एक वृत्त खींचा गया है जिसका केंद्र परवलय y^2 | vedclass

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Question

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ का शीर्ष $(0,0)$ है। नाभिलंब की लंबाई $4a$ है। वृत्त का व्यास $\frac{3}{4} 	imes 4a = 3a$ है। अतः,त्रिज्या $r = \frac{3a}{2}$ ह

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)a^2$

Vedclass · Answer

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ का शीर्ष $(0,0)$ है। नाभिलंब की लंबाई $4a$ है। वृत्त का व्यास $\frac{3}{4} 	imes 4a = 3a$ है। अतः,त्रिज्या $r = \frac{3a}{2}$ है। वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = \frac{9a^2}{4}$ या $4(x^2 + y^2) = 9a^2$ है। $y^2 = 4ax$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $4(x^2 + 4ax) = 9a^2$,जो $4x^2 + 16ax - 9a^2 = 0$ में सरल होता है। $x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{a}{2}$ प्राप्त होता है। $x = \frac{a}{2}$ के लिए,$y^2 = 2a^2$,अतः $y = \pm \sqrt{2}a$। बिंदु $P(\frac{a}{2}, \sqrt{2}a)$ और $Q(\frac{a}{2}, -\sqrt{2}a)$ हैं। जीवा $PQ$ की लंबाई $2\sqrt{2}a$ है। नाभिलंब $L_1L_2$,$x = a$ पर है,जहाँ $L_1(a, 2a)$ और $L_2(a, -2a)$ हैं। लंबाई $L_1L_2 = 4a$ है। समलंब चतुर्भुज $PL_1L_2Q$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes (PQ + L_1L_2) 	imes 	ext{ऊंचाई}$। ऊंचाई $a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes (2\sqrt{2}a + 4a) 	imes \frac{a}{2} = \left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}ight)a^2$।

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यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं। तब $b^2$ का मान है

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