वृत्त x^2 + y^2 - 8x = 0 और अतिपरवलय frac{x^2 | vedclass

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Question

(C) नियता $x$-अक्ष को $(\pm a/e, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।निकटतम नियता के लिए,रेखा $2x + y = 1$ बिंदु $(a/e, 0)$ से गुजरती है।$(a/e, 0)$ को $2x + y =

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$2$

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(C) नियता $x$-अक्ष को $(\pm a/e, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।निकटतम नियता के लिए,रेखा $2x + y = 1$ बिंदु $(a/e, 0)$ से गुजरती है।$(a/e, 0)$ को $2x + y = 1$ में रखने पर,$2(a/e) + 0 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = e$।अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,रेखा $y = mx + c$ के स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।यहाँ,$y = -2x + 1$,इसलिए $m = -2$ और $c = 1$ है।अतः,$1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,जिससे $1 = 4a^2 - b^2$ या $b^2 = 4a^2 - 1$ प्राप्त होता है।हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।$e = 2a$ रखने पर,$b^2 = a^2((2a)^2 - 1) = a^2(4a^2 - 1) = 4a^4 - a^2$ प्राप्त होता है।$b^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4a^4 - a^2 = 4a^2 - 1$।$4a^4 - 5a^2 + 1 = 0$।$(4a^2 - 1)(a^2 - 1) = 0$।चूंकि $2a = e$ और $e > 1$ है,इसलिए $a > 1/2$। यदि $a^2 = 1/4$ है,तो $e = 2(1/2) = 1$,जो अतिपरवलय के लिए संभव नहीं है।अतः,$a^2 = 1$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$e = 2a = 2(1) = 2$।

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