अतिपरवलय $x^2 - 4y^2 = 36$ के उस स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x - y + 4 = 0$ पर लंब है।

मान लीजिए $a>0, b>0$ है। मान लीजिए $e$ और $\ell$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। मान लीजिए $e^{\prime}$ और $\ell^{\prime}$ क्रमशः इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। यदि $e^{2}=\frac{11}{14} \ell$ और $(e^{\prime})^{2}=\frac{11}{8} \ell^{\prime}$ है,तो $77a+44b$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ अतिपरवलय $xy = c^2$ को चार बिंदुओं $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2), R(x_3, y_3), S(x_4, y_4)$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो:

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$ है और नाभिलंब की लंबाई $9$ है,तो $ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ और इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं,तो रेखा $\frac{x}{2 e_1}+\frac{y}{2 e_2}=1$ मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त को स्पर्श करती है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

रेखा $2x + \sqrt{6}y = 2$ अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 = 4$ को किस बिंदु पर स्पर्श करती है?