अतिपरवलय xy = a^2 के स्पर्शरेखा और निर्देशांक | vedclass

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Question

(B) दिया गया अतिपरवलय $xy = a^2$ है,जिसे $y = \frac{a^2}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।मान लीजिए स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0)$ है। अवकलन $\frac{dy}{dx} =

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$2a^2$

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(B) दिया गया अतिपरवलय $xy = a^2$ है,जिसे $y = \frac{a^2}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।मान लीजिए स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0)$ है। अवकलन $\frac{dy}{dx} = -\frac{a^2}{x^2}$ है।वक्र पर किसी भी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{a^2}{x_0^2}$ है।चूंकि $y_0 = \frac{a^2}{x_0}$,स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_0 = -\frac{a^2}{x_0^2}(x - x_0)$ होता है।$y_0 = \frac{a^2}{x_0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y - \frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}x + \frac{a^2}{x_0}$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $y = -\frac{a^2}{x_0^2}x + \frac{2a^2}{x_0}$ या $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 2$ प्राप्त होता है।$x$-अंतःखंड $2x_0$ है और $y$-अंतःखंड $2y_0$ है।स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} 	imes |2x_0| 	imes |2y_0| = 2|x_0 y_0|$ है।चूंकि $x_0 y_0 = a^2$,इसलिए क्षेत्रफल $2|a^2| = 2a^2$ है।

अतिपरवलय $xy = a^2$ के स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

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$m$ के सभी वास्तविक मानों के लिए,सरल रेखा $y = mx + \sqrt{9m^2 - 4}$ किस वक्र की स्पर्श रेखा है?

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