Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(B) चित्र का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि कीप का ऊपरी भाग शंकु के आकार का है और निचला भाग बेलन के आकार का है।
अतः,एक कीप शंकु और बेलन का संयोजन है।

(B) जब किसी वस्तु को पानी से पूरी तरह भरे हुए बर्तन में डुबोया जाता है,तो बाहर निकलने वाले पानी का आयतन डूबी हुई वस्तु के आयतन के बराबर होता है।
यहाँ,वस्तु एक गोलाकार कंचा है जिसकी त्रिज्या $r = 2.1 \, cm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41$.
$V = 8.8 \times 4.41 = 38.808 \, cm^3$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,बाहर निकलने वाले पानी का आयतन $38.8 \, cm^3$ है।

(C) घनाकार आइसक्रीम ईंट का आयतन $V_{cube} = a^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a = 22 \, cm$ है।
$V_{cube} = 22 \times 22 \times 22 = 10648 \, cm^3$.
एक आइसक्रीम शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 2 \, cm$ और $h = 7 \, cm$ है।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$V_{cone} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 2^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times 22 \times 4 = \frac{88}{3} \, cm^3$.
आइसक्रीम प्राप्त करने वाले बच्चों की संख्या ईंट का कुल आयतन बटा एक शंकु का आयतन है।
बच्चों की संख्या $= \frac{V_{cube}}{V_{cone}} = \frac{10648}{88/3} = \frac{10648 \times 3}{88}$.
$10648 \div 88 = 121$.
बच्चों की संख्या $= 121 \times 3 = 363$.

(D) शंकु का छिन्नक तब बनता है जब एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटा जाता है।
माना छिन्नक की ऊँचाई $h$ है और दो वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ और $r_{2}$ हैं।
शंकु के छिन्नक के आयतन $V$ का सूत्र मूल बड़े शंकु और ऊपर से हटाए गए छोटे शंकु के आयतन के अंतर से प्राप्त किया जाता है।
शंकु के छिन्नक के आयतन का मानक सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) घन से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए,शंकु के आधार का व्यास घन की भुजा के बराबर और शंकु की ऊँचाई घन की भुजा के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है घन की भुजा,$a = 4.2 \,cm$.
अतः,शंकु की त्रिज्या,$r = \frac{a}{2} = \frac{4.2}{2} = 2.1 \,cm$.
शंकु की ऊँचाई,$h = a = 4.2 \,cm$.
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^2 \times 4.2$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.41 \times 4.2$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 0.63 \times 4.2$.
$V = 22 \times 0.21 \times 4.2$.
$V = 4.62 \times 4.2 = 19.404 \,cm^3$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $19.4 \,cm^3$ प्राप्त होता है।

(B) एक छीली हुई पेंसिल एक लंबे बेलनाकार शरीर और एक सिरे पर शंक्वाकार नोक से बनी होती है।
इसलिए,छीली हुई पेंसिल का आकार एक बेलन और एक शंकु का संयोजन है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दी गई आकृति का अवलोकन करने पर,एक सुराही को एक गोलाकार शरीर और एक बेलनाकार गर्दन को जोड़कर बनाया जाता है।
अतः,एक सुराही एक गोला और एक बेलन का संयोजन है।

(D) दी गई आकृति का अवलोकन करने पर,यह स्पष्ट है कि साहुल एक अर्धगोले के आधार को एक शंकु के आधार से जोड़कर बनाया गया है।
अतः,साहुल एक अर्धगोले और एक शंकु का संयोजन है।

(A) एक गिलास (टम्बलर) आमतौर पर ऊपर से चौड़ा और नीचे से संकरा होता है,जिसमें अलग-अलग त्रिज्याओं वाले दो वृत्ताकार आधार होते हैं।
यह ज्यामितीय आकार,जो एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटकर प्राप्त किया जाता है,शंकु का छिन्नक (frustum of a cone) कहलाता है।
अतः,गिलास का आकार शंकु के छिन्नक के रूप में होता है।

(B) चित्र का अवलोकन करने पर,गिल्ली एक केंद्रीय बेलनाकार भाग और उसके वृत्ताकार फलकों पर जुड़े दो शंक्वाकार सिरों से बनी है।
अतः,यह आकार निम्नलिखित का संयोजन है:
$=$ शंकु $+$ बेलन $+$ शंकु
$=$ दो शंकु और एक बेलन

(C) शटलकॉक का आकार दो भागों से मिलकर बना होता है:
$1$. कॉर्क वाला भाग,जो एक अर्धगोले के आकार का होता है।
$2$. पंखों वाला भाग,जो शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार का होता है।
अतः,शटलकॉक शंकु के छिन्नक और एक अर्धगोले का संयोजन है।

(D) जब एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक समतल द्वारा काटा जाता है,तो वह दो भागों में विभाजित हो जाता है: ऊपर की ओर एक छोटा शंकु और नीचे की ओर बचा हुआ भाग। बचे हुए इस भाग को,जिसमें अलग-अलग त्रिज्याओं वाले दो वृत्ताकार आधार होते हैं,शंकु का छिन्नक (frustum) कहा जाता है।

(A) दिया गया है,घन का किनारा $= 22 \, cm$ है।
घन का आयतन $= (22)^3 = 10648 \, cm^3$ है।
चूंकि $\frac{1}{8}$ भाग खाली रहता है,कंचों द्वारा भरा गया स्थान $= 10648 \times (1 - \frac{1}{8}) = 10648 \times \frac{7}{8} = 9317 \, cm^3$ है।
कंचे का व्यास $= 0.5 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.25 \, cm$ है।
एक गोलाकार कंचे का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.25)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{64} = \frac{11}{168} \approx 0.065476 \, cm^3$ है।
कंचों की संख्या $= \frac{\text{भरा हुआ आयतन}}{\text{एक कंचे का आयतन}} = \frac{9317}{11/168} = \frac{9317 \times 168}{11} = 142296$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $142244$ है।

(B) दिया है,गोलीय कोश का आंतरिक व्यास $= 4 \, cm$ और बाह्य व्यास $= 8 \, cm$ है।
गोलीय कोश की आंतरिक त्रिज्या,$r_1 = \frac{4}{2} = 2 \, cm$ है।
गोलीय कोश की बाह्य त्रिज्या,$r_2 = \frac{8}{2} = 4 \, cm$ है।
गोलीय कोश का आयतन $= \frac{4}{3} \pi (r_2^3 - r_1^3) = \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3) = \frac{4}{3} \pi (64 - 8) = \frac{4}{3} \pi (56) = \frac{224}{3} \pi \, cm^3$ है।
माना शंकु की ऊँचाई $h \, cm$ है और आधार की त्रिज्या $R = \frac{8}{2} = 4 \, cm$ है।
चूँकि कोश को पिघलाकर शंकु बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान होंगे:
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{16}{3} \pi h$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{16}{3} \pi h = \frac{224}{3} \pi$ है।
$16h = 224$ है।
$h = \frac{224}{16} = 14 \, cm$ है।
अतः,शंकु की ऊँचाई $14 \, cm$ है।

(C) दिया है,घनाभ की विमाएँ $= 49 \, cm \times 33 \, cm \times 24 \, cm$ हैं।
घनाभ का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = 49 \times 33 \times 24 = 38808 \, cm^3$ है।
माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
चूँकि घनाभ को पिघलाकर गोला बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन बराबर होंगे:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 38808$
$\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 38808$
$r^3 = \frac{38808 \times 3 \times 7}{4 \times 22}$
$r^3 = 441 \times 21 = 9261$
$r = \sqrt[3]{9261} = 21 \, cm$ है।
अतः,गोले की त्रिज्या $21 \, cm$ है।

(D) दीवार का आयतन $= 270 \times 300 \times 350 = 28,350,000 \,cm^3$.
चूंकि दीवार के कुल आयतन का $\frac{1}{8}$ भाग मसाले द्वारा घेरा गया है,इसलिए ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन कुल आयतन का $\frac{7}{8}$ भाग होगा।
ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन $= 28,350,000 \times \frac{7}{8} = 24,806,250 \,cm^3$.
एक ईंट का आयतन $= 22.5 \times 11.25 \times 8.75 = 2,214.84375 \,cm^3$.
ईंटों की संख्या $= \frac{\text{ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} = \frac{24,806,250}{2,214.84375} = 11,200$.
अतः,दीवार बनाने में प्रयुक्त ईंटों की संख्या $11,200$ है।

(A) दिया गया है,बेलन का व्यास $= 2 \, cm$.
अतः,बेलन की त्रिज्या $(R) = 1 \, cm$ और ऊंचाई $(h) = 16 \, cm$.
बेलन का आयतन $= \pi R^2 h = \pi \times (1)^2 \times 16 = 16 \pi \, cm^3$.
माना प्रत्येक ठोस गोले की त्रिज्या $r \, cm$ है।
एक गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
चूंकि बेलन से $12$ गोले बनाए जाते हैं,इसलिए $12$ गोलों का कुल आयतन बेलन के आयतन के बराबर होगा।
$12 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = 16 \pi$.
$16 \pi r^3 = 16 \pi$.
$r^3 = 1$,जिसका अर्थ है $r = 1 \, cm$.
प्रत्येक गोले का व्यास $= 2r = 2 \times 1 = 2 \, cm$.

(B) दिया गया है,बाल्टी के ऊपरी सिरे की त्रिज्या,$R = 28 \, cm$।
बाल्टी के निचले सिरे की त्रिज्या,$r = 7 \, cm$।
बाल्टी की तिर्यक ऊँचाई,$l = 45 \, cm$।
चूँकि बाल्टी एक शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार की है,इसलिए इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi l (R + r)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 45 \times (28 + 7)$
$= \frac{22}{7} \times 45 \times 35$
$= 22 \times 45 \times 5$
$= 22 \times 225 = 4950 \, cm^2$।
अतः,बाल्टी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4950 \, cm^2$ है।

(C) दिया है,बेलन का व्यास $=$ अर्धगोले का व्यास $= 0.5\, cm$ (चूंकि दोनों अर्धगोले बेलन से जुड़े हैं)।
$\therefore$ बेलन की त्रिज्या $(r) =$ अर्धगोले की त्रिज्या $(r) = \frac{0.5}{2} = 0.25\, cm$ (चूंकि व्यास $= 2 \times$ त्रिज्या)।
कैप्सूल की कुल लंबाई $= 2\, cm$.
कैप्सूल के बेलनाकार भाग की लंबाई $(h) = \text{कुल लंबाई} - (\text{बाएं अर्धगोले की त्रिज्या} + \text{दाएं अर्धगोले की त्रिज्या})$।
$h = 2 - (0.25 + 0.25) = 2 - 0.5 = 1.5\, cm$.
अब,कैप्सूल की धारिता $=$ बेलनाकार भाग का आयतन $+ 2 \times$ अर्धगोले का आयतन।
धारिता $= \pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 (h + \frac{4}{3} r)$।
मान रखने पर:
धारिता $= \frac{22}{7} \times (0.25)^2 \times (1.5 + \frac{4}{3} \times 0.25)$।
धारिता $= \frac{22}{7} \times 0.0625 \times (1.5 + 0.3333) = \frac{22}{7} \times 0.0625 \times 1.8333 \approx 0.36\, cm^3$।
अतः,कैप्सूल की धारिता $0.36\, cm^3$ है।

(D) एक ठोस अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^{2}$ होता है।
जब समान आधार त्रिज्या $r$ वाले दो ठोस अर्धगोलों को उनके वृत्ताकार आधारों के साथ जोड़ा जाता है, तो वे एक पूर्ण ठोस गोला बनाते हैं।
परिणामी ठोस गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों अर्धगोलों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग होता है।
अतः, नए ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^{2} + 2 \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$ होगा।

(A) एक गोले को एक लंबवृत्तीय बेलन में इस प्रकार रखा गया है कि वह बेलन के ऊपरी आधार,निचले आधार और वक्र पृष्ठ को स्पर्श करता है।
चूँकि गोला बेलन के वक्र पृष्ठ को स्पर्श करता है,इसलिए गोले का व्यास बेलन के व्यास के बराबर होना चाहिए।
बेलन की त्रिज्या $r \, cm$ दी गई है,इसलिए बेलन का व्यास $2r \, cm$ होगा।
अतः,गोले का व्यास $2r \, cm$ है।

(B) जब किसी ठोस वस्तु को एक आकार से दूसरे आकार में बदला जाता है,तो उपयोग की गई सामग्री की कुल मात्रा समान रहती है। इसलिए,नए आकार का आयतन अपरिवर्तित रहता है।

(C) दिया गया है,बाल्टी के ऊपरी सिरे का व्यास $D = 44 \, cm$,अतः त्रिज्या $R = 22 \, cm$ है।
बाल्टी के निचले सिरे का व्यास $d = 24 \, cm$,अतः त्रिज्या $r = 12 \, cm$ है।
बाल्टी की ऊँचाई $h = 35 \, cm$ है।
बाल्टी का आकार शंकु के छिन्नक (frustum) के समान है।
बाल्टी की धारिता (आयतन) का सूत्र: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times (22^2 + 12^2 + 22 \times 12)$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 5 \times (484 + 144 + 264)$.
$V = \frac{110}{3} \times 892$.
$V = \frac{98120}{3} \approx 32706.67 \, cm^3$.
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, L$,इसलिए धारिता $32706.67 / 1000 \approx 32.7 \, L$ है।

(A) एक लंबवृत्तीय शंकु एक समकोण त्रिभुज को उसकी समकोण बनाने वाली भुजाओं में से एक के परितः घुमाने से बनी एक ठोस आकृति है।
जब कोई समतल एक लंबवृत्तीय शंकु को उसके आधार के समानांतर काटता है,तो प्राप्त अनुप्रस्थ काट हमेशा एक वृत्त होता है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि आधार और समतल के बीच के शंकु के भाग को शंकु का छिन्नक (frustum) कहा जाता है,लेकिन अनुप्रस्थ काट स्वयं एक वृत्त ही होता है।

(A) माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
आयतन का अनुपात $V_1 : V_2 = 64 : 27$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{64}{27}$
$\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{3}$
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$
$\frac{r_1}{r_2}$ का मान रखने पर:
$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$
अतः,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $16:9$ है।

(A) सत्य।
संयुक्त आकृति का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ होता है,जहाँ $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ तिर्यक ऊँचाई है।
अतः,शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r h$ होता है।
इसलिए,संयुक्त आकृति का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}} + 2 \pi r h$ है।

(B) False (असत्य)।
मान लीजिए कि मूल स्टील की गेंद की त्रिज्या $r$ है और पिघलने के बाद बनी प्रत्येक नई गेंद की त्रिज्या $r_{1}$ है।
मूल गेंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ है।
आठ नई गेंदों का कुल आयतन $8 \times V_{1} = 8 \times \left( \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} \right)$ है।
चूंकि पिघलने के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{4}{3} \pi r^{3} = 8 \times \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}$ होगा।
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $r^{3} = 8 r_{1}^{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $r = 2 r_{1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r_{1} = \frac{r}{2}$।
अतः,प्रत्येक नई गेंद की त्रिज्या मूल त्रिज्या की $\frac{1}{2}$ गुनी है,न कि $\frac{1}{8}$ गुनी।

(B) असत्य।
$a$ भुजा वाले एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6 a^{2}$ होता है।
जब ऐसे दो समान घनों को सिरों से जोड़ा जाता है,तो दो फलक (प्रत्येक का क्षेत्रफल $a^{2}$) परिणामी घनाभ के अंदर छिप जाते हैं।
परिणामी घनाभ की विमाएँ लंबाई $l = 2a$,चौड़ाई $b = a$ और ऊँचाई $h = a$ हैं।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + hl)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $2((2a \times a) + (a \times a) + (a \times 2a)) = 2(2a^{2} + a^{2} + 2a^{2}) = 2(5a^{2}) = 10 a^{2}$।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(FALSE) असत्य।
लट्टू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल,अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग होता है।
इसका कारण यह है कि अर्धगोले का वृत्ताकार आधार और शंकु का वृत्ताकार आधार एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं और बाहर की ओर खुले नहीं हैं। इसलिए,उन्हें संयुक्त ठोस के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में शामिल नहीं किया जाता है।

(A) सत्य।
बर्तन की वास्तविक क्षमता को उसके अंदर उपलब्ध उस खाली स्थान के कुल आयतन के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे किसी पदार्थ से भरा जा सकता है। दी गई आकृति में,बेलन के आधार से एक अर्धगोलाकार भाग काटकर निकाला गया है। इसलिए,बर्तन के अंदर उपलब्ध स्थान का आयतन,बेलन के आयतन में से अर्धगोले के आयतन को घटाने पर प्राप्त होता है।

(B) असत्य।
एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^{2}$ होता है।
जब दो एकसमान ठोस अर्धगोलों को उनके वृत्ताकार आधारों से जोड़ा जाता है,तो आधार नए ठोस के अंदर छिप जाते हैं।
इसलिए,परिणामी ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल केवल दो वक्र पृष्ठों से मिलकर बना होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^{2} + 2 \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$।
चूंकि $4 \pi r^{2} \neq 6 \pi r^{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) असत्य।
$r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi rh + 2 \pi r^2$ होता है।
जब एक बेलन को समान त्रिज्या और ऊँचाई वाले दूसरे बेलन के ऊपर रखा जाता है,तो संपर्क बिंदु पर दोनों बेलनों के एक-एक वृत्ताकार आधार छिप जाते हैं।
इस प्रकार,नया आकार $r$ त्रिज्या और $H = 2h$ कुल ऊँचाई वाला एक बेलन बन जाता है।
इस नए बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और इसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r H + 2 \pi r^2 = 2 \pi r(2h) + 2 \pi r^2 = 4 \pi rh + 2 \pi r^2$।
चूँकि $4 \pi rh + 2 \pi r^2 \neq 4 \pi rh + 4 \pi r^2$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) असत्य।
संयुक्त ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और बेलन के निचले आधार के क्षेत्रफल का योग होता है।
$1$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r l$,जहाँ तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
$2$. बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh$ है।
$3$. बेलन के निचले आधार का क्षेत्रफल = $\pi r^2$ है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r l + 2\pi rh + \pi r^2$
$= \pi r (l + 2h + r)$
$= \pi r [\sqrt{r^2 + h^2} + 2h + r]$ है।
चूँकि परिकलित व्यंजक $\pi r [\sqrt{r^2 + h^2} + 2h + r]$ दिए गए व्यंजक $\pi [\sqrt{r^2 + h^2} + 3r + 2h]$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह कथन असत्य है।

(B) असत्य (False)।
चूंकि ठोस गेंद $a$ भुजा वाले घनाकार बक्से में ठीक फिट बैठती है,इसलिए गेंद का व्यास घन की भुजा $a$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,गेंद की त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ होगी।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
इस सूत्र में $r = \frac{a}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a}{2} \right)^{3} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a^{3}}{8} \right) = \frac{1}{6} \pi a^{3}$।
चूंकि $\frac{1}{6} \pi a^{3} \neq \frac{4}{3} \pi a^{3}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) असत्य (False)।
शंकु के छिन्नक के आयतन का सही सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$ है,जहाँ $h$ छिन्नक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है और $r_{1}, r_{2}$ वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ हैं। दी गई अभिव्यक्ति में $r_{1}r_{2}$ पद के लिए धनात्मक चिह्न के स्थान पर ऋणात्मक चिह्न का उपयोग किया गया है।

(TRUE) सत्य।
हम जानते हैं कि बेलनाकार बर्तन की धारिता (आयतन) $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ होती है।
अर्धगोले की धारिता (आयतन) $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ होती है।
चित्र से,अर्धगोलीय भाग नीचे की ओर से ऊपर की ओर उभरा हुआ है,जिसका अर्थ है कि यह बेलन के अंदर स्थान घेरता है। इसलिए,बर्तन की धारिता बेलन के आयतन में से अर्धगोले के आयतन को घटाने पर प्राप्त होती है।
बर्तन की धारिता = $V_{cylinder} - V_{hemisphere}$
$= \pi r^{2} h - \frac{2}{3} \pi r^{3}$
$= \pi r^{2} (h - \frac{2}{3} r)$
$= \frac{\pi r^{2}}{3} (3h - 2r)$.

(B) यह कथन असत्य (False) है।
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi l(r_{1} + r_{2})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र में,तिर्यक ऊँचाई $l$ को $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $h$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है और $r_{1}$ तथा $r_{2}$ दो वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ हैं।
तिर्यक ऊँचाई $l$ के लिए दिया गया व्यंजक $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} + r_{2})^{2}}$ गलत है क्योंकि इसमें त्रिज्याओं के अंतर के स्थान पर त्रिज्याओं के योग का उपयोग किया गया है।

(A) सत्य।
प्रयुक्त धात्विक शीट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उन व्यक्तिगत भागों के क्षेत्रफलों का योग है जिनसे वस्तु बनी है।
$1$. बाल्टी एक शंकु का छिन्नक $(ABCD)$ है,इसलिए हम इसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को शामिल करते हैं।
$2$. बाल्टी के छिन्नक के निचले हिस्से में एक वृत्ताकार आधार है,जो बेलन का ऊपरी हिस्सा भी है। चूँकि बाल्टी खुली है और बेलन पर टिकी है,इसलिए प्रयुक्त धात्विक शीट में छिन्नक की वक्र सतह,बेलन की वक्र सतह और बेलन के तल पर स्थित वृत्ताकार आधार $(EF)$ शामिल हैं।
$3$. धात्विक शीट का क्षेत्रफल = (शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (तल पर स्थित वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल)।
जैसा कि आकृति में दिखाया गया है,$ABCD$ एक शंकु का छिन्नक है और $CDEF$ एक खोखला बेलन है।

(N/A) $14 \, cm$ किनारे वाले घन से काटे गए अधिकतम आकार के शंकु की आधार त्रिज्या $r = 7 \, cm$ और ऊँचाई $h = 14 \, cm$ होगी।
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 14^2} = \sqrt{49 + 196} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5} \, cm$.
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l + \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7\sqrt{5} + \frac{22}{7} \times 7^2 = 154\sqrt{5} + 154 = 154(\sqrt{5} + 1) \, cm^2$.
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (14)^2 = 6 \times 196 = 1176 \, cm^2$.
जब शंकु को काटा जाता है,तो घन के एक फलक से शंकु का वृत्ताकार आधार हट जाता है,लेकिन शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में जुड़ जाता है।
बचे हुए ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= (\text{घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल}) - (\text{शंकु के आधार का क्षेत्रफल}) + (\text{शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल})$.
$= 1176 - \pi r^2 + \pi r l = 1176 - 154 + 154\sqrt{5} = (1022 + 154\sqrt{5}) \, cm^2$.

(D) ठोस धात्विक गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 10.5 \, cm$ है।
$V_s = \frac{4}{3} \pi (10.5)^3 \, cm^3$.
एक शंकु का आयतन $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 3.5 \, cm$ और $h = 3 \, cm$ है।
$V_c = \frac{1}{3} \pi (3.5)^2 \times 3 \, cm^3 = \pi (3.5)^2 \, cm^3$.
बने हुए शंकुओं की संख्या गोले के कुल आयतन को एक शंकु के आयतन से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
$\text{शंकुओं की संख्या} = \frac{V_s}{V_c} = \frac{\frac{4}{3} \pi (10.5)^3}{\pi (3.5)^2} = \frac{4 \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5}{3 \times 3.5 \times 3.5} = 4 \times 3 \times 3 \times 3.5 = 126$.

(A) सबसे पहले,सभी मापों को मीटर में बदलें: चौड़ाई $= 300 \,cm = 3 \,m$,गहराई $= 120 \,cm = 1.2 \,m$,गति $= 20 \,km/h = 20000 \,m/h$.
$1 \,\text{घंटे}$ में नहर से बहने वाले पानी का आयतन $= \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} \times \text{गति} = 3 \times 1.2 \times 20000 = 72000 \,m^3$.
$20 \,\text{मिनट}$ में बहने वाले पानी का आयतन $= \frac{72000 \times 20}{60} = 24000 \,m^3$.
माना कि सिंचित होने वाला क्षेत्र $A \,m^2$ है। सिंचाई के लिए आवश्यक पानी का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{पानी की गहराई}$.
दी गई गहराई $= 8 \,cm = 0.08 \,m$.
अतः,$A \times 0.08 = 24000$.
$A = \frac{24000}{0.08} = 300000 \,m^2$.
चूंकि $1 \,\text{हेक्टेयर }= 10000 \,m^2$ होता है,इसलिए हेक्टेयर में क्षेत्रफल $= \frac{300000}{10000} = 30 \,\text{हेक्टेयर}$.

(B) माना कि दिए गए शंकु की ऊँचाई $h$ है। शंकु को उसकी अक्ष के मध्य बिंदु से और आधार के समानांतर एक समतल द्वारा दो भागों में विभाजित करने पर,हमें ऊपर एक छोटा शंकु और नीचे एक शंकु का छिन्नक प्राप्त होता है।
दो समरूप त्रिभुजों में,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है। माना छोटे शंकु की त्रिज्या $r$ है। त्रिभुजों की समरूपता से,हमें प्राप्त होता है $\frac{r}{4} = \frac{h/2}{h} = \frac{1}{2}$.
अतः,$r = 2 \, cm$.
छोटे शंकु का आयतन $(V_1)$ = $\frac{1}{3} \pi r^2 (h/2) = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (h/2) = \frac{2}{3} \pi h$.
मूल शंकु का आयतन $(V)$ = $\frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{16}{3} \pi h$.
शंकु के छिन्नक का आयतन $(V_2)$ = $V - V_1 = \frac{16}{3} \pi h - \frac{2}{3} \pi h = \frac{14}{3} \pi h$.
छोटे शंकु के आयतन और छिन्नक के आयतन का अनुपात = $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{2}{3} \pi h}{\frac{14}{3} \pi h} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
अतः,अनुपात $1:7$ है।

(C) माना कि तीनों घनों के किनारे क्रमशः $3x, 4x$ और $5x \, \text{cm}$ हैं।
तीनों घनों का कुल आयतन $V = (3x)^3 + (4x)^3 + (5x)^3 = 27x^3 + 64x^3 + 125x^3 = 216x^3 \, \text{cm}^3$ है।
माना कि नए बने घन की भुजा $a$ है। इस नए घन का आयतन $a^3 = 216x^3$ है,जिसका अर्थ है $a = 6x$।
$a$ भुजा वाले घन का विकर्ण $d = a\sqrt{3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ विकर्ण $12\sqrt{3} \, \text{cm}$ दिया गया है,इसलिए $a\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $a = 12 \, \text{cm}$।
चूँकि $a = 6x$ है,इसलिए $6x = 12$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 2$ मिलता है।
अतः,तीनों घनों के किनारे क्रमशः $3(2) = 6 \, \text{cm}$,$4(2) = 8 \, \text{cm}$ और $5(2) = 10 \, \text{cm}$ हैं।

(D) दिया गया है कि तीन ठोस घनों की भुजाएँ क्रमशः $3 \, cm$,$4 \, cm$ और $5 \, cm$ हैं。
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = (\text{भुजा})^3$ है。
पहले घन का आयतन $= (3)^3 = 27 \, cm^3$.
दूसरे घन का आयतन $= (4)^3 = 64 \, cm^3$.
तीसरे घन का आयतन $= (5)^3 = 125 \, cm^3$.
तीनों घनों का कुल आयतन $= 27 + 64 + 125 = 216 \, cm^3$.
माना कि नए बने घन की भुजा $R \, cm$ है。
अतः,नए घन का आयतन $= R^3$.
चूंकि कुल आयतन समान रहता है,इसलिए $R^3 = 216$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.
अतः,परिणामी घन की भुजा $6 \, cm$ है。

(A) दिया गया है,घनाभ की विमाएं $= 9 \, cm \times 11 \, cm \times 12 \, cm$।
घनाभ का आयतन $= 9 \times 11 \times 12 = 1188 \, cm^3$।
गोलाकार गोली का व्यास $= 3 \, cm$।
गोली की त्रिज्या,$r = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$।
एक गोलाकार गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^3$।
एक गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.375 = \frac{99}{7} \approx 14.143 \, cm^3$।
गोलियों की संख्या $= \frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{एक गोली का आयतन}} = \frac{1188}{99/7} = \frac{1188 \times 7}{99} = 12 \times 7 = 84$।
अतः,$84$ गोलियां बनाई जा सकती हैं।

(B) दिया गया है, छिन्नक का आयतन $= 28.49 \, \text{लीटर} = 28.49 \times 1000 \, \text{सेमी}^3 = 28490 \, \text{सेमी}^3$ (चूंकि $1 \, \text{लीटर} = 1000 \, \text{सेमी}^3$)।
ऊपरी सिरे की त्रिज्या $(r_1) = 28 \, \text{सेमी}$।
निचले सिरे की त्रिज्या $(r_2) = 21 \, \text{सेमी}$।
माना बाल्टी की ऊँचाई $h \, \text{सेमी}$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ होता है।
मान रखने पर: $28490 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times h \times (28^2 + 21^2 + 28 \times 21)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (784 + 441 + 588)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times 1813$.
$h = \frac{28490 \times 21}{22 \times 1813}$.
$h = \frac{598290}{39886} = 15 \, \text{सेमी}$।

(C) माना शंकु $ORN$ है,जिसकी आधार त्रिज्या $r_1 = 8 \, cm$ और ऊँचाई $OM = 12 \, cm$ है।
माना $P$,$OM$ का मध्य-बिंदु है,अतः $OP = PM = \frac{12}{2} = 6 \, cm$ है।
चूँकि समतल आधार के समानांतर है,इसलिए $\triangle OPD \sim \triangle OMN$ होगा।
समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,$\frac{OP}{OM} = \frac{PD}{MN}$ है।
$\frac{6}{12} = \frac{PD}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{PD}{8} \Rightarrow PD = 4 \, cm$ है।
यह समतल शंकु को एक छोटे शंकु (ऊपरी भाग) और एक शंकु के छिन्नक (निचला भाग) में विभाजित करता है।
छोटे शंकु का आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi (PD)^2 (OP) = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (6) = 32 \pi \, cm^3$ है।
मूल शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi (MN)^2 (OM) = \frac{1}{3} \pi (8)^2 (12) = 256 \pi \, cm^3$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन $V_2 = V - V_1 = 256 \pi - 32 \pi = 224 \pi \, cm^3$ है।
छोटे शंकु और छिन्नक के आयतन का अनुपात $V_1 : V_2 = 32 \pi : 224 \pi = 1 : 7$ है।

(D) माना कि घन की भुजा की लंबाई $a \, cm$ है।
दिया गया है,घन का आयतन $a^{3} = 64 \, cm^{3}$ है।
अतः,$a = \sqrt[3]{64} = 4 \, cm$ है।
जब दो ऐसे घनों को एक साथ जोड़ा जाता है,तो वे एक घनाभ बनाते हैं जिसके आयाम इस प्रकार हैं:
लंबाई $(l)$ = $2a = 2 \times 4 = 8 \, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $a = 4 \, cm$
ऊंचाई $(h)$ = $a = 4 \, cm$
परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + hl)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(8 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 8)$
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(32 + 16 + 32)$
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(80) = 160 \, cm^{2}$.

(A) दिया गया है कि,ठोस घन की भुजा $(a) = 7 \, cm$ है।
शंक्वाकार गुहा (शंकु) की ऊँचाई,$h = 7 \, cm$ है।
शंक्वाकार गुहा (शंकु) की त्रिज्या,$r = 3 \, cm$ है।
घन का आयतन $= a^3 = (7)^3 = 343 \, cm^3$ है।
शंक्वाकार गुहा (शंकु) का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3)^2 \times 7$ है।
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 9 = 66 \, cm^3$ है।
शेष ठोस का आयतन $=$ घन का आयतन $-$ शंक्वाकार गुहा का आयतन।
$= 343 - 66 = 277 \, cm^3$ है।
अतः,शेष ठोस का आयतन $277 \, cm^3$ है।

(B) जब समान आधार त्रिज्या और ऊँचाई वाले दो शंकुओं को उनके आधारों के साथ जोड़ा जाता है,तो आधार का क्षेत्रफल छिप जाता है,और परिणामी आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग होता है।
दिया गया है:
शंकु की त्रिज्या,$r = 8\, cm$
शंकु की ऊँचाई,$h = 15\, cm$
प्रत्येक शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ इस प्रकार है:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\, cm$.
परिणामी आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दो समान शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग है:
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times (\pi r l)$
$= 2 \times \pi \times 8 \times 17$
$= 272\pi\, cm^2$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$= 272 \times \frac{22}{7} = \frac{5984}{7} \approx 854.85\, cm^2$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $855\, cm^2$ प्राप्त होता है।