AB अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = | vedclass

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Question

(D) के निर्देशांक $(x, l)$ मानिए। चूँकि $AB$ एक द्वि-कोटि है,$B$ के निर्देशांक $(x, -l)$ होंगे।$\Delta AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है,अतः भुजा की लंबाई $OA

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$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$

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(D) के निर्देशांक $(x, l)$ मानिए। चूँकि $AB$ एक द्वि-कोटि है,$B$ के निर्देशांक $(x, -l)$ होंगे।$\Delta AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है,अतः भुजा की लंबाई $OA = OB = AB = 2l$ होगी।$\Delta OMA$ में (जहाँ $M$,$x$-अक्ष पर $AB$ का मध्यबिंदु है),$OM = x$ और $AM = l$ है।$\angle AOM = 30^\circ$ होने के कारण,$	an(30^\circ) = \frac{l}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिससे $x = l\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।चूँकि $A(x, l)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{3l^2}{a^2} - \frac{l^2}{b^2} = 1$ होगा।$l^2 \left( \frac{3b^2 - a^2}{a^2b^2} ight) = 1$। चूँकि $l^2 > 0$,इसलिए $3b^2 - a^2 > 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$।संबंध $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$e^2 > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$A$. वृत्त	$P$. बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ जिसके लिए रेखा $hx + ky = 1$ वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ को स्पर्श करती है
$B$. परवलय	$Q$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$\|z + 2\| - \|z - 2\| = \pm 3$ को संतुष्ट करता है
$C$. अतिपरवलय	$R$. शांकव की उत्केंद्रता अंतराल $[1, \infty)$ में स्थित है
	$S$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$Re(z + 1)^2 = \|z\|^2 + 1$ को संतुष्ट करता है

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यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ,अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ की नाभियों के समान हैं,तो $b^2 = \dots$

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