Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(C) माना शंकु $A$ का आयतन $2V$ है और शंकु $B$ का आयतन $V$ है। माना शंकु $A$ की ऊँचाई $h_1 \, cm$ है,तो शंकु $B$ की ऊँचाई $(21 - h_1) \, cm$ होगी।
दिया है,शंकु का व्यास $= 6 \, cm$.
अतः,शंकु की त्रिज्या $r = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
शंकु $A$ का आयतन $= 2V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (3)^2 h_1 = 3 \pi h_1$.
इस प्रकार,$V = \frac{3}{2} \pi h_1$ ...... $(i)$
शंकु $B$ का आयतन $= V = \frac{1}{3} \pi r^2 (21 - h_1) = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (21 - h_1) = 3 \pi (21 - h_1)$ ...... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{3}{2} \pi h_1 = 3 \pi (21 - h_1)$
$\frac{1}{2} h_1 = 21 - h_1$
$\frac{3}{2} h_1 = 21$
$h_1 = 14 \, cm$.
शंकु $A$ की ऊँचाई $= 14 \, cm$,शंकु $B$ की ऊँचाई $= 21 - 14 = 7 \, cm$.
शंकु $A$ का आयतन $= 3 \pi (14) = 3 \times \frac{22}{7} \times 14 = 132 \, cm^3$.
शंकु $B$ का आयतन $= 3 \pi (7) = 3 \times \frac{22}{7} \times 7 = 66 \, cm^3$.
बेलन का आयतन $= \pi r^2 H = \frac{22}{7} \times (3)^2 \times 21 = 22 \times 9 \times 3 = 594 \, cm^3$.
शेष भाग का आयतन $=$ बेलन का आयतन $-$ (शंकु $A$ का आयतन $+$ शंकु $B$ का आयतन)
$= 594 - (132 + 66) = 594 - 198 = 396 \, cm^3$.

(D) आइसक्रीम कोन एक अर्धगोले और एक शंकु का संयोजन है।
दिया है,अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ $= 5 \, cm$ है।
अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{3} = \frac{5500}{21} \approx 261.90 \, cm^{3}$ है।
अब,शंकु की त्रिज्या $(r)$ $= 5 \, cm$ है।
आइसक्रीम कोन की कुल ऊँचाई $10 \, cm$ है। चूँकि अर्धगोले की त्रिज्या $5 \, cm$ है,इसलिए शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h)$ $= 10 - 5 = 5 \, cm$ होगी।
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times 5 = \frac{2750}{21} \approx 130.95 \, cm^{3}$ है।
आइसक्रीम कोन का कुल आयतन $= 261.90 + 130.95 = 392.85 \, cm^{3}$ है।
चूँकि $\frac{1}{6}$ भाग खाली रहता है,इसलिए भरी हुई आइसक्रीम का आयतन कुल आयतन का $\frac{5}{6}$ भाग होगा।
आइसक्रीम का आवश्यक आयतन $= \frac{5}{6} \times 392.85 = 5 \times 65.475 = 327.375 \approx 327.4 \, cm^{3}$ है।

(A) दिया गया है,कंचे का व्यास $= 1.4 \,cm$.
$\therefore$ कंचे की त्रिज्या $(r) = \frac{1.4}{2} = 0.7 \,cm$.
एक गोलाकार कंचे का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.7)^3 = \frac{4}{3} \pi (0.343) = \frac{1.372}{3} \pi \,cm^3$.
दिया गया है,बेलनाकार बीकर का व्यास $= 7 \,cm$.
$\therefore$ बीकर की त्रिज्या $(R) = \frac{7}{2} = 3.5 \,cm$.
पानी के स्तर में हुई वृद्धि $(h) = 5.6 \,cm$.
बीकर में विस्थापित (बढ़े हुए) पानी का आयतन $= \pi R^2 h = \pi (3.5)^2 (5.6) = \pi (12.25) (5.6) = 68.6 \pi \,cm^3$.
माना कंचों की संख्या $n$ है।
अतः,$n \times (\text{एक कंचे का आयतन}) = \text{बढ़े हुए पानी का आयतन}$.
$n \times \frac{1.372}{3} \pi = 68.6 \pi$.
$n = \frac{68.6 \times 3}{1.372} = \frac{205.8}{1.372} = 150$.
अतः,$150$ कंचों की आवश्यकता होगी।

(B) दिया गया है कि,ठोस आयताकार सीसे के टुकड़े से गोलाकार सीसे की गोलियाँ बनाई जाती हैं।
$\therefore$ गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $= \frac{\text{ठोस आयताकार सीसे के टुकड़े का आयतन}}{\text{एक गोलाकार सीसे की गोली का आयतन}}$ ......$(i)$
गोलाकार सीसे की गोली का व्यास $= 4.2 \, cm$ है।
$\therefore$ गोलाकार सीसे की गोली की त्रिज्या,$r = \frac{4.2}{2} = 2.1 \, cm$.
गोलाकार सीसे की गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 = 38.808 \, cm^3$.
आयताकार सीसे के टुकड़े (घनाभ) का आयतन $= l \times b \times h = 66 \times 42 \times 21 = 58212 \, cm^3$.
समीकरण $(i)$ से,
गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $= \frac{58212}{38.808} = 1500$.
अतः,आवश्यक गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $1500$ है।

(C) दिया गया है कि,सीसे के एक ठोस घन से गोलाकार सीसे की गोलियाँ बनाई जाती हैं।
$\therefore$ गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $= \frac{\text{सीसे के ठोस घन का आयतन}}{\text{एक गोलाकार सीसे की गोली का आयतन}}$ ...........$(i)$
दिया गया है कि,गोलाकार सीसे की गोली का व्यास $= 4 \,cm$.
$\Rightarrow$ गोलाकार सीसे की गोली की त्रिज्या $(r) = \frac{4}{2} = 2 \,cm$.
एक गोलाकार सीसे की गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3 = \frac{4 \times 22 \times 8}{3 \times 7} = \frac{704}{21} \,cm^3$.
दिया गया है कि,ठोस घन की भुजा $(a) = 44 \,cm$.
ठोस घन का आयतन $= a^3 = (44)^3 = 44 \times 44 \times 44 = 85184 \,cm^3$.
समीकरण $(i)$ से,
गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $= \frac{44 \times 44 \times 44}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8} = \frac{44 \times 44 \times 44 \times 3 \times 7}{4 \times 22 \times 8} = 11 \times 21 \times 11 = 2541$.
अतः,आवश्यक गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $2541$ है।

(D) दिया गया है कि,दीवार ईंटों और मसाले की मदद से बनाई गई है।
ईंटों की संख्या $= \frac{\text{दीवार का कुल आयतन} - (\frac{1}{10} \text{भाग दीवार का आयतन})}{\text{एक ईंट का आयतन}}$ .........$(i)$
दीवार की लंबाई $(l) = 24 \, m$,मोटाई $(b) = 0.4 \, m$,ऊँचाई $(h) = 6 \, m$.
दीवार का कुल आयतन $= l \times b \times h = 24 \times 0.4 \times 6 = 57.6 \, m^3$.
मसाले द्वारा घेरा गया आयतन $= \frac{1}{10} \times 57.6 = 5.76 \, m^3$.
ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन $= 57.6 - 5.76 = 51.84 \, m^3$.
ईंट की विमाएँ $= 25 \, cm \times 16 \, cm \times 10 \, cm = 0.25 \, m \times 0.16 \, m \times 0.10 \, m$.
एक ईंट का आयतन $= 0.25 \times 0.16 \times 0.10 = 0.004 \, m^3$.
ईंटों की संख्या $= \frac{51.84}{0.004} = \frac{51840}{4} = 12960$.
अतः,दीवार बनाने में प्रयुक्त ईंटों की आवश्यक संख्या $12960$ है।

(A) एक धात्विक वृत्ताकार डिस्क मूल रूप से एक पतला बेलन है।
धात्विक वृत्ताकार डिस्क के लिए:
व्यास $= 1.5\, cm$,इसलिए त्रिज्या $(r) = \frac{1.5}{2} = 0.75\, cm$.
ऊँचाई $(h) = 0.2\, cm$.
एक डिस्क का आयतन $= \pi r^2 h = \pi \times (0.75)^2 \times 0.2 = \pi \times 0.5625 \times 0.2 = 0.1125\pi\, cm^3$.
बड़े बेलन के लिए:
व्यास $= 4.5\, cm$,इसलिए त्रिज्या $(R) = \frac{4.5}{2} = 2.25\, cm$.
ऊँचाई $(H) = 10\, cm$.
बेलन का आयतन $= \pi R^2 H = \pi \times (2.25)^2 \times 10 = \pi \times 5.0625 \times 10 = 50.625\pi\, cm^3$.
आवश्यक डिस्क की संख्या $= \frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{एक डिस्क का आयतन}} = \frac{50.625\pi}{0.1125\pi} = \frac{506250}{1125} = 450$.
अतः,आवश्यक धात्विक वृत्ताकार डिस्क की संख्या $450$ है।

(N/A) बाल्टी की धारिता (आयतन) का सूत्र $V = \frac{\pi h}{3} [r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2]$ है।
यहाँ $h = 30 \, cm$,$r_1 = 20 \, cm$ और $r_2 = 10 \, cm$ है।
धारिता $= \frac{3.14 \times 30}{3} [20^2 + 10^2 + 20 \times 10] = 31.4 [400 + 100 + 200] = 31.4 \times 700 = 21980 \, cm^3$.
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, litre$,इसलिए धारिता $21.98 \, litres$ है।
$Rs. \, 25$ प्रति $litre$ की दर से दूध का मूल्य $21.98 \times 25 = Rs. \, 549.50$ होगा।
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{30^2 + (20 - 10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, cm$.
बाल्टी का पृष्ठीय क्षेत्रफल (ऊपर से खुली) = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल: $A = \pi l (r_1 + r_2) + \pi r_2^2$.
$A = 3.14 \times 31.62 \times (20 + 10) + 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 31.62 \times 30 + 314 = 2978.56 + 314 = 3292.56 \, cm^2 \approx 3292.6 \, cm^2$.

(N/A) माना $r$ अर्धगोले और शंकु की त्रिज्या है और $h$ शंकु की ऊँचाई है। दिया है $h = 4\, cm$ और व्यास $d = 8\, cm$,अतः $r = 4\, cm$.
खिलौने का आयतन $=$ अर्धगोले का आयतन $+$ शंकु का आयतन
$= \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r + h)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^2 \times (2 \times 4 + 4) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 16 \times 12 = \frac{1408}{7} \approx 201.14\, cm^3$.
एक घन खिलौने को परिबद्ध करता है। खिलौने की ऊँचाई $h + r = 4 + 4 = 8\, cm$ है और चौड़ाई $8\, cm$ है। अतः,घन की भुजा $a = 8\, cm$ है।
घन का आयतन $= a^3 = 8^3 = 512\, cm^3$.
आयतन में अंतर $= 512 - 201.14 = 310.86\, cm^3$.
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$= \pi r l + 2 \pi r^2$,जहाँ तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\, cm$.
$= \pi r (l + 2r) = \frac{22}{7} \times 4 \times (4\sqrt{2} + 8) = \frac{88}{7} \times 4(\sqrt{2} + 2) = \frac{352}{7} (1.414 + 2) \approx 171.68\, cm^2$.

(D) माना अर्धगोलाकार गुंबद की त्रिज्या $r$ मीटर है और इमारत की कुल ऊँचाई $h$ मीटर है।
चूँकि गुंबद के आधार का व्यास कुल ऊँचाई का $\frac{2}{3}$ है,इसलिए $2r = \frac{2}{3}h$,जिसका अर्थ है $r = \frac{h}{3}$।
माना बेलनाकार भाग की ऊँचाई $H$ है। तब $H = h - r = h - \frac{h}{3} = \frac{2}{3}h$ मीटर।
इमारत के अंदर हवा का आयतन अर्धगोलाकार गुंबद के आयतन और बेलनाकार भाग के आयतन का योग है।
आयतन $= \frac{2}{3}\pi r^3 + \pi r^2 H = \frac{2}{3}\pi (\frac{h}{3})^3 + \pi (\frac{h}{3})^2 (\frac{2}{3}h) = \frac{2}{3}\pi (\frac{h^3}{27}) + \pi (\frac{h^2}{9}) (\frac{2}{3}h) = \frac{2\pi h^3}{81} + \frac{2\pi h^3}{27} = \frac{2\pi h^3 + 6\pi h^3}{81} = \frac{8\pi h^3}{81}$।
दिया गया है कि आयतन $67 \frac{1}{21} = \frac{1408}{21} \, m^3$ है।
अतः,$\frac{8}{81} \times \frac{22}{7} \times h^3 = \frac{1408}{21}$।
$h^3 = \frac{1408}{21} \times \frac{81 \times 7}{8 \times 22} = \frac{1408}{21} \times \frac{567}{176} = 8 \times 27 = 216$।
$h = \sqrt[3]{216} = 6 \, m$।

(A) माना शंकु की ऊँचाई $h \, cm$ है।
दिया है,शंकु के आधार की त्रिज्या $r = 6 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6)^2 h = \frac{36 \pi h}{3} = 12 \pi h \, cm^3$ होता है।
दिया है,अर्धगोले की त्रिज्या $R = 8 \, cm$ है।
अर्धगोले का आयतन $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi (8)^3 = \frac{2}{3} \pi (512) = \frac{1024 \pi}{3} \, cm^3$ होता है।
चूँकि अर्धगोले को पिघलाकर शंकु बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान होंगे:
$12 \pi h = \frac{1024 \pi}{3}$
$h = \frac{1024 \pi}{3 \times 12 \pi} = \frac{1024}{36} = \frac{256}{9} \approx 28.44 \, cm$.
अतः,शंकु की ऊँचाई $28.44 \, cm$ है।

(B) दिया गया है कि आयताकार टंकी के आधार की विमाएँ $= 11 \,m \times 6 \,m$ और पानी की ऊँचाई $= 5 \,m$ है।
आयताकार टंकी में पानी का आयतन $= 11 \times 6 \times 5 = 330 \,m^3$ है।
साथ ही,बेलनाकार टंकी की त्रिज्या $r = 3.5 \,m$ दी गई है।
माना बेलनाकार टंकी में पानी के स्तर की ऊँचाई $h$ है। बेलनाकार टंकी में पानी का आयतन सूत्र $V = \pi r^2 h$ द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times h = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times h = 22 \times 0.5 \times 3.5 \times h = 38.5 h \,m^3$ है।
चूँकि पानी को स्थानांतरित करने पर आयतन समान रहता है:
$38.5 h = 330$ है।
$h = \frac{330}{38.5} = \frac{3300}{385} \approx 8.571 \,m$ है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,पानी के स्तर की ऊँचाई $8.6 \,m$ प्राप्त होती है।

(N/A) माना बाहरी लंबाई $(l) = 36 \, cm$,बाहरी चौड़ाई $(b) = 25 \, cm$ और बाहरी ऊंचाई $(h) = 16.5 \, cm$ है। लोहे की मोटाई $x = 1.5 \, cm$ है।
खुले बक्से का बाहरी आयतन $= l \times b \times h = 36 \times 25 \times 16.5 = 14850 \, cm^3$.
एक खुले बक्से के लिए,आंतरिक आयाम इस प्रकार हैं:
आंतरिक लंबाई $(l_i) = l - 2x = 36 - 2(1.5) = 36 - 3 = 33 \, cm$.
आंतरिक चौड़ाई $(b_i) = b - 2x = 25 - 2(1.5) = 25 - 3 = 22 \, cm$.
आंतरिक ऊंचाई $(h_i) = h - x = 16.5 - 1.5 = 15 \, cm$ (चूंकि यह एक खुला बक्सा है,इसलिए केवल आधार की मोटाई घटाई जाती है)।
आंतरिक आयतन $= l_i \times b_i \times h_i = 33 \times 22 \times 15 = 10890 \, cm^3$.
आवश्यक लोहे का आयतन = बाहरी आयतन - आंतरिक आयतन
$= 14850 - 10890 = 3960 \, cm^3$.
बक्से का वजन = लोहे का आयतन $\times$ घनत्व
$= 3960 \, cm^3 \times 7.5 \, g/cm^3 = 29700 \, g = 29.7 \, kg$.

(D) दिया गया है कि फाउंटेन पेन के बैरल की लंबाई $h = 7 \, cm$ है।
व्यास $d = 5 \, mm = 0.5 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.25 \, cm$ है।
बेलनाकार बैरल का आयतन $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (0.25)^2 \times 7 = 22 \times 0.0625 = 1.375 \, cm^3$ है।
यह दिया गया है कि $1.375 \, cm^3$ स्याही से $3300$ शब्द लिखे जाते हैं।
बोतल में स्याही का आयतन $= \frac{1}{5} \, L = \frac{1}{5} \times 1000 \, cm^3 = 200 \, cm^3$ है।
$200 \, cm^3$ स्याही से लिखे जा सकने वाले शब्दों की संख्या $= \frac{3300}{1.375} \times 200$ है।
$= \frac{3300 \times 200}{1.375} = \frac{660000}{1.375} = 480000$ शब्द।

(A) दिया है,पानी के प्रवाह की गति $= 10 \, m/min = 1000 \, cm/min$.
पाइप की त्रिज्या $r = \frac{5 \, mm}{2} = 2.5 \, mm = 0.25 \, cm$.
पाइप के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi \times (0.25)^2 = 0.0625 \pi \, cm^2$.
प्रति मिनट बहने वाले पानी का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{गति} = 0.0625 \pi \times 1000 = 62.5 \pi \, cm^3$.
शंक्वाकार बर्तन का आयतन $= \frac{1}{3} \pi R^2 H$,जहाँ $R = 20 \, cm$ और $H = 24 \, cm$.
आयतन $= \frac{1}{3} \pi \times (20)^2 \times 24 = 8 \pi \times 400 = 3200 \pi \, cm^3$.
आवश्यक समय $= \frac{\text{बर्तन का आयतन}}{\text{प्रति मिनट आयतन}} = \frac{3200 \pi}{62.5 \pi} = \frac{3200}{62.5} = 51.2 \, \text{मिनट}$.
$51.2 \, \text{मिनट }= 51 \, \text{मिनट }+ 0.2 \times 60 \, \text{सेकंड }= 51 \, \text{मिनट }\, 12 \, \text{सेकंड}$.

(N/A) दिया गया है कि चावल की ढेरी एक शंकु के आकार की है।
शंकु की ऊँचाई $(h) = 3.5 \, m$ है।
शंकु का व्यास $= 9 \, m$ है,इसलिए त्रिज्या $(r) = \frac{9}{2} = 4.5 \, m$ है।
चावल का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (4.5)^2 \times 3.5 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 20.25 \times 3.5 = 74.25 \, m^3$ है।
ढेरी को ढकने के लिए,हमें शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की आवश्यकता है,जो $\pi r l$ है,जहाँ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
$l = \sqrt{(4.5)^2 + (3.5)^2} = \sqrt{20.25 + 12.25} = \sqrt{32.5} \approx 5.70 \, m$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 4.5 \times 5.70 \approx 80.61 \, m^2$ है।
अतः,चावल का आयतन $74.25 \, m^3$ है और आवश्यक कैनवास कपड़ा $80.61 \, m^2$ है।

(C) बेलन की वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ है,जहाँ $2 \pi r$ आधार की परिधि है और $h$ लंबाई (ऊंचाई) है।
दिया गया है,आधार की परिधि $= 1.5 \,cm$ और लंबाई $h = 25 \,cm$.
एक पेंसिल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 1.5 \,cm \times 25 \,cm = 37.5 \,cm^2$.
चूंकि $1 \,dm = 10 \,cm$,इसलिए $1 \,dm^2 = 100 \,cm^2$. अतः,$1 \,cm^2 = 0.01 \,dm^2$.
एक पेंसिल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $dm^2$ में $= 37.5 \times 0.01 = 0.375 \,dm^2$.
$120000$ पेंसिलों के लिए कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 120000 \times 0.375 \,dm^2 = 45000 \,dm^2$.
रंगने का खर्च $= 45000 \,dm^2 \times \operatorname{Rs.} 0.05/dm^2 = \operatorname{Rs.} 2250$.

(D) दिया गया है: तालाब की लंबाई $= 50\, m$,तालाब की चौड़ाई $= 44\, m$.
पानी के स्तर में आवश्यक वृद्धि $= 21\, cm = 0.21\, m$.
तालाब में आवश्यक पानी का आयतन $= 50 \times 44 \times 0.21 = 462\, m^3$.
पाइप की त्रिज्या $(r) = \frac{14}{2} = 7\, cm = 0.07\, m$.
पानी की गति $= 15\, km/h = 15000\, m/h$.
$1\, h$ में पाइप से बहने वाले पानी का आयतन $= \pi r^2 \times \text{गति} = \frac{22}{7} \times (0.07)^2 \times 15000$.
$= \frac{22}{7} \times 0.0049 \times 15000 = 22 \times 0.0007 \times 15000 = 231\, m^3$.
$462\, m^3$ पानी भरने के लिए आवश्यक समय $= \frac{\text{कुल आवश्यक आयतन}}{\text{प्रति घंटा बहने वाला आयतन}} = \frac{462}{231} = 2\, h$.
अतः,आवश्यक समय $2\, h$ है.

(A) दिया गया है कि,एक ठोस लोहे के घनाभाकार ब्लॉक को एक खोखले बेलनाकार पाइप में ढाला जाता है।
घनाभाकार ब्लॉक का आयतन $= l \times b \times h = 4.4 \, m \times 2.6 \, m \times 1 \, m = 11.44 \, m^3$.
खोखले बेलनाकार पाइप की आंतरिक त्रिज्या $(r_i) = 30 \, cm = 0.3 \, m$.
पाइप की मोटाई $= 5 \, cm = 0.05 \, m$.
बाह्य त्रिज्या $(r_e) = r_i + \text{मोटाई} = 0.3 \, m + 0.05 \, m = 0.35 \, m$.
खोखले बेलनाकार पाइप का आयतन $= \pi (r_e^2 - r_i^2) h_1$,जहाँ $h_1$ पाइप की लंबाई है।
आयतन $= \frac{22}{7} \times (0.35^2 - 0.3^2) \times h_1 = \frac{22}{7} \times (0.1225 - 0.09) \times h_1 = \frac{22}{7} \times 0.0325 \times h_1$.
चूँकि आयतन समान रहता है: $11.44 = \frac{22}{7} \times 0.0325 \times h_1$.
$h_1 = \frac{11.44 \times 7}{22 \times 0.0325} = \frac{80.08}{0.715} = 112 \, m$.
अतः,पाइप की लंबाई $112 \, m$ है।

(B) माना कि जब $500$ व्यक्ति एक घनाकार तालाब में डुबकी लगाते हैं,तो जल स्तर में वृद्धि $h \, m$ होती है।
दिया गया है कि,
घनाकार तालाब की लंबाई $= 80 \, m$
घनाकार तालाब की चौड़ाई $= 50 \, m$
अब,तालाब में जल स्तर में वृद्धि का आयतन:
आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$
आयतन $= 80 \times 50 \times h = 4000h \, m^3$
एक व्यक्ति द्वारा पानी का औसत विस्थापन $= 0.04 \, m^3$
अतः,$500$ व्यक्तियों द्वारा पानी का कुल विस्थापन $= 500 \times 0.04 \, m^3 = 20 \, m^3$
प्रश्न के अनुसार,जल स्तर में वृद्धि का आयतन $500$ व्यक्तियों द्वारा पानी के कुल विस्थापन के बराबर है:
$4000h = 20$
$h = \frac{20}{4000} \, m$
$h = \frac{1}{200} \, m = 0.005 \, m$
ऊंचाई को सेंटीमीटर $(cm)$ में बदलने के लिए:
$h = 0.005 \times 100 \, cm = 0.5 \, cm$
अतः,तालाब में जल स्तर में आवश्यक वृद्धि $0.5 \, cm$ है।

(C) दिया गया है,घनाभाकार बक्से की विमाएँ $= 16 \,cm \times 8 \,cm \times 8 \,cm$.
घनाभाकार बक्से का आयतन $= 16 \times 8 \times 8 = 1024 \,cm^3$.
एक कांच के गोले की त्रिज्या $(r) = 2 \,cm$.
एक कांच के गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8 = \frac{704}{21} \approx 33.524 \,cm^3$.
$16$ कांच के गोलों का कुल आयतन $= 16 \times 33.524 = 536.384 \,cm^3$.
भरे गए पानी का आयतन $= \text{घनाभाकार बक्से का आयतन} - 16 \text{ कांच के गोलों का आयतन}$.
पानी का आयतन $= 1024 - 536.384 = 487.616 \,cm^3$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,आयतन $487.6 \,cm^3$ है।

(D) दिया है: दूध के बर्तन की ऊँचाई $(h) = 16 \, cm$,निचले सिरे की त्रिज्या $(r) = 8 \, cm$ और ऊपरी सिरे की त्रिज्या $(R) = 20 \, cm$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र: $V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + r^2 + Rr)$ है।
मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8)$
$V = \frac{22 \times 16}{21} \times (400 + 64 + 160)$
$V = \frac{352}{21} \times 624$
$V = \frac{219648}{21} \approx 10459.43 \, cm^3$.
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$,इसलिए लीटर में आयतन $V = \frac{10459.43}{1000} = 10.45943 \, \text{लीटर}$ होगा।
$Rs. \, 22$ प्रति लीटर की दर से दूध का मूल्य:
मूल्य $= 10.45943 \times 22 = Rs. \, 230.107 \approx Rs. \, 230.12$।

(N/A) दिया है,बेलनाकार बाल्टी के आधार की त्रिज्या $(R) = 18 \,cm$.
बाल्टी की ऊँचाई $(H) = 32 \,cm$.
बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन $= \pi R^2 H = \pi \times (18)^2 \times 32 = 10368 \pi \,cm^3$.
माना शंक्वाकार ढेर की त्रिज्या $r \,cm$ और उसकी ऊँचाई $h = 24 \,cm$ है।
शंक्वाकार ढेर का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 24 = 8 \pi r^2 \,cm^3$.
चूँकि रेत का आयतन समान रहता है,इसलिए $8 \pi r^2 = 10368 \pi$.
$r^2 = \frac{10368}{8} = 1296$.
$r = \sqrt{1296} = 36 \,cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ का मान $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$l = \sqrt{36^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872}$.
$l = 12\sqrt{13} \approx 43.27 \,cm$.
अतः,ढेर की त्रिज्या $36 \,cm$ है और तिर्यक ऊँचाई लगभग $43.27 \,cm$ है।

(N/A) रॉकेट एक लंबवृत्तीय बेलन और एक शंकु का संयोजन है।
दिया है: बेलन का व्यास $= 6 \, cm$.
बेलन की त्रिज्या $(r) = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(H) = 12 \, cm$.
बेलन का आयतन $= \pi r^2 H = 3.14 \times (3)^2 \times 12 = 3.14 \times 9 \times 12 = 339.12 \, cm^3$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r H = 2 \times 3.14 \times 3 \times 12 = 226.08 \, cm^2$.
शंकु के लिए,तिर्यक ऊँचाई $(l) = 5 \, cm$ और त्रिज्या $(r) = 3 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $(h) = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (3)^2 \times 4 = 3.14 \times 3 \times 4 = 37.68 \, cm^3$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = 3.14 \times 3 \times 5 = 47.1 \, cm^2$.
रॉकेट का कुल आयतन $= \text{बेलन का आयतन} + \text{शंकु का आयतन} = 339.12 + 37.68 = 376.8 \, cm^3$.
रॉकेट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{बेलन के आधार का क्षेत्रफल} = 47.1 + 226.08 + (\pi r^2) = 47.1 + 226.08 + (3.14 \times 3^2) = 47.1 + 226.08 + 28.26 = 301.44 \, cm^2$.

(C) माना इमारत की कुल ऊंचाई गुंबद के आंतरिक व्यास के बराबर है,जो $2r \, m$ है।
इसलिए,इमारत (या गुंबद) की त्रिज्या $\frac{2r}{2} = r \, m$ है।
बेलनाकार भाग की ऊंचाई $2r - r = r \, m$ है।
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3 \, m^3$.
अर्धगोलाकार गुंबद का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3 \, m^3$.
इमारत का कुल आयतन $=$ बेलन का आयतन $+$ अर्धगोलाकार गुंबद का आयतन।
कुल आयतन $= \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{5}{3} \pi r^3 \, m^3$.
दिया गया है कि अंदर की हवा का आयतन $41 \frac{19}{21} \, m^3 = \frac{880}{21} \, m^3$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{5}{3} \pi r^3 = \frac{880}{21}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\frac{5}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = \frac{880}{21}$.
$\frac{110}{21} r^3 = \frac{880}{21}$.
$r^3 = \frac{880}{110} = 8$.
$r = \sqrt[3]{8} = 2 \, m$.
इमारत की कुल ऊंचाई $= 2r = 2 \times 2 = 4 \, m$.

(D) दिया गया है,अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या,$r = 9 \,cm$ है।
अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V_{bowl} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 9^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 729 = 486 \pi \,cm^3$ है।
प्रत्येक बेलनाकार बोतल की त्रिज्या $R = 1.5 \,cm$ और ऊँचाई $h = 4 \,cm$ है।
एक बेलनाकार बोतल का आयतन $V_{bottle} = \pi R^2 h = \pi \times (1.5)^2 \times 4 = \pi \times 2.25 \times 4 = 9 \pi \,cm^3$ है।
आवश्यक बोतलों की संख्या $= \frac{V_{bowl}}{V_{bottle}} = \frac{486 \pi}{9 \pi} = 54$ है।
अतः,कटोरे को खाली करने के लिए $54$ बोतलों की आवश्यकता होगी।

(N/A) $(i)$ जब किसी ठोस वस्तु को पानी से भरे पात्र में डुबोया जाता है,तो विस्थापित पानी का आयतन वस्तु के डूबे हुए भाग के आयतन के बराबर होता है।
$(ii)$ बेलन में प्रारंभ में मौजूद पानी का कुल आयतन बेलन के आयतन के बराबर होता है।
$(iii)$ बेलन में शेष बचे पानी का आयतन $=$ (बेलन का कुल आयतन) $-$ (शंकु का आयतन)।
दिया है:
शंकु की ऊँचाई $(h_1)$ $= 120 \,cm$
शंकु की त्रिज्या $(r)$ $= 60 \,cm$
बेलन की ऊँचाई $(h_2)$ $= 180 \,cm$
बेलन की त्रिज्या $(r)$ $= 60 \,cm$
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times (60)^2 \times 120 = 144000 \pi \,cm^3$.
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h_2 = \pi \times (60)^2 \times 180 = 648000 \pi \,cm^3$.
चूँकि शंकु पूरी तरह से डूबा हुआ है,इसलिए विस्थापित पानी का आयतन शंकु के आयतन के बराबर यानी $144000 \pi \,cm^3$ होगा।
बेलन में शेष बचे पानी का आयतन $= 648000 \pi - 144000 \pi = 504000 \pi \,cm^3$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ लेने पर:
आयतन $= 504000 \times \frac{22}{7} = 72000 \times 22 = 1584000 \,cm^3$.
मीटर में बदलने पर $(1 \,m^3 = 10^6 \,cm^3)$:
आयतन $= \frac{1584000}{1000000} \,m^3 = 1.584 \,m^3$.
अतः,बेलन में शेष बचे पानी का आयतन $1.584 \,m^3$ है।

दिया गया है:
टैंक की त्रिज्या, $r_1 = 40\,cm$
माना कि आधे घंटे में टैंक में पानी के स्तर में हुई वृद्धि $h_1\,cm$ है।
बेलनाकार पाइप की आंतरिक त्रिज्या, $r_2 = 1\,cm$
पानी के प्रवाह की गति $= 80\,cm/s$
समय $= 30$ मिनट $= 30 \times 60 = 1800$ सेकंड
$1800$ सेकंड में पाइप से बाहर बहने वाले पानी के स्तंभ की लंबाई:
$h_2 = 80 \times 1800 = 144000\,cm$
\textbf{आयतन संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:}
बेलनाकार टैंक में पानी का आयतन = आधे घंटे में पाइप से बहे पानी का आयतन
$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$
$40^2 \times h_1 = 1^2 \times 144000$
$1600 \times h_1 = 144000$
$h_1 = \frac{144000}{1600} = 90\,cm$
\textbf{अतः:}
आधे घंटे में टैंक में पानी का स्तर $90\,cm$ बढ़ जाएगा।

(C) दिया है,छत की लंबाई $= 22 \, m$ और छत की चौड़ाई $= 20 \, m$.
माना वर्षा का माप $a \, cm = \frac{a}{100} \, m$ है।
छत पर एकत्रित जल का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{वर्षा की ऊँचाई} = 22 \times 20 \times \frac{a}{100} = \frac{22a}{5} \, m^3$.
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, m$.
बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई $h = 3.5 \, m = \frac{7}{2} \, m$.
बेलनाकार बर्तन का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (1)^2 \times \frac{7}{2} = 11 \, m^3$.
चूँकि छत से एकत्रित जल बर्तन को भर देता है,इसलिए दोनों आयतन समान हैं:
$\frac{22a}{5} = 11$.
$a = \frac{11 \times 5}{22} = 2.5 \, cm$.
अतः,वर्षा का माप $2.5 \, cm$ है।

(D) दिया है:
घनाभ पेन स्टैंड की लंबाई $(l) = 10 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 5 \, cm$ और ऊँचाई $(h) = 4 \, cm$ है।
घनाभ का आयतन $= l \times b \times h = 10 \times 5 \times 4 = 200 \, cm^3$ है।
प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या $(r) = 0.5 \, cm$ और गहराई $(h_1) = 2.1 \, cm$ है।
एक शंक्वाकार गड्ढे का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 2.1 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 2.1 = 0.55 \, cm^3$ है।
$4$ शंक्वाकार गड्ढों का आयतन $= 4 \times 0.55 = 2.2 \, cm^3$ है।
घनाकार गड्ढे का किनारा $(a) = 3 \, cm$ है।
घनाकार गड्ढे का आयतन $= a^3 = 3^3 = 27 \, cm^3$ है।
स्टैंड में लकड़ी का आयतन $=$ घनाभ का आयतन $-$ ($4$ शंक्वाकार गड्ढों का आयतन $+$ घनाकार गड्ढे का आयतन)
$= 200 - (2.2 + 27) = 200 - 29.2 = 170.8 \, cm^3$ है।

(A) दोनों शंकुओं के लिए:
त्रिज्या $r = 5 \, cm$ और ऊंचाई $h = 12 \, cm$ है।
बेलन के लिए:
त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
बेलन की ऊंचाई $H = \text{वस्तु की कुल ऊंचाई} - 2 \times \text{शंकु की ऊंचाई}$.
$H = 41 - 2 \times 12 = 41 - 24 = 17 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊंचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
संयुक्त वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$:
$TSA = \text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + 2 \times \text{शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$.
$TSA = 2 \pi r H + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (H + l)$.
$TSA = 2 \times 3.14 \times 5 \times (17 + 13)$.
$TSA = 3.14 \times 10 \times 30 = 3.14 \times 300 = 942 \, cm^2$.
अतः,दी गई वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $942 \, cm^2$ है।

(B) शंकु की त्रिज्या $=$ अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 5 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $= h = 12 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ द्वारा दी जाती है।
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$.
मान रखने पर: $3.14 \times 5 \times (13 + 2 \times 5) = 3.14 \times 5 \times (13 + 10) = 3.14 \times 5 \times 23$.
$= 15.7 \times 23 = 361.1 \, cm^2$.

(C) बेलन की त्रिज्या दोनों अर्धगोलों की त्रिज्या के बराबर है,$r = 7 \, cm$।
बेलन की ऊँचाई वस्तु की कुल ऊँचाई में से दोनों अर्धगोलों की त्रिज्याओं को घटाकर प्राप्त की जाती है:
$h = 34 \, cm - (2 \times 7 \, cm) = 34 - 14 = 20 \, cm$।
संयुक्त वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ और दो अर्धगोलों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग है:
$TSA = CSA_{\text{cylinder}} + 2 \times CSA_{\text{hemisphere}}$
$TSA = 2 \pi r h + 2 \times (2 \pi r^2)$
$TSA = 2 \pi r (h + 2r)$
मान रखने पर:
$TSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (20 + 2 \times 7)$
$TSA = 44 \times (20 + 14)$
$TSA = 44 \times 34 = 1496 \, cm^2$।
अतः,दी गई वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $1496 \, cm^2$ है।

(D) बेलन की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = $r = 14 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $H = 22 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h = 48 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ बेलन,शंकु और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों $(CSA)$ का योग है।
$TSA = CSA_{\text{बेलन}} + CSA_{\text{शंकु}} + CSA_{\text{अर्धगोला}}$
$TSA = 2\pi rH + \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(2H + l + 2r)$.
मान रखने पर: $TSA = \frac{22}{7} \times 14 \times (2 \times 22 + 50 + 2 \times 14)$.
$TSA = 44 \times (44 + 50 + 28) = 44 \times 122 = 5368 \, cm^2$.
अतः,वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $5368 \, cm^2$ है।

(A) छह घनों को एक पंक्ति में एक-दूसरे के फलकों को स्पर्श करते हुए व्यवस्थित करने से एक घनाभ बनता है।
इस प्रकार बने घनाभ के लिए,लंबाई $l = 6 \times 3 \, cm = 18 \, cm$ है।
चौड़ाई $b = 3 \, cm$ और ऊँचाई $h = 3 \, cm$ है।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ सूत्र $2(lb + bh + hl)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $TSA = 2(18 \times 3 + 3 \times 3 + 3 \times 18)$.
$TSA = 2(54 + 9 + 54) = 2(117) = 234 \, cm^2$.
अतः,इस प्रकार बने ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $234 \, cm^2$ है।

(B) $1$. यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर दो शंकुओं से मिलकर बनी है।
$2$. बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $30 \, cm$.
$3$. प्रत्येक शंकु की ऊंचाई $(h_{cone})$ = $40 \, cm$.
$4$. वस्तु की कुल ऊंचाई = $180 \, cm$.
$5$. बेलन की ऊंचाई $(h_{cyl})$ = $180 - (40 + 40) = 100 \, cm$.
$6$. शंकु की तिर्यक ऊंचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
$7$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2$ $\times$ (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
$8$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $(2 \pi r h_{cyl}) + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (h_{cyl} + l)$.
$9$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times 3.14 \times 30 \times (100 + 50) = 188.4 \times 150 = 28260 \, cm^2$.

(C) यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर दो अर्धगोलों से बनी है।
दिया है: त्रिज्या $r = 21 \, cm$,कुल ऊँचाई $H = 92 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $h = H - 2r = 92 - 2(21) = 92 - 42 = 50 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2 \times$ (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh + 2(2\pi r^2) = 2\pi r(h + 2r)$.
मान रखने पर: $2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times (50 + 2(21)) = 2 \times 22 \times 3 \times (50 + 42) = 132 \times 92 = 12,144 \, cm^2$.

(D) अर्धगोलाकार गुंबद की त्रिज्या $(r)$ $21\, m$ है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $2\pi r^2$ है।
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$CSA = 2 \times 22 \times 3 \times 21$
$CSA = 44 \times 63 = 2772\, m^2$.
पेंट करने की दर ₹ $80$ प्रति $m^2$ है।
कुल लागत = $CSA \times \text{दर} = 2772 \times 80 = 2,21,760$.
अतः,बाहरी सतह को पेंट करने की कुल लागत ₹ $2,21,760$ है।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $7\, cm$,ऊँचाई $(h)$ = $24\, cm$.
सबसे पहले,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ ज्ञात करें: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\, cm$.
पेंट की जाने वाली सतह का क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\, cm^2$.
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 308\, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $550 + 308 = 858\, cm^2$.
पेंट करने का खर्च = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\times$ दर = $858 \times 2 = ₹ 1716$.

(B) यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर जुड़े दो शंकुओं से बनी है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $21 \, cm$.
बेलन की ऊंचाई $(h)$ = $50 \, cm$.
शंकु की ऊंचाई $(H)$ = $28 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊंचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2 \times$ (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 50 = 44 \times 3 \times 50 = 6600 \, cm^2$.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r l = \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 22 \times 3 \times 35 = 2310 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $6600 + 2 \times 2310 = 6600 + 4620 = 11220 \, cm^2$.

(C) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $3.5\, m$,ऊँचाई $(h)$ = $12\, m$.
सबसे पहले,सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ का उपयोग करके शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ ज्ञात करें।
$l = \sqrt{(3.5)^2 + (12)^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5\, m$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $\pi rl$ द्वारा दिया जाता है।
$CSA = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 12.5 = 22 \times 0.5 \times 12.5 = 11 \times 12.5 = 137.5\, m^2$.
पेंट करने की लागत ₹ $30/m^2$ की दर से है।
कुल लागत = $137.5 \times 30 = ₹ 4125$.

(D) यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर दो अर्धगोलों से मिलकर बनी है।
दिया गया है: बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $20 \, cm$,कुल ऊँचाई $(H)$ = $80 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h)$ = $H - 2r = 80 - 2(20) = 80 - 40 = 40 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2 \times$ (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
$= 2\pi rh + 2(2\pi r^2) = 2\pi r(h + 2r)$.
$= 2 \times 3.14 \times 20 \times (40 + 2 \times 20)$.
$= 125.6 \times (40 + 40) = 125.6 \times 80 = 10048 \, cm^2$.

(A) यह वस्तु एक बेलन,एक अर्धगोले और एक शंकु से मिलकर बनी है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $28 \, cm$,बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $54.5 \, cm$.
अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $28 \, cm$.
शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $28 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $(h_2)$ = $21 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{28^2 + 21^2} = \sqrt{784 + 441} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh_1 + 2\pi r^2 + \pi rl$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r (2h_1 + 2r + l) = \frac{22}{7} \times 28 \times (2 \times 54.5 + 2 \times 28 + 35)$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $22 \times 4 \times (109 + 56 + 35) = 88 \times 200 = 17600 \, cm^2$.

(B) $1$. आयामों की पहचान करें: त्रिज्या $(r)$ = $5 \, cm$,प्रत्येक शंकु की ऊंचाई $(h_{cone})$ = $12 \, cm$,कुल ऊंचाई $(H)$ = $41 \, cm$.
$2$. बेलन की ऊंचाई $(h_{cyl})$ ज्ञात करें: $h_{cyl} = H - 2 \times h_{cone} = 41 - 24 = 17 \, cm$.
$3$. शंकु की तिर्यक ऊंचाई $(l)$ ज्ञात करें: $l = \sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
$4$. वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो शंकुओं का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
$5$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h_{cyl} + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (h_{cyl} + l)$.
$6$. मान रखने पर: $2 \times 3.14 \times 5 \times (17 + 13) = 31.4 \times 30 = 942 \, cm^2$.

(C) यह वस्तु एक बेलन और एक शंकु के संयोजन से बनी है।
दिया है: बेलन और शंकु की त्रिज्या $(r) = 6 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $(h_{cone}) = 8 \, cm$,वस्तु की कुल ऊँचाई $= 20 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h_{cyl}) = 20 \, cm - 8 \, cm = 12 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $(2 \pi r h_{cyl}) + (\pi r l) = \pi r (2 h_{cyl} + l)$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $3.14 \times 6 \times (2 \times 12 + 10) = 18.84 \times (24 + 10) = 18.84 \times 34 = 640.56 \, cm^2$.

(D) माना अर्धगोलाकार आधार की त्रिज्या $r$ है और शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = 5 \, cm$ है।
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl + 2\pi r^2 = 103.62 \, cm^2$.
दिया है $\pi = 3.14$,अतः $3.14 \times r \times 5 + 2 \times 3.14 \times r^2 = 103.62$.
$15.7r + 6.28r^2 = 103.62$.
$3.14$ से भाग देने पर: $5r + 2r^2 = 33$.
$2r^2 + 5r - 33 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $2r^2 + 11r - 6r - 33 = 0 \implies r(2r + 11) - 3(2r + 11) = 0$.
$(r - 3)(2r + 11) = 0$. चूँकि $r > 0$,इसलिए $r = 3 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
वस्तु की कुल ऊँचाई शंकु की ऊँचाई और अर्धगोले की त्रिज्या का योग है: $H = h + r = 4 + 3 = 7 \, cm$.

(A) दिया गया है: शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $15 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $(h)$ = $20 \, cm$।
सबसे पहले,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ की गणना करें: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, cm$।
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl = 3.14 \times 15 \times 25 = 1177.5 \, cm^2$।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi r^2 = 2 \times 3.14 \times 15^2 = 2 \times 3.14 \times 225 = 1413 \, cm^2$।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $1177.5 + 1413 = 2590.5 \, cm^2$।

(B) शंकु की त्रिज्या $=$ अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 15\, cm$ और शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = 25\, cm$.
शंकु के लिए,$l^{2} = r^{2} + h^{2}$.
$\therefore h^{2} = l^{2} - r^{2} = 25^{2} - 15^{2} = 625 - 225 = 400 = (20)^{2}$.
अतः,$h = 20\, cm$.
संयुक्त ठोस का आयतन $=$ शंकु का आयतन $+$ अर्धगोले का आयतन.
आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h + \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{1}{3} \pi r^{2} (h + 2r)$.
मान रखने पर: आयतन $= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15 \times 15 \times (20 + 2 \times 15)$.
आयतन $= 3.14 \times 5 \times 15 \times (20 + 30) = 3.14 \times 75 \times 50 = 3.14 \times 3750 = 11775\, cm^{3}$.
अतः,दिए गए ठोस का आयतन $11775\, cm^{3}$ है।

(C) बेलन की त्रिज्या $=$ अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 8.4 \,cm$.
बेलन की ऊँचाई $h =$ कुल ऊँचाई $-$ अर्धगोले की त्रिज्या।
$h = 52.8 - 8.4 = 44.4 \,cm$.
संयुक्त टंकी का आयतन $=$ बेलन का आयतन $+$ अर्धगोले का आयतन।
$V = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times (44.4 + \frac{2}{3} \times 8.4)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times (44.4 + 5.6)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times 50$.
$V = 22 \times 1.2 \times 8.4 \times 50 = 11088 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,इसलिए लीटर में आयतन $\frac{11088}{1000} = 11.088 \,\text{लीटर}$ होगा।

(D) शंकु की त्रिज्या $=$ अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 15 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h = \text{कुल ऊँचाई} - \text{अर्धगोले की त्रिज्या} = 55 - 15 = 40 \, cm$.
संयुक्त ठोस का आयतन $=$ शंकु का आयतन $+$ अर्धगोले का आयतन।
आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h + 2r)$.
मान रखने पर: आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 15 \times 15 \times (40 + 2 \times 15)$.
आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 225 \times (40 + 30) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 225 \times 70$.
आयतन $= 22 \times 75 \times 10 = 16500 \, cm^3$.