$k$ के विभिन्न मानों के लिए रेखाओं $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}k = 0$ और $\sqrt{3}kx + yk - 4\sqrt{3} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $y=mx+c$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=36$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि अतिपरवलय $5x^2 - 9y^2 - 20x - 18y - 34 = 0$ के स्पर्शरेखा का समीकरण,जो धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,$x + by + c = 0$ है,तो $b^2 + c^2 =$

वृत्त $x^2 + y^2 - 8x = 0$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ बिंदु $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। रेखा $2x + y = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा है। यदि यह रेखा निकटतम नियता और $x$-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरती है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) के संयुग्मी अक्ष की लंबाई $5$ है और इसकी नाभियों के बीच की दूरी $13$ है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए।

दो अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं-