}{y^3(y - 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત મુજબ,$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x - 1)^3} + \frac{D}{x - 2}$.
સહગુણકો શોધતા $A = -4, B = -3, C = -1, D = 4$ મળે છે.
તેથી,પદાવલિ $\frac{-4}{x - 1} - \frac{3}{(x - 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{4}{x - 2}$ છે.

(C) ધારો કે $\frac{3x - 1}{(x^2 - x + 1)(x + 2)} = \frac{Ax + B}{x^2 - x + 1} + \frac{C}{x + 2}$.
બંને બાજુ $(x^2 - x + 1)(x + 2)$ વડે ગુણતા:
$3x - 1 = (Ax + B)(x + 2) + C(x^2 - x + 1)$.
$C$ શોધવા માટે,$x = -2$ મુકતા:
$3(-2) - 1 = C((-2)^2 - (-2) + 1) \implies -7 = C(4 + 2 + 1) \implies -7 = 7C \implies C = -1$.
$x^2$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$0 = A + C \implies A = -C = 1$.
અચળ પદોને સરખાવતા:
$-1 = 2B + C \implies -1 = 2B - 1 \implies 2B = 0 \implies B = 0$.
$A, B, C$ ની કિંમતો મુકતા:
$\frac{3x - 1}{(x^2 - x + 1)(x + 2)} = \frac{x}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 2}$.

(A) આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને: $\frac{5x + 6}{(2 + x)(1 - x)} = \frac{-4/3}{2 + x} + \frac{11/3}{1 - x}$.
તેને પદાવલિ તરીકે લખતા: $\frac{-2/3}{1 + x/2} + \frac{11/3}{1 - x}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{-2}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{2})^n + \frac{11}{3} \sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
તેથી,$x^n$ નો સહગુણક $\frac{-2}{3} \frac{(-1)^n}{2^n} + \frac{11}{3}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$.
બંને બાજુ $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ વડે ગુણતા:
$x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2)$.
$x = 1$ માટે: $1 + 1 = A(1 - 2)(1 - 3) \implies 2 = 2A \implies A = 1$.
$x = 2$ માટે: $2 + 1 = B(2 - 1)(2 - 3) \implies 3 = -B \implies B = -3$.
$x = 3$ માટે: $3 + 1 = C(3 - 1)(3 - 2) \implies 4 = 2C \implies C = 2$.
આમ,આંશિક અપૂર્ણાંક $\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 3}$ છે.

(A) ધારો કે $\frac{x^2 + 13x + 15}{(2x + 3)(x + 3)^2} = \frac{A}{2x + 3} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^2}$.
બંને બાજુ $(2x + 3)(x + 3)^2$ વડે ગુણતા:
$x^2 + 13x + 15 = A(x + 3)^2 + B(2x + 3)(x + 3) + C(2x + 3)$.
$x = -3$ લેતા: $9 - 39 + 15 = C(-6 + 3) \implies -15 = -3C \implies C = 5$.
$x = -\frac{3}{2}$ લેતા: $\frac{9}{4} - \frac{39}{2} + 15 = A(\frac{3}{2})^2 \implies -9 = 9A \implies A = -1$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $1 = A + 2B \implies 1 = -1 + 2B \implies B = 1$.
આમ,આંશિક અપૂર્ણાંક $\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{2x + 3} + \frac{5}{(x + 3)^2}$ છે.

(A) ધારો કે $u = x - 1$,તેથી $x = u + 1$.
અંશમાં આ કિંમત મૂકતા: $3(u + 1)^3 - 8(u + 1)^2 + 10$.
$= 3(u^3 + 3u^2 + 3u + 1) - 8(u^2 + 2u + 1) + 10$.
$= 3u^3 + 9u^2 + 9u + 3 - 8u^2 - 16u - 8 + 10$.
$= 3u^3 + u^2 - 7u + 5$.
હવે,$u^4$ વડે ભાગતા: $\frac{3u^3 + u^2 - 7u + 5}{u^4} = \frac{3}{u} + \frac{1}{u^2} - \frac{7}{u^3} + \frac{5}{u^4}$.
$u = x - 1$ પાછું મૂકતા: $\frac{3}{(x - 1)} + \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{7}{(x - 1)^3} + \frac{5}{(x - 1)^4}$.

(A) ધારો કે $u = x^2 + 1$,તેથી $x^2 = u - 1$.
અંશમાં આ કિંમત મૂકતા: $x^4 + 24x^2 + 28 = (u - 1)^2 + 24(u - 1) + 28$.
$= (u^2 - 2u + 1) + 24u - 24 + 28 = u^2 + 22u + 5$.
હવે,પદાવલિ $\frac{u^2 + 22u + 5}{u^3}$ બને છે.
$= \frac{u^2}{u^3} + \frac{22u}{u^3} + \frac{5}{u^3} = \frac{1}{u} + \frac{22}{u^2} + \frac{5}{u^3}$.
$u = x^2 + 1$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{1}{x^2 + 1} + \frac{22}{(x^2 + 1)^2} + \frac{5}{(x^2 + 1)^3}$ મળે છે.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{2x}{x^3 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}$.
$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ હોવાથી,$2x = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1)$.
$x = 1$ લેતા: $2(1) = A(1^2 + 1 + 1) + 0 \implies 2 = 3A \implies A = \frac{2}{3}$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $2x = Ax^2 + Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx - C$.
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $A + B = 0 \implies B = -A = -\frac{2}{3}$.
અચળ પદો સરખાવતા: $A - C = 0 \implies C = A = \frac{2}{3}$.
આમ,$A = \frac{2}{3}$,$B = -\frac{2}{3}$,અને $C = \frac{2}{3}$.
આ કિંમતો સરખાવતા,$A = C \neq B$.

(D) ધારો કે $\frac{x^2 + 1}{(2x - 1)(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{2x - 1} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$.
બંને બાજુ $(2x - 1)(x - 1)(x + 1)$ વડે ગુણતા:
$x^2 + 1 = A(x - 1)(x + 1) + B(2x - 1)(x + 1) + C(2x - 1)(x - 1)$.
$x = 1/2$ માટે: $5/4 = -3/4 A \implies A = -5/3$.
$x = 1$ માટે: $2 = 2B \implies B = 1$.
$x = -1$ માટે: $2 = 6C \implies C = 1/3$.
આમ,આંશિક અપૂર્ણાંક $\frac{-5}{3(2x - 1)} + \frac{1}{(x - 1)} + \frac{1}{3(x + 1)}$ છે.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{2x}{x^4 + x^2 + 1}$ છે.
પ્રથમ,છેદના અવયવો પાડો: $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.
હવે,આપણે અપૂર્ણાંકને આંશિક અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવીએ: $\frac{2x}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{Ax + B}{x^2 - x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + x + 1}$.
આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન દ્વારા,આપણને મળે છે $\frac{2x}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x^2 + x + 1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)(x - d)} = \frac{A}{x - c} - \frac{B}{x - d} + C$ છે.
$C$ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુએ બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું.
અંશ $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$ છે.
છેદ $(x - c)(x - d) = x^2 - (c + d)x + cd$ છે.
$x^2 - (a + b)x + ab$ ને $x^2 - (c + d)x + cd$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2 - (a + b)x + ab}{x^2 - (c + d)x + cd} = 1 + \frac{(c + d - a - b)x + (ab - cd)}{x^2 - (c + d)x + cd}$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{A}{x - c} - \frac{B}{x - d} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $C = 1$ મળે છે.