$a$ और $b$ के किन मानों के लिए बहुपद $q(x) = x^{3} + 2x^{2} + a$ के शून्यक,बहुपद $p(x) = x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ के भी शून्यक हैं? $p(x)$ के कौन से शून्यक $q(x)$ के शून्यक नहीं हैं?

(A) दिया गया है कि $q(x) = x^{3} + 2x^{2} + a$ के शून्यक,$p(x) = x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ के भी शून्यक हैं,जिसका अर्थ है कि $q(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$p(x)$ को $q(x)$ से विभाजित करने पर:
$x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ को $x^{3} + 2x^{2} + a$ से भाग देने पर भागफल $x^{2} - 3x + 2$ प्राप्त होता है और शेषफल $-(1+a)x^{2} + (3+3a)x + (b-2a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q(x)$ एक गुणनखंड है,इसलिए शेषफल शून्य होना चाहिए,अतः गुणांक शून्य होने चाहिए:
$-(1+a) = 0 \Rightarrow a = -1$
$3+3a = 0 \Rightarrow 3+3(-1) = 0$ (संगत)
$b-2a = 0 \Rightarrow b = 2(-1) = -2$.
अतः,$a = -1$ और $b = -2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$p(x) = (x^{3} + 2x^{2} - 1)(x^{2} - 3x + 2)$.
भागफल का गुणनखंड करने पर: $x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
$p(x)$ के शून्यक,$q(x)$ के शून्यक और भागफल के शून्यकों का समूह हैं,जो $x=1$ और $x=2$ हैं। इसलिए,$p(x)$ के वे शून्यक जो $q(x)$ के शून्यक नहीं हैं,वे $1$ और $2$ हैं।