Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(A) बेलन की त्रिज्या $=$ प्रत्येक अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 2.1 \,m$.
बेलन की ऊँचाई $h =$ टैंक की कुल ऊँचाई $- 2 \times$ अर्धगोले की त्रिज्या $= 9.2 - 2 \times 2.1 = 5 \,m$.
संयुक्त टैंक का आयतन $=$ बेलन का आयतन $+ 2 \times$ अर्धगोले का आयतन
$= \pi r^{2} h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^{3}) = \pi r^{2} (h + \frac{4}{3} r)$
$= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times (5 + \frac{4}{3} \times 2.1)$
$= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times (5 + 2.8) = \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 7.8 = 108.108 \,m^{3}$.
चूँकि $1 \,m^{3} = 1000$ लीटर,
लीटर में आयतन $= 108.108 \times 1000 = 1,08,108$ लीटर.
अतः,टैंक में $1,08,108$ लीटर पेट्रोल आ सकता है।

(B) बेलन की त्रिज्या $=$ प्रत्येक शंकु की त्रिज्या $= r = 10 \,cm$.
बेलन की ऊँचाई $H = 40 \,cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = 26 \,cm$.
शंकु के लिए,$l^2 = r^2 + h^2$,जहाँ $h$ शंकु की ऊँचाई है।
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \,cm$.
संयुक्त पात्र का आयतन $=$ बेलन का आयतन $+ 2 \times$ शंकु का आयतन।
आयतन $= \pi r^2 H + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = \pi r^2 (H + \frac{2}{3} h)$.
मान रखने पर: आयतन $= \frac{22}{7} \times 10^2 \times (40 + \frac{2}{3} \times 24) = \frac{22}{7} \times 100 \times (40 + 16) = \frac{22}{7} \times 100 \times 56$.
आयतन $= 22 \times 100 \times 8 = 17600 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,लीटर में आयतन $\frac{17600}{1000} = 17.6 \,\text{लीटर}$ है।
अतः,मॉडल में $17.6 \,\text{लीटर}$ पानी आ सकता है।

(C) यह ठोस एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर लगे दो शंकुओं से बना है।
दिया है:
बेलन और शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $7\, cm$.
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई $(h_1)$ = $18\, cm$.
ठोस की कुल ऊँचाई $(H)$ = $64\, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h_2)$ = $H - 2 \times h_1 = 64 - 2(18) = 64 - 36 = 28\, cm$.
ठोस का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ शंकु का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h_2 + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_1)$.
आयतन = $\pi r^2 (h_2 + \frac{2}{3} h_1)$.
आयतन = $\frac{22}{7} \times 7^2 \times (28 + \frac{2}{3} \times 18)$.
आयतन = $22 \times 7 \times (28 + 12) = 154 \times 40 = 6160\, cm^3$.

(D) ठोस का आयतन शंकु के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है।
दिया गया है: त्रिज्या $r = 14 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $h = 32 \, cm$.
शंकु का आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 32 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 32 = \frac{19712}{3} \, cm^3$.
अर्धगोले का आयतन $V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 = \frac{2}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 14 = \frac{17248}{3} \, cm^3$.
कुल आयतन $V = V_1 + V_2 = \frac{19712 + 17248}{3} = \frac{36960}{3} = 12320 \, cm^3$.

(A) यह ठोस एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर स्थित दो शंकुओं से बना है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $21 \, cm$.
प्रत्येक शंकु की ऊंचाई $(h_{cone})$ = $30 \, cm$.
ठोस की कुल ऊंचाई = $140 \, cm$.
बेलन की ऊंचाई $(h_{cyl})$ = कुल ऊंचाई - $2 \times h_{cone} = 140 - 2(30) = 140 - 60 = 80 \, cm$.
ठोस का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ शंकु का आयतन।
बेलन का आयतन = $\pi r^2 h_{cyl} = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 80 = 22 \times 3 \times 21 \times 80 = 1,10,880 \, cm^3$.
दो शंकुओं का आयतन = $2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone}) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 30 = 2 \times 22 \times 21 \times 30 = 27,720 \, cm^3$.
कुल आयतन = $1,10,880 + 27,720 = 1,38,600 \, cm^3$.

(B) यह ठोस एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर दो अर्धगोलों से मिलकर बना है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $4.2 \, cm$.
ठोस की कुल ऊँचाई = $15 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h)$ = कुल ऊँचाई - $2 \times$ अर्धगोले की त्रिज्या = $15 - 2(4.2) = 15 - 8.4 = 6.6 \, cm$.
ठोस का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 (h + \frac{4}{3} r)$.
आयतन = $\frac{22}{7} \times (4.2)^2 \times (6.6 + \frac{4}{3} \times 4.2)$.
आयतन = $\frac{22}{7} \times 17.64 \times (6.6 + 5.6) = 22 \times 2.52 \times 12.2$.
आयतन = $55.44 \times 12.2 = 676.368 \, cm^3$.

(C) लट्टू एक शंकु और एक अर्धगोले से बना है जो उनके आधार पर जुड़े हुए हैं। शंकु और अर्धगोले दोनों की त्रिज्या $r = 2.8 \, cm$ है। शंकु की ऊँचाई $h = 6.4 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.8)^2 \times 6.4 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7.84 \times 6.4 \approx 52.53 \, cm^3$.
अर्धगोले का आयतन $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.8)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21.952 \approx 46.03 \, cm^3$.
कुल आयतन $V = V_{cone} + V_{hemi} = 52.53 + 46.03 = 98.56 \, cm^3$.

(A) पात्र एक बेलन और एक अर्धगोले से बना है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $8.4 \,cm$।
अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $8.4 \,cm$।
पात्र की कुल ऊँचाई $(H)$ = $52.8 \,cm$।
बेलन की ऊँचाई $(h)$ = $H - r = 52.8 - 8.4 = 44.4 \,cm$।
पात्र का आयतन = बेलन का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$।
आयतन = $\frac{22}{7} \times (8.4)^2 \times (44.4 + \frac{2}{3} \times 8.4)$।
आयतन = $\frac{22}{7} \times 70.56 \times (44.4 + 5.6) = \frac{22}{7} \times 70.56 \times 50$।
आयतन = $22 \times 10.08 \times 50 = 11088 \,cm^3$।
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,इसलिए लीटर में आयतन = $11088 / 1000 = 11.088 \,\text{लीटर}$।

(A) दिया है: शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $15 \, cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $25 \, cm$.
सबसे पहले,$l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके शंकु की ऊँचाई $(h)$ ज्ञात कीजिए।
$h^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$.
$h = \sqrt{400} = 20 \, cm$.
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15^2 \times 20 = 3.14 \times 225 \times \frac{20}{3} = 3.14 \times 75 \times 20 = 3.14 \times 1500 = 4710 \, cm^3$.
अर्धगोले का आयतन = $\frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 15^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 3375 = 2 \times 3.14 \times 1125 = 7065 \, cm^3$.
ठोस का कुल आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन = $4710 + 7065 = 11775 \, cm^3$.

(B) यह ठोस एक अर्धगोले पर रखे गए शंकु से बना है।
दिया गया है: अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $15 \, cm$.
ठोस की कुल ऊँचाई $(H)$ = $55 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $(h)$ = $H - r = 55 - 15 = 40 \, cm$.
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (15)^2 \times 40 = 3000 \pi \, cm^3$.
अर्धगोले का आयतन = $\frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times (15)^3 = 2250 \pi \, cm^3$.
कुल आयतन = $3000 \pi + 2250 \pi = 5250 \pi \, cm^3$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,कुल आयतन = $5250 \times 3.14 = 16485 \, cm^3$। निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $16500 \, cm^3$ है।

(C) बेलनाकार कुएं के लिए,त्रिज्या $r = \frac{5.4}{2} = 2.7 \, m$ और गहराई $h = 20 \, m$ है।
खोदी गई मिट्टी का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi \times (2.7)^2 \times 20 \, m^3$ है।
इस मिट्टी को $R = 15 \, m$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार जमीन पर $H$ ऊंचाई तक फैलाया जाता है। इस फैलाई गई मिट्टी का आयतन $V = \pi R^2 H = \pi \times (15)^2 \times H \, m^3$ है।
दोनों आयतनों की तुलना करने पर: $\pi \times (2.7)^2 \times 20 = \pi \times (15)^2 \times H$.
$H = \frac{2.7 \times 2.7 \times 20}{15 \times 15} = \frac{7.29 \times 20}{225} = \frac{145.8}{225} = 0.648 \, m$.
ऊंचाई को सेंटीमीटर में बदलने पर: $H = 0.648 \times 100 = 64.8 \, cm$.
अतः,जमीन के स्तर में हुई वृद्धि $64.8 \, cm$ है।

(D) गोले की त्रिज्या $R = 21 \,cm$ है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (21)^3 \,cm^3$ है।
बेलनाकार तार के लिए,व्यास $= 0.5 \,cm$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4} \,cm$ है।
माना तार की लंबाई $h \,cm$ है।
तार का आयतन $= \pi r^2 h = \pi (\frac{1}{4})^2 h \,cm^3$ है।
चूंकि गोले को पिघलाकर तार बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान होंगे:
$\pi (\frac{1}{4})^2 h = \frac{4}{3} \pi (21)^3$
$\frac{1}{16} h = \frac{4}{3} \times 21 \times 21 \times 21$
$h = 16 \times 4 \times 7 \times 21 \times 21$
$h = 64 \times 7 \times 441 = 197568 \,cm$ है।
मीटर में बदलने के लिए $100$ से भाग देने पर:
$h = \frac{197568}{100} = 1975.68 \,m$ है।
अतः,तार की लंबाई $1975.68 \,m$ है।

(A) माना कि बड़े धात्विक गोले की त्रिज्या $r = 42\, cm$ है और प्रत्येक छोटी गेंद की त्रिज्या $R\, cm$ है।
बड़े गोले का आयतन $8000$ छोटी गेंदों के कुल आयतन के बराबर है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$
$8000$ गेंदों का आयतन $= 8000 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
आयतन की तुलना करने पर: $8000 \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$
$8000 R^3 = r^3$
$8000 R^3 = (42)^3$
$R^3 = \frac{42 \times 42 \times 42}{8000}$
$R^3 = \left(\frac{42}{20}\right)^3$
$R = \frac{42}{20} = 2.1\, cm$
अतः,प्रत्येक छोटी गेंद की त्रिज्या $2.1\, cm$ है।

(B) बेलन की त्रिज्या $r = 15\, cm$ और ऊंचाई $h = 20\, cm$ है।
प्रत्येक गेंद की त्रिज्या $R = 3\, cm$ है।
मान लीजिए कि $n$ गेंदें बनाई जाती हैं।
पिघलाने और पुनः ढालने के दौरान आयतन समान रहता है:
$n$ गेंदों का आयतन $=$ बेलन का आयतन
$n \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \pi r^2 h$
$n \times \frac{4}{3} \times (3)^3 = (15)^2 \times 20$
$n \times \frac{4}{3} \times 27 = 225 \times 20$
$n \times 36 = 4500$
$n = \frac{4500}{36} = 125$
अतः,$125$ गेंदें बनाई जाती हैं।

(C) गोले की त्रिज्या $R = 18 \,cm$ है।
प्रत्येक बेलन के लिए,त्रिज्या $r = 3 \,cm$ और ऊँचाई $h = 12 \,cm$ है।
मान लीजिए कि $n$ बेलन निर्मित होते हैं।
$n$ बेलनों का आयतन = गोले का आयतन।
$n \times \pi r^{2} h = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
$n \times r^{2} h = \frac{4}{3} R^{3}$.
$n \times 3^{2} \times 12 = \frac{4}{3} \times 18^{3}$.
$n \times 9 \times 12 = \frac{4}{3} \times 5832$.
$n \times 108 = 7776$.
$n = \frac{7776}{108} = 72$.
अतः,$72$ बेलन निर्मित होते हैं।

(D) धात्विक गोले का आयतन सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 21 \,cm$ है।
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (21)^3 = 4 \times \pi \times 441 \times 7 = 12348 \pi \,cm^3$.
तार एक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या $R = 0.5 \,cm$ और लंबाई $h$ है। तार का आयतन $V = \pi R^2 h$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $12348 \pi = \pi \times (0.5)^2 \times h$.
$12348 = 0.25 \times h$.
$h = \frac{12348}{0.25} = 12348 \times 4 = 49392 \,cm$.
लंबाई को मीटर में बदलने के लिए,$100$ से भाग देने पर: $h = \frac{49392}{100} = 493.92 \,m$.

(A) दिया गया है: धात्विक गोले का व्यास $D = 12 \, cm$,अतः त्रिज्या $R = 6 \, cm$ है।
छोटी गेंद की त्रिज्या $r = 0.3 \, cm$ है।
माना बनाई गई गेंदों की संख्या $n$ है।
पिघलाने और पुनः ढालने के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए बड़े गोले का आयतन $n$ छोटी गेंदों के आयतन के योग के बराबर होगा।
$V_{\text{large}} = n \times V_{\text{small}}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n \times r^3$
$n = \frac{R^3}{r^3} = \left( \frac{R}{r} \right)^3$
$n = \left( \frac{6}{0.3} \right)^3 = (20)^3$
$n = 8000$.
अतः,बनाई गई गेंदों की संख्या $8000$ है।

(B) धात्विक बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (6)^2 \times 4 = 144\pi \, cm^3$ है।
प्रत्येक गेंद का व्यास $1 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r_{ball} = 0.5 \, cm$ होगी।
एक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.5)^3 = \frac{4}{3} \pi (0.125) = \frac{0.5}{3} \pi = \frac{1}{6} \pi \, cm^3$ है।
बनने वाली गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{144\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 144 \times 6 = 864$ है।

(C) धात्विक बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है। $r = 2\, cm$ और $h = 8\, cm$ रखने पर,हमें $V_{cylinder} = \pi \times (2)^2 \times 8 = 32\pi\, cm^3$ प्राप्त होता है।
$0.5\, cm$ व्यास (त्रिज्या $r_b = 0.25\, cm = 1/4\, cm$) वाली एक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \pi (1/4)^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{1}{64} = \frac{\pi}{48}\, cm^3$ है।
बनाई गई गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{32\pi}{\pi/48} = 32 \times 48 = 1536$ है।

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
जब तीन गोलों को पिघलाकर एक नया गोला बनाया जाता है,तो कुल आयतन संरक्षित रहता है।
माना तीन गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 3 \, cm$,$r_2 = 4 \, cm$ और $r_3 = 5 \, cm$ हैं।
माना नए गोले की त्रिज्या $R$ है।
तीनों गोलों का कुल आयतन $V_{total} = \frac{4}{3} \pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$ है।
नए गोले का आयतन $V_{new} = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
आयतन को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi (3^3 + 4^3 + 5^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.

(A) धात्विक गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 6 \, cm$ है।
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (6)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 = 288 \pi \, cm^3$.
तार एक बेलन के आकार का है जिसका व्यास $1 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $R = 0.5 \, cm = \frac{1}{2} \, cm$ है।
माना तार की लंबाई $h$ है। बेलनाकार तार का आयतन $V = \pi R^2 h$ होता है।
आयतन को बराबर करने पर: $288 \pi = \pi \times (\frac{1}{2})^2 \times h$.
$288 = \frac{1}{4} \times h$.
$h = 288 \times 4 = 1152 \, cm$.
चूंकि $100 \, cm = 1 \, m$ होता है,इसलिए मीटर में लंबाई $1152 / 100 = 11.52 \, m$ होगी।

(B) कुएं से निकाली गई मिट्टी का आयतन कुएं द्वारा निर्मित बेलन के आयतन के बराबर होता है।
मिट्टी का आयतन = $\pi r^2 h = \pi \times (2)^2 \times 50 = 200\pi \, m^3$.
मान लीजिए कि वृत्ताकार प्लॉट के स्तर में हुई वृद्धि $H$ मीटर है।
मिट्टी को $R = 40 \, m$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार प्लॉट पर फैलाया जाता है।
फैलाई गई मिट्टी का आयतन $40 \, m$ त्रिज्या और $H$ ऊंचाई वाले बेलन के आयतन के बराबर होगा।
आयतन = $\pi R^2 H = \pi \times (40)^2 \times H = 1600\pi H \, m^3$.
दोनों आयतनों की तुलना करने पर: $1600\pi H = 200\pi$.
$H = \frac{200}{1600} = \frac{1}{8} \, m$.
ऊंचाई को $cm$ में बदलने के लिए,$100$ से गुणा करें: $H = \frac{1}{8} \times 100 = 12.5 \, cm$.

(C) धात्विक शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। दी गई मान $r = 5 \, cm$ और $h = 8 \, cm$ रखने पर,$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (8) = \frac{200}{3} \pi \, cm^3$ प्राप्त होता है।
$0.5 \, cm$ व्यास (त्रिज्या $r_b = 0.25 \, cm = \frac{1}{4} \, cm$) वाली प्रत्येक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{4})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{64}) = \frac{1}{48} \pi \, cm^3$ है।
उत्पादित गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cone}}{V_{ball}} = \frac{\frac{200}{3} \pi}{\frac{1}{48} \pi} = \frac{200}{3} \times 48 = 200 \times 16 = 3200$ है।

(D) धात्विक गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 6 \, cm$ है।
$V = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi (216) = 288 \pi \, cm^3$.
तार एक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या $R = 0.4 \, cm$ और लंबाई $h$ है। बेलन का आयतन $V = \pi R^2 h$ होता है।
पिघलाने और पुन: आकार देने की प्रक्रिया के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए:
$288 \pi = \pi (0.4)^2 h$
$288 = 0.16 \times h$
$h = \frac{288}{0.16} = \frac{28800}{16} = 1800 \, cm$.
लंबाई को मीटर में बदलने के लिए,हम $100$ से भाग देते हैं:
$h = \frac{1800}{100} = 18 \, m$.

(A) $21\,cm$ व्यास वाले धात्विक गोले का आयतन (त्रिज्या $R = 10.5\,cm$ या $21/2\,cm$) $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{21}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{9261}{8} = \frac{3087}{2} \pi \, cm^3$ है।
$7\,cm$ व्यास (त्रिज्या $r = 3.5\,cm$ या $7/2\,cm$) और $3\,cm$ ऊँचाई वाले एक शंकु का आयतन $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{7}{2})^2 \times 3 = \pi \times \frac{49}{4} = 12.25 \pi \, cm^3$ है।
शंकुओं की संख्या $n = \frac{V_s}{V_c} = \frac{3087 \pi / 2}{49 \pi / 4} = \frac{3087}{2} \times \frac{4}{49} = \frac{3087 \times 2}{49} = 63 \times 2 = 126$ है।
अतः,$126$ शंकु बनाए जा सकते हैं।

(B) शंकु के छिन्नक के आकार की बाल्टी के लिए,बड़ी त्रिज्या $r_{1} = 28\,cm$,छोटी त्रिज्या $r_{2} = 7\,cm$ और ऊँचाई $h = 45\,cm$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^{2} + 7^{2} + 28 \times 7)$
$V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196)$
$V = \frac{22 \times 15}{7} \times 1029$
$V = 22 \times 15 \times 147$
$V = 48510\,cm^{3}$
चूँकि $1000\,cm^{3} = 1\,\text{लीटर}$:
$V = \frac{48510}{1000}\,\text{लीटर }= 48.51\,\text{लीटर}$
अतः,बाल्टी $48.51\,\text{लीटर}$ पानी धारण कर सकती है।

(N/A) दिए गए शंकु के छिन्नक के लिए,
बड़ी त्रिज्या $r_{1} = 14 \,cm$,छोटी त्रिज्या $r_{2} = 7 \,cm$ और ऊँचाई $h = 24 \,cm$ है।
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}}$
$= \sqrt{24^{2} + (14 - 7)^{2}}$
$= \sqrt{576 + 49}$
$= \sqrt{625} = 25 \,cm$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= \pi l(r_{1} + r_{2})$
$= \frac{22}{7} \times 25 \times (14 + 7)$
$= \frac{22}{7} \times 25 \times 21 = 22 \times 25 \times 3 = 1650 \,cm^{2}$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= \pi l(r_{1} + r_{2}) + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times (14^{2} + 7^{2})$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times (196 + 49)$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times 245$
$= 1650 + 22 \times 35 = 1650 + 770 = 2420 \,cm^{2}$.
आयतन $= \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 24 \times (196 + 49 + 98)$
$= \frac{22 \times 8}{7} \times 343$
$= 22 \times 8 \times 49 = 8624 \,cm^{3}$.
अतः,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $1650 \,cm^{2}$,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2420 \,cm^{2}$ और आयतन $8624 \,cm^{3}$ है।

(D) शंकु के छिन्नक के लिए,आधार की परिधि $C_1 = 2 \pi r_1 = 48 \, cm$,इसलिए $r_1 = \frac{24}{\pi} \, cm$.
शीर्ष की परिधि $C_2 = 2 \pi r_2 = 36 \, cm$,इसलिए $r_2 = \frac{18}{\pi} \, cm$.
छिन्नक की ऊँचाई $h = 11 \, cm$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi (11) \left[ (\frac{24}{\pi})^2 + (\frac{18}{\pi})^2 + (\frac{24}{\pi})(\frac{18}{\pi}) \right]$.
$V = \frac{11 \pi}{3} \left[ \frac{576}{\pi^2} + \frac{324}{\pi^2} + \frac{432}{\pi^2} \right]$.
$V = \frac{11 \pi}{3} \left[ \frac{1332}{\pi^2} \right] = \frac{11 \times 1332}{3 \pi} = \frac{11 \times 444}{\pi} = \frac{4884}{\pi}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$V = \frac{4884 \times 7}{22} = 222 \times 7 = 1554 \, cm^3$.

(A) दिया है: व्यास $D_1 = 32 \,cm$,अतः त्रिज्या $r_1 = 16 \,cm$. व्यास $D_2 = 20 \,cm$,अतः त्रिज्या $r_2 = 10 \,cm$. ऊँचाई $h = 8 \,cm$.
$1$. तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{8^2 + (16 - 10)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \,cm$.
$2$. वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $\pi(r_1 + r_2)l = 3.14 \times (16 + 10) \times 10 = 3.14 \times 26 \times 10 = 816.4 \,cm^2$.
$3$. आयतन $V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (16^2 + 10^2 + 16 \times 10) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (256 + 100 + 160) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times 516 = 3.14 \times 8 \times 172 = 4320.64 \,cm^3$.

(B) शंकु के छिन्नक का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$ है।
दिया गया है: $R = 28 \, cm$, $r = 21 \, cm$, और $V = 28.490 \, \text{litres} = 28490 \, cm^3$ (चूंकि $1 \, \text{litre} = 1000 \, cm^3$ होता है)।
सूत्र में मान रखने पर:
$28490 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times h \times (28^2 + 21^2 + 28 \times 21)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (784 + 441 + 588)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (1813)$.
$28490 = \frac{39886}{21} \times h$.
$h = \frac{28490 \times 21}{39886} = \frac{598290}{39886} = 15 \, cm$.

(A) दिया गया है: त्रिज्याएँ $r_1 = 9\, cm$,$r_2 = 3\, cm$,और ऊँचाई $h = 8\, cm$.
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$ सूत्र का उपयोग करके करें।
$l = \sqrt{8^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\, cm$.
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $\pi(r_1 + r_2)l$ द्वारा दिया जाता है।
$CSA = 3.14 \times (9 + 3) \times 10 = 3.14 \times 12 \times 10 = 376.8\, cm^2$.
शंकु के छिन्नक का आयतन $\frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (9^2 + 3^2 + 9 \times 3) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (81 + 9 + 27) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times 117$.
$V = 3.14 \times 8 \times 39 = 979.68\, cm^3$.

(N/A) दिया गया है: $R = 35 \, cm$,$r = 21 \, cm$,$h = 48 \, cm$.
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{48^2 + (35 - 21)^2} = \sqrt{2304 + 196} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= \pi(R + r)l = \frac{22}{7} \times (35 + 21) \times 50 = \frac{22}{7} \times 56 \times 50 = 22 \times 8 \times 50 = 8800 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= \pi l(R + r) + \pi R^2 + \pi r^2 = 8800 + \frac{22}{7} \times (35^2 + 21^2) = 8800 + \frac{22}{7} \times (1225 + 441) = 8800 + \frac{22}{7} \times 1666 = 8800 + 22 \times 238 = 8800 + 5236 = 14036 \, cm^2$.
आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 48 \times (35^2 + 21^2 + 35 \times 21) = \frac{22 \times 16}{7} \times (1225 + 441 + 735) = \frac{352}{7} \times 2401 = 352 \times 343 = 120736 \, cm^3$.

(A) दिया गया है: बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $8 \, cm$,बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $9 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $(h_2)$ = $15 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \, cm$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के आधार का क्षेत्रफल।
$= 2\pi rh_1 + \pi rl + \pi r^2 = \pi r(2h_1 + l + r) = \frac{22}{7} \times 8 \times (2 \times 9 + 17 + 8) = \frac{176}{7} \times 43 \approx 1081.14 \, cm^2$.
आयतन = बेलन का आयतन + शंकु का आयतन = $\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \pi r^2 (h_1 + \frac{h_2}{3}) = \frac{22}{7} \times 8^2 \times (9 + \frac{15}{3}) = \frac{22}{7} \times 64 \times 14 = 22 \times 64 \times 2 = 2816 \, cm^3$.

(A) दिया है: शंकु और अर्धगोले की त्रिज्या $r = 6 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $h = 8 \, cm$।
सबसे पहले,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ ज्ञात करें: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$।
ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
$CSA$ = $\pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r) = 3.14 \times 6 \times (10 + 2 \times 6) = 18.84 \times (10 + 12) = 18.84 \times 22 = 414.48 \, cm^2$।
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\frac{1}{3}\pi r^2h + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2(h + 2r) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 6^2 \times (8 + 2 \times 6) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times (8 + 12) = 3.14 \times 12 \times 20 = 37.68 \times 20 = 753.6 \, cm^3$।

(C) तंबू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
त्रिज्या $(r)$ = $1.2\, m$.
बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $4\, m$.
शंकु की ऊँचाई $(h_2)$ = $3.5\, m$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{(1.2)^2 + (3.5)^2} = \sqrt{1.44 + 12.25} = \sqrt{13.69} = 3.7\, m$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.2 \times 4 \approx 30.17\, m^2$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 1.2 \times 3.7 \approx 13.95\, m^2$.
कुल क्षेत्रफल = $30.17 + 13.95 = 44.12\, m^2$.
निकटतम पूर्णांक में,उपयोग किया गया कपड़ा $44\, m^2$ है।

(N/A) $1$. पात्र का आयतन: पात्र एक बेलन और एक शंकु से बना है। त्रिज्या $r = 35 \,cm$,बेलन की ऊँचाई $h_1 = 52 \,cm$,और शंकु की ऊँचाई $h_2 = 12 \,cm$ है।
बेलन का आयतन $V_1 = \pi r^2 h_1 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 52 = 200,200 \,cm^3$.
शंकु का आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 12 = 15,400 \,cm^3$.
कुल आयतन $V = V_1 + V_2 = 200,200 + 15,400 = 215,600 \,cm^3$.
चूँकि $1,000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,इसलिए आयतन $215.6 \,\text{लीटर}$ है।
$2$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: पृष्ठीय क्षेत्रफल में बेलन का आधार,बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल शामिल है।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37 \,cm$.
बेलन के आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 3,850 \,cm^2$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 \times 52 = 11,440 \,cm^2$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 35 \times 37 = 4,070 \,cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 3,850 + 11,440 + 4,070 = 19,360 \,cm^2$.

(A) टैंक एक बेलन और दो अर्धगोलों से मिलकर बना है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $21\, cm$.
अर्धगोलों की त्रिज्या $(r)$ = $21\, cm$.
टैंक की कुल ऊँचाई = $62\, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h)$ = कुल ऊँचाई - $2 \times$ अर्धगोले की त्रिज्या = $62 - 2(21) = 62 - 42 = 20\, cm$.
टैंक का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h + 2 \times (2/3) \pi r^3 = \pi r^2 (h + 4/3 r)$.
आयतन = $(22/7) \times (21)^2 \times (20 + (4/3) \times 21) = (22/7) \times 441 \times (20 + 28) = 22 \times 63 \times 48 = 66528\, cm^3$.
चूँकि $1000\, cm^3 = 1\, \text{लीटर}$, इसलिए लीटर में आयतन = $66528 / 1000 = 66.528\, \text{लीटर}$.

(N/A) $1$. शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29 \, cm$.
$2$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$: $CSA_{cone} = \pi rl = \frac{22}{7} \times 21 \times 29 = 22 \times 3 \times 29 = 1914 \, cm^2$.
$3$. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$: $CSA_{hemi} = 2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772 \, cm^2$.
$4$. कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: $1914 + 2772 = 4686 \, cm^2$.
$5$. शंकु का आयतन $(V_{cone})$: $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 20 = 22 \times 21 \times 20 = 9240 \, cm^3$.
$6$. अर्धगोले का आयतन $(V_{hemi})$: $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 21 \times 21 = 19404 \, cm^3$.
$7$. कुल आयतन: $9240 + 19404 = 28644 \, cm^3$.

(C) टैंक एक बेलन और दो अर्धगोलों से मिलकर बना है।
बेलन और अर्धगोलों की त्रिज्या, $r = 24 / 2 = 12 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई, $h = 78 - (12 + 12) = 78 - 24 = 54 \, cm$.
टैंक का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h + 2 \times (2/3 \pi r^3) = \pi r^2 (h + 4/3 r)$.
आयतन = $3.14159 \times (12)^2 \times (54 + 4/3 \times 12) = 3.14159 \times 144 \times 70$.
आयतन = $31667.2 \approx 31667 \, cm^3$.
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$, इसलिए लीटर में आयतन $31667 / 1000 = 31.667 \, \text{लीटर} \approx 31.68 \, \text{लीटर}$ होगा।

(D) टैंक एक बेलन और दो समान शंकुओं से बना है।
बेलन और शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $14 / 2 = 7 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $20 \, cm$.
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई $(h_2)$ = $12 \, cm$.
टैंक का कुल आयतन = (बेलन का आयतन) + $2$ $\times$ (शंकु का आयतन)।
बेलन का आयतन = $\pi r^2 h_1 = (22/7) \times 7^2 \times 20 = 22 \times 7 \times 20 = 3080 \, cm^3$.
एक शंकु का आयतन = $(1/3) \pi r^2 h_2 = (1/3) \times (22/7) \times 7^2 \times 12 = 22 \times 7 \times 4 = 616 \, cm^3$.
कुल आयतन = $3080 + 2 \times 616 = 3080 + 1232 = 4312 \, cm^3$.

(A) यह ठोस एक शंकु और एक अर्धगोले से मिलकर बना है जो उनके आधारों पर जुड़े हुए हैं।
शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $0.6 \ m$.
शंकु की ऊँचाई $(h)$ = $1.6 \ m$.
अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $0.6 \ m$.
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \pi \times (0.6)^{2} \times 1.6 = 0.192 \pi \ m^{3}$.
अर्धगोले का आयतन = $\frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \pi \times (0.6)^{3} = 0.144 \pi \ m^{3}$.
कुल आयतन = $0.192 \pi + 0.144 \pi = 0.336 \pi \ m^{3}$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,कुल आयतन $\approx 0.336 \times 3.14159 \approx 1.05557 \ m^{3}$,जो लगभग $1.056 \ m^{3}$ है।

(B) बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ व्यास $= 1 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \, cm = \frac{1}{2} \, cm$ और ऊँचाई $h = 4 \, cm$ है।
$V_{cylinder} = \pi \times (\frac{1}{2})^2 \times 4 = \pi \times \frac{1}{4} \times 4 = \pi \, cm^3$.
एक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3$ है। यहाँ त्रिज्या $r = \frac{1}{8} \, cm$ है।
$V_{sphere} = \frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{1}{8})^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times \frac{1}{512} = \frac{\pi}{3 \times 128} = \frac{\pi}{384} \, cm^3$.
निर्मित गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{sphere}} = \frac{\pi}{\frac{\pi}{384}} = 384$ है।

(C) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि बड़े धात्विक गोले की त्रिज्या $R = 42 \, cm$ है और छोटी गेंद की त्रिज्या $r = 1.4 \, cm$ है।
बनाई जा सकने वाली गेंदों की संख्या $n$,बड़े गोले के आयतन और एक छोटी गेंद के आयतन के अनुपात के बराबर होती है:
$n = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \left( \frac{R}{r} \right)^3$.
मान रखने पर:
$n = \left( \frac{42}{1.4} \right)^3 = (30)^3$.
$n = 27,000$.
अतः,$27,000$ गेंदें बनाई जा सकती हैं।

(D) धात्विक बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (4)^2 \times 3 = 48\pi\, cm^3$ है।
एक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (0.5)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 0.125 = \frac{0.5}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi\, cm^3$ है।
बनाई गई गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{48\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 48 \times 6 = 288$ है।

(A) अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 9 \, cm$ है।
$V_h = \frac{2}{3} \times \pi \times (9)^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 729 = 486 \pi \, cm^3$.
एक बेलनाकार बोतल का आयतन $V_c = \pi r_c^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ व्यास $d = 3 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r_c = 1.5 \, cm$ और ऊंचाई $h = 4 \, cm$ है।
$V_c = \pi \times (1.5)^2 \times 4 = \pi \times 2.25 \times 4 = 9 \pi \, cm^3$.
भरी जा सकने वाली बोतलों की संख्या $n = \frac{V_h}{V_c} = \frac{486 \pi}{9 \pi} = 54$ है।
अतः,$54$ बोतलें भरी जा सकती हैं।

(A) यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर जुड़े दो अर्धगोलों से बनी है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $21 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h)$ = $18 \, cm$.
अर्धगोलों की त्रिज्या $(r)$ = $21 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2 \times$ (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 18 = 2 \times 22 \times 3 \times 18 = 2376 \, cm^2$.
दो अर्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times (2 \pi r^2) = 4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 5544 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2376 + 5544 = 7920 \, cm^2$.

(C) दिया गया है: अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $3.5\, cm = \frac{7}{2}\, cm$।
खिलौने की कुल ऊँचाई = $15.5\, cm$।
शंकु की ऊँचाई $(h)$ = कुल ऊँचाई - अर्धगोले की त्रिज्या = $15.5 - 3.5 = 12\, cm$।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(3.5)^2 + 12^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5\, cm$।
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
$= \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$।
$= \frac{22}{7} \times 3.5 \times (12.5 + 2 \times 3.5) = 11 \times (12.5 + 7) = 11 \times 19.5 = 214.5\, cm^2$।

(D) यह वस्तु एक अर्धगोले पर रखे गए शंकु से बनी है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
$1$. शंकु की तिर्यक ऊंचाई $(l)$: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
$2$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA_{cone})$: $\pi rl = 3.14 \times 5 \times 13 = 204.1 \, cm^2$.
$3$. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA_{hemi})$: $2\pi r^2 = 2 \times 3.14 \times 5^2 = 2 \times 3.14 \times 25 = 157 \, cm^2$.
$4$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: $CSA_{cone} + CSA_{hemi} = 204.1 + 157 = 361.1 \, cm^2$.

(A) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहले बेलन के लिए: $r_1 = 3.5 \, cm$,$h_1 = 10 \, cm$. आयतन $V_1 = \pi (3.5)^2 (10) = \pi (12.25)(10) = 122.5 \pi \, cm^3$.
दूसरे बेलन के लिए: $r_2 = 7 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$. आयतन $V_2 = \pi (7)^2 (10) = \pi (49)(10) = 490 \pi \, cm^3$.
दोनों बेलनों का कुल आयतन = $V_1 + V_2 = 122.5 \pi + 490 \pi = 612.5 \pi \, cm^3$.
माना नए बेलन की त्रिज्या $R$ है और इसकी ऊँचाई $H = 50 \, cm$ है।
नए बेलन का आयतन $V_{new} = \pi R^2 H = \pi R^2 (50)$ है।
चूँकि आयतन समान रहता है,इसलिए $50 \pi R^2 = 612.5 \pi$.
$R^2 = \frac{612.5}{50} = 12.25$.
$R = \sqrt{12.25} = 3.5 \, cm$.

(B) शंकु के छिन्नक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$।
दिया गया है: $r_1 = 14 \, cm$,$r_2 = 7 \, cm$,और $h = 12 \, cm$।
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (14^2 + 7^2 + 14 \times 7)$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (196 + 49 + 98)$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (343)$
$V = 22 \times 4 \times 49 = 4312 \, cm^3$।