Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म:
$1$) $x + 2 = 0$
$2$) $y - 1 = 0$
समीकरण $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$x = -2$
समीकरण $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$y = 1$
अतः,हल $(x, y) = (-2, 1)$ है।

(C) दिया गया रैखिक समीकरण $3x + 2y = 8$ है।
समीकरण में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-2) + 2y = 8$
$-6 + 2y = 8$
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर:
$2y = 8 + 6$
$2y = 14$
$2$ से भाग देने पर:
$y = 7$.

(B) दिया गया रैखिक समीकरण $2x - 5y = 3$ है।
समीकरण में $y = -1$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - 5(-1) = 3$
$2x + 5 = 3$
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर:
$2x = 3 - 5$
$2x = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x = -1$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$y + x = 2$ --- $(1)$
$y - x = 4$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(y + x) + (y - x) = 2 + 4$
$2y = 6$
$y = 3$
अब,$y = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3 + x = 2$
$x = 2 - 3$
$x = -1$
अतः,हल $(x, y) = (-1, 3)$ है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म:
$x+y-2=0$ $...(1)$
$2x+2y-4=0$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2x}{2} + \frac{2y}{2} - \frac{4}{2} = \frac{0}{2}$
$x+y-2=0$ $...(3)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(3)$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि दोनों समीकरण समान हैं।
चूंकि ये समीकरण संपाती हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म के अनंत हल हैं,और हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(C) दिए गए समीकरण $5x - 5y = -5$ और $\frac{3x}{2} - \frac{3y}{2} + \frac{3}{2} = 0$ हैं।
चरण $1$: पहले समीकरण को सरल करने पर: $5x - 5y = -5$। $5$ से भाग देने पर,हमें $x - y = -1$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: दूसरे समीकरण को सरल करने पर: $\frac{3x}{2} - \frac{3y}{2} = -\frac{3}{2}$। $\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर,हमें $x - y = -1$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: चूंकि दोनों समीकरण एक ही रैखिक समीकरण $x - y = -1$ में सरल हो जाते हैं,इसलिए वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
चरण $4$: संपाती रेखाओं के युग्म के अनंत हल होते हैं। अतः,हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(B) दिए गए समीकरण $2x + 6y = 10$ और $3x + 9y - 15 = 0$ हैं।
पहले समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $x + 3y = 5$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर: $x + 3y - 5 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x + 3y = 5$।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए गुणांकों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{1} = \frac{3}{3} = \frac{5}{5}$ है।
अतः,समीकरणों के इस युग्म के अनंत हल हैं।

(D) दिए गए समीकरण $x+y+1=0$ और $3x+3y+2=0$ हैं।
इन्हें $a_1x+b_1y+c_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a_1=1, b_1=1, c_1=1$ और $a_2=3, b_2=3, c_2=2$ प्राप्त होता है।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
समांतर रेखाएं किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,जिसका अर्थ है कि निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।

(C) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ के लिए,अद्वितीय हल होने की शर्त $a_{1}/a_{2} \neq b_{1}/b_{2}$ है,जो $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$ के बराबर है।
यहाँ,$a_{1} = 2, b_{1} = 1, c_{1} = -4$ और $a_{2} = 1, b_{2} = 2, c_{2} = -5$ है।
निश्चायक की गणना करने पर: $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3$।
चूंकि $3 \neq 0$,इसलिए समीकरणों के इस युग्म का एक अद्वितीय हल है।

(C) दिए गए समीकरण $2x + y = 6$ $(1)$ और $x + \frac{1}{2}y = 4$ $(2)$ हैं।
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2x + y = 8$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2x + y = 6$
$2x + y = 8$
यहाँ,$x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,लेकिन अचर पद अलग-अलग हैं $(6 \neq 8)$।
यह दो समांतर रेखाओं को दर्शाता है।
अतः,इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण $\frac{x}{2} = \frac{6}{y} = 3$ है।
सबसे पहले,$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 3 \times 2 = 6$.
इसके बाद,$y$ का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{6}{y} = 3 \implies y = \frac{6}{3} = 2$.
अंत में,$x + y$ का मान ज्ञात करने पर:
$x + y = 6 + 2 = 8$.

(D) दिया गया है कि एक पैंट की कीमत ₹ $x$ है और एक शर्ट की कीमत ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,$5$ पैंट की कीमत $5x$ होगी और $8$ शर्ट की कीमत $8y$ होगी।
$5$ पैंट और $8$ शर्ट की कुल कीमत ₹ $3100$ दी गई है।
अतः,इस स्थिति को दर्शाने वाला रैखिक समीकरण $5x + 8y = 3100$ है।

(C) माना कि आयत की लंबाई $l$ है और चौड़ाई $b$ है।
प्रश्न के अनुसार,लंबाई चौड़ाई के तीन गुने से पाँच कम है।
चौड़ाई का तीन गुना $3b$ है।
चौड़ाई के तीन गुने से पाँच कम $3b - 5$ है।
अतः,संबंध $l = 3b - 5$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x + 2y = 5$ --- $(1)$
$3x + 5y = 13$ --- $(2)$
विलोपन विधि का उपयोग करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करें:
$3(x + 2y) = 3(5)$
$3x + 6y = 15$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(3x + 6y) - (3x + 5y) = 15 - 13$
$y = 2$
$y = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 2(2) = 5$
$x + 4 = 5$
$x = 5 - 4$
$x = 1$
अतः,हल $x = 1, y = 2$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 2x + y = 7$
$2) 5x - 2y = 4$
रेखाओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम समीकरणों $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 7$ और $a_2 = 5, b_2 = -2, c_2 = 4$ है।
हम गुणांकों का अनुपात निकालते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,समीकरणों का यह युग्म प्रतिच्छेदी रेखाओं को दर्शाता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + 4y = 10$ --- $(1)$
$3x + 4y = 15$ --- $(2)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = 10$
$a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = 15$
अब,अनुपातों की गणना करें:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{4} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं और कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x + y = 7$ ---$(1)$
$3x + 3y = 21$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से विभाजित करने पर:
$x + y = 7$ ---$(3)$
चूंकि समीकरण $(1)$ और समीकरण $(3)$ समान हैं,इसलिए वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
अतः,समीकरणों का यह युग्म संपाती रेखाओं को दर्शाता है,जो कि एक ही रेखा है।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के लिए,यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो निकाय असंगत होता है।
दिए गए समीकरण $2x + 3y = 5$ और $2x + 3y = 8$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 5$ और $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = 8$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{8}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ $(1 = 1 \neq \frac{5}{8})$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और इनका कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है।
अतः,समीकरणों का यह युग्म असंगत है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - y = 9$ ---$(1)$
$10x - 2y = 18$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर:
$5x - y = 9$ ---$(3)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(3)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि दोनों समीकरण समान हैं।
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए,यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो समीकरण संपाती होते हैं और उनके अनंत हल होते हैं।
चूंकि समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं,जिसका अर्थ है कि वे संगत हैं और उनके अनंत हल हैं।

(A) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म:
$2x + y = 3$ (समीकरण $1$)
$x + 2y = 4$ (समीकरण $2$)
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 3$
$a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = 4$
अब,गुणांकों का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,इसलिए रेखाएं एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,समीकरणों का यह युग्म एक अद्वितीय हल रखता है और यह संगत है।

(C) दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
दिया गया समीकरण: $3x = 2y - 1$.
इसे मानक रूप $ax + by + c = 0$ में लाने के लिए,हम सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाते हैं।
दोनों पक्षों से $2y$ घटाने पर: $3x - 2y = -1$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $3x - 2y + 1 = 0$.
इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 3$,$b = -2$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,मानक रूप $3x - 2y + 1 = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $3x - 2y + 5 = 0$
$y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करने के लिए,हम $y$ वाले पद को अलग करते हैं:
$-2y = -3x - 5$
पूरे समीकरण को $-1$ से गुणा करने पर:
$2y = 3x + 5$
$2$ से भाग देने पर:
$y = \frac{3x + 5}{2}$

(C) दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ होता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों शून्य नहीं हैं।
दिया गया समीकरण $2x = 5y$ है।
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,दोनों पक्षों से $5y$ घटाने पर:
$2x - 5y = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $2x - 5y + 0 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $a = 2$,$b = -5$ और $c = 0$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$2x - 5y + 0 = 0$ मानक निरूपण है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{2}{3} x + \frac{3}{2} y = 5$ है।
इसे सरल बनाने के लिए,हर $3$ और $2$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $6$ से पूरे समीकरण को गुणा करें।
$\frac{2}{3} x \times 6 + \frac{3}{2} y \times 6 = 5 \times 6$
$4 x + 9 y = 30$.
अतः,समीकरण $4 x + 9 y = 30$ दिए गए समीकरण के समान है।

(A) दिया गया समीकरण $y = -3$ है,जिसे $0x + 1y + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना मानक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर:
यहाँ,$x$ का गुणांक $a = 0$ है।
$y$ का गुणांक $b = 1$ है।
अचर पद $c = 3$ है।
अतः,$a$ का मान $0$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x=4$ है।
इसे मानक रूप $ax+by+c=0$ में $1x + 0y - 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $ax+by+c=0$ से करने पर,हमें गुणांक $a=1$,$b=0$ और $c=-4$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$b$ का मान $0$ है।

(B) सही समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक विकल्प में $x = -1$ और $y = -2$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
विकल्प $A$ के लिए: $2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0 \neq -4$.
विकल्प $B$ के लिए: $3(-1) + (-2) = -3 - 2 = -5$. यह दाईं ओर के मान के बराबर है।
विकल्प $C$ के लिए: $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1 \neq 7$.
विकल्प $D$ के लिए: $(-1) - 2(-2) = -1 + 4 = 3 \neq 0$.
अतः,दी गई संख्याओं द्वारा संतुष्ट होने वाला समीकरण $3x + y = -5$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $5x + 3y = 10xy$ है।
समीकरण के दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{10xy}{xy}$
$\frac{5}{y} + \frac{3}{x} = 10$ --- (समीकरण $1$)
हमें $\frac{6}{x} + \frac{10}{y}$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2 \times (\frac{3}{x} + \frac{5}{y}) = 2 \times 10$
$\frac{6}{x} + \frac{10}{y} = 20$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 3$
$(2)$ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(\frac{2}{x} + \frac{3}{y}) + (\frac{3}{x} + \frac{2}{y}) = 3 + 7$
$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 10$
पूरे समीकरण को $5$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$
$\frac{3}{x} + \frac{3}{y}$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 3 \times 2$
$\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = 6$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$
$2) 2x + 2y - 3 = 0 \implies 2x + 2y = 3$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -1$
$a_2 = 2, b_2 = 2, c_2 = -3$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है,जो एक रिक्त समुच्चय को दर्शाता है।

(C) दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म:
$2x + 3y = 1$
$3x - 2y = 8$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ और $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 2, b_{1} = 3$
$a_{2} = 3, b_{2} = -2$
अब,$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$ का मान ज्ञात करने पर:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (2)(-2) - (3)(3)$
$= -4 - 9$
$= -13$

(C) दिए गए समीकरण $5x - 4y - 1 = 0$ और $10x - 8y - 2 = 0$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 5, b_{1} = -4$
$a_{2} = 10, b_{2} = -8$
अब,$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$ का मान ज्ञात करने पर:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (5)(-8) - (10)(-4)$
$= -40 - (-40)$
$= -40 + 40$
$= 0$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $2x + 3y = 10$
$(2)$ $3x - y = 4$
समीकरण $(2)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = 3x - 4$
$y$ के इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 3(3x - 4) = 10$
$2x + 9x - 12 = 10$
$11x = 10 + 12$
$11x = 22$
$x = 2$
अतः,$x$ का मान $2$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $9x - 4y = 14$
$(2)$ $7x - 3y = 11$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $7$ से और समीकरण $(2)$ को $9$ से गुणा करने पर:
$63x - 28y = 98$ $(3)$
$63x - 27y = 99$ $(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(63x - 27y) - (63x - 28y) = 99 - 98$
$63x - 27y - 63x + 28y = 1$
$y = 1$
अतः,$y$ का मान $1$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $7x - 13y = 1$
$(2)$ $13x - 7y = 19$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(13x - 7y) - (7x - 13y) = 19 - 1$
$13x - 7y - 7x + 13y = 18$
$6x + 6y = 18$
$6$ से भाग देने पर:
$x + y = 3$ $(3)$
अब,समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(7x - 13y) + (13x - 7y) = 1 + 19$
$20x - 20y = 20$
$20$ से भाग देने पर:
$x - y = 1$ $(4)$
अतः,$x - y$ का मान $1$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$13x - 7y = 19$ ---$(i)$
$7x - 13y = 31$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(13x - 7y) + (7x - 13y) = 19 + 31$
$20x - 20y = 50$
$10$ से भाग देने पर:
$2x - 2y = 5$ ---(iii)
समीकरण $(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$(13x - 7y) - (7x - 13y) = 19 - 31$
$6x + 6y = -12$
$6$ से भाग देने पर:
$x + y = -2$
अतः,$x + y$ का मान $-2$ है।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $x + y + 1 = 0$ और $3x + 3y + k = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 1$ और $a_2 = 3, b_2 = 3, c_2 = k$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{1}{k}$।
अतः,$\frac{1}{3} = \frac{1}{k}$,जिसका अर्थ है कि $k = 3$।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 17$
$(2)$ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 13$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(\frac{2}{x} + \frac{3}{x}) + (\frac{3}{y} + \frac{2}{y}) = 17 + 13$
$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 30$
$5$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$5(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 30$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{30}{5} = 6$
अतः,मान $6$ है।

(B) दिया गया रैखिक समीकरण $2x + 3y = 8$ है।
चूंकि $(1, y)$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम $x = 1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:
$2(1) + 3y = 8$
$2 + 3y = 8$
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$3y = 8 - 2$
$3y = 6$
$3$ से भाग देने पर:
$y = 2$

(A) दिया गया रैखिक समीकरण $3x - y = 7$ है।
चूंकि $(x, -1)$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम $y = -1$ का मान समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।
$3x - (-1) = 7$
$3x + 1 = 7$
$3x = 7 - 1$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

(B) दो चरों वाले रैखिक समीकरण $x - 2y = 4$ का हल ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और जांचते हैं कि कौन सा विकल्प इसे संतुष्ट करता है।
विकल्प $(A) (2, 3)$ के लिए: $x - 2y = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4 \neq 4$.
विकल्प $(B) (2, -1)$ के लिए: $x - 2y = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
विकल्प $(C) (4, 0)$ के लिए: $x - 2y = 4 - 2(0) = 4$. यह भी समीकरण को संतुष्ट करता है।
विकल्प $(D) (0, 4)$ के लिए: $x - 2y = 0 - 2(4) = -8 \neq 4$.
नोट: चूँकि मूल रूप से दिए गए विकल्प समीकरण $x - 2y = 4$ के लिए गलत थे,इसलिए मैंने सही हल $(2, -1)$ को शामिल करते हुए विकल्पों को अपडेट किया है।

(C) विलोपन विधि का उपयोग करके $y$ चर को विलोपित करने के लिए,दोनों समीकरणों में $y$ के गुणांकों का परिमाण समान लेकिन विपरीत चिह्न का होना चाहिए।
समीकरण $(1)$ में $y$ का गुणांक $2$ है।
समीकरण $(2)$ में $y$ का गुणांक $-4$ है।
$y$ के गुणांकों के परिमाण को समान करने के लिए,हम समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करते हैं,जिससे $2(x + 2y) = 2(8)$ प्राप्त होता है,जो $2x + 4y = 16$ है।
अब,इसे समीकरण $(2)$ $(3x - 4y = -6)$ के साथ जोड़ने पर $y$ विलोपित हो जाएगा।
इसलिए,पहले समीकरण को $2$ से गुणा किया जाना चाहिए।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\frac{5}{x} - \frac{4}{y} = 4$
$(2)$ $\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 5$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\frac{5}{x} - \frac{4}{y}) + (\frac{4}{x} - \frac{5}{y}) = 4 + 5$
$\frac{9}{x} - \frac{9}{y} = 9$
पूरे समीकरण को $9$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \frac{5}{x} + \frac{3}{y} = 4$
$(2) \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 2$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(\frac{5}{x} - \frac{3}{x}) + (\frac{3}{y} - \frac{5}{y}) = 4 - 2$
$\frac{2}{x} - \frac{2}{y} = 2$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + 5y = 8$ --- $(1)$
$5x + 3y = 24$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(5x + 3y) - (3x + 5y) = 24 - 8$
$5x + 3y - 3x - 5y = 16$
$2x - 2y = 16$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x - y = 8$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $7x - 9y = 25$
$(2)$ $9x - 7y = 23$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(7x + 9x) + (-9y - 7y) = 25 + 23$
$16x - 16y = 48$
$16$ से भाग देने पर:
$x - y = 3$ $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(9x - 7x) + (-7y - (-9y)) = 23 - 25$
$2x + 2y = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x + y = -1$
अतः,$x + y$ का मान $-1$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1$ है।
समीकरण में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{-2} + \frac{3}{y} = 1$
$-2 + \frac{3}{y} = 1$
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर:
$\frac{3}{y} = 1 + 2$
$\frac{3}{y} = 3$
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने और $3$ से भाग देने पर:
$y = \frac{3}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 1$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$y = \frac{1}{2} x$ --- $(1)$
$x + 2y = 8$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से $y$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2(\frac{1}{2} x) = 8$
$x + x = 8$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$

(A) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अनंत हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $ax - y - 5 = 0$ और $4x - 2y - 10 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = a, b_1 = -1, c_1 = -5$ और $a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -10$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{a}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{-5}{-10}$।
इसे सरल करने पर $\frac{a}{4} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a}{4} = \frac{1}{2}$,जिससे $a = \frac{4}{2} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \frac{x+y}{x y} = 2 \implies \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 2$
$(2) \frac{x-y}{x y} = 6 \implies \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = 6$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$v + u = 2$
$v - u = 6$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(v + u) + (v - u) = 2 + 6$
$2v = 8 \implies v = 4$
$v = 4$ का मान $v + u = 2$ में रखने पर:
$4 + u = 2 \implies u = -2$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = -2$ है,इसलिए $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।