अतिपरवलय $x = 8 \sec \theta, y = 8 \tan \theta$ की नियताओं (directrices) के बीच की दूरी क्या है ($\sqrt{2}$ में)?

रेखा $y=x$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{25}=1$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। उस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या होगी जिसका $PQ$ दीर्घ अक्ष है और लघु अक्ष की लंबाई $\frac{5}{\sqrt{2}}$ है?

यदि अतिपरवलय $x^2-k y^2=3$ के अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है और $e$ इसकी उत्केंद्रता है,तो इस अतिपरवलय के सापेक्ष रेखा $x+y-1=0$ का ध्रुव ज्ञात कीजिए।

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{3} = 4$ के अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो इसका संयुग्मी अतिपरवलय है:

अतिपरवलय $4y^2 = x^2 - 1$ के बिंदु $(1, 0)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ पर विचार करें,जिसके नाभियाँ $S$ और $S_1$ हैं,जहाँ $S$ धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है। मान लीजिए $P$ प्रथम चतुर्थांश में अतिपरवलय पर एक बिंदु है। मान लीजिए $\angle SPS_1 = \alpha$,जहाँ $\alpha < \frac{\pi}{2}$ है। बिंदु $S$ से गुजरने वाली और अतिपरवलय के $P$ पर स्पर्शरेखा के समान ढाल वाली सीधी रेखा,$S_1P$ रेखा को $P_1$ पर काटती है। मान लीजिए $\delta$,$P$ की $SP_1$ रेखा से दूरी है और $\beta = S_1P$ है। तो $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।