Mix Examples-Complex numbers Questions in Hindi

(C) चूंकि गुणांक $a, b, c, d$ वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिए गए मूल $z_1 = 2+i$ और $z_3 = \sqrt{5}-2i$ हैं।
अतः,उनके संयुग्मी $z_2 = 2-i$ और $z_4 = \sqrt{5}+2i$ भी समीकरण के मूल होंगे।
सभी मूलों का गुणनफल $z_1 \times z_2 \times z_3 \times z_4$ द्वारा प्राप्त होता है।
गुणनफल $= (2+i)(2-i) \times (\sqrt{5}-2i)(\sqrt{5}+2i)$।
सर्वसमिका $(x+iy)(x-iy) = x^2+y^2$ का उपयोग करने पर:
गुणनफल $= (2^2+1^2) \times ((\sqrt{5})^2+2^2) = (4+1) \times (5+4) = 5 \times 9 = 45$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
$= \frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n} \cdot (1-i)^{-2}}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n} \cdot (1-i)^{2}$
$= \left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{n} \cdot (1 + i^{2} - 2i)$
$= \left(\frac{1 + 2i + i^{2}}{1 - i^{2}}\right)^{n} \cdot (1 - 1 - 2i)$
$= \left(\frac{1 + 2i - 1}{1 + 1}\right)^{n} \cdot (-2i)$
$= \left(\frac{2i}{2}\right)^{n} \cdot (-2i)$
$= i^{n} \cdot (-2i)$
$= -2i^{n+1}$

(D) दिया गया है $z^{1/3} = p + iq$,अतः $z = (p + iq)^3$.
विस्तार करने पर,$z = p^3 + 3ip^2q - 3pq^2 - iq^3 = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$.
$z = x - iy$ से तुलना करने पर:
$x = p(p^2 - 3q^2)$
$y = -q(3p^2 - q^2)$.
अब,$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3q^2) + (q^2 - 3p^2) = -2(p^2 + q^2)$.
अतः,$\frac{(\frac{x}{p} + \frac{y}{q})}{(p^2 + q^2)} = -2$.

(A) दिया गया है कि $\frac{2 z_1}{3 z_2}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है,इसलिए किसी वास्तविक संख्या $k \neq 0$ के लिए $\frac{z_1}{z_2} = i k$ है।
हमें $\left|\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right|$ का मान ज्ञात करना है।
अंश और हर को $z_2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\frac{\frac{z_1}{z_2}-1}{\frac{z_1}{z_2}+1}\right| = \left|\frac{i k-1}{i k+1}\right|$.
चूँकि भागफल का मापांक मापांकों का भागफल होता है,इसलिए:
$\frac{|i k-1|}{|i k+1|} = \frac{\sqrt{(-1)^2 + k^2}}{\sqrt{1^2 + k^2}} = \frac{\sqrt{1+k^2}}{\sqrt{1+k^2}} = 1$.

(A) माना $z = \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta}$.
चूंकि $z$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $z = \bar{z}$ होगा।
$\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta} = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$(1-i \cos \theta)(1-2 i \cos \theta) = (1+i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta)$.
$1 - 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 + 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta$.
सरल करने पर:
$6i \cos \theta = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$.
इसलिए,$\theta = (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in I$.

(A) दिया गया है $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1$.
चूँकि $|z|=1$ $\Rightarrow z\bar{z}=1$ $\Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$.
अतः,$\frac{1}{z_{1}}=\bar{z}_{1}$,$\frac{1}{z_{2}}=\bar{z}_{2}$,और $\frac{1}{z_{3}}=\bar{z}_{3}$.
हमें दिया गया है $|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}|=1$.
संयुग्मों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}+\bar{z}_{3}|=1$ प्राप्त होता है।
$|\bar{z}|=|z|$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $|\overline{z_{1}+z_{2}+z_{3}}|=1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|z_{1}+z_{2}+z_{3}|=1$.

(B) हमारे पास है,$|z| = \left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right|$
त्रिभुज असमिका का उपयोग करने पर,$|z| \leq \left|z-\frac{3}{z}\right| + \left|\frac{3}{z}\right|$
दिया गया है कि $\left|z-\frac{3}{z}\right| = 2$,अतः $|z| \leq 2 + \frac{3}{|z|}$
$|z|$ से गुणा करने पर (चूँकि $|z| > 0$),हमें प्राप्त होता है $|z|^2 \leq 2|z| + 3$
$|z|^2 - 2|z| - 3 \leq 0$
$(|z|-3)(|z|+1) \leq 0$
चूँकि $|z| \geq 0$,इसलिए $|z| \leq 3$
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $3$ है।

(C) दी गई शर्त $\left|z+\frac{2}{z}\right|=2$ है।
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z| = \left|z+\frac{2}{z}-\frac{2}{z}\right| \leq \left|z+\frac{2}{z}\right| + \left|-\frac{2}{z}\right|$।
दिया गया मान रखने पर,$|z| \leq 2 + \frac{2}{|z|}$।
$|z|$ से गुणा करने पर,$|z|^2 \leq 2|z| + 2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$|z|^2 - 2|z| \leq 2$।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$|z|^2 - 2|z| + 1 \leq 2 + 1$,जो $(|z|-1)^2 \leq 3$ देता है।
वर्गमूल लेने पर,$-\sqrt{3} \leq |z|-1 \leq \sqrt{3}$।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1-\sqrt{3} \leq |z| \leq 1+\sqrt{3}$।
चूंकि $|z| \geq 0$,इसलिए $|z|$ का अधिकतम मान $1+\sqrt{3}$ है।

(B) दिया गया है कि $P, Q$ और $R$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोण हैं और $\angle P = \frac{\pi}{2}$ है।
चूंकि $P + Q + R = \pi$,इसलिए $Q + R = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$।
त्रिभुज समद्विबाहु है और $\angle P = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $Q = R = \frac{\pi}{4}$।
सर्वसमिका $\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$E = (e^{-i P/3})^3 + (e^{i Q})(e^{-i R}) + (e^{-i P})(e^{-i Q})(e^{-i R})$
$E = e^{-i P} + e^{i(Q - R)} + e^{-i(P + Q + R)}$
$P = \frac{\pi}{2}, Q = \frac{\pi}{4}, R = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$E = e^{-i \pi/2} + e^{i(0)} + e^{-i(\pi/2 + \pi/4 + \pi/4)}$
$E = -i + 1 + e^{-i \pi}$
$E = -i + 1 - 1 = -i$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $z^2 + 4z - (1 + 12i) = 0$ है।
द्विघाती सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1, b = 4, c = -(1 + 12i)$:
$z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-(1 + 12i))}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4 + 48i}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20 + 48i}}{2} = -2 \pm \sqrt{5 + 12i}$.
मान लीजिए $\sqrt{5 + 12i} = x + iy$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 - y^2 + 2ixy = 5 + 12i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x^2 - y^2 = 5$ और $2xy = 12 \Rightarrow xy = 6$.
चूंकि $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$,इसलिए $x^2 + y^2 = 13$.
$x^2 - y^2 = 5$ और $x^2 + y^2 = 13$ को हल करने पर,हमें $2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 3, y = 2$; यदि $x = -3, y = -2$. अतः $\sqrt{5 + 12i} = \pm(3 + 2i)$.
इस प्रकार,$z = -2 \pm (3 + 2i)$.
$z_1 = -2 + 3 + 2i = 1 + 2i$ और $z_2 = -2 - 3 - 2i = -5 - 2i$.
$|z_1|^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$|z_2|^2 = (-5)^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.
$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 5 + 29 = 34$.

(A) मान लीजिए $z = x+iy$. समीकरण $z\bar{z} + z(2+i) + k(2+3i) = 0$ है।
$z = x+iy$ और $\bar{z} = x-iy$ रखने पर,हमें $(x^2 + y^2) + (x+iy)(2+i) + 2k + 3ki = 0$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 + 2x + ix + 2iy - y + 2k + 3ki = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर:
वास्तविक भाग: $x^2 + y^2 + 2x - y + 2k = 0$
काल्पनिक भाग: $x + 2y + 3k = 0 \Rightarrow x = -2y - 3k$.
$x$ का मान वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर:
$(-2y-3k)^2 + y^2 + 2(-2y-3k) - y + 2k = 0$
$4y^2 + 12yk + 9k^2 + y^2 - 4y - 6k - y + 2k = 0$
$5y^2 + y(12k - 5) + 9k^2 - 4k = 0$.
$y$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (12k - 5)^2 - 4(5)(9k^2 - 4k) \ge 0$
$144k^2 - 120k + 25 - 180k^2 + 80k \ge 0$
$-36k^2 - 40k + 25 \ge 0 \Rightarrow 36k^2 + 40k - 25 \le 0$.
$36k^2 + 40k - 25 = 0$ के मूल $k = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 4(36)(-25)}}{72} = \frac{-40 \pm \sqrt{5200}}{72}$ हैं।
अतः,$\alpha + \beta = -\frac{40}{36} = -\frac{10}{9}$.
इसलिए,$9(\alpha + \beta) = 9(-\frac{10}{9}) = -10$.

(D) द्विघात समीकरण $z^2 + 4z + 16 = 0$ के मूल द्विघात सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं।
$a = 1, b = 4, c = 16$ मान रखने पर,हमें $z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-48}}{2} = -2 \pm i 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि दो मूल $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ और $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$ हैं।
हमें योग $S = |z_1 + \sqrt{3}i|^2 + |z_2 + \sqrt{3}i|^2$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$|z_1 + \sqrt{3}i|^2 = |-2 + 2\sqrt{3}i + \sqrt{3}i|^2 = |-2 + 3\sqrt{3}i|^2 = (-2)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 4 + 27 = 31$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$|z_2 + \sqrt{3}i|^2 = |-2 - 2\sqrt{3}i + \sqrt{3}i|^2 = |-2 - \sqrt{3}i|^2 = (-2)^2 + (-\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल योग $31 + 7 = 38$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $z^2 + \sqrt{6}iz - 3 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{(\sqrt{6}i)^2 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{-6 + 12}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{6}}{2}$.
अतः,मूल $z_1 = \frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)$ और $z_2 = \frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)$ प्राप्त होते हैं।
अब,प्रत्येक मूल के लिए $z^2$ की गणना करें:
$z_1^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 - 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 - 2i - 1) = -3i$.
$z_2^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 + 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 + 2i - 1) = 3i$.
अब,$z^8 = (z^2)^4$ की गणना करें:
$z_1^8 = (-3i)^4 = (-3)^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.
$z_2^8 = (3i)^4 = 3^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.
इसलिए,$\sum_{z \in S} z^8 = z_1^8 + z_2^8 = 81 + 81 = 162$.