જો લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ પરના કોઈ ચલ બિંદુએ સ્પર્શક અને અભિલંબ $x$-અક્ષ પર $a_1, a_2$ અને $y$-અક્ષ પર $b_1, b_2$ અંત:ખંડ કાપે,તો $(a_1a_2 + b_1b_2)$ ની કિંમત શું થાય?

$(3, 0)$ અને $(3\sqrt{2}, 2)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા અતિવલય (hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

નીચે આપેલા અતિવલયોની ઉત્કેન્દ્રતાના મૂલ્યોનો ઉતરતો ક્રમ કયો છે?
$A$. એક અતિવલય કે જેમાં નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં ત્રણ ગણું છે.
$B$. અતિવલય કે જેમાં પ્રધાન અક્ષ એ ગૌણ અક્ષ કરતાં બમણી છે.
$C$. અતિવલય કે જેના અનંતસ્પર્શકો $x+y+1=0$ અને $x-y+3=0$ છે.

આપેલ શરતો સંતોષતા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો: શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 3)$,નાભિઓ $(0, \pm 5)$.

જો કોઈ શંકુછેદની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ સમીકરણ $2e^3 + 10e - 13 = 0$ નું સમાધાન કરતી હોય,તો તે શંકુછેદ કયો છે?

ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય $x^2+4y^2=4$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો અતિવલય ઉપવલયના નાભિમાંથી પસાર થાય,તો: