Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(A) दिया गया है: $R = 28 \, cm$,$r = 7 \, cm$,$h = 72 \, cm$.
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{72^2 + (28 - 7)^2} = \sqrt{5184 + 441} = \sqrt{5625} = 75 \, cm$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= \pi(R + r)l = \frac{22}{7} \times (28 + 7) \times 75 = 22 \times 5 \times 75 = 8250 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= \text{CSA} + \pi R^2 + \pi r^2 = 8250 + \frac{22}{7} \times (28^2 + 7^2) = 8250 + \frac{22}{7} \times (784 + 49) = 8250 + 22 \times 119 = 8250 + 2618 = 10868 \, cm^2$.
आयतन $= \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 72 \times (28^2 + 7^2 + 28 \times 7) = \frac{22 \times 24}{7} \times (784 + 49 + 196) = \frac{528}{7} \times 1029 = 528 \times 147 = 77616 \, cm^3$.

(D) एक बेलन का $CSA$ (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) उसके दो वृत्ताकार आधारों को छोड़कर वक्र सतह का क्षेत्रफल होता है।
$r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले बेलन के लिए,$CSA$ की गणना आधार की परिधि $(2 \pi r)$ को ऊँचाई $(h)$ से गुणा करके की जाती है।
अतः,$CSA = 2 \pi r h$.

(A) अर्धगोला,एक गोले का आधा भाग होता है।
चूंकि एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r^{2}$ होता है,इसलिए अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ उस मान का आधा होता है।
अर्धगोले का $CSA = \frac{1}{2} \times (4 \pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$।

(B) शंकु का आयतन,जिसकी आधार त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है,का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है।

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) त्रिज्या $r$ और तिर्यक ऊँचाई $l$ वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $\pi r l$ है।
यहाँ,$r$ वृत्ताकार आधार की त्रिज्या को दर्शाता है और $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई को दर्शाता है।

(A) गोला एक त्रि-आयामी वस्तु है जिसमें सतह पर स्थित प्रत्येक बिंदु केंद्र से समान दूरी $r$ पर होता है। गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
अर्धगोला,गोले का ठीक आधा भाग होता है। इसलिए,अर्धगोले का आयतन,गोले के आयतन का आधा होता है।
अर्धगोले का आयतन $= \frac{1}{2} \times (\text{गोले का आयतन})$
अर्धगोले का आयतन $= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \pi r^{3}$.

(B) अर्धगोला एक गोले का आधा भाग होता है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $2 \pi r^{2}$ होता है।
अर्धगोले का आधार एक वृत्त होता है जिसका क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का योग होता है।
$TSA = CSA + \text{आधार का क्षेत्रफल} = 2 \pi r^{2} + \pi r^{2} = 3 \pi r^{2}$.

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित है:
$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(D) बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल का योग होता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 2 \pi r h$
दो वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल $= 2 \times (\pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^{2}$
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $TSA = 2 \pi r(r+h)$।

(A) एक बेलन जिसका आधार की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है,उसका आयतन आधार के क्षेत्रफल को बेलन की ऊँचाई से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^{2}$.
अतः,बेलन का आयतन $= \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई} = \pi r^{2} h$.

(B) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl$
आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^{2}$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl + \pi r^{2} = \pi r(l + r)$
जहाँ $r$ आधार की त्रिज्या है और $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।

(C) गोले का व्यास $d = 10 \, cm$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi (5)^3$
$V = \frac{4}{3} \pi (125)$
$V = \frac{500}{3} \pi \, cm^3$.

(B) $5$ रुपये का सिक्का एक बेलनाकार आकार का होता है,जिसकी ऊँचाई $h$ बहुत कम होती है।
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल और उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times (\text{आधार का क्षेत्रफल}) + \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(\pi r^2) + 2 \pi r h$.
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $2 \pi r(r + h)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही सूत्र $2 \pi r(r + h)$ है।

(A) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 1.5 \text{ cm} = \frac{3}{2} \text{ cm}$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{3}{2} \right)^3$
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{27}{8} \right)$
$V = \left( \frac{4}{3} \times \frac{27}{8} \right) \pi$
$V = \left( \frac{1}{1} \times \frac{9}{2} \right) \pi$
$V = 4.5 \pi \text{ cm}^3$।

(B) माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। दिया गया है कि उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 3 : 5$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $S = 4\pi r^2$ होता है।
दोनों गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ होगा।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर: $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$।
अतः,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $9: 25$ है।

(C) दिया गया है: शंकु के छिन्नक की त्रिज्याएँ $R = 10 \, cm$ और $r = 7 \, cm$ हैं। ऊँचाई $h = 4 \, cm$ है।
सबसे पहले,हम छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना सूत्र $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$ का उपयोग करके करेंगे।
मान रखने पर: $l = \sqrt{4^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $CSA = \pi (R + r) l$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $CSA = \pi (10 + 7) \times 5 = \pi (17) \times 5 = 85\pi \, cm^2$.
अतः,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $85\pi \, cm^2$ है।

(D) शंकु के छिन्नक के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ है।
दिया गया है: $r_1 = 6 \, cm$,$r_2 = 4 \, cm$ और $h = 9 \, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \pi (9) (6^2 + 4^2 + 6 \times 4)$
$V = 3 \pi (36 + 16 + 24)$
$V = 3 \pi (76)$
$V = 228 \pi \, cm^3$.
अतः,आयतन $228 \pi \, cm^3$ है।

(A) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है,जहाँ $V$ आयतन है,$r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $V = 550 \, cm^3$,$r = 5 \, cm$ और $\pi \approx \frac{22}{7}$.
सूत्र में मान रखने पर: $550 = \frac{22}{7} \times (5)^2 \times h$.
$550 = \frac{22}{7} \times 25 \times h$.
$550 = \frac{550}{7} \times h$.
$h = 550 \times \frac{7}{550}$.
$h = 7 \, cm$.

(B) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 5 \, cm$ और ऊँचाई $h = 12 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^{2} \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12$
$V = \pi \times 25 \times 4$
$V = 100 \pi \, cm^{3}$.
अतः,शंकु का आयतन $100 \, \pi \, cm^{3}$ है।

(C) माना कि दो शंकुओं के व्यास $d_1$ और $d_2$ हैं,और उनकी ऊंचाइयां $h_1$ और $h_2$ हैं।
व्यासों का अनुपात $d_1:d_2 = 2:3$ है,इसलिए उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $r_1:r_2 = 2:3$ होगा।
उनकी ऊंचाइयों का अनुपात $h_1:h_2 = 9:4$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ होगा।
दिए गए अनुपातों का मान रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{9}{4}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{9}{4} = 1$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $1:1$ है।

(D) गोले का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
माना मूल त्रिज्या $r_1 = r$ है।
अतः मूल आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ होगा।
यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए,तो नई त्रिज्या $r_2 = 2r$ हो जाएगी।
नया आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ होगा।
इस प्रकार,$V_2 = 8 \times V_1$ प्राप्त होता है।
अतः,नया आयतन मूल गोले के आयतन का $8$ गुना हो जाता है।

(A) शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = \pi r l$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
दिया गया है: $r = 12 \, cm$ और $l = 20 \, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$CSA = \pi \times 12 \times 20$
$CSA = 240 \pi \, cm^2$.
अतः,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $240 \pi \, cm^2$ है।

(B) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 5 \, cm$ और ऊँचाई $h = 5 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \pi \times (5)^{2} \times 5$
$V = \pi \times 25 \times 5$
$V = 125\pi \, cm^{3}$.
अतः,बेलन का आयतन $125\pi \, cm^{3}$ है।

(C) अर्धगोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 3 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{2}{3} \times \pi \times (3)^{3}$
$V = \frac{2}{3} \times \pi \times 27$
$V = 2 \times \pi \times 9$
$V = 18 \pi \, cm^{3}$।
अतः,अर्धगोले का आयतन $18 \pi \, cm^{3}$ है।

(D) माना कि दो बेलनों के व्यास $d_1$ और $d_2$ हैं,और उनकी ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया है,$d_1:d_2 = 3:4$,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $r_1:r_2 = 3:4$ होगा।
दिया है,$h_1:h_2 = 4:5$.
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{9}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{9 \times 1}{4 \times 5} = \frac{9}{20}$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $9:20$ है।

(C) एक घन में कुल $6$ फलक होते हैं। $l$ भुजा वाले घन के प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल $l^2$ होता है।
यदि घन एक सिरे से खुला है,तो इसका अर्थ है कि एक फलक कम है।
अतः,एक सिरे से खुले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शेष $5$ फलकों के क्षेत्रफलों का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 5 \times l^2 = 5l^2$.

(A) एक घन एक त्रिविमीय आकृति है जिसमें $6$ समान वर्गाकार फलक होते हैं।
यदि घन की भुजा की लंबाई $l$ है,तो एक वर्गाकार फलक का क्षेत्रफल $l \times l = l^{2}$ होता है।
चूंकि एक बंद घन में ऐसे $6$ फलक होते हैं,इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सभी $6$ फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
अतः,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times l^{2} = 6 l^{2}$।

(A) एक बेलन के दो वृत्ताकार आधार होते हैं।
चूंकि बेलन का आधार $r$ त्रिज्या वाला एक वृत्त होता है,इसलिए आधार का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा दिया जाता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^{2}$।
अतः,बेलन के आधार का क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ होता है।

(A) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके ऊपरी और निचले वृत्ताकार आधारों को छोड़कर पार्श्व सतह का क्षेत्रफल होता है।
$r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले बेलन के लिए,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार की परिधि $(2 \pi r)$ को ऊँचाई $(h)$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
अतः,सूत्र $2 \pi r h$ है।

(B) बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग होता है।
दो वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल $= 2 \times (\pi r^2) = 2 \pi r^2$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$.
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $2 \pi r(r + h)$ प्राप्त होता है।

(D) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $\pi rl$ है,जहाँ $r$ आधार की त्रिज्या है और $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।

(C) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के वृत्तीय क्षेत्रफल का योग होता है।
$1$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
$2$. आधार के वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ होता है।
$3$. अतः,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{आधार का क्षेत्रफल} = \pi r l + \pi r^{2}$.
$4$. $\pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $\pi r(l + r)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^{2}$ है।
यह सूत्र गोले की बाहरी सीमा द्वारा घेरे गए कुल क्षेत्रफल को दर्शाता है।

(C) एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r^{2}$ होता है।
चूंकि एक अर्धगोला,गोले का ठीक आधा भाग होता है,इसलिए इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल गोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा होगा।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (4 \pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$।

(C) एक लंबवृत्तीय शंकु में,तिर्यक ऊँचाई $(l)$,ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ और आधार की त्रिज्या $(r)$ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$l^{2} = h^{2} + r^{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) अर्धगोला,गोले का आधा भाग होता है। गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^{2}$ होता है,इसलिए अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r^{2}$ होता है।
इसके अतिरिक्त,अर्धगोले का आधार एक वृत्त होता है जिसका क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ होता है।
अतः,अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का योग होता है: $2\pi r^{2} + \pi r^{2} = 3\pi r^{2}$।

(D) शंकु एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति है जो एक समतल आधार से ऊपर की ओर एक बिंदु तक संकीर्ण होती जाती है,जिसे शीर्ष कहा जाता है।
परिभाषा के अनुसार,एक लंबवृत्तीय शंकु का आधार एक वृत्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
चूंकि अर्धगोला एक गोले का ठीक आधा भाग होता है,इसलिए इसका आयतन गोले के आयतन का आधा होता है।
अतः,अर्धगोले का आयतन $= \frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} \pi r^{3}) = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ होगा।

(B) $1-$ रुपये का सिक्का बेलनाकार आकार का होता है।
बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ है,जहाँ $r$ आधार की त्रिज्या है और $h$ सिक्के की मोटाई (ऊंचाई) है।
अतः,$1-$ रुपये के सिक्के का आयतन $V = \pi r^{2} h$ है।

(B) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $TSA = \pi r(r + l) = \pi r^2 + \pi rl$।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $CSA = \pi rl$।
यह जानने के लिए कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल से कितना अधिक है,हम $TSA$ में से $CSA$ को घटाएंगे:
अंतर $= TSA - CSA$
अंतर $= (\pi r^2 + \pi rl) - (\pi rl)$
अंतर $= \pi r^2 + \pi rl - \pi rl$
अंतर $= \pi r^2$।
अतः,शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल से $\pi r^2$ अधिक है।

(B) $1$ रुपये का सिक्का एक पतले बेलन (cylinder) के आकार का होता है।
एक बेलन जिसकी त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है,उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $A = 2 \pi r h$ है।
यहाँ,$h$ सिक्के की मोटाई को दर्शाता है।

(B) जब एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटा जाता है,तो शंकु का छिन्नक (frustum) प्राप्त होता है।
मान लीजिए $h$ छिन्नक की ऊँचाई है,और $r_{1}$ तथा $r_{2}$ दो वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याएँ हैं।
शंकु के छिन्नक के आयतन $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
अतः,विकल्प $B$ सही सूत्र है।

(A) शंकु का छिन्नक तब बनता है जब एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटा जाता है।
मान लीजिए $r_{1}$ और $r_{2}$ छिन्नक के दो वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ हैं,और $l$ छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई है।
शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र मूल शंकु और ऊपर से हटाए गए छोटे शंकु के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के अंतर से प्राप्त होता है।
यह सूत्र है: $CSA = \pi l(r_{1} + r_{2})$.

(A) शंकु के छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ उसकी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
$1$. छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi l(r_{1} + r_{2})$ होता है,जहाँ $l$ तिर्यक ऊँचाई है और $r_{1}, r_{2}$ दो वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याएँ हैं।
$2$. ऊपरी वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r_{1}^{2}$ है।
$3$. निचले वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r_{2}^{2}$ है।
$4$. अतः,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ इन तीनों भागों का योग है: $TSA = \pi l(r_{1} + r_{2}) + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$.

(B) $5$ रुपये का सिक्का एक पतले बेलन (cylinder) के आकार का होता है।
$r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
$TSA = \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + 2 \times \text{वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल}$
$TSA = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$TSA = 2 \pi r(r + h)$
अतः,सही सूत्र $A = 2 \pi r(r + h)$ है।

(C) हम जानते हैं कि $1 \text{ litre}$ को $10 \text{ cm}$ भुजा वाले घन के आयतन के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि घन का आयतन $(\text{भुजा})^3$ होता है,इसलिए:
$1 \text{ litre} = (10 \text{ cm})^3 = 10 \times 10 \times 10 \text{ cm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$।
अतः,$1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3$ होता है।

(C) हम जानते हैं कि $1 \, m = 100 \, cm$ होता है।
इसलिए,$1 \, m^3 = (100 \, cm) \times (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 1,000,000 \, cm^3$ होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $1 \, \text{लीटर} = 1000 \, cm^3$ होता है।
$cm^3$ को लीटर में बदलने के लिए,हम $1000$ से भाग देते हैं।
अतः,$1,000,000 \, cm^3 / 1000 = 1000 \, \text{लीटर}$।
इसलिए,$1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$।

(C) हम जानते हैं कि $1 \ m^{3} = 1000 \ \text{लीटर}$ होता है।
साथ ही,$1 \ \text{किलोलीटर} = 1000 \ \text{लीटर}$ होता है।
अतः,$1 \ m^{3} = 1 \ \text{किलोलीटर}$।