Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(A) माना $A$ से शुरू होने वाली कार की गति $x\, km/hr$ है और $B$ से शुरू होने वाली कार की गति $y\, km/hr$ है।
जब वे एक ही दिशा में चलती हैं,तो सापेक्ष गति $(x - y)\, km/hr$ होती है। चूँकि वे $9$ घंटे में मिलती हैं,तय की गई दूरी $9(x - y) = 90$ है,जो सरल होकर $x - y = 10$ (समीकरण $1$) हो जाती है।
जब वे विपरीत दिशाओं में चलती हैं,तो सापेक्ष गति $(x + y)\, km/hr$ होती है। चूँकि वे $\frac{9}{7}$ घंटे में मिलती हैं,तय की गई दूरी $\frac{9}{7}(x + y) = 90$ है,जो सरल होकर $x + y = 70$ (समीकरण $2$) हो जाती है।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(x - y) + (x + y) = 10 + 70$,इसलिए $2x = 80$,जिससे $x = 40\, km/hr$ प्राप्त होता है।
$x = 40$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $40 - y = 10$,इसलिए $y = 30\, km/hr$.
अतः,कारों की गति $40\, km/hr$ और $30\, km/hr$ है।

(A) माना ट्रेन की गति $x \, km/hr$ और कार की गति $y \, km/hr$ है।
स्थिति $1$: लगा समय = $\frac{120}{x} + \frac{480}{y} = 8$ घंटे। $8$ से भाग देने पर,हमें $\frac{15}{x} + \frac{60}{y} = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: लगा समय = $8$ घंटे $20$ मिनट = $8 + \frac{20}{60} = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$ घंटे। समीकरण $\frac{200}{x} + \frac{400}{y} = \frac{25}{3}$ है। $25$ से भाग देने पर,हमें $\frac{8}{x} + \frac{16}{y} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। समीकरण $15u + 60v = 1$ और $8u + 16v = \frac{1}{3}$ बन जाते हैं।
इन्हें हल करने पर,हमें $u = \frac{1}{60}$ और $v = \frac{1}{80}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 60 \, km/hr$ और $y = 80 \, km/hr$।

(A) माना एक पुरुष द्वारा काम पूरा करने में लिया गया समय $x$ दिन है और एक महिला द्वारा $y$ दिन है।
एक पुरुष द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य = $1/x$.
एक महिला द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य = $1/y$.
प्रश्न के अनुसार:
$10(8/x + 12/y) = 1 \implies 8/x + 12/y = 1/10$ (समीकरण $1$)
$14(6/x + 8/y) = 1 \implies 6/x + 8/y = 1/14$ (समीकरण $2$)
माना $u = 1/x$ और $v = 1/y$.
$8u + 12v = 1/10 \implies 80u + 120v = 1$ (समीकरण $3$)
$6u + 8v = 1/14 \implies 84u + 112v = 1$ (समीकरण $4$)
समीकरणों को हल करने पर: समीकरण $3$ से,$v = (1 - 80u)/120$. समीकरण $4$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$84u + 112((1 - 80u)/120) = 1$
$84u + (14/15)(1 - 80u) = 1$
$1260u + 14 - 1120u = 15$
$140u = 1 \implies u = 1/140$.
अतः,$x = 140$ दिन।
$u = 1/140$ को $80(1/140) + 120v = 1$ में रखने पर:
$4/7 + 120v = 1 \implies 120v = 3/7 \implies v = 1/280$.
अतः,$y = 280$ दिन।
इसलिए,एक पुरुष $140$ दिन और एक महिला $280$ दिन लेती है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x - ky - 2 = 0$ ...... $(1)$
$3x + 2y + 5 = 0$ ...... $(2)$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -k, c_1 = -2$
$a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = 5$
अद्वितीय हल के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{3} \neq \frac{-k}{2}$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$2 \neq -3k$
$k \neq -\frac{2}{3}$
अतः,$k = -\frac{2}{3}$ को छोड़कर $k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$3x - 4y + 7 = 0$ ... $(1)$
$kx + 3y - 5 = 0$ ... $(2)$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 3, b_1 = -4, c_1 = 7$
$a_2 = k, b_2 = 3, c_2 = -5$
रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल न होने की शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
मान रखने पर:
$\frac{3}{k} = \frac{-4}{3} \neq \frac{7}{-5}$
चूंकि $\frac{-4}{3} \neq \frac{7}{-5}$,हमें केवल निम्नलिखित को हल करने की आवश्यकता है:
$\frac{3}{k} = \frac{-4}{3}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$-4k = 9$
$k = -\frac{9}{4}$
अतः,$k$ का मान $-\frac{9}{4}$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$5x + 2y - k = 0$ .......... $(1)$
$10x + 4y - 3 = 0$ .......... $(2)$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 5, b_1 = 2, c_1 = -k$
$a_2 = 10, b_2 = 4, c_2 = -3$
रैखिक समीकरण युग्म के अनंत हल होने की शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
मान रखने पर:
$\frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{-k}{-3}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{k}{3}$
$\frac{1}{2} = \frac{k}{3}$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k = \frac{3}{2}$
अतः,$k = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण युग्म के अनंत हल हैं।

(N/A) माना अभिषेक की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और श्वेता की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
स्थिति $1$: तीन वर्ष पूर्व,अभिषेक की आयु $(x-3)$ थी और श्वेता की आयु $(y-3)$ थी।
प्रश्न के अनुसार: $(x-3) = 4(y-3)$
$x-3 = 4y-12$
$x-4y = -9$ --- (समीकरण $1$)
स्थिति $2$: पाँच वर्ष बाद,अभिषेक की आयु $(x+5)$ होगी और श्वेता की आयु $(y+5)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार: $(x+5) = 2(y+5)$
$x+5 = 2y+10$
$x-2y = 5$ --- (समीकरण $2$)
अतः,रैखिक समीकरणों का अभीष्ट युग्म $x-4y = -9$ और $x-2y = 5$ है।

(D) हल ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक रेखा के लिए बिंदु निर्धारित करते हैं:
$2x + 3y = 8$ के लिए:
यदि $x = 1$ है,तो $2(1) + 3y = 8 \implies 3y = 6 \implies y = 2$. बिंदु: $(1, 2)$।
यदि $x = 4$ है,तो $2(4) + 3y = 8 \implies 3y = 0 \implies y = 0$. बिंदु: $(4, 0)$।
$x + 2y = 5$ के लिए:
यदि $x = 1$ है,तो $1 + 2y = 5 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. बिंदु: $(1, 2)$।
यदि $x = 3$ है,तो $3 + 2y = 5 \implies 2y = 2 \implies y = 1$. बिंदु: $(3, 1)$।
चूंकि दोनों रेखाएं बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए समीकरणों के निकाय का हल $(1, 2)$ है।

(A) माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है।
समीकरण इस प्रकार होंगे:
$11v - 7u = 1$ --- $(1)$
$9v - 4u = 6$ --- $(2)$
$u$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $4$ से और समीकरण $(2)$ को $7$ से गुणा करने पर:
$44v - 28u = 4$ --- $(3)$
$63v - 28u = 42$ --- $(4)$
समीकरण $(4)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(63v - 44v) = (42 - 4)$
$19v = 38 \implies v = 2$
चूंकि $v = \frac{1}{y} = 2$,इसलिए $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$v = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$11(2) - 7u = 1$
$22 - 7u = 1$
$7u = 21 \implies u = 3$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 3$,इसलिए $x = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(x, y) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ है।

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$ax + by - 1 = 0$ --- $(1)$
$bx + ay - \frac{2ab}{a^2 + b^2} = 0$ --- $(2)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b(-\frac{2ab}{a^2+b^2}) - a(-1)} = \frac{-y}{a(-\frac{2ab}{a^2+b^2}) - b(-1)} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{x}{\frac{-2ab^2 + a(a^2+b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{-y}{\frac{-2a^2b + b(a^2+b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{x}{\frac{a^3 - ab^2}{a^2+b^2}} = \frac{-y}{\frac{b^3 - a^2b}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{x}{\frac{a(a^2-b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{y}{\frac{b(a^2-b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$x = \frac{a(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)} = \frac{a}{a^2+b^2}$
$y = \frac{b(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)} = \frac{b}{a^2+b^2}$
अतः,हल $(x, y) = (\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{b}{a^2+b^2})$ है।

(C) माना कि $u = \frac{1}{x+y}$ और $v = \frac{1}{x-y}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$25u - 7v = -2$ --- $(1)$
$15u - 7v = -4$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(25u - 7v) - (15u - 7v) = -2 - (-4)$
$10u = 2 \implies u = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$u = \frac{1}{5}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$25(\frac{1}{5}) - 7v = -2$
$5 - 7v = -2$
$-7v = -7 \implies v = 1$.
अब,$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \implies x+y = 5$ --- $(3)$
और $\frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$2x = 6 \implies x = 3$.
$x = 3$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3 + y = 5 \implies y = 2$.
अतः,हल $(x, y) = (3, 2)$ है।

(D) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
पहली शर्त के अनुसार: $\frac{x+1}{y+1} = \frac{1}{2} \implies 2x + 2 = y + 1 \implies y = 2x + 1$ (समीकरण $1$)।
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{x-5}{y-5} = \frac{5}{11} \implies 11x - 55 = 5y - 25 \implies 11x - 5y = 30$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में $y = 2x + 1$ प्रतिस्थापित करने पर: $11x - 5(2x + 1) = 30$।
$11x - 10x - 5 = 30 \implies x = 35$।
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = 2(35) + 1 = 70 + 1 = 71$।
अतः,वे संख्याएँ $35$ और $71$ हैं।

(A) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
पहली शर्त के अनुसार: $10x + y = 8(x + y) + 1$.
$10x + y = 8x + 8y + 1 \implies 2x - 7y = 1$ --- (समीकरण $1$).
दूसरी शर्त के अनुसार: $10x + y = 13(x - y) + 2$.
$10x + y = 13x - 13y + 2 \implies -3x + 14y = 2$ --- (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर: $4x - 14y = 2$ --- (समीकरण $3$).
समीकरण $2$ और समीकरण $3$ को जोड़ने पर: $(-3x + 14y) + (4x - 14y) = 2 + 2$.
$x = 4$.
$x = 4$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $2(4) - 7y = 1 \implies 8 - 7y = 1 \implies 7y = 7 \implies y = 1$.
अतः,संख्या $10(4) + 1 = 41$ है।

(B) माना कि अंश $x$ है और हर $y$ है। भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
पहली शर्त के अनुसार,अंश हर से $4$ कम है: $x = y - 4$,जिसका अर्थ है $y = x + 4$.
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि अंश में $2$ घटाया जाए और हर में $1$ बढ़ाया जाए,तो हर,अंश का आठ गुना हो जाता है: $(y + 1) = 8(x - 2)$.
दूसरे समीकरण में $y = x + 4$ प्रतिस्थापित करने पर: $(x + 4 + 1) = 8(x - 2)$.
$x + 5 = 8x - 16$.
$5 + 16 = 8x - x$.
$21 = 7x$,इसलिए $x = 3$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = x + 4 = 3 + 4 = 7$.
अतः,भिन्न $\frac{3}{7}$ है।

(D) माना पंक्तियों की संख्या $x$ है और प्रत्येक पंक्ति में छात्रों की संख्या $y$ है। छात्रों की कुल संख्या $xy$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $(x - 2)(y + 1) = xy$
$xy + x - 2y - 2 = xy$
$x - 2y = 2$ --- $(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार: $(x + 3)(y - 1) = xy$
$xy - x + 3y - 3 = xy$
$-x + 3y = 3$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x - 2y) + (-x + 3y) = 2 + 3$
$y = 5$
समीकरण $(1)$ में $y = 5$ रखने पर:
$x - 2(5) = 2$
$x - 10 = 2$
$x = 12$
छात्रों की कुल संख्या $= xy = 12 \times 5 = 60$.

(D) माना आयत की लंबाई $x$ और चौड़ाई $y$ है। क्षेत्रफल $A = xy$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $(x + 2)(y - 2) = xy - 28$.
इसका विस्तार करने पर: $xy - 2x + 2y - 4 = xy - 28$.
सरल करने पर: $-2x + 2y = -24$,जिससे प्राप्त होता है $x - y = 12$ (समीकरण $1$)।
दूसरी शर्त के अनुसार: $(x - 1)(y + 2) = xy + 33$.
इसका विस्तार करने पर: $xy + 2x - y - 2 = xy + 33$.
सरल करने पर: $2x - y = 35$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(2x - y) - (x - y) = 35 - 12$,अतः $x = 23$.
$x = 23$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $23 - y = 12$,अतः $y = 11$.
आयत का क्षेत्रफल $A = x \times y = 23 \times 11 = 253$ वर्ग इकाई है।

(B) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x - 3y = 1$ और $kx + 5y = 7$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -3$ और $a_2 = k, b_2 = 5$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $\frac{2}{k} \neq \frac{-3}{5}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $2 \times 5 \neq -3 \times k$,जो $10 \neq -3k$ के रूप में सरल होता है।
अतः,$k \neq -\frac{10}{3}$।
इस प्रकार,$k = -\frac{10}{3}$ को छोड़कर $k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए निकाय का एक अद्वितीय हल होगा।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ का कोई हल न होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x - ky + 3 = 0$ और $3x + 2y - 1 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -k, c_1 = 3$ और $a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -1$ है।
शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ लागू करने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{-k}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $4 = -3k$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -\frac{4}{3}$ है।
अब शर्त $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ की जाँच करने पर:
$\frac{-(-4/3)}{2} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$ है।
चूँकि $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{-1} = -3$ है,और $\frac{2}{3} \neq -3$,इसलिए $k = -\frac{4}{3}$ के लिए शर्त सत्य है।

(A) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अनंत हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $kx + 3y = (k - 3)$ और $12x + ky = k$ हैं।
यहाँ,$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = k - 3$ और $a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = k$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k}$।
पहले दो भागों को लेने पर: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$।
अंतिम दो भागों को लेने पर: $\frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k} \implies 3k = k(k - 3) \implies 3k = k^2 - 3k \implies k^2 - 6k = 0 \implies k(k - 6) = 0$।
इससे $k = 0$ या $k = 6$ प्राप्त होता है।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला सामान्य मान $k = 6$ है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म:
$2x + 3y = 4$ --- $(1)$
$6x + 9y = 17$ --- $(2)$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 4$
$a_2 = 6, b_2 = 9, c_2 = 17$
अब,अनुपातों की गणना करें:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{17}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
अतः,इनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,जिसका अर्थ है कि इस निकाय का कोई हल नहीं है।
इसलिए,हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $x + 2y = 5$
$(2)$ $2x + y = 4$
समीकरण $(1)$ से,हमें $x = 5 - 2y$ प्राप्त होता है।
$x$ के इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(5 - 2y) + y = 4$
$10 - 4y + y = 4$
$10 - 3y = 4$
$-3y = 4 - 10$
$-3y = -6$
$y = 2$
अब,$y = 2$ को $x = 5 - 2y$ में रखने पर:
$x = 5 - 2(2)$
$x = 5 - 4$
$x = 1$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।

(B) माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है।
दिए गए समीकरण इस प्रकार हैं:
$3u - 2v = 5$ --- $(1)$
$4u - 5v = 2$ --- $(2)$
$u$ और $v$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $5$ से और समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$15u - 10v = 25$ --- $(3)$
$8u - 10v = 4$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर:
$(15u - 8u) = 25 - 4$
$7u = 21 \implies u = 3$
$u = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3(3) - 2v = 5$
$9 - 2v = 5$
$-2v = -4 \implies v = 2$
अतः,$\frac{1}{x} = 3$ और $\frac{1}{y} = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3 - 2 = 1$।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 3x - 2y = 1$
$2) 5x + y = 6$
$y$ को विलोपित करने के लिए,दोनों समीकरणों में $y$ के गुणांकों का परिमाण समान और चिह्न विपरीत होना चाहिए।
पहले समीकरण में $y$ का गुणांक $-2$ है।
दूसरे समीकरण में $y$ का गुणांक $1$ है।
दूसरे समीकरण में $y$ के गुणांक को $2$ बनाने के लिए (ताकि $-2y + 2y = 0$ हो जाए),हमें दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करना होगा।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x+y-3=0$ --- $(1)$
$3x+3y-9=0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x+y-3=0$
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
इसलिए,रेखा $x+y=3$ पर स्थित प्रत्येक बिंदु इस निकाय का एक हल है।
अतः,इस निकाय के अनंत हल हैं,और हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x+y-1=0 \implies x+y=1$ (समीकरण $1$)
$3x+3y-2=0 \implies 3(x+y)=2 \implies x+y=\frac{2}{3}$ (समीकरण $2$)
रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$,इसलिए रेखाएं समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
इसलिए,हल समुच्चय $\phi$ (रिक्त समुच्चय) है।

(B) दो चरों वाला रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
इस समीकरण में,$x$ और $y$ चरों की घात $1$ होनी चाहिए।
आइए विकल्पों का विश्लेषण करें:
$A) x = 3y - 1$ को $x - 3y + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
$B) x^2 - 5 = 0$ एक चर वाला द्विघात समीकरण है क्योंकि $x$ की घात $2$ है और $y$ चर अनुपस्थित है।
$C) y = 2x + 3$ को $2x - y + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
$D) x - y = 0$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
अतः,$x^2 - 5 = 0$ दो चरों वाला रैखिक समीकरण नहीं है।

(C) दिए गए समीकरण:
$2x + y = 5$ --- $(1)$
$y - 1 = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से,हमें $y = 1$ प्राप्त होता है।
$y = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + 1 = 5$
$2x = 5 - 1$
$2x = 4$
$x = 4 / 2$
$x = 2$
अतः,$x$ का मान $2$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y = 7$ --- $(1)$
$3x + 2y = 3$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(2x + 3x) + (3y + 2y) = 7 + 3$
$5x + 5y = 10$
पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$x + y = 2$
अतः,$x + y$ का मान $2$ है।

(A) दिए गए समीकरण: $\frac{x}{2} = 2$ और $\frac{6}{y} = 2$ हैं।
पहले समीकरण से: $x = 2 \times 2 = 4$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से: $6 = 2y$,जिसका अर्थ है कि $y = \frac{6}{2} = 3$ है।
अब,$x - y$ का मान ज्ञात करें: $x - y = 4 - 3 = 1$ है।
अतः,सही मान $1$ है।

(B) माना कि दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है।
संख्या $10x + y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$x + y = 9$ (समीकरण $1$)
$x - y = 1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 9 + 1$
$2x = 10$
$x = 5$
समीकरण $1$ में $x = 5$ रखने पर:
$5 + y = 9$
$y = 4$
अतः,वह संख्या $10(5) + 4 = 54$ है।

(C) $x$ और $y$ दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $x = 6$ और $y = 4$ दिया गया है।
ये समीकरण क्रमशः $y$-अक्ष और $x$-अक्ष के समांतर रेखाओं को दर्शाते हैं।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु अद्वितीय हल $(x, y)$ प्रदान करता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें बिंदु $(6, 4)$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $\{(6, 4)\}$ है।

(D) दिए गए समीकरण $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ हैं।
दी गई शर्तें हैं:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = 0 \implies \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$
$b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1} = 0 \implies \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
$c_{1}a_{2} - c_{2}a_{1} = 0 \implies \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{a_{1}}{a_{2}}$
इन सबको मिलाने पर,हमें $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k$ प्राप्त होता है (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इसका अर्थ है कि दोनों समीकरण आश्रित हैं (संपाती रेखाएँ)।
संपाती रेखाओं के लिए,अनंत हल होते हैं।
अतः,हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(A) मान लीजिए कि चार व्यक्तियों की वर्तमान आयु $a, b, c,$ और $d$ है।
चार वर्ष पहले,उनकी आयु का योग $(a-4) + (b-4) + (c-4) + (d-4) = 40$ था।
इसे सरल करने पर $a + b + c + d - 16 = 40$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a + b + c + d = 56$ है।
यह उनकी वर्तमान आयु का योग है।
दो वर्ष बाद,उनकी आयु का योग $(a+2) + (b+2) + (c+2) + (d+2)$ होगा।
यह $(a + b + c + d) + 8$ के बराबर है।
वर्तमान योग का मान रखने पर,हमें $56 + 8 = 64$ वर्ष प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$
$2) \, 2x + 2y - 5 = 0 \implies 2(x + y) = 5 \implies x + y = 2.5$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $x + y$ का मान एक साथ $1$ और $2.5$ नहीं हो सकता है।
वैकल्पिक रूप से,गुणांकों के अनुपात की जाँच करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}$.
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$x + y - 1 = 0$ --- $(1)$
$2x + 2y - 2 = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर:
$x + y - 1 = 0$
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए,यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो निकाय के अनंत हल होते हैं।
यहाँ,$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,इस निकाय के अनंत हल हैं,जो एक अनंत समुच्चय को दर्शाता है।

(D) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग अंकों के गुणनफल के बराबर है:
$x + y = xy$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$xy - x - y = 0$
गुणनखंड करने के लिए दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$xy - x - y + 1 = 1$
$(x - 1)(y - 1) = 1$
चूँकि $x$ और $y$ अंक हैं ($x$ के लिए $1$ से $9$ और $y$ के लिए $0$ से $9$),$(x - 1)(y - 1) = 1$ के लिए केवल एक ही पूर्णांक हल संभव है:
$x - 1 = 1 \implies x = 2$
$y - 1 = 1 \implies y = 2$
अतः,वह संख्या $10(2) + 2 = 22$ है।

(A) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के निकाय का हल समुच्चय रिक्त (कोई हल नहीं) होने के लिए,रेखाओं का समांतर होना आवश्यक है।
यह स्थिति $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरण $x + 2y - 3 = 0$ और $5x + ky + 7 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -3$ और $a_2 = 5, b_2 = k, c_2 = 7$ है।
समांतर रेखाओं की शर्त लागू करने पर: $\frac{1}{5} = \frac{2}{k}$।
वज्र-गुणन करने पर $k = 5 \times 2 = 10$ प्राप्त होता है।
असमानता की शर्त की जाँच करने पर: $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{7}$। चूँकि $\frac{1}{5} \neq \frac{-3}{7}$,इसलिए यह शर्त संतुष्ट होती है।
अतः,$k$ का मान $10$ है।

(B) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अनंत हल होने के लिए शर्त यह है: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$।
दिए गए समीकरण $2x + 3y = 5$ और $4x + ky = 10$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 5$ और $a_2 = 4, b_2 = k, c_2 = 10$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $\frac{2}{4} = \frac{3}{k} = \frac{5}{10}$।
अनुपातों को सरल करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{3}{k} = \frac{1}{2}$।
$\frac{1}{2} = \frac{3}{k}$ से,हमें $k = 3 \times 2 = 6$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं,जहाँ $x > y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$x + y = 20$ (समीकरण $1$)
$x - y = 8$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 20 + 8$
$2x = 28$
$x = 14$
समीकरण $1$ में $x = 14$ रखने पर:
$14 + y = 20$
$y = 20 - 14 = 6$
अतः,दो संख्याएँ $14$ और $6$ हैं। इसलिए बड़ी संख्या $14$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$8y - 3x = 5xy$ ---$(1)$
$6y - 5x = -2xy$ ---$(2)$
स्थिति $1$: यदि $x = 0$ है,तो $(1)$ से $8y = 0 \implies y = 0$. $(2)$ में जाँच करने पर,$6(0) - 5(0) = -2(0)(0) \implies 0 = 0$. अतः,$(0, 0)$ एक हल है।
स्थिति $2$: यदि $x \neq 0$ और $y \neq 0$ है,तो दोनों समीकरणों को $xy$ से विभाजित करने पर:
$(1)$ $\implies \frac{8}{x} - \frac{3}{y} = 5$
$(2)$ $\implies \frac{6}{x} - \frac{5}{y} = -2$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$.
$8u - 3v = 5$ ---$(3)$
$6u - 5v = -2$ ---$(4)$
$(3)$ को $5$ से और $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$40u - 15v = 25$
$18u - 15v = -6$
घटाने पर: $22u = 31 \implies u = \frac{31}{22} \implies x = \frac{22}{31}$.
$u$ का मान $(3)$ में रखने पर: $8(\frac{31}{22}) - 3v = 5 \implies \frac{124}{11} - 3v = 5 \implies 3v = \frac{124}{11} - 5 = \frac{69}{11} \implies v = \frac{23}{11} \implies y = \frac{11}{23}$.
अतः,हल $(0, 0)$ और $\left(\frac{22}{31}, \frac{11}{23}\right)$ हैं।

(A) माना $x = \frac{1}{a}$ और $y = \frac{1}{b}$ है। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$8x - 9y = 1$ ---$(1)$
$10x + 6y = 7$ ---$(2)$
$y$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$16x - 18y = 2$ ---$(3)$
$30x + 18y = 21$ ---$(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$46x = 23 \implies x = \frac{23}{46} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $x = \frac{1}{a}$,इसलिए $a = 2$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$8(\frac{1}{2}) - 9y = 1 \implies 4 - 9y = 1 \implies 9y = 3 \implies y = \frac{1}{3}$.
चूंकि $y = \frac{1}{b}$,इसलिए $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = (2, 3)$।

(C) दो चरों $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
इस शर्त को गणितीय रूप से $a^{2} + b^{2} \neq 0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जो यह सुनिश्चित करता है कि चरों के गुणांकों में से कम से कम एक गुणांक शून्य नहीं है।
अतः,सही सामान्य रूप $ax + by + c = 0$ है।

(D) दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण को $ax + by + c = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हो सकते।
यदि $a = 0$ और $b = 0$ हो,तो समीकरण $0x + 0y + c = 0$ बन जाता है,जो सरल होकर $c = 0$ हो जाता है। यह दो चरों वाला रैखिक समीकरण नहीं है क्योंकि इसमें चर $x$ और $y$ विलुप्त हो जाते हैं।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरण के लिए $a = 0$ और $b = 0$ होना सत्य नहीं है।

(D) दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
इस रूप में,चरों $x$ और $y$ का घात $1$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$: $x^{2}+x-3=0$ एक चर वाला द्विघात समीकरण है।
$B$: $x^{2}+y=0$ रैखिक नहीं है क्योंकि चर $x$ का घात $2$ है।
$C$: $x-3=y^{2}$ रैखिक नहीं है क्योंकि चर $y$ का घात $2$ है।
$D$: $x+3=y$ को $x - y + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $ax + by + c = 0$ के मानक रूप में है,जहाँ $a=1, b=-1, c=3$ है।
अतः,$x+3=y$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।

(D) दो चरों वाला रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं। चरों की घात $1$ होनी चाहिए।
समीकरण $x^{2} - 6x + 7 = 0$ में,चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है। इसलिए,यह एक द्विघात समीकरण है,न कि रैखिक समीकरण।
अन्य विकल्प,$6x - 5 = y$,$x - 6y = 0$,और $6x + y = 7$ सभी दो चरों वाले रैखिक समीकरण हैं क्योंकि इनमें चरों की घात $1$ है।

(D) दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
$1$. विकल्प $A$ में,$\frac{3}{x}$ पद इसे रैखिक समीकरण नहीं रहने देता है।
$2$. विकल्प $B$ में,$\frac{1}{y}$ पद इसे रैखिक समीकरण नहीं रहने देता है।
$3$. विकल्प $C$ में,चरों की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
$4$. विकल्प $D$ में,$x = y$ को $1x - 1y + 0 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप को संतुष्ट करता है और इसकी घात $1$ है।

(A) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ के लिए,अद्वितीय हल (unique solution) होने की शर्त यह है कि रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करनी चाहिए।
यह तब होता है जब $x$ और $y$ के गुणांकों का अनुपात समान न हो,अर्थात $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$।
इस असमिका का वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर हमें $a_{1}b_{2} \neq a_{2}b_{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ के लिए:
$1$. यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ हो,तो रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,जिसका एक अद्वितीय हल होता है।
$2$. यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ हो,तो रेखाएं समांतर होती हैं,जिसका कोई हल नहीं होता है।
$3$. यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ हो,तो रेखाएं संपाती होती हैं,जिसका अर्थ है कि वे प्रत्येक बिंदु पर एक-दूसरे के ऊपर होती हैं,जिससे अनंत हल प्राप्त होते हैं।
अतः,अनंत हलों के लिए शर्त $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है।

(A) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ के लिए,कोई हल न होने की स्थिति तब होती है जब रेखाएँ समांतर होती हैं।
यह तब होता है जब $x$ और $y$ के गुणांकों का अनुपात बराबर हो,लेकिन वे अचर पदों के अनुपात के बराबर न हों।
अतः,इसके लिए गणितीय शर्त $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x = 1$ और $y = 2$ हैं।
ये समीकरण कार्तीय तल में दो रेखाओं को दर्शाते हैं।
रेखा $x = 1$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जो $x$-अक्ष पर बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरती है।
रेखा $y = 2$ एक क्षैतिज रेखा है जो $y$-अक्ष पर बिंदु $(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु वह बिंदु है जहाँ $x$-निर्देशांक $1$ है और $y$-निर्देशांक $2$ है।
अतः,हल समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें क्रमित युग्म $(1, 2)$ शामिल है,जिसे $\{(1, 2)\}$ के रूप में लिखा जाता है।