Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-px+1=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,$\alpha+\beta=p$ और $\alpha\beta=1$ है।
साथ ही,$\gamma$ समीकरण $x^{2}+px+1=0$ का एक मूल है,इसलिए $\gamma^{2}+p\gamma+1=0$,जिसका अर्थ है $\gamma^{2}=-p\gamma-1$।
अब,व्यंजक $(\alpha+\gamma)(\beta+\gamma) = \alpha\beta + \gamma(\alpha+\beta) + \gamma^{2}$ पर विचार करें।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\alpha+\gamma)(\beta+\gamma) = 1 + \gamma(p) + (-p\gamma-1)$।
$= 1 + p\gamma - p\gamma - 1 = 0$।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-x-1=0$ के मूल हैं।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^{2}-\alpha-1=0 \implies \alpha^{2}=\alpha+1$
$\beta^{2}-\beta-1=0 \implies \beta^{2}=\beta+1$
क्रमशः $\alpha^{n-1}$ और $\beta^{n-1}$ से गुणा करने पर:
$\alpha^{n+1}=\alpha^{n}+\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1}=\beta^{n}+\beta^{n-1}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha^{n}+\beta^{n})+(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$
$S_{n}$ की परिभाषा के अनुसार,यह है:
$S_{n+1}=S_{n}+S_{n-1}$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) द्विघात समीकरण $x^{2}+p x+q=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ है।
सबसे पहले,$\alpha^{3}+\beta^{3}$ की गणना करें:
$\alpha^{3}+\beta^{3} = (\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta) = (-p)^{3}-3 q(-p) = -p^{3}+3 p q = 3 p q-p^{3}$.
इसके बाद,$\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4}$ की गणना करें:
$\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2} - \alpha^{2} \beta^{2} = [(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta]^{2} - (\alpha \beta)^{2} = [(-p)^{2}-2 q]^{2} - q^{2} = (p^{2}-2 q)^{2} - q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+4 q^{2}-q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+3 q^{2} = p^{2}(p^{2}-3 q)-q(p^{2}-3 q) = (p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$.
अतः,मान $3 p q-p^{3}$ और $(p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$ हैं।

(D) मान लीजिए $p(x) = ax^2 + bx + c$ है।
दिया गया है कि अचर पद $c = 1$ है।
अतः,$p(x) = ax^2 + bx + 1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$p(1) = 2$ और $p(-1) = 4$ है।
$x=1$ रखने पर: $a(1)^2 + b(1) + 1 = 2 \implies a + b = 1$ (समीकरण $I$)।
$x=-1$ रखने पर: $a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 4 \implies a - b = 3$ (समीकरण $II$)।
समीकरण $I$ और $II$ को जोड़ने पर: $(a+b) + (a-b) = 1 + 3 \implies 2a = 4 \implies a = 2$।
$a=2$ को समीकरण $I$ में रखने पर: $2 + b = 1 \implies b = -1$।
इस प्रकार,बहुपद $p(x) = 2x^2 - x + 1$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मूलों का योग $= -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया समीकरण $x^{2}+a x+b=0, (b \neq 0)$ है।
इसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। अतः,मूलों का योग $\alpha+\beta = -a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = b$ है।
माना नए मूल $S = \alpha-\frac{1}{\beta}$ और $T = \beta-\frac{1}{\alpha}$ हैं।
नए मूलों का योग $= S+T = (\alpha+\beta) - (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = (\alpha+\beta) - \frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} = -a - \frac{-a}{b} = -a + \frac{a}{b} = \frac{a(1-b)}{b}$.
नए मूलों का गुणनफल $= ST = (\alpha-\frac{1}{\beta})(\beta-\frac{1}{\alpha}) = \alpha \beta - 1 - 1 + \frac{1}{\alpha \beta} = b - 2 + \frac{1}{b} = \frac{b^{2}-2b+1}{b} = \frac{(b-1)^{2}}{b}$.
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^{2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^{2} - \frac{a(1-b)}{b}x + \frac{(b-1)^{2}}{b} = 0$.
$b$ से गुणा करने पर,$b x^{2} - a(1-b)x + (b-1)^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-a(1-b) = a(b-1)$,इसलिए समीकरण $b x^{2} + a(b-1)x + (b-1)^{2} = 0$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूल हैं।
इसलिए,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
शर्त $3b^{2} = 16ac$ दी गई है।
दोनों पक्षों को $a^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $3\left(\frac{b}{a}\right)^{2} = 16\left(\frac{c}{a}\right)$ प्राप्त होता है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर,$3(-\alpha-\beta)^{2} = 16\alpha\beta$.
$3(\alpha^{2}+\beta^{2}+2\alpha\beta) = 16\alpha\beta$.
$3\alpha^{2}+3\beta^{2}+6\alpha\beta = 16\alpha\beta$.
$3\alpha^{2}-10\alpha\beta+3\beta^{2} = 0$.
$\beta^{2}$ से विभाजित करने पर,$3\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{2}-10\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+3 = 0$.
माना $x = \frac{\alpha}{\beta}$,तो $3x^{2}-10x+3 = 0$.
$3x^{2}-9x-x+3 = 0 \Rightarrow 3x(x-3)-1(x-3) = 0$.
$(3x-1)(x-3) = 0$.
अतः,$x = 3$ या $x = \frac{1}{3}$.
इसका अर्थ है कि $\frac{\alpha}{\beta} = 3$ या $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$\alpha = 3\beta$ या $\beta = 3\alpha$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-bx+c=0$ है जिसके मूल $\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\sin \alpha + \cos \alpha = b$ $(i)$
$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = c$ (ii)
हम जानते हैं कि $(\sin \alpha + \cos \alpha)^{2} = \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
मान रखने पर: $b^{2} = 1 + 2c$,जिसका अर्थ है $c = \frac{b^{2}-1}{2}$.
चूंकि $-1 \leq \sin \alpha \leq 1$ और $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$,इसलिए $-\sqrt{2} \leq \sin \alpha + \cos \alpha \leq \sqrt{2}$,अर्थात $-\sqrt{2} \leq b \leq \sqrt{2}$.
साथ ही,$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2c$.
चूंकि $-1 \leq \sin 2\alpha \leq 1$,इसलिए $-1 \leq 2c \leq 1$,जिसका अर्थ है $c \leq \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है कि $(\alpha+\sqrt{\beta})$ और $(\alpha-\sqrt{\beta})$ समीकरण $x^{2}+px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $(\alpha+\sqrt{\beta}) + (\alpha-\sqrt{\beta}) = -p \Rightarrow 2\alpha = -p \Rightarrow \alpha = -\frac{p}{2}$.
मूलों का गुणनफल: $(\alpha+\sqrt{\beta})(\alpha-\sqrt{\beta}) = q \Rightarrow \alpha^{2}-\beta = q \Rightarrow \beta = \alpha^{2}-q = \frac{p^{2}}{4}-q$.
अतः,$p^{2}-4q = 4\beta$.
समीकरण $(p^{2}-4q)(p^{2}x^{2}+4px)-16q=0$ में मान रखने पर:
$4\beta(p^{2}x^{2}+4px) - 16q = 0$.
चूंकि $p = -2\alpha$,इसलिए $p^{2} = 4\alpha^{2}$ और $q = \alpha^{2}-\beta$:
$4\beta(4\alpha^{2}x^{2}-8\alpha x) - 16(\alpha^{2}-\beta) = 0$.
$4$ से भाग देने पर:
$\beta(\alpha^{2}x^{2}-2\alpha x) - (\alpha^{2}-\beta) = 0$.
$\alpha^{2}\beta x^{2} - 2\alpha\beta x + \beta = \alpha^{2} \Rightarrow \beta(\alpha x - 1)^{2} = \alpha^{2}$.
$(\alpha x - 1)^{2} = \frac{\alpha^{2}}{\beta} \Rightarrow \alpha x - 1 = \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}}$.
$\alpha x = 1 \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}} \Rightarrow x = \frac{1}{\alpha} \pm \frac{1}{\sqrt{\beta}}$.

(B) दिया गया है कि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ द्विघात समीकरण $ax^2 - bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\sin \theta + \cos \theta = \frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{c}{a}$ है।
मूलों के योग का वर्ग करने पर,$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{b}{a})^2$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{b^2}{a^2}$।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $1 + 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2}$।
$a^2$ से गुणा करने पर,$a^2 + 2ac = b^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$a^2 - b^2 + 2ac = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना समीकरण $px^2+qx+r=0$ के मूल $a\alpha$ और $b\alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $a\alpha + b\alpha = (a+b)\alpha = -\frac{q}{p}$
मूलों का गुणनफल: $(a\alpha)(b\alpha) = ab\alpha^2 = \frac{r}{p}$
अब,अनुपात पर विचार करें:
$\frac{ab\alpha^2}{(a+b)^2\alpha^2} = \frac{ab}{(a+b)^2}$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{ab}{(a+b)^2} = \frac{r/p}{(-q/p)^2} = \frac{r}{p} \times \frac{p^2}{q^2} = \frac{pr}{q^2}$

(A) त्रिभुज $PQR$ में,$P + Q + R = \pi$ है। चूँकि $\angle R = \pi / 2$,इसलिए $P + Q = \pi / 2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\tan(P/2)$ और $\tan(Q/2)$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए विएटा के सूत्रों के अनुसार:
मूलों का योग: $\tan(P/2) + \tan(Q/2) = -b/a$
मूलों का गुणनफल: $\tan(P/2) \tan(Q/2) = c/a$
सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b}{a - c} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\lambda x^{2} - (\lambda + 3)x + 3 = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = \frac{\lambda + 3}{\lambda}$ और $\alpha \beta = \frac{3}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta} = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{\beta - \alpha}{\alpha \beta} = \frac{1}{3}$।
चूंकि $\alpha < \beta$,इसलिए $\beta - \alpha > 0$। अतः,$\beta - \alpha = \frac{\alpha \beta}{3} = \frac{3/\lambda}{3} = \frac{1}{\lambda}$।
सर्वसमिका $(\beta - \alpha)^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 4\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{1}{\lambda})^{2} = (\frac{\lambda + 3}{\lambda})^{2} - 4(\frac{3}{\lambda})$।
$\frac{1}{\lambda^{2}} = \frac{\lambda^{2} + 6\lambda + 9}{\lambda^{2}} - \frac{12}{\lambda}$।
$\lambda^{2}$ से गुणा करने पर $(\lambda \neq 0)$:
$1 = \lambda^{2} + 6\lambda + 9 - 12\lambda$।
$\lambda^{2} - 6\lambda + 8 = 0$।
$(\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$।
अतः,$\lambda = 2$ या $\lambda = 4$।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $2 + 4 = 6$ है।

(B) दिया गया है कि $\beta - \alpha = \sqrt{11}i$ और $\beta^2 - \alpha^2 = 3\sqrt{11}i$ है।
चूंकि $\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha)$,इसलिए $3\sqrt{11}i = (\sqrt{11}i)(\beta + \alpha)$,जिसका अर्थ है कि $\beta + \alpha = 3$ है।
हम जानते हैं कि $\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha^2 + \alpha\beta)$ होता है।
$(\beta + \alpha)^2 = 9$ से,हमें $\beta^2 + \alpha^2 + 2\alpha\beta = 9$ प्राप्त होता है।
$(\beta - \alpha)^2 = -11$ से,हमें $\beta^2 + \alpha^2 - 2\alpha\beta = -11$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $4\alpha\beta = 20$,अतः $\alpha\beta = 5$ है।
तब $\beta^2 + \alpha^2 = 9 - 2(5) = -1$ होगा।
इन मानों को $\beta^3 - \alpha^3$ के व्यंजक में रखने पर: $\beta^3 - \alpha^3 = (\sqrt{11}i)(-1 + 5) = 4\sqrt{11}i$ प्राप्त होता है।
अंत में,$(\beta^3 - \alpha^3)^2 = (4\sqrt{11}i)^2 = 16 \times 11 \times (-1) = -176$ है।
विकल्पों के अनुसार परिमाण (magnitude) लेने पर,उत्तर $176$ है।