Textbook - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(A) रंगने के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
दिया है:
लट्टू का व्यास $= 3.5 \, cm$
त्रिज्या $(r) = \frac{3.5}{2} = 1.75 \, cm$
लट्टू की कुल ऊँचाई $= 5 \, cm$
शंकु की ऊँचाई $(h) = \text{कुल ऊँचाई} - \text{अर्धगोले की त्रिज्या} = 5 - 1.75 = 3.25 \, cm$
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(1.75)^2 + (3.25)^2} = \sqrt{3.0625 + 10.5625} = \sqrt{13.625} \approx 3.69 \, cm \approx 3.7 \, cm$
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 = 19.25 \, cm^2$
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 1.75 \times 3.7 = 20.35 \, cm^2$
रंगने के लिए कुल क्षेत्रफल $= 19.25 + 20.35 = 39.6 \, cm^2$.

(B) घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (\text{किनारा})^2 = 6 \times 5 \times 5 \, cm^2 = 150 \, cm^2$.
ध्यान दें कि घन का वह भाग जहाँ अर्धगोला जुड़ा हुआ है,उसे पृष्ठीय क्षेत्रफल में शामिल नहीं किया जाता है।
अतः,ब्लॉक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} - \text{अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल} + \text{अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$.
$= 150 - \pi r^2 + 2\pi r^2 = (150 + \pi r^2) \, cm^2$.
दिया गया व्यास $= 4.2 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 2.1 \, cm$ होगी।
$= 150 + \left(\frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1\right) \, cm^2$.
$= 150 + (22 \times 0.3 \times 2.1) \, cm^2 = 150 + 13.86 \, cm^2 = 163.86 \, cm^2$.

(C) माना शंकु की त्रिज्या $r$, शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$, शंकु की ऊँचाई $h$, बेलन की त्रिज्या $r^{\prime}$ और बेलन की ऊँचाई $h^{\prime}$ है।
दिया है: $r = 2.5\, cm$, $h = 6\, cm$, $r^{\prime} = 1.5\, cm$ और $h^{\prime} = 26 - 6 = 20\, cm$.
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2.5^2 + 6^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5\, cm$.
शंक्वाकार भाग का वृत्ताकार आधार बेलन के आधार पर टिका है। चूंकि शंकु का आधार बेलन के आधार से बड़ा है, इसलिए शंकु के आधार का शेष भाग (वलय) भी नारंगी रंग से रंगा जाना है।
नारंगी रंग से रंगे जाने वाला क्षेत्रफल = (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (शंकु के आधार का क्षेत्रफल - बेलन के आधार का क्षेत्रफल)
$= \pi r l + (\pi r^2 - \pi (r^{\prime})^2)$
$= 3.14 \times 2.5 \times 6.5 + 3.14 \times (2.5^2 - 1.5^2)$
$= 51.025 + 3.14 \times (6.25 - 2.25)$
$= 51.025 + 3.14 \times 4 = 51.025 + 12.56 = 63.585\, cm^2$.
पीले रंग से रंगे जाने वाला क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (बेलन के निचले आधार का क्षेत्रफल)
$= 2 \pi r^{\prime} h^{\prime} + \pi (r^{\prime})^2$
$= \pi r^{\prime} (2h^{\prime} + r^{\prime})$
$= 3.14 \times 1.5 \times (2 \times 20 + 1.5)$
$= 4.71 \times 41.5 = 195.465\, cm^2$.
अतः, नारंगी रंग से रंगे जाने वाला क्षेत्रफल $63.585\, cm^2$ है और पीले रंग से रंगे जाने वाला क्षेत्रफल $195.465\, cm^2$ है।

(D) माना $h$ बेलन की ऊँचाई है और $r$ बेलन और अर्धगोले की उभयनिष्ठ त्रिज्या है।
दिया है: $h = 1.45\, m = 145\, cm$ और $r = 30\, cm$।
स्नान-पात्र का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$
$= 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 30 \times (145 + 30)\, cm^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 30 \times 175\, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 30 \times 25\, cm^2$
$= 33000\, cm^2$
चूँकि $1\, m^2 = 10000\, cm^2$,इसलिए:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{33000}{10000}\, m^2 = 3.3\, m^2$।

(A) दिया गया है कि प्रत्येक घन का आयतन $64 \, cm^3$ है।
माना घन की भुजा $a$ है।
तब,$a^3 = 64 \, cm^3$.
$a = \sqrt[3]{64} = 4 \, cm$.
जब दो ऐसे घनों को एक साथ जोड़ा जाता है,तो एक घनाभ बनता है।
परिणामी घनाभ की विमाएँ इस प्रकार हैं:
लंबाई $(l)$ = $4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $4 \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $4 \, cm$
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $2(lb + bh + lh)$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(8 \times 4 + 4 \times 4 + 8 \times 4)$
$= 2(32 + 16 + 32)$
$= 2(80)$
$= 160 \, cm^2$.
अतः,परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $160 \, cm^2$ है।

(B) यह देखा जा सकता है कि बेलनाकार भाग और अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r)$ समान है (अर्थात,$7 \, cm$)।
अर्धगोलाकार भाग की ऊँचाई = त्रिज्या $= 7 \, cm$।
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 13 - 7 = 6 \, cm$।
बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r (h + r)$।
आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (6 + 7)$।
आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 44 \times 13 = 572 \, cm^2$।

(C) यह देखा जा सकता है कि शंक्वाकार भाग और अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या समान है (अर्थात,$r = 3.5 \, cm = \frac{7}{2} \, cm$)।
अर्धगोलाकार भाग की ऊँचाई = त्रिज्या $(r) = 3.5 \, cm = \frac{7}{2} \, cm$।
शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 15.5 \, cm - 3.5 \, cm = 12 \, cm$।
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ का सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
$l = \sqrt{\left( \frac{7}{2} \right)^2 + (12)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + 144} = \sqrt{\frac{49 + 576}{4}} = \sqrt{\frac{625}{4}} = \frac{25}{2} \, cm = 12.5 \, cm$।
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r l + 2 \pi r^2 = \pi r (l + 2r)$।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \left( 12.5 + 2 \times 3.5 \right) = 11 \times (12.5 + 7) = 11 \times 19.5 = 214.5 \, cm^2$।

(D) आकृति से यह देखा जा सकता है कि ऐसे अर्धगोले के लिए संभव अधिकतम व्यास घन की भुजा के बराबर है,अर्थात $7 \, cm$।
अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r) = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$।
ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ घनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $-$ अर्धगोलाकार भाग के आधार का क्षेत्रफल।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6(\text{भुजा})^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2 = 6(\text{भुजा})^2 + \pi r^2$।
ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6(7)^2 + \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$।
$= 6(49) + \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = 294 + 38.5 = 332.5 \, cm^2$।

(N/A) अर्धगोले का व्यास $=$ घन का किनारा $= l$
अर्धगोले की त्रिज्या $r = \frac{l}{2}$
शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $-$ अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल
$= 6(\text{किनारा})^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2$
$= 6l^2 + \pi r^2$
$r = \frac{l}{2}$ रखने पर:
$= 6l^2 + \pi \left(\frac{l}{2}\right)^2$
$= 6l^2 + \frac{\pi l^2}{4}$
$= \frac{24l^2 + \pi l^2}{4}$
$= \frac{l^2}{4}(24 + \pi) \text{ इकाई}^2$

(B) यह देखा जा सकता है कि:
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) =$ अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r) = \frac{\text{कैप्सूल का व्यास}}{2} = \frac{5}{2} \, mm = 2.5 \, mm$.
बेलनाकार भाग की लंबाई $(h) = \text{पूरे कैप्सूल की लंबाई} - 2 \times r$
$= 14 \, mm - 2 \times (2.5 \, mm) = 14 \, mm - 5 \, mm = 9 \, mm$.
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \text{अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$
$= 2 \times (2 \pi r^2) + 2 \pi r h$
$= 4 \pi r^2 + 2 \pi r h$
$= 2 \pi r (2r + h)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times (2 \times 2.5 + 9)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times (5 + 9)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 14$
$= 2 \times 22 \times 2.5 \times 2$
$= 220 \, mm^2$.

(C) दिया गया है कि,
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 2.1 \, m$
बेलनाकार भाग का व्यास $= 4 \, m$
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) = 2 \, m$
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई $(l) = 2.8 \, m$
उपयोग किए गए कैनवास का क्षेत्रफल = शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$= \pi rl + 2\pi rh$
$= \pi r(l + 2h)$
$= \frac{22}{7} \times 2 \times (2.8 + 2 \times 2.1)$
$= \frac{44}{7} \times (2.8 + 4.2)$
$= \frac{44}{7} \times 7 = 44 \, m^2$
$1 \, m^2$ कैनवास की लागत $= Rs. \, 500$
$44 \, m^2$ कैनवास की लागत $= 44 \times 500 = Rs. \, 22000$
अतः,तंबू बनाने के लिए कैनवास की लागत $Rs. \, 22000$ होगी।

(D) दिया गया है कि,
शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h) =$ बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 2.4 \, cm$
बेलनाकार भाग का व्यास $= 1.4 \, cm$
अतः,बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) = 0.7 \, cm$
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2}$
$= \sqrt{(0.7)^2 + (2.4)^2} = \sqrt{0.49 + 5.76}$
$= \sqrt{6.25} = 2.5 \, cm$
शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{बेलनाकार आधार का क्षेत्रफल}$
$= 2 \pi rh + \pi rl + \pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.4 + \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.5 + \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7$
$= 4.4 \times 2.4 + 2.2 \times 2.5 + 2.2 \times 0.7$
$= 10.56 + 5.50 + 1.54 = 17.60 \, cm^2$
शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकटतम $cm^2$ में $18 \, cm^2$ है।

(A) दिया गया है कि,
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) =$ अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r) = 3.5 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 10 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो अर्धगोलों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + 2 \times \text{अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$
$= 2 \pi r h + 2 \times (2 \pi r^2)$
$= 2 \pi r h + 4 \pi r^2$
$= 2 \pi r (h + 2r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times (10 + 2 \times 3.5)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times (10 + 7)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 17$
$= 44 \times 0.5 \times 17$
$= 22 \times 17 = 374 \, cm^2$.

(B) शेड के अंदर हवा का आयतन (जब कोई व्यक्ति या मशीनरी न हो) घनाभ और अर्ध-बेलन के आयतन के योग के बराबर होता है।
घनाभ के आयाम $\text{लंबाई }= 15\,m,$ $\text{चौड़ाई }= 7\,m,$ और $\text{ऊँचाई }= 8\,m$ हैं।
घनाभ का आयतन $= \text{लंबाई }\times \text{चौड़ाई }\times \text{ऊँचाई }= 15 \times 7 \times 8 = 840\,m^3.$
अर्ध-बेलन का व्यास $7\,m$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = 3.5\,m = \frac{7}{2}\,m$ है। बेलन की लंबाई $15\,m$ है।
अर्ध-बेलन का आयतन $= \frac{1}{2} \times (\pi r^2 h) = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 15 = 288.75\,m^3.$
शेड का कुल आयतन $= 840 + 288.75 = 1128.75\,m^3.$
मशीनरी द्वारा घेरा गया स्थान $= 300\,m^3.$
$20$ कर्मचारियों द्वारा घेरा गया स्थान $= 20 \times 0.08 = 1.6\,m^3.$
घेरा गया कुल स्थान $= 300 + 1.6 = 301.6\,m^3.$
शेड में हवा का आयतन $= 1128.75 - 301.6 = 827.15\,m^3.$

(C) दिया गया है,बेलनाकार गिलास का आंतरिक व्यास $= 5 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 2.5 \, cm$ है। ऊँचाई $h = 10 \, cm$ है।
गिलास की आभासी क्षमता बेलन का आयतन है:
आभासी क्षमता $= \pi r^2 h = 3.14 \times (2.5)^2 \times 10 = 3.14 \times 6.25 \times 10 = 196.25 \, cm^3$.
वास्तविक क्षमता गिलास के आधार पर अर्धगोलाकार उभरे हुए भाग के आयतन से कम हो जाती है:
अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times (2.5)^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 15.625 = 32.70833... \approx 32.71 \, cm^3$.
वास्तविक क्षमता $= \text{आभासी क्षमता} - \text{अर्धगोले का आयतन} = 196.25 - 32.71 = 163.54 \, cm^3$.

(D) माना $BPC$ अर्धगोला है और $ABC$ अर्धगोले के आधार पर स्थित शंकु है।
अर्धगोले (तथा शंकु) की त्रिज्या $BO = \frac{1}{2} \times 4 \, cm = 2 \, cm$ है।
अतः,खिलौने का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$= \left[ \frac{2}{3} \times 3.14 \times (2)^3 + \frac{1}{3} \times 3.14 \times (2)^2 \times 2 \right] \, cm^3 = 25.12 \, cm^3$ है।
अब,माना लंबवृत्तीय बेलन $EFGH$ दिए गए ठोस को परिबद्ध करता है। लंबवृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या $= HP = BO = 2 \, cm$,और इसकी ऊँचाई $EH = AO + OP = (2 + 2) \, cm = 4 \, cm$ है।
अतः,आवश्यक आयतन का अंतर $=$ लंबवृत्तीय बेलन का आयतन $-$ खिलौने का आयतन।
$= (3.14 \times 2^2 \times 4 - 25.12) \, cm^3$ है।
$= (50.24 - 25.12) \, cm^3 = 25.12 \, cm^3$ है।
अतः,दोनों आयतनों का आवश्यक अंतर $= 25.12 \, cm^3$ है।

(N/A) दिया गया है कि,
शंकु के आकार के भाग की ऊँचाई $(h)$ $=$ शंकु के आकार के भाग की त्रिज्या $(r)$ $= 1\, cm$.
अर्धगोलीय भाग की त्रिज्या $(r)$ $=$ शंकु के आकार के भाग की त्रिज्या $(r)$ $= 1\, cm$.
ठोस का आयतन $=$ शंकु के आकार के भाग का आयतन $+$ अर्धगोलीय भाग का आयतन।
ठोस का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$.
मान रखने पर:
ठोस का आयतन $= \frac{1}{3} \pi (1)^2 (1) + \frac{2}{3} \pi (1)^3$.
ठोस का आयतन $= \frac{1}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi = \frac{3}{3} \pi = \pi\, cm^3$.

(B) आकृति से यह देखा जा सकता है कि:
प्रत्येक शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h_1) = 2\, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h_2) = 12 - (2 \times \text{शंकु की ऊँचाई}) = 12 - (2 \times 2) = 12 - 4 = 8\, cm$.
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) =$ शंक्वाकार भाग की त्रिज्या $= \frac{3}{2} = 1.5\, cm$.
मॉडल में मौजूद हवा का आयतन $=$ बेलन का आयतन $+ 2 \times$ शंकु का आयतन।
आयतन $= \pi r^2 h_2 + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_1)$.
आयतन $= \pi r^2 (h_2 + \frac{2}{3} h_1) = \pi \times (\frac{3}{2})^2 \times (8 + \frac{2}{3} \times 2)$.
आयतन $= \pi \times \frac{9}{4} \times (8 + \frac{4}{3}) = \pi \times \frac{9}{4} \times (\frac{24+4}{3}) = \pi \times \frac{9}{4} \times \frac{28}{3}$.
आयतन $= \pi \times 3 \times 7 = 21 \pi$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,आयतन $= 21 \times \frac{22}{7} = 3 \times 22 = 66\, cm^3$.

(C) यहाँ देखा जा सकता है कि:
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) =$ अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r) = \frac{2.8}{2} = 1.4\,cm$.
प्रत्येक अर्धगोलाकार भाग की लंबाई $=$ अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $= 1.4\,cm$.
बेलनाकार भाग की लंबाई $(h) = 5 - 2 \times$ (अर्धगोलाकार भाग की लंबाई) $= 5 - 2 \times 1.4 = 2.2\,cm$.
एक गुलाब जामुन का आयतन $=$ बेलनाकार भाग का आयतन $+ 2 \times$ अर्धगोलाकार भाग का आयतन
$= \pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3$
$= \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 2.2 + \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.4)^3$
$= 13.552 + 11.49866... \approx 25.05\,cm^3$.
$45$ गुलाब जामुनों का कुल आयतन $= 45 \times 25.05 = 1127.25\,cm^3$.
चीनी की चाशनी का आयतन $= 30\%$ कुल आयतन का
$= \frac{30}{100} \times 1127.25 = 338.175\,cm^3$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,चाशनी का आयतन लगभग $338\,cm^3$ होगा।

(D) लकड़ी के स्टैंड का आयतन घनाभ के आयतन में से चार शंक्वाकार गड्ढों के आयतन को घटाने पर प्राप्त होता है।
घनाभ की विमाएँ: लंबाई $(l) = 15 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 10 \, cm$,ऊँचाई $(H) = 3.5 \, cm$.
घनाभ का आयतन $= l \times b \times H = 15 \times 10 \times 3.5 = 525 \, cm^3$.
प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे की विमाएँ: त्रिज्या $(r) = 0.5 \, cm$,गहराई $(h) = 1.4 \, cm$.
एक शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 1.4$.
चार शंकुओं का आयतन $= 4 \times \left( \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 1.4 \right) = 4 \times \left( \frac{1}{3} \times 22 \times 0.25 \times 0.2 \right) = 4 \times \left( \frac{1.1}{3} \right) = \frac{4.4}{3} \approx 1.4667 \, cm^3$.
लकड़ी का आयतन $= 525 - 1.4667 = 523.5333 \, cm^3$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,आयतन $523.53 \, cm^3$ है।

(A) शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई $(h)$ $= 8 \, cm$.
शंक्वाकार बर्तन की त्रिज्या $(r_1)$ $= 5 \, cm$.
प्रत्येक सीसे की गोली की त्रिज्या $(r_2)$ $= 0.5 \, cm$.
माना बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,बाहर निकले पानी का आयतन डाली गई सीसे की गोलियों के कुल आयतन के बराबर है।
बाहर निकला पानी $= \frac{1}{4} \times$ शंकु का आयतन।
$\frac{1}{4} \times (\frac{1}{3} \pi r_1^2 h) = n \times (\frac{4}{3} \pi r_2^3)$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{3} \pi$ को हटाने पर:
$\frac{1}{4} r_1^2 h = 4 n r_2^3$.
$r_1^2 h = 16 n r_2^3$.
मान रखने पर:
$5^2 \times 8 = 16 \times n \times (0.5)^3$.
$25 \times 8 = 16 \times n \times (\frac{1}{2})^3$.
$200 = 16 \times n \times \frac{1}{8}$.
$200 = 2n$.
$n = 100$.
अतः,बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या $100$ है।

(B) आकृति से यह देखा जा सकता है कि:
बड़े बेलन की ऊँचाई $(h_1) = 220 \,cm$
बड़े बेलन की त्रिज्या $(r_1) = \frac{24}{2} = 12 \,cm$
छोटे बेलन की ऊँचाई $(h_2) = 60 \,cm$
छोटे बेलन की त्रिज्या $(r_2) = 8 \,cm$
खंभे का कुल आयतन $=$ बड़े बेलन का आयतन $+$ छोटे बेलन का आयतन
$= \pi r_1^2 h_1 + \pi r_2^2 h_2$
$= \pi(12)^2 \times 220 + \pi(8)^2 \times 60$
$= \pi(144 \times 220 + 64 \times 60)$
$= 3.14 \times (31680 + 3840)$
$= 3.14 \times 35520 = 111532.8 \,cm^3$
$1 \,cm^3$ लोहे का द्रव्यमान $= 8 \,g$
खंभे का कुल द्रव्यमान $= 111532.8 \times 8 = 892262.4 \,g$
चूँकि $1 \,kg = 1000 \,g$,इसलिए $kg$ में द्रव्यमान $= \frac{892262.4}{1000} = 892.2624 \,kg \approx 892.262 \,kg$.

(C) अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r)$ = शंक्वाकार भाग की त्रिज्या $(r)$ = $60\, cm$.
ठोस के शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h_2)$ = $120\, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $180\, cm$.
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $60\, cm$.
बेलन में शेष बचे पानी का आयतन = बेलन का आयतन - ठोस का आयतन।
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन = $\frac{1}{3}\pi r^2 h_2 + \frac{2}{3}\pi r^3$.
शेष बचे पानी का आयतन = $\pi r^2 h_1 - (\frac{1}{3}\pi r^2 h_2 + \frac{2}{3}\pi r^3)$.
मान रखने पर: $\pi(60)^2(180) - (\frac{1}{3}\pi(60)^2 \times 120 + \frac{2}{3}\pi(60)^3)$.
$= \pi(60)^2 [180 - (40 + 40)] = \pi(3600)(100) = 360,000\pi\, cm^3$.
$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर,आयतन $\approx 360,000 \times 3.14159 = 1,130,973.36\, cm^3$.
चूँकि $1\, m^3 = 1,000,000\, cm^3$,इसलिए $m^3$ में आयतन $\approx 1.131\, m^3$ है।

(D) बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 8 \, cm$.
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r_{2}) = \frac{2}{2} = 1 \, cm$.
गोलाकार भाग की त्रिज्या $(r_{1}) = \frac{8.5}{2} = 4.25 \, cm$.
बर्तन का आयतन $=$ गोले का आयतन $+$ बेलन का आयतन।
आयतन $= \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} + \pi r_{2}^{2} h$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times 3.14 \times (4.25)^{3} + 3.14 \times (1)^{2} \times 8$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times 3.14 \times 76.765625 + 3.14 \times 8$.
आयतन $= 321.392 + 25.12 = 346.512 \, cm^{3}$.
चूँकि परिकलित आयतन $346.512 \, cm^{3}$ है,इसलिए बच्चे द्वारा मापा गया $345 \, cm^{3}$ गलत है।

(A) शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
दिए गए मान $r = 6\, cm$ और $h = 24\, cm$ रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 24 = \frac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 24 = 288\pi\, cm^3$.
मान लीजिए गोले की त्रिज्या $R$ है। गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
चूंकि आकार बदलने के बाद मिट्टी का आयतन समान रहता है,इसलिए हम दोनों आयतनों की तुलना करते हैं:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 288\pi$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने और $\frac{3}{4}$ से गुणा करने पर:
$R^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 72 \times 3 = 216$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$R = \sqrt[3]{216} = 6\, cm$.
अतः,गोले की त्रिज्या $6\, cm$ है।

(D) ओवरहेड टैंक में पानी का आयतन,संप से निकाले गए पानी के आयतन के बराबर होता है।
ओवरहेड टैंक (बेलन) का आयतन $= \pi r^2 h = 3.14 \times 0.6 \, m \times 0.6 \, m \times 0.95 \, m = 1.07388 \, m^3$.
संप (घनाभ) का आयतन $= l \times b \times h = 1.57 \, m \times 1.44 \, m \times 0.95 \, m = 2.14776 \, m^3$.
संप में बचे पानी का आयतन $= 2.14776 \, m^3 - 1.07388 \, m^3 = 1.07388 \, m^3$.
माना संप में बचे पानी की ऊंचाई $H$ है। चूंकि संप के आधार का क्षेत्रफल स्थिर रहता है,इसलिए $l \times b \times H = 1.07388 \, m^3$.
$1.57 \, m \times 1.44 \, m \times H = 1.07388 \, m^3$.
$2.2608 \, m^2 \times H = 1.07388 \, m^3$.
$H = \frac{1.07388}{2.2608} \, m = 0.475 \, m = 47.5 \, cm$.
क्षमताओं का अनुपात $= \frac{\text{टैंक की क्षमता}}{\text{संप की क्षमता}} = \frac{1.07388}{2.14776} = \frac{1}{2}$.
अतः,टैंक की क्षमता संप की क्षमता की आधी है।

(A) तांबे की छड़ का आयतन बेलन के आयतन के सूत्र $V = \pi r^2 h$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया व्यास $= 1 \,cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \,cm$. लंबाई $h = 8 \,cm$.
आयतन $= \pi \times (0.5)^2 \times 8 = \pi \times 0.25 \times 8 = 2\pi \,cm^3$.
जब छड़ को खींचकर तार बनाया जाता है,तो आयतन समान रहता है।
नए तार की लंबाई $18 \,m = 1800 \,cm$ है।
माना तार की त्रिज्या $r_w$ है। तार का आयतन $\pi \times r_w^2 \times 1800$ होगा।
दोनों आयतनों की तुलना करने पर: $\pi \times r_w^2 \times 1800 = 2\pi$.
$r_w^2 = \frac{2\pi}{1800\pi} = \frac{1}{900}$.
$r_w = \sqrt{\frac{1}{900}} = \frac{1}{30} \,cm$.
तार की मोटाई (व्यास) $= 2 \times r_w = 2 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{15} \,cm$.
$\frac{1}{15} \,cm \approx 0.0667 \,cm = 0.67 \,mm$.

(16.5) अर्धगोलाकार टंकी की त्रिज्या $r = \frac{3}{2} \, m = 1.5 \, m$ है।
अर्धगोलाकार टंकी का कुल आयतन $V = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{27}{8} = \frac{99}{14} \, m^3$ है।
चूंकि $1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$,इसलिए कुल आयतन $\frac{99}{14} \times 1000 = \frac{99000}{14} \, \text{लीटर}$ है।
हमें टंकी का आधा भाग खाली करना है,इसलिए खाली किए जाने वाले पानी का आयतन $\frac{1}{2} \times \frac{99000}{14} = \frac{99000}{28} \, \text{लीटर}$ होगा।
पानी खाली करने की दर $3 \frac{4}{7} = \frac{25}{7} \, \text{लीटर}/\text{सेकंड}$ है।
सेकंड में लगा समय $= \frac{\text{आयतन}}{\text{दर}} = \frac{99000}{28} \div \frac{25}{7} = \frac{99000}{28} \times \frac{7}{25} = \frac{99000}{100} = 990 \, \text{सेकंड}$ है।
मिनटों में बदलने के लिए,$60$ से भाग देने पर: $990 \div 60 = 16.5 \, \text{मिनट}$।

(A) गोले की त्रिज्या $(r_1) = 4.2 \, cm$ है।
बेलन की त्रिज्या $(r_2) = 6 \, cm$ है।
माना बेलन की ऊँचाई $h$ है।
चूँकि गोले को पिघलाकर बेलन बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान रहेंगे।
गोले का आयतन = बेलन का आयतन
$\frac{4}{3} \pi r_1^3 = \pi r_2^2 h$
$\frac{4}{3} \times (4.2)^3 = (6)^2 \times h$
$\frac{4}{3} \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2 = 36 \times h$
$h = \frac{4 \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{3 \times 36}$
$h = \frac{4 \times 74.088}{108}$
$h = \frac{296.352}{108} = 2.744 \, cm$।
अतः,बेलन की ऊँचाई $2.744 \, cm$ होगी।

(B) माना कि तीन धात्विक गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 6 \, cm$,$r_2 = 8 \, cm$ और $r_3 = 10 \, cm$ हैं।
माना कि नए ठोस गोले की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि गोलों को पिघलाकर एक नया गोला बनाया गया है,इसलिए नए गोले का आयतन तीनों गोलों के आयतन के योग के बराबर होगा।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
अतः,$\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$.
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $r^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$.
मान रखने पर: $r^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3$.
$r^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $r = \sqrt[3]{1728} = 12 \, cm$.
अतः,परिणामी गोले की त्रिज्या $12 \, cm$ है।

(C) कुएं का आकार बेलनाकार है।
कुएं की गहराई $(h) = 20\, m$.
कुएं के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r) = \frac{7}{2}\, m = 3.5\, m$.
चबूतरे का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 22\, m \times 14\, m = 308\, m^2$.
माना चबूतरे की ऊँचाई $H$ है।
चूंकि कुएं से खोदी गई मिट्टी का आयतन चबूतरे पर फैलाई गई मिट्टी के आयतन के बराबर होता है:
कुएं से निकली मिट्टी का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 20 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 20 = 22 \times 7 \times 5 = 770\, m^3$.
चबूतरे पर मिट्टी का आयतन $= \text{चबूतरे का क्षेत्रफल} \times H = 308 \times H$.
आयतन की तुलना करने पर: $308 \times H = 770$.
$H = \frac{770}{308} = 2.5\, m$.
अतः,चबूतरे की ऊँचाई $2.5\, m$ होगी।

(D) कुएँ का आकार बेलनाकार है।
कुएँ की गहराई $(h_1) = 14 \, m$.
कुएँ की त्रिज्या $(r_1) = \frac{3}{2} \, m = 1.5 \, m$.
चबूतरे की चौड़ाई $= 4 \, m$.
चबूतरा एक खोखले बेलन (वृत्ताकार वलय) के आकार में है,जिसकी आंतरिक त्रिज्या $r_1 = 1.5 \, m$ और बाहरी त्रिज्या $r_2 = r_1 + \text{चौड़ाई} = 1.5 + 4 = 5.5 \, m = \frac{11}{2} \, m$ है।
माना चबूतरे की ऊँचाई $h_2$ है।
कुएँ से खोदी गई मिट्टी का आयतन = चबूतरा बनाने के लिए प्रयुक्त मिट्टी का आयतन।
$\pi \times r_1^2 \times h_1 = \pi \times (r_2^2 - r_1^2) \times h_2$
$\pi \times (1.5)^2 \times 14 = \pi \times ((5.5)^2 - (1.5)^2) \times h_2$
$2.25 \times 14 = (30.25 - 2.25) \times h_2$
$31.5 = 28 \times h_2$
$h_2 = \frac{31.5}{28} = 1.125 \, m$.
अतः,चबूतरे की ऊँचाई $1.125 \, m$ होगी।

(A) बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई $(h_1) = 15 \, cm$ है।
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या $(r_1) = \frac{12}{2} = 6 \, cm$ है।
बेलनाकार बर्तन का आयतन $= \pi r_1^2 h_1 = \pi \times (6)^2 \times 15 = 540\pi \, cm^3$ है।
आइसक्रीम कोन के लिए,त्रिज्या $(r_2) = \frac{6}{2} = 3 \, cm$ और ऊँचाई $(h_2) = 12 \, cm$ है।
कोन के ऊपर समान त्रिज्या $(r_2 = 3 \, cm)$ वाला एक अर्धगोला है।
एक आइसक्रीम कोन का आयतन $= \text{शंकु का आयतन} + \text{अर्धगोले का आयतन} = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 + \frac{2}{3} \pi r_2^3$ है।
एक आइसक्रीम कोन का आयतन $= \frac{1}{3} \pi (3)^2 (12) + \frac{2}{3} \pi (3)^3 = 36\pi + 18\pi = 54\pi \, cm^3$ है।
माना कि भरे जा सकने वाले कोनों की संख्या $n$ है।
$n = \frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{एक आइसक्रीम कोन का आयतन}} = \frac{540\pi}{54\pi} = 10$ है।
अतः,$10$ आइसक्रीम कोन भरे जा सकते हैं।

(B) सिक्के बेलनाकार आकार के होते हैं।
बेलनाकार सिक्कों की ऊँचाई $(h_1) = 2 \,mm = 0.2 \,cm$ है।
सिक्कों के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r) = \frac{1.75}{2} = 0.875 \,cm$ है।
माना कि आवश्यक घनाभ बनाने के लिए $n$ सिक्कों को पिघलाया जाता है।
$n$ सिक्कों का आयतन $=$ घनाभ का आयतन
$n \times \pi \times r^2 \times h_1 = l \times b \times h$
$n \times \frac{22}{7} \times (0.875)^2 \times 0.2 = 5.5 \times 10 \times 3.5$
$n = \frac{5.5 \times 10 \times 3.5 \times 7}{22 \times (0.875)^2 \times 0.2}$
$n = \frac{192.5 \times 7}{22 \times 0.765625 \times 0.2} = \frac{1347.5}{3.36875} = 400$.
अतः,ऐसे घनाभ को बनाने के लिए पिघलाए गए सिक्कों की संख्या $400$ है।

(N/A) बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई $(h_1) = 32 \, cm$ है।
बाल्टी के आधार की त्रिज्या $(r_1) = 18 \, cm$ है।
शंक्वाकार ढेर की ऊँचाई $(h_2) = 24 \, cm$ है।
माना शंक्वाकार ढेर के आधार की त्रिज्या $r_2$ है।
चूँकि रेत का आयतन समान रहता है:
बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन $=$ शंक्वाकार ढेर में रेत का आयतन।
$\pi \times r_1^2 \times h_1 = \frac{1}{3} \pi \times r_2^2 \times h_2$
$\pi \times 18^2 \times 32 = \frac{1}{3} \pi \times r_2^2 \times 24$
$18^2 \times 32 = r_2^2 \times 8$
$r_2^2 = \frac{324 \times 32}{8} = 324 \times 4 = 1296$
$r_2 = \sqrt{1296} = 36 \, cm$ है।
अब,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r_2^2 + h_2^2}$ द्वारा दी जाती है।
$l = \sqrt{36^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872}$ है।
$l = \sqrt{144 \times 13} = 12\sqrt{13} \, cm$ है।
अतः,ढेर की त्रिज्या $36 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $12\sqrt{13} \, cm$ है।

(N/A) नहर के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $6 \, m \times 1.5 \, m = 9 \, m^2$ है।
पानी की गति $10 \, km/h = \frac{10000 \, m}{60 \, min} = \frac{500}{3} \, m/min$ है।
$30 \, \text{minutes}$ में नहर से बहने वाले पानी का आयतन:
$V = \text{क्षेत्रफल} \times \text{गति} \times \text{समय} = 9 \, m^2 \times \frac{500}{3} \, m/min \times 30 \, min = 45000 \, m^3$.
माना सिंचित क्षेत्रफल $A$ है। सिंचाई के लिए आवश्यक पानी का आयतन $A \times \text{गहराई}$ होगा।
दी गई गहराई $= 8 \, cm = 0.08 \, m$.
आयतन की तुलना करने पर:
$A \times 0.08 \, m = 45000 \, m^3$
$A = \frac{45000}{0.08} \, m^2 = 562500 \, m^2$.
अतः,$30 \, \text{minutes}$ में सिंचित क्षेत्रफल $562500 \, m^2$ है।

(A) पाइप की त्रिज्या $(r_1) = \frac{20 \,cm}{2} = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
पाइप के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $= \pi r_1^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
पानी की गति $= 3 \,km/h = \frac{3000 \,m}{60 \,min} = 50 \,m/min$.
$1 \,\text{मिनट}$ में पाइप से बहने वाले पानी का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{गति} = 0.01 \pi \times 50 = 0.5 \pi \,m^3$.
बेलनाकार टंकी की त्रिज्या $(r_2) = \frac{10 \,m}{2} = 5 \,m$.
बेलनाकार टंकी की गहराई $(h_2) = 2 \,m$.
बेलनाकार टंकी का आयतन $= \pi r_2^2 h_2 = \pi \times (5)^2 \times 2 = 50 \pi \,m^3$.
माना टंकी को भरने में लगा समय $t \,\text{मिनट}$ है।
$t \,\text{मिनट}$ में टंकी में भरे पानी का आयतन $= t \times 0.5 \pi \,m^3$.
आयतन की तुलना करने पर: $t \times 0.5 \pi = 50 \pi$.
$t = \frac{50}{0.5} = 100 \,\text{मिनट}$.
अतः,टंकी $100 \,\text{मिनट}$ में भर जाएगी।

(N/A) $(i)$ शंकु के छिन्नक का आयतन $= \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot [(28)^{2} + (7)^{2} + (28)(7)] \, cm^{3}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot [784 + 49 + 196] \, cm^{3}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot 1029 \, cm^{3} = 48510 \, cm^{3}$
$(ii)$ तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}} = \sqrt{(45)^{2} + (28 - 7)^{2}} \, cm$
$= \sqrt{2025 + (21)^{2}} = \sqrt{2025 + 441} = \sqrt{2466} \approx 49.66 \, cm$
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi (r_{1} + r_{2}) l = \frac{22}{7} (28 + 7) (49.66) = \frac{22}{7} \cdot 35 \cdot 49.66 = 110 \cdot 49.66 = 5462.6 \, cm^{2}$
$(iii)$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi (r_{1} + r_{2}) l + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$
$= 5462.6 + \frac{22}{7} (28)^{2} + \frac{22}{7} (7)^{2}$
$= 5462.6 + 2464 + 154 = 8080.6 \, cm^{2}$

(C) सांचे का आकार शंकु के छिन्नक जैसा है।
दिया गया है: वृत्ताकार फलकों के व्यास $d_1 = 35 \,cm$ और $d_2 = 30 \,cm$ हैं।
त्रिज्याएं $r_1 = \frac{35}{2} = 17.5 \,cm$ और $r_2 = \frac{30}{2} = 15 \,cm$ हैं।
ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = 14 \,cm$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times (17.5^2 + 15^2 + 17.5 \times 15) \,cm^3$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times (306.25 + 225 + 262.5) \,cm^3$.
$V = \frac{44}{3} \times 793.75 \,cm^3 = 11641.67 \,cm^3$.
दिया गया है कि $1 \,cm^3$ गुड़ का द्रव्यमान $1.2 \,g$ है।
कुल द्रव्यमान $= 11641.67 \times 1.2 \,g = 13970.004 \,g$.
$kg$ में बदलने पर: $13970.004 \div 1000 = 13.97 \,kg$.
निकटतम मान लेने पर,द्रव्यमान लगभग $14 \,kg$ है।

(N/A) बाल्टी की कुल ऊँचाई $40 \, cm$ है,जिसमें आधार की ऊँचाई शामिल है। इसलिए,शंकु के छिन्नक की ऊँचाई $h = 40 - 6 = 34 \, cm$ है।
त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{45}{2} = 22.5 \, cm$ और $r_2 = \frac{25}{2} = 12.5 \, cm$ हैं।
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{34^2 + (22.5 - 12.5)^2} = \sqrt{1156 + 100} = \sqrt{1256} \approx 35.44 \, cm$ है।
प्रयुक्त धातु की शीट का क्षेत्रफल छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,वृत्ताकार आधार (तली) के क्षेत्रफल और बेलनाकार आधार के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
क्षेत्रफल $= \pi l(r_1 + r_2) + \pi r_2^2 + 2 \pi r_2 h_{base}$
$= \frac{22}{7} \times 35.44 \times (22.5 + 12.5) + \frac{22}{7} \times (12.5)^2 + 2 \times \frac{22}{7} \times 12.5 \times 6$
$= \frac{22}{7} \times (1240.4 + 156.25 + 150) = \frac{22}{7} \times 1546.65 \approx 4860.9 \, cm^2$.
बाल्टी में आने वाले पानी का आयतन छिन्नक का आयतन है:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times (22.5^2 + 12.5^2 + 22.5 \times 12.5)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times (506.25 + 156.25 + 281.25) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times 943.75 \approx 33615.48 \, cm^3$.

(N/A) गिलास के ऊपरी आधार की त्रिज्या $(r_1) = \frac{4}{2} = 2 \, cm$ है।
गिलास के निचले आधार की त्रिज्या $(r_2) = \frac{2}{2} = 1 \, cm$ है।
गिलास की ऊँचाई $(h) = 14 \, cm$ है।
गिलास की धारिता $=$ शंकु के छिन्नक का आयतन
$= \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times (2^2 + 1^2 + 2 \times 1)$
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times (4 + 1 + 2)$
$= \frac{44}{3} \times 7 = \frac{308}{3} \, cm^3 = 102 \frac{2}{3} \, cm^3$ है।
अतः,गिलास की धारिता $102 \frac{2}{3} \, cm^3$ है।

(B) माना कि छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
दिया गया है कि वृत्ताकार सिरों की परिधि $18 \,cm$ और $6 \,cm$ है।
अतः,$2 \pi r_1 = 18 \implies r_1 = \frac{9}{\pi} \,cm$.
और $2 \pi r_2 = 6 \implies r_2 = \frac{3}{\pi} \,cm$.
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ $4 \,cm$ दी गई है।
शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = \pi (r_1 + r_2) l$ है।
मान रखने पर:
$CSA = \pi \left( \frac{9}{\pi} + \frac{3}{\pi} \right) \times 4$
$CSA = \pi \left( \frac{12}{\pi} \right) \times 4$
$CSA = 12 \times 4 = 48 \,cm^2$.
अतः,छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $48 \,cm^2$ है।

(N/A) ऊपरी वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r_2) = 4 \, cm$.
निचले वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r_1) = 10 \, cm$.
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $(l) = 15 \, cm$.
फेज़ बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल $=$ छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) +$ ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल $= \pi(r_1 + r_2)l + \pi r_2^2$.
क्षेत्रफल $= \pi(10 + 4) \times 15 + \pi(4)^2$.
क्षेत्रफल $= \pi(14) \times 15 + 16\pi$.
क्षेत्रफल $= 210\pi + 16\pi = 226\pi$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,क्षेत्रफल $= 226 \times \frac{22}{7} = \frac{4972}{7} \, cm^2$.
क्षेत्रफल $= 710 \frac{2}{7} \, cm^2$.
अतः,इसे बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल $710 \frac{2}{7} \, cm^2$ है।

(N/A) बर्तन के ऊपरी सिरे की त्रिज्या $(r_1) = 20 \, cm$
बर्तन के निचले सिरे की त्रिज्या $(r_2) = 8 \, cm$
बर्तन की ऊँचाई $(h) = 16 \, cm$
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h^2} = \sqrt{(20 - 8)^2 + 16^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, cm$
बर्तन की धारिता $=$ छिन्नक का आयतन $= \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (400 + 64 + 160) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times 624 = 10449.92 \, cm^3 = 10.44992 \, \text{लीटर }\approx 10.45 \, \text{लीटर}$
$1 \, \text{लीटर}$ दूध की लागत $= Rs. \, 20$
$10.45 \, \text{लीटर}$ दूध की लागत $= 10.45 \times 20 = Rs. \, 209$
उपयोग की गई धातु की शीट का क्षेत्रफल $= \pi (r_1 + r_2) l + \pi r_2^2 = 3.14 \times (20 + 8) \times 20 + 3.14 \times 8^2 = 3.14 \times 28 \times 20 + 3.14 \times 64 = 1758.4 + 200.96 = 1959.36 \, cm^2$
$100 \, cm^2$ धातु की शीट की लागत $= Rs. \, 8$
$1959.36 \, cm^2$ धातु की शीट की लागत $= \frac{1959.36 \times 8}{100} = Rs. \, 156.7488 \approx Rs. \, 156.75$
अतः,दूध की लागत $Rs. \, 209$ है और धातु की शीट की लागत $Rs. \, 156.75$ है।

(A) $\triangle AEG$ में,$\frac{EG}{AG} = \tan 30^{\circ}$। चूँकि $AG = 10 \, cm$,इसलिए $EG = 10 \tan 30^{\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}} \, cm$। यह छिन्नक की ऊपरी त्रिज्या $r_1$ है।
$\triangle ABD$ में,$\frac{BD}{AD} = \tan 30^{\circ}$। चूँकि $AD = 20 \, cm$,इसलिए $BD = 20 \tan 30^{\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, cm$। यह छिन्नक की निचली त्रिज्या $r_2$ है।
छिन्नक की ऊँचाई $h = 10 \, cm$ है।
छिन्नक का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10 \left[ \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{20}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \times \frac{20}{\sqrt{3}} \right) \right]$
$V = \frac{220}{21} \left[ \frac{100}{3} + \frac{400}{3} + \frac{200}{3} \right] = \frac{220}{21} \times \frac{700}{3} = \frac{22000}{9} \, cm^3$.
तार की त्रिज्या $r = \frac{1}{32} \, cm$ है। मान लीजिए तार की लंबाई $l$ है।
तार का आयतन = $\pi r^2 l = \frac{22}{7} \times \left( \frac{1}{32} \right)^2 \times l$.
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{22000}{9} = \frac{22}{7} \times \frac{1}{1024} \times l$.
$l = \frac{22000}{9} \times \frac{7 \times 1024}{22} = \frac{7168000}{9} \approx 796444.44 \, cm$.
मीटर में बदलने पर: $l = 7964.44 \, m$.

(B) यह देखा जा सकता है कि तार का $1$ चक्कर बेलन की $3 \,mm$ $(0.3 \,cm)$ ऊंचाई को कवर करेगा।
चक्करों की संख्या $= \frac{\text{बेलन की ऊंचाई}}{\text{तार का व्यास}} = \frac{12 \,cm}{0.3 \,cm} = 40$ चक्कर।
$1$ चक्कर में आवश्यक तार की लंबाई $=$ बेलन के आधार की परिधि $= 2 \pi r = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \,cm$.
$40$ चक्करों में तार की कुल लंबाई $= 40 \times 10 \pi = 400 \pi \,cm \approx 1256.64 \,cm$.
तार की त्रिज्या $= \frac{0.3 \,cm}{2} = 0.15 \,cm$.
तार का आयतन $=$ तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $\times$ तार की कुल लंबाई $= \pi (0.15)^2 \times 1256.64 \approx 88.826 \,cm^3$.
तार का द्रव्यमान $=$ आयतन $\times$ घनत्व $= 88.826 \,cm^3 \times 8.88 \,g/cm^3 \approx 788.77 \,g$.
गणना के लिए $\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर: लंबाई $= 400 \times \frac{22}{7} = \frac{8800}{7} \approx 1257.14 \,cm$. आयतन $= \pi \times (0.15)^2 \times \frac{8800}{7} \approx 88.93 \,cm^3$. द्रव्यमान $= 88.93 \times 8.88 \approx 789.7 \,g$। निकटतम विकल्प $789.41 \,g$ है।

(C) माना समकोण त्रिभुज $ABC$ है जिसकी भुजाएँ $AB = 3\, cm$,$BC = 4\, cm$ और $\angle B = 90^\circ$ हैं।
कर्ण $AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, cm$.
जब त्रिभुज को कर्ण $AC$ के परितः घुमाया जाता है,तो एक दोहरा शंकु बनता है जहाँ उभयनिष्ठ आधार की त्रिज्या $r$,त्रिभुज $ABC$ का कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब $OB$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\, cm^2$.
साथ ही,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times OB = \frac{1}{2} \times 5 \times OB$.
अतः,$\frac{1}{2} \times 5 \times OB = 6 \implies OB = \frac{12}{5} = 2.4\, cm$.
दोहरे शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग है: $S = \pi r l_1 + \pi r l_2$,जहाँ $l_1 = AB = 3\, cm$ और $l_2 = BC = 4\, cm$.
$S = \pi r (l_1 + l_2) = 3.14 \times 2.4 \times (3 + 4) = 3.14 \times 2.4 \times 7 = 52.752\, cm^2 \approx 52.75\, cm^2$.

(D) टंकी का कुल आयतन $V_{cistern} = 150 \times 120 \times 110 = 1980000 \,cm^3$ है।
टंकी में पहले से मौजूद पानी का आयतन $129600 \,cm^3$ है।
भरने के लिए शेष आयतन $V_{fill} = 1980000 - 129600 = 1850400 \,cm^3$ है।
मान लीजिए ईंटों की संख्या $n$ है। एक ईंट का आयतन $V_{brick} = 22.5 \times 7.5 \times 6.5 = 1096.875 \,cm^3$ है।
प्रत्येक ईंट अपने आयतन का $\frac{1}{17}$ भाग सोख लेती है,इसलिए पानी में एक ईंट द्वारा घेरा गया प्रभावी आयतन $V_{eff} = V_{brick} - \frac{1}{17} V_{brick} = \frac{16}{17} V_{brick}$ होगा।
टंकी को भरने के लिए,$n$ ईंटों का कुल प्रभावी आयतन भरने योग्य आयतन के बराबर होना चाहिए: $n \times V_{eff} = V_{fill}$.
$n \times \frac{16}{17} \times 1096.875 = 1850400$.
$n \times \frac{16}{17} \times \frac{8775}{8} = 1850400$.
$n \times \frac{2 \times 8775}{17} = 1850400$.
$n = \frac{1850400 \times 17}{17550} = 1792$.

(N/A) घाटी का क्षेत्रफल $= 7280 \, km^2 = 7280 \times (1000 \, m)^2 = 7.28 \times 10^9 \, m^2$.
वर्षा की गहराई $= 10 \, cm = 0.1 \, m$.
कुल वर्षा का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{गहराई} = 7.28 \times 10^9 \, m^2 \times 0.1 \, m = 7.28 \times 10^8 \, m^3$.
एक नदी का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} = 1072 \, km \times 75 \, m \times 3 \, m = 1072000 \, m \times 75 \, m \times 3 \, m = 2.412 \times 10^8 \, m^3$.
ऐसी तीन नदियों का कुल आयतन $= 3 \times 2.412 \times 10^8 \, m^3 = 7.236 \times 10^8 \, m^3$.
चूंकि $7.28 \times 10^8 \, m^3 \approx 7.236 \times 10^8 \, m^3$,अतः कुल वर्षा ऐसी तीन नदियों के आयतन के लगभग बराबर है।

(N/A) छिन्नक भाग के ऊपरी वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r_1) = \frac{18}{2} = 9 \, cm$.
छिन्नक भाग के निचले वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r_2) =$ बेलनाकार भाग के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $= \frac{8}{2} = 4 \, cm$.
छिन्नक भाग की ऊँचाई $(h_1) = 22 - 10 = 12 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h_2) = 10 \, cm$.
छिन्नक भाग की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h_1^2} = \sqrt{(9 - 4)^2 + (12)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
आवश्यक टीन की चादर का क्षेत्रफल $=$ छिन्नक भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $+$ बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$.
क्षेत्रफल $= \pi(r_1 + r_2)l + 2\pi r_2 h_2$.
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (9 + 4) \times 13 + 2 \times \frac{22}{7} \times 4 \times 10$.
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 13 \times 13 + \frac{22}{7} \times 80$.
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (169 + 80) = \frac{22}{7} \times 249 = \frac{5478}{7} \, cm^2$.
क्षेत्रफल $= 782 \frac{4}{7} \, cm^2$.