मान लीजिए z और w दो भिन्न शून्येतर सम्मिश्र स | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $|z|^2 w - |w|^2 z = z - w$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|z|^2 w + w = |w|^2 z + z$ $(|z|^2 + 1) w = (|w|^2 + 1) z$ चूँकि $z$

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$z \bar{w} = 1$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण: $|z|^2 w - |w|^2 z = z - w$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|z|^2 w + w = |w|^2 z + z$ $(|z|^2 + 1) w = (|w|^2 + 1) z$ चूँकि $z$ और $w$ शून्येतर हैं,हम लिख सकते हैं: $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1}$ मान लीजिए $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1} = k$ तब $z = k(|z|^2 + 1)$ और $w = k(|w|^2 + 1)$ चूँकि $z$ और $w$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं,$k$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए। यदि $k$ वास्तविक है,तो $\frac{z}{w} = \frac{|z|^2 + 1}{|w|^2 + 1}$,जो एक वास्तविक संख्या है। अतः,$z = cw$ जहाँ $c 
eq 1$ एक वास्तविक स्थिरांक है। मूल समीकरण में $z = cw$ प्रतिस्थापित करने पर: $c^2 |w|^2 w - c |w|^2 w = (c - 1) w$ चूँकि $w 
eq 0$,$w$ से विभाजित करने पर: $c |w|^2 (c - 1) = c - 1$ चूँकि $z 
eq w$,$c 
eq 1$,इसलिए $(c - 1)$ से विभाजित करने पर: $c |w|^2 = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{|w|^2}$ अतः,$z = \frac{w}{|w|^2} = \frac{w}{w \bar{w}} = \frac{1}{\bar{w}}$ इससे $z \bar{w} = 1$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $z$ और $w$ दो भिन्न शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं। यदि $|z|^2 w - |w|^2 z = z - w$ है,तो:

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यदि $\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{2021} = x+i y$ है,तो $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर $x+y$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1 + i)(1 + 2i)(1 + 3i) \dots (1 + ni) = a + ib$ है,तो $2 \times 5 \times 10 \times \dots \times (1 + n^2)$ का मान क्या होगा?

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मान लीजिए एक सम्मिश्र संख्या $z$,$|z| \neq 1$,$\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \right) \leq 2$ को संतुष्ट करती है। तो,$|z|$ का अधिकतम मान ............ है।

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