Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = 2012x + 2011$ है।
इस व्यंजक में चर $x$ की उच्चतम घात $1$ है।
जिस बहुपद की घात $1$ होती है,उसे रैखिक बहुपद कहा जाता है।
अतः,$p(x) = 2012x + 2011$ एक रैखिक बहुपद है।

(C) दिया गया बहुपद $p(x) = 9x^{2} + \frac{7}{2}x^{3} + 5$ है।
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,हमें $p(x) = \frac{7}{2}x^{3} + 9x^{2} + 5$ प्राप्त होता है।
बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
यहाँ,$x$ की उच्चतम घात $3$ है।
चूँकि बहुपद की घात $3$ है,इसलिए इसे त्रिघात बहुपद कहा जाता है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = (x - 1)(2 - x)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $p(x) = x(2) - x(x) - 1(2) + 1(x) = 2x - x^2 - 2 + x$.
समान पदों को जोड़ने पर: $p(x) = -x^2 + 3x - 2$.
इस बहुपद में चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2} - \sqrt{3}x^{3} + 4x^{7} + 9$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले पदों को उनके घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
$p(x) = 4x^{7} - \sqrt{3}x^{3} + x^{2} + 9$.
बहुपद की घात को बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस व्यंजक में,$x$ के घातांक $7, 3, 2$ और $0$ हैं (क्योंकि $9 = 9x^{0}$)।
अधिकतम घात $7$ है।
अतः,बहुपद की घात $7$ है।

(C) दिया गया बहुपद $p(x) = 5x^{100} - (x^{10})^{20} + 3(x^2)^{25} + 2x^{25} - 7$ है।
सबसे पहले,घातांक नियम $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ का उपयोग करके पदों को सरल करें:
$(x^{10})^{20} = x^{10 \cdot 20} = x^{200}$
$(x^2)^{25} = x^{2 \cdot 25} = x^{50}$
इन मानों को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = 5x^{100} - x^{200} + 3x^{50} + 2x^{25} - 7$
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$p(x) = -x^{200} + 5x^{100} + 3x^{50} + 2x^{25} - 7$
बहुपद की घात,चर $x$ की सबसे बड़ी घात होती है।
यहाँ,सबसे बड़ी घात $200$ है।
अतः,बहुपद की घात $200$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = \frac{7}{2} x - 9$ है।
किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर $x$ की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
व्यंजक $\frac{7}{2} x - 9$ में,चर $x$ की घात $1$ है (क्योंकि $x = x^1$)।
अतः,बहुपद की घात $1$ है।

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = 5x - 2x^2 + 3$ है।
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,हमें $p(x) = -2x^2 + 5x + 3$ प्राप्त होता है।
बहुपद की घात को बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस बहुपद में,चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है (पद $-2x^2$ से)।
अतः,बहुपद की घात $2$ है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 2x^3 + x^2 - x - 1$
चरण $1$: $x = 0$ पर मान ज्ञात कीजिए।
$p(0) = 2(0)^3 + (0)^2 - (0) - 1$
$p(0) = 0 + 0 - 0 - 1$
$p(0) = -1$
चरण $2$: $x = -2$ पर मान ज्ञात कीजिए।
$p(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 - (-2) - 1$
$p(-2) = 2(-8) + 4 + 2 - 1$
$p(-2) = -16 + 4 + 2 - 1$
$p(-2) = -11$
अतः,मान $p(0) = -1$ और $p(-2) = -11$ हैं।

(N/A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-a)$ किसी बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a)=0$ होता है।
यहाँ,हमें यह जांचना है कि क्या $(x+2)$,$p(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x+42$ का एक गुणनखंड है।
$(x+2)$ की तुलना $(x-a)$ से करने पर,हमें $a = -2$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-2)$ की गणना करते हैं:
$p(-2) = 2(-2)^{3} - 4(-2)^{2} + 5(-2) + 42$
$p(-2) = 2(-8) - 4(4) - 10 + 42$
$p(-2) = -16 - 16 - 10 + 42$
$p(-2) = -42 + 42$
$p(-2) = 0$
चूंकि $p(-2) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(D) बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 7x^2 - 5x^3 + 3$ के लिए,$x$ की घातें $2$,$3$ और $0$ हैं (क्योंकि $3 = 3x^0$)।
यहाँ उच्चतम घात $3$ है।
जिस बहुपद की घात $3$ होती है,उसे त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 7 - 5x$ में,चर $x$ है और इसकी उच्चतम घात $1$ है।
$1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
अतः,$p(x) = 7 - 5x$ एक रैखिक बहुपद है।

(B) बहुपद के प्रकार को पहचानने के लिए,सबसे पहले हम व्यंजक $p(x) = (x - 15)(x + 15)$ को सरल करते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = x^2 - 15^2$
$p(x) = x^2 - 225$
इस बहुपद में चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
जिस बहुपद की घात $2$ होती है,उसे द्विघाती बहुपद कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया बहुपद $p(x) = \frac{3}{2} - 0.75x - x^{2}$ है।
बहुपद का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम व्यंजक में उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात को देखते हैं।
यहाँ,$x$ की घातें $0$ ($\frac{3}{2}$ में),$1$ ($-0.75x$ में),और $2$ ($-x^{2}$ में) हैं।
बहुपद की उच्चतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघाती बहुपद कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) बहुपद $p(x) = 5x^8 - 6(x^2)^5 - 4x^3 - 14$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक को सरल करेंगे।
घातांक के नियम $(x^a)^b = x^{a \times b}$ का उपयोग करते हुए,पद $6(x^2)^5$ को $6x^{10}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अब,बहुपद $p(x) = 5x^8 - 6x^{10} - 4x^3 - 14$ हो जाता है।
बहुपद की घात का अर्थ है उसमें उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात।
$x$ की घातों $(8, 10, 3)$ की तुलना करने पर,उच्चतम घात $10$ है।
अतः,बहुपद की घात $10$ है।

(A) बहुपद $p(x) = (x^{1/2})^{50} - 5x^{10} - 9x^2 + 15$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक को सरल करेंगे।
घात के नियम $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ का उपयोग करते हुए,हम पहले पद को सरल करते हैं:
$(x^{1/2})^{50} = x^{(1/2) \cdot 50} = x^{25}$.
अब,बहुपद $p(x) = x^{25} - 5x^{10} - 9x^2 + 15$ हो जाता है।
बहुपद की घात को चर $x$ के उच्चतम घातांक के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पदों $x^{25}$,$x^{10}$,और $x^2$ में $x$ के घातांकों की तुलना करने पर,उच्चतम घातांक $25$ है।
अतः,बहुपद की घात $25$ है।

(B) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित होती है।
दिया गया बहुपद: $p(x) = 6 - 5x^3 + 4x^5 - 5x^2$.
यहाँ चर $x$ के पदों की घातें $0$ ($6$ में),$3$ ($-5x^3$ में),$5$ ($4x^5$ में),और $2$ ($-5x^2$ में) हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $5$ है।
अतः,बहुपद $p(x)$ की घात $5$ है।

(C) बहुपद $p(x) = x^{15} - (x^5)^6 + x^3 - 7$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक को सरल करते हैं।
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हम $(x^5)^6$ पद को सरल करते हैं:
$(x^5)^6 = x^{5 \times 6} = x^{30}$.
अब,इस मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = x^{15} - x^{30} + x^3 - 7$.
बहुपद की घात चर $x$ की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित होती है।
$x^{15}$,$x^{30}$,और $x^3$ पदों में $x$ की घातों की तुलना करने पर,उच्चतम घात $30$ है।
अतः,बहुपद की घात $30$ है।

(D) $x = 2$ पर बहुपद $p(x) = x^{4} + 2x^{3} - x + 2$ का मान ज्ञात करने के लिए,व्यंजक में प्रत्येक $x$ के स्थान पर $2$ प्रतिस्थापित करें:
$p(2) = (2)^{4} + 2(2)^{3} - (2) + 2$
प्रत्येक पद की गणना करें:
$(2)^{4} = 16$
$2(2)^{3} = 2(8) = 16$
इन मानों को वापस व्यंजक में रखने पर:
$p(2) = 16 + 16 - 2 + 2$
$p(2) = 32 - 2 + 2$
$p(2) = 32$
अतः,$x = 2$ पर बहुपद का मान $32$ है।

(A) $x = -3$ पर बहुपद $p(x) = 2x^4 - x^2 + 5x - 8$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $-3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(-3) = 2(-3)^4 - (-3)^2 + 5(-3) - 8$
प्रत्येक पद की गणना करें:
$(-3)^4 = 81$,इसलिए $2(81) = 162$
$(-3)^2 = 9$,इसलिए $-(9) = -9$
$5(-3) = -15$
अब,इन मानों को संयोजित करें:
$p(-3) = 162 - 9 - 15 - 8$
$p(-3) = 153 - 15 - 8$
$p(-3) = 138 - 8$
$p(-3) = 130$
अतः,$x = -3$ पर बहुपद का मान $130$ है।

(B) $x = 2$ पर बहुपद $p(x) = 10 - 5x + 3x^2 - x^3$ का मान ज्ञात करने के लिए:
$p(2) = 10 - 5(2) + 3(2)^2 - (2)^3$
$p(2) = 10 - 10 + 3(4) - 8$
$p(2) = 0 + 12 - 8 = 4$
$x = -2$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए:
$p(-2) = 10 - 5(-2) + 3(-2)^2 - (-2)^3$
$p(-2) = 10 + 10 + 3(4) - (-8)$
$p(-2) = 20 + 12 + 8 = 40$
अतः,मान $4$ और $40$ हैं।

(C) माना कि बहुपद $p(x) = x^{3} + 4x^{2} + 8x + a$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+2)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-2) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2) = (-2)^{3} + 4(-2)^{2} + 8(-2) + a = 0$
$-8 + 4(4) - 16 + a = 0$
$-8 + 16 - 16 + a = 0$
$-8 + a = 0$
$a = 8$
अतः,$a$ का मान $8$ है।

(TRUE) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x+3)$,$p(x) = x^{2}+10x+21$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$(x+3) = (x - (-3))$,इसलिए $a = -3$ है।
अब,$p(-3)$ की गणना करें:
$p(-3) = (-3)^{2} + 10(-3) + 21$
$p(-3) = 9 - 30 + 21$
$p(-3) = 30 - 30 = 0$।
चूंकि $p(-3) = 0$ है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $(x-2)$ बहुपद $p(x) = x^{3}+5x^{2}-2x-25$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि और केवल यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$a = 2$ है।
बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{3} + 5(2)^{2} - 2(2) - 25$
$p(2) = 8 + 5(4) - 4 - 25$
$p(2) = 8 + 20 - 4 - 25$
$p(2) = 28 - 29$
$p(2) = -1$
चूँकि $p(2) \neq 0$,इसलिए $(x-2)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $(x+3)$,$p(x) = x^{3}+6x^{2}+5x-12$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$x+3 = x-(-3)$ है,इसलिए हमें $p(-3)$ का मान ज्ञात करना होगा।
$p(-3) = (-3)^{3} + 6(-3)^{2} + 5(-3) - 12$
$p(-3) = -27 + 6(9) - 15 - 12$
$p(-3) = -27 + 54 - 15 - 12$
$p(-3) = 54 - 54 = 0$.
चूँकि $p(-3) = 0$ है,इसलिए $(x+3)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अतः,यह कथन सत्य है।

(C) बहुपद $p(x) = 25x^2 - 40x + 16$ का गुणनखंड करने के लिए,हम देखते हैं कि यह बीजीय सर्वसमिका $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ के रूप में है।
यहाँ,$25x^2 = (5x)^2$,इसलिए $a = 5x$ है।
साथ ही,$16 = 4^2$,इसलिए $b = 4$ है।
मध्य पद की जाँच करने पर: $-2ab = -2(5x)(4) = -40x$,जो दिए गए बहुपद से मेल खाता है।
अतः,$25x^2 - 40x + 16 = (5x)^2 - 2(5x)(4) + 4^2 = (5x - 4)^2$।

(D) द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} + 5x - 24$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $-24$ हो और जिनका योग $5$ हो।
ये दो संख्याएँ $8$ और $-3$ हैं,क्योंकि $8 \times (-3) = -24$ और $8 + (-3) = 5$ है।
अब,मध्य पद $5x$ को $8x - 3x$ के रूप में विभाजित करें:
$p(x) = x^{2} + 8x - 3x - 24$
पदों को समूहबद्ध करें:
$p(x) = (x^{2} + 8x) - (3x + 24)$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$p(x) = x(x + 8) - 3(x + 8)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(x + 8)$ को बाहर निकालें:
$p(x) = (x + 8)(x - 3)$

(A) बहुपद $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x - 20$ का गुणनखंडन करने के लिए,हम पदों का समूह बनाएंगे:
$p(x) = (x^{3} - 4x^{2}) + (5x - 20)$
अब,प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पद बाहर निकालें:
$p(x) = x^{2}(x - 4) + 5(x - 4)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(x - 4)$ को बाहर लेने पर:
$p(x) = (x - 4)(x^{2} + 5)$

(N/A) यहाँ,$p(x)=x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1)$ है।
$p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(x)=0$ मानिए।
$\therefore (x-4)(x+1)=0$।
$\therefore x=4$ या $x=-1$।
$\therefore 4$ और $-1$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं।
इस बहुपद का ग्राफ खींचने के लिए,हम $x$ के कुछ अलग मान लेते हैं और निम्नलिखित तालिका तैयार करते हैं:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$3$	$4$	$5$
$p(x)=x^2-3x-4$	$6$	$0$	$-4$	$-4$	$0$	$6$

इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित कीजिए। इन सभी बिंदुओं $(-2, 6), (-1, 0), (0, -4), (3, -4), (4, 0)$ और $(5, 6)$ को मिलाने पर,हमें ऊपर की ओर खुलते हुए परवलय (parabola) के आकार का ग्राफ प्राप्त होता है। हम देख सकते हैं कि यह ग्राफ $X$-अक्ष को दो बिंदुओं $(-1, 0)$ और $(4, 0)$ पर काटता है। इनके $X$-निर्देशांक इस बहुपद के शून्यक हैं। अतः,$-1$ और $4$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं।

(N/A) यहाँ,$p(x)=x^{3}-4 x$
$=x(x^{2}-4)$
$=x(x-2)(x+2)$
$p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(x)=0$ मानिए।
$\therefore x(x-2)(x+2)=0$
$\therefore x=0, x=2$ या $x=-2$.
$\therefore 0, 2$ और $-2$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं।
इस बहुपद का आलेख खींचने के लिए,हम $x$ के कुछ अलग मान लेते हैं और निम्नलिखित तालिका तैयार करते हैं:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$p(x)=x^3-4x$	$0$	$3$	$0$	$-3$	$0$

इन बिंदुओं को आलेख में दिखाए अनुसार अंकित करें। हम देख सकते हैं कि यह आलेख $X$-अक्ष को तीन अलग-अलग बिंदुओं $(-2, 0)$,$(0, 0)$ और $(2, 0)$ पर प्रतिच्छेद करता है। इनके $X$-निर्देशांक इस बहुपद के शून्यक हैं। अतः,$p(x)$ के शून्यक $-2, 0$ और $2$ हैं।

(0) किसी बहुपद $y=p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का आलेख $X-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ का आलेख $X-$अक्ष के समांतर एक रेखा है,जो $X-$अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $0$ है।

(0) किसी बहुपद $y=p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $X-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ का ग्राफ पूरी तरह से $X-$अक्ष के ऊपर स्थित है और यह $X-$अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है और न ही स्पर्श करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $0$ है।

(2) किसी बहुपद $y=p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ इसका ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$ $X$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है (मूल बिंदु $O$ और धनात्मक $X$-अक्ष पर एक बिंदु)।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $2$ है।

(A) किसी बहुपद $y=p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का आलेख $X-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ का आलेख $X-$अक्ष को ठीक $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(4) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $X-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि वक्र $X-$अक्ष को $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $4$ है।

(A) बहुपद $p(x) = x^{2} - 2x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} - 2x = 0$
व्यंजक से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(x - 2) = 0$
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:
$x = 0$ या $x - 2 = 0$,जिसका अर्थ है $x = 2$।
अतः,बहुपद के शून्यक $0$ और $2$ हैं।
चूंकि यहाँ दो अलग-अलग वास्तविक मान हैं,इसलिए वास्तविक शून्यकों की संख्या $2$ है।

(B) द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करते हैं।
दिए गए बहुपद $p(x) = 4x^2 + 11x + 10$ के लिए,$a = 4$,$b = 11$,और $c = 10$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = (11)^2 - 4(4)(10)$
$D = 121 - 160$
$D = -39$
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $p(x) = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,इस बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या $0$ है।

(C) बहुपद $p(x) = 5x - 4$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
अतः,$5x - 4 = 0$।
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर,हमें $5x = 4$ प्राप्त होता है।
$5$ से भाग देने पर,हमें $x = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $ax + b$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप का एक रैखिक बहुपद है,इसलिए इसका केवल एक वास्तविक शून्यक होता है।
अतः,वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(D) बहुपद $p(x) = x^{3} - 9x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{3} - 9x = 0$
व्यंजक से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(x^{2} - 9) = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके,हम $x^{2} - 9$ को $(x - 3)(x + 3)$ के रूप में लिख सकते हैं:
$x(x - 3)(x + 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x = 0$,$x - 3 = 0 \implies x = 3$,और $x + 3 = 0 \implies x = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,बहुपद के शून्यक $0, 3, -3$ हैं।
चूंकि यहाँ $3$ भिन्न वास्तविक मान हैं,इसलिए वास्तविक शून्यकों की संख्या $3$ है।

(A) बहुपद $p(x) = 2x - 5$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$2x - 5 = 0$
$2x = 5$
$x = 5/2$
अतः,बहुपद का शून्यक $5/2$ या $2.5$ है।
आलेख खींचने के लिए,हम रेखा पर दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. यदि $x = 0$ है,तो $p(0) = 2(0) - 5 = -5$। बिंदु: $(0, -5)$।
$2$. यदि $x = 2.5$ है,तो $p(2.5) = 2(2.5) - 5 = 0$। बिंदु: $(2.5, 0)$।
इन बिंदुओं को आलेख पर अंकित करके और उनसे होकर एक सीधी रेखा खींचने पर रैखिक बहुपद का आलेख प्राप्त होता है।

(B) बहुपद $p(x) = 3 - 2x - x^2$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3 - 2x - x^2 = 0$
सरल बनाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 3x - x - 3 = 0$.
$x(x + 3) - 1(x + 3) = 0$.
$(x - 1)(x + 3) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x - 1 = 0$ या $x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $x = 1$ और $x = -3$ हैं।

(C) बहुपद $p(x) = x^{2} + x - 12$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
अतः,$x^{2} + x - 12 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $-12$ और योग $1$ हो।
ये संख्याएँ $4$ और $-3$ हैं।
इसलिए,$x^{2} + 4x - 3x - 12 = 0$.
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$.
$(x - 3)(x + 4) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x - 3 = 0$ या $x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 3$ या $x = -4$ है।
इस प्रकार,बहुपद के शून्यक $-4$ और $3$ हैं।

(D) बहुपद $p(x) = x^3 - 2x^2$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^3 - 2x^2 = 0$
व्यंजक से $x^2$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x^2(x - 2) = 0$
इससे हमें दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
अतः,बहुपद के शून्यक $0$ और $2$ हैं।

(A) बहुपद $p(x) = x^3$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
इससे हमें समीकरण $x^3 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
आलेखीय रूप से,वक्र $y = x^3$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,जो एकमात्र बिंदु है जहाँ यह $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x) = x^3$ का शून्यक $0$ है।

(B) किसी बहुपद $y = p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y = p(x)$ $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
अतः,बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(C) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ को दर्शाने वाली रेखा $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(D) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$ $x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या $3$ है।

(D) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$,$x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $3$ है।

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि $\frac{-2}{3}$ बहुपद $p(x)=3x+2$ का एक शून्यक है,हम बहुपद में $x = \frac{-2}{3}$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं।
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = 3\left(\frac{-2}{3}\right) + 2$
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = -2 + 2$
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = 0$
चूँकि $x = \frac{-2}{3}$ पर बहुपद का मान $0$ है,अतः यह सत्यापित होता है कि $\frac{-2}{3}$ रैखिक बहुपद $p(x)=3x+2$ का एक शून्यक है।

(N/A) दिया गया बहुपद $p(x) = 10x^2 - 14x - 12$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$10x^2 - 14x - 12 = 10x^2 - 20x + 6x - 12$
$= 10x(x - 2) + 6(x - 2)$
$= (10x + 6)(x - 2)$
$p(x) = 0$ रखने पर,हमें $(10x + 6)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = -6/10 = -3/5$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $-3/5$ और $2$ हैं।
$ax^2 + bx + c$ के लिए शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
शून्यकों का योग $= -b/a = -(-14)/10 = 14/10 = 7/5$.
शून्यकों का गुणनफल $= c/a = -12/10 = -6/5$.

(N/A) $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(x)=0$ रखें।
$4 x^{3}+10 x^{2}+6 x=0$
$2 x(2 x^{2}+5 x+3)=0$
$2 x(2 x^{2}+2 x+3 x+3)=0$
$2 x(2 x(x+1)+3(x+1))=0$
$2 x(2 x+3)(x+1)=0$
अतः,शून्यक $x=0, x=-\frac{3}{2}, x=-1$ हैं।
$p(x)=4 x^{3}+10 x^{2}+6 x+0$ के लिए,$a=4, b=10, c=6, d=0$ है।
शून्यकों का योग: $0 + (-\frac{3}{2}) + (-1) = -\frac{5}{2} = -\frac{10}{4} = -\frac{b}{a}$।
दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $(0)(-\frac{3}{2}) + (-\frac{3}{2})(-1) + (-1)(0) = 0 + \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{c}{a}$।
शून्यकों का गुणनफल: $(0)(-\frac{3}{2})(-1) = 0 = -\frac{0}{4} = -\frac{d}{a}$।