Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(C) दिए गए समीकरण $3x - 2y = 2$ और $6x - 4y = 4$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के साथ तुलना करने पर:
पहले समीकरण के लिए: $a_1 = 3, b_1 = -2, c_1 = 2$.
दूसरे समीकरण के लिए: $a_2 = 6, b_2 = -4, c_2 = 4$.
अब,अनुपात ज्ञात करें:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए ये रेखाएँ संपाती रेखाएँ हैं।

(C) दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि उनकी ढाल (slope) समान हो।
दी गई रेखा $x+3y=5$ है,जिसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर $3y = -x + 5$ या $y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{3}$ है।
इस रेखा के समांतर रेखा की ढाल भी $m = -\frac{1}{3}$ होगी और वह $x+3y=k$ के रूप में होगी,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,समीकरण $x+3y=10$ में $x$ और $y$ के गुणांक मूल रेखा के समान हैं,जिसका अर्थ है कि इसकी ढाल भी समान है।
अतः,$x+3y=10$ रेखा $x+3y=5$ के समांतर है।

(A) वह बिंदु जहाँ रेखा $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $y$-निर्देशांक को $0$ रखते हैं।
समीकरण $2x - y = 6$ में $y = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - 0 = 6$
$2x = 6$
$x = 3$
अतः,प्रतिच्छेद बिंदु $(3, 0)$ है।

(C) वह बिंदु जहाँ रेखा $Y$-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $x$-निर्देशांक को $0$ रखते हैं।
समीकरण $x-2y=2$ में $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$0-2y=2$
$-2y=2$
$y=-1$
अतः,रेखा $Y$-अक्ष को $(0,-1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

(D) दो अंकों की एक संख्या उसके दहाई के अंक के मान और इकाई के अंक के मान के योग से बनती है।
यहाँ दहाई के स्थान पर अंक $y$ दिया गया है,इसलिए इसका मान $10 \times y = 10y$ है।
इकाई के स्थान पर अंक $x$ दिया गया है,इसलिए इसका मान $1 \times x = x$ है।
अतः,वह संख्या इन मानों का योग यानी $10y + x$ होगी।

(B) दो अंकों की संख्या को $10 \times (\text{दहाई का अंक}) + (\text{इकाई का अंक})$ के रूप में दर्शाया जाता है।
यहाँ दहाई का अंक $y$ और इकाई का अंक $x$ दिया गया है,इसलिए मूल संख्या $10y + x$ है।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया दहाई का अंक $x$ और नया इकाई का अंक $y$ हो जाता है।
अतः,अंकों को बदलने पर प्राप्त नई संख्या $10x + y$ है।

(C) मान लीजिए कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
इन दोनों संख्याओं का योग $(10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y$ है।
$11$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $11(x + y)$ प्राप्त होता है।
चूंकि योग $11(x + y)$ है,इसलिए यह हमेशा $11$ से विभाज्य है।

(C) मान लीजिए कि दहाई का अंक $x$ $(x \neq 0)$ है और इकाई का अंक $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग और अंकों का अंतर समान है।
अतः,$x + y = x - y$.
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर,हमें $y = -y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $y$ जोड़ने पर,हमें $2y = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$y = 0$.
अतः,इकाई का अंक $0$ होना चाहिए।

(D) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग और अंकों का गुणनफल समान है:
$x + y = xy$
$y$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$x = xy - y$
$x = y(x - 1)$
$y = \frac{x}{x - 1}$
चूँकि $x$ और $y$ को $1$ से $9$ के बीच का पूर्णांक होना चाहिए (दो अंकों की संख्या के लिए $x \neq 0$):
यदि $x = 2$ है,तो $y = \frac{2}{2 - 1} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः संख्या $10(2) + 2 = 22$ है।
जाँच: अंकों का योग $= 2 + 2 = 4$; अंकों का गुणनफल $= 2 \times 2 = 4$। दोनों समान हैं।
इस प्रकार,वह संख्या $22$ है।

(D) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं,जहाँ $x > y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$x + y = 15$ (समीकरण $1$)
$x - y = 1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 1$
$2x = 16$
$x = 8$
$x = 8$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$8 + y = 15$
$y = 15 - 8$
$y = 7$
अतः,दो संख्याएँ $8$ और $7$ हैं। इसलिए छोटी संख्या $7$ है।

(D) दिया गया है कि $x$ बड़ी संख्या है और $y$ छोटी संख्या है।
बड़ी संख्या का दोगुना $2x$ है।
छोटी संख्या का पाँच गुना $5y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बड़ी संख्या का दोगुना,छोटी संख्या के पाँच गुने से $4$ अधिक है।
अतः,समीकरण $2x = 5y + 4$ होगा,जिसे $2x - 5y = 4$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(C) माना कि बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,दो संख्याओं का अंतर $5$ है।
अतः,समीकरण $x - y = 5$ होगा।
छोटी संख्या $y$ को $x$ के पदों में ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को व्यवस्थित करते हैं:
$x - 5 = y$
इस प्रकार,$y = x - 5$।

(D) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,दो संख्याओं का योग $8$ है।
इसलिए,$x + y = 8$ है।
छोटी संख्या $y$ के पदों में बड़ी संख्या $x$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$x = 8 - y$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए कि माँ की वर्तमान आयु $M$ है और दो बेटियों की वर्तमान आयु $D_1$ और $D_2$ है।
चार वर्ष पहले,उनकी आयु का योग $(M-4) + (D_1-4) + (D_2-4) = x$ था।
इसे सरल करने पर $M + D_1 + D_2 - 12 = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि उनकी वर्तमान आयु का योग $M + D_1 + D_2 = x + 12$ है।
हमें दो वर्ष बाद उनकी आयु का योग ज्ञात करना है,जो $(M+2) + (D_1+2) + (D_2+2)$ होगा।
यह व्यंजक $(M + D_1 + D_2) + 6$ के बराबर है।
वर्तमान योग $(x + 12)$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x + 12) + 6 = x + 18$ प्राप्त होता है।
अतः,दो वर्ष बाद उनकी आयु का योग $x + 18$ वर्ष होगा।

(C) माना रमेश की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
महेश,रमेश से $5$ वर्ष बड़ा है,इसलिए महेश की आयु $(x + 5)$ वर्ष है।
महेश,सुरेश से $3$ वर्ष छोटा है,जिसका अर्थ है कि सुरेश,महेश से $3$ वर्ष बड़ा है।
अतः,सुरेश की आयु = (महेश की आयु) $+ 3$।
सुरेश की आयु = $(x + 5) + 3 = x + 8$ वर्ष।
इस प्रकार,सुरेश की वर्तमान आयु $(x + 8)$ वर्ष है।

(C) दो अंकों की संख्या को $10 \times (\text{दहाई के स्थान का अंक}) + (\text{इकाई के स्थान का अंक})$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यहाँ दिया गया है कि दहाई के स्थान का अंक $2x$ है और इकाई के स्थान का अंक $3x$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
संख्या $= 10(2x) + 3x$
संख्या $= 20x + 3x$
संख्या $= 23x$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) इकाई के स्थान पर अंक $(x+1)$ है।
दहाई के स्थान पर अंक $(x+2)$ है।
दो अंकों की संख्या को $10 \times (\text{दहाई के स्थान का अंक}) + (\text{इकाई के स्थान का अंक})$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,संख्या $= 10(x+2) + (x+1)$.
$= 10x + 20 + x + 1$.
$= 11x + 21$.

(C) मान लीजिए कि पिता और दो पुत्रों की वर्तमान आयु क्रमशः $F$,$S_1$ और $S_2$ है।
पाँच वर्ष पहले,उनकी आयु का योग $(F-5) + (S_1-5) + (S_2-5) = x$ था।
इसे सरल करने पर $F + S_1 + S_2 - 15 = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि उनकी वर्तमान आयु का योग $F + S_1 + S_2 = x + 15$ है।
हमें अब से पाँच वर्ष बाद उनकी आयु का योग ज्ञात करना है।
पाँच वर्ष बाद का योग $(F+5) + (S_1+5) + (S_2+5) = (F + S_1 + S_2) + 15$ होगा।
वर्तमान योग $(x + 15)$ का मान इस व्यंजक में रखने पर:
योग $= (x + 15) + 15 = x + 30$.
अतः,पाँच वर्ष बाद उनकी आयु का योग $x + 30$ वर्ष होगा।

(A) माना दहाई के स्थान का अंक $x$ है और इकाई के स्थान का अंक $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग $6$ है,इसलिए $x + y = 6$ है।
साथ ही,इकाई के स्थान का अंक दहाई के स्थान के अंक का दोगुना है,इसलिए $y = 2x$ है।
पहले समीकरण में $y = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2x = 6$ प्राप्त होता है।
$3x = 6$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = 2(2) = 4$ है।
अतः,संख्या $10x + y$ है,जो $10(2) + 4 = 24$ है।

(A) दो चरों $x$ और $y$ में रैखिक समीकरणों के एक युग्म को निर्देशांक युग्म $(x, y)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
दिए गए समीकरणों $x = 4$ और $y = 5$ के अनुसार,$x$ का मान $4$ और $y$ का मान $5$ निश्चित है।
इसलिए,वह अद्वितीय हल बिंदु जहाँ ये दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,$(4, 5)$ है।
अतः,हल समुच्चय ${(4, 5)}$ है।

(D) दो अंकों की संख्या को $10 \times (\text{दहाई का अंक}) + (\text{इकाई का अंक})$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यहाँ दिया गया है कि इकाई का अंक $x$ है और दहाई का अंक $2x$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
संख्या $= 10(2x) + x$
संख्या $= 20x + x$
संख्या $= 21x$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) दिए गए समीकरण $x+y-1=0$ और $2x+2y-2=0$ हैं।
$a_1x+b_1y+c_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a_1=1, b_1=1, c_1=-1$ और $a_2=2, b_2=2, c_2=-2$ प्राप्त होता है।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं,जिसका अर्थ है कि हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + 3y - 3 = 0$ ... $(1)$
$5x + 5y - 5 = 0$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ को $3$ से विभाजित करने पर: $x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
समीकरण $(2)$ को $5$ से विभाजित करने पर: $x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा $(x + y = 1)$ को दर्शाते हैं,इसलिए ये संपाती रेखाएँ हैं।
संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं।
अतः,हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(D) माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है।
दिए गए समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$5u - 3v = 9$ ---$(1)$
$3u - 5v = 7$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(5u - 3v) - (3u - 5v) = 9 - 7$
$2u + 2v = 2$
$u + v = 1$ ---$(3)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(5u - 3v) + (3u - 5v) = 9 + 7$
$8u - 8v = 16$
$u - v = 2$ ---$(4)$
चूंकि $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है,इसलिए $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ का मान $u - v = 2$ है।

(A) मान लीजिए कि पाँच व्यक्तियों की वर्तमान आयु $x_1, x_2, x_3, x_4,$ और $x_5$ है।
पाँच वर्ष पहले,उनकी आयु का योग $(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + (x_3 - 5) + (x_4 - 5) + (x_5 - 5) = 50$ था।
इसे सरल करने पर $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) - 25 = 50$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि उनकी वर्तमान आयु का योग $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 75$ है।
पाँच वर्ष बाद,उनकी आयु का योग $(x_1 + 5) + (x_2 + 5) + (x_3 + 5) + (x_4 + 5) + (x_5 + 5)$ होगा।
यह $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + 25$ के बराबर है।
वर्तमान योग का मान रखने पर,हमें $75 + 25 = 100$ वर्ष प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि चार व्यक्तियों की वर्तमान आयु $x_1, x_2, x_3,$ और $x_4$ है।
पाँच वर्ष पहले,उनकी आयु $(x_1 - 5), (x_2 - 5), (x_3 - 5),$ और $(x_4 - 5)$ थी।
प्रश्न के अनुसार,पाँच वर्ष पहले उनकी आयु का योग $60$ वर्ष था:
$(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + (x_3 - 5) + (x_4 - 5) = 60$
$(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) - 20 = 60$
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 60 + 20$
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 80$
अतः,उनकी वर्तमान आयु का योग $80$ वर्ष है।

(B) दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ होता है।
दिया गया समीकरण: $5y = -2x + 3$ है।
इसे मानक रूप में बदलने के लिए,हम सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाते हैं।
दोनों पक्षों में $2x$ जोड़ने पर: $2x + 5y = 3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर: $2x + 5y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें मानक रूप $2x + 5y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दो अंकों की एक संख्या को $10 \times (\text{दहाई का अंक}) + (\text{इकाई का अंक})$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया है:
इकाई का अंक $= 2x - 1$
दहाई का अंक $= 2x + 1$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
संख्या $= 10(2x + 1) + (2x - 1)$
$= 20x + 10 + 2x - 1$
$= 22x + 9$
अतः, वह संख्या $22x + 9$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y + 5 = 0$ --- $(1)$
$4x + 6y + 10 = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 3y + 5 = 0$
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
संपाती रेखाओं के युग्म के लिए,अनंत हल होते हैं।
अतः,हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(C) समीकरण $x=0$ $y$-अक्ष को दर्शाता है।
समीकरण $y=0$ $x$-अक्ष को दर्शाता है।
$x$-अक्ष और $y$-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु (origin) होता है।
मूल बिंदु के निर्देशांक $(0,0)$ होते हैं।
अतः,रेखाओं $x=0$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ है।

(D) मान लीजिए कि पाँच मित्रों की वर्तमान आयु $a_1, a_2, a_3, a_4,$ और $a_5$ है।
प्रश्न के अनुसार,$y$ वर्ष पहले उनकी आयु का योग $x$ था।
अतः,$(a_1 - y) + (a_2 - y) + (a_3 - y) + (a_4 - y) + (a_5 - y) = x$ है।
इसे सरल करने पर,$(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) - 5y = x$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी वर्तमान आयु का योग $(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) = x + 5y$ है।

(A) मान लीजिए कि सचिन और सहवाग की वर्तमान आयु क्रमशः $S$ और $W$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ वर्ष बाद उनकी आयु का योग $y$ वर्ष होगा।
अतः,$(S + x) + (W + x) = y$.
$S + W + 2x = y$.
इसलिए,उनकी वर्तमान आयु का योग $S + W = y - 2x$ है।
हमें $3$ वर्ष पहले उनकी आयु का योग ज्ञात करना है।
$3$ वर्ष पहले आयु का योग $= (S - 3) + (W - 3) = (S + W) - 6$.
$(S + W)$ का मान रखने पर,हमें $(y - 2x) - 6 = y - 2x - 6$ वर्ष प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि एक मेज की लागत $x$ है और एक कुर्सी की लागत $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,हमारे पास दो रैखिक समीकरण हैं:
$3x + 2y = 3400$ --- (समीकरण $1$)
$2x + 3y = 3100$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(3x + 2y) + (2x + 3y) = 3400 + 3100$
$5x + 5y = 6500$
पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$x + y = 1300$
अतः,एक मेज और एक कुर्सी की कुल लागत ₹ $1300$ है।

(A) $1$. $x$ वर्ष पहले महेश की आयु $y$ वर्ष थी।
$2$. अतः,उसकी वर्तमान आयु $(y + x)$ वर्ष है।
$3$. $z$ वर्ष बाद,उसकी आयु उसकी वर्तमान आयु में $z$ जोड़ने पर प्राप्त होगी।
$4$. $z$ वर्ष बाद की आयु = $(y + x) + z = y + x + z$ वर्ष।

(B) दो अंकों की एक संख्या जिसमें दहाई का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है,उसे $10x + y$ के रूप में दर्शाया जाता है।
जब इन दो अंकों के बीच में शून्य रखा जाता है,तो नई संख्या तीन अंकों की हो जाती है।
अंक $x$ सैकड़े के स्थान पर चला जाता है,अंक $0$ दहाई के स्थान पर आ जाता है,और अंक $y$ इकाई के स्थान पर ही रहता है।
अतः,नई संख्या का मान $100(x) + 10(0) + y = 100x + y$ होगा।

(C) दो अंकों की एक संख्या जिसमें दहाई के स्थान पर अंक $y$ और इकाई के स्थान पर अंक $x$ है,उसे $10y + x$ के रूप में दर्शाया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,यह संख्या अपने अंकों के योग की तीन गुनी है।
अंकों का योग $(x + y)$ है।
अतः,समीकरण $10y + x = 3(x + y)$ होगा।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अनंत हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $3x + ky - 9 = 0$ और $x + 2y - 3 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = k, c_1 = -9$ और $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = -3$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{3}{1} = \frac{k}{2} = \frac{-9}{-3}$।
इसे सरल करने पर $3 = \frac{k}{2} = 3$ प्राप्त होता है।
$\frac{k}{2} = 3$ से,$k = 3 \times 2 = 6$ प्राप्त होता है।

(C) $5 \%$ की दर पर $x$ राशि पर ब्याज $\frac{5}{100} \times x = 0.05x$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,$7 \%$ की दर पर $y$ राशि पर ब्याज $\frac{7}{100} \times y = 0.07y$ द्वारा दिया जाता है।
कुल वार्षिक ब्याज ₹ $310$ है।
अतः,समीकरण $0.05x + 0.07y = 310$ है।
दशमलव हटाने के लिए पूरे समीकरण को $100$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5x + 7y = 31000$.

(A) माना इना,मीना और डिका की वर्तमान आयु क्रमशः $I, M$ और $D$ है।
औसत आयु का सूत्र $\frac{I + M + D}{3} = x$ है।
अतः,उनकी वर्तमान आयु का योग $I + M + D = 3x$ है।
$y$ वर्ष बाद,प्रत्येक व्यक्ति की आयु में $y$ वर्ष की वृद्धि होगी।
अतः,उनकी नई आयु का योग $(I + y) + (M + y) + (D + y) = (I + M + D) + 3y$ होगा।
वर्तमान आयु का योग रखने पर: $3x + 3y$।
अतः,नई औसत आयु $\frac{3x + 3y}{3} = x + y$ होगी।

(A) दिए गए समीकरण $x = -2$ और $y = 3$ हैं।
ये समीकरण कार्तीय तल में दो रेखाओं को दर्शाते हैं।
रेखा $x = -2$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जो $x$-अक्ष पर बिंदु $(-2, 0)$ से होकर गुजरती है।
रेखा $y = 3$ एक क्षैतिज रेखा है जो $y$-अक्ष पर बिंदु $(0, 3)$ से होकर गुजरती है।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ही इस निकाय का अद्वितीय हल है।
मान रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 3)$ प्राप्त होता है।
चूंकि हल समुच्चय को निर्देशांक युग्म वाले समुच्चय के रूप में दर्शाया जाता है,इसलिए सही निरूपण $\{(-2, 3)\}$ है।

(C) यह जांचने के लिए कि $(-1, 3)$ किसी समीकरण का हल है या नहीं,हम प्रत्येक समीकरण में $x = -1$ और $y = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$A) x - y + 4 = (-1) - (3) + 4 = -4 + 4 = 0$। यह एक हल है।
$B) 3x + y = 3(-1) + 3 = -3 + 3 = 0$। यह एक हल है।
$C) x + 3y + 8 = (-1) + 3(3) + 8 = -1 + 9 + 8 = 16 \neq 0$। यह हल नहीं है।
$D) x + 2y - 5 = (-1) + 2(3) - 5 = -1 + 6 - 5 = 0$। यह एक हल है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) यह जांचने के लिए कि क्या कोई बिंदु $(x, y)$ समीकरण $2x - y = 1$ के आलेख पर स्थित है,हम बिंदु के $x$ और $y$ निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
यदि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,तो बिंदु आलेख पर स्थित है।
$A) (0, 0): 2(0) - 0 = 0 \neq 1$. अतः,आलेख $(0, 0)$ से होकर नहीं गुजरता है।
$B) (1, 1): 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$. आलेख $(1, 1)$ से होकर गुजरता है।
$C) (3, 5): 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$. आलेख $(3, 5)$ से होकर गुजरता है।
$D) (2, 3): 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$. आलेख $(2, 3)$ से होकर गुजरता है।
इसलिए,आलेख $(0, 0)$ बिंदु से होकर नहीं गुजरता है।

(B) दिया गया दो चरों वाला रैखिक समीकरण: $2x + 3y = 8$ है।
$y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करने के लिए,हम $y$ वाले पद को समीकरण के एक तरफ अलग करते हैं।
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर: $3y = 8 - 2x$ प्राप्त होता है।
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को $3$ से भाग देने पर: $y = \frac{8 - 2x}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही व्यंजक $\frac{8 - 2x}{3}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $4x - 12y = 20$ है।
पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4x}{4} - \frac{12y}{4} = \frac{20}{4}$
$x - 3y = 5$ प्राप्त होता है।
हमें $5x - 15y$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक से $5$ कॉमन लेने पर:
$5x - 15y = 5(x - 3y)$।
अब $(x - 3y) = 5$ का मान रखने पर:
$5(5) = 25$।
अतः,$5x - 15y = 25$।

(C) $Y-\text{अक्ष}$ के लंबवत रेखा एक क्षैतिज रेखा होती है।
किसी भी क्षैतिज रेखा का सामान्य रूप $y = k$ होता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:
$A) 3x + 2y = 5$ एक तिरछी रेखा को दर्शाता है।
$B) x = 3$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा ($X-\text{अक्ष}$ के लंबवत) को दर्शाता है।
$C) 2y - 3 = 0$ को $2y = 3$ या $y = 1.5$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक क्षैतिज रेखा है,जो $Y-\text{अक्ष}$ के लंबवत है।
$D) x - y = 0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक तिरछी रेखा को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) $X$-अक्ष के लंबवत रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है,जिसे $x = k$ के रूप के समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिए गए विकल्पों में:
$A) x - y = 0 \implies y = x$ (मूल बिंदु से गुजरने वाली $1$ ढाल वाली रेखा)
$B) x + y = 0 \implies y = -x$ (मूल बिंदु से गुजरने वाली $-1$ ढाल वाली रेखा)
$C) 3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$ (यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जो $X$-अक्ष के लंबवत है)
$D) 2y - 3 = 0 \implies 2y = 3 \implies y = 3/2$ (यह एक क्षैतिज रेखा है,जो $X$-अक्ष के समानांतर है)
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक रेखा $Y$-अक्ष के समांतर होती है यदि उसका समीकरण $x = k$ के रूप में हो,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$) $3y - 1 = 0 \implies y = 1/3$ (यह रेखा $X$-अक्ष के समांतर है)।
$B$) $2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$ (यह रेखा $Y$-अक्ष के समांतर है)।
$C$) $2x + 3y = 1$ (यह एक तिरछी रेखा है जो दोनों अक्षों को काटती है)।
$D$) $2x - 3y = 1$ (यह एक तिरछी रेखा है जो दोनों अक्षों को काटती है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $X$-अक्ष के समांतर रेखा का रूप $y = k$ होता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इसका कारण यह है कि $x$ के किसी भी मान के लिए,$y$-निर्देशांक समान रहता है,जिसके परिणामस्वरूप एक क्षैतिज रेखा प्राप्त होती है।
दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करने पर:
$A$) $x=y$ मूल बिंदु से गुजरने वाली $1$ ढाल वाली रेखा को दर्शाता है।
$B$) $2x-y=0$ या $y=2x$ मूल बिंदु से गुजरने वाली $2$ ढाल वाली रेखा को दर्शाता है।
$C$) $x-2y=0$ या $y=x/2$ मूल बिंदु से गुजरने वाली $0.5$ ढाल वाली रेखा को दर्शाता है।
$D$) $2y=3$ को $y = 1.5$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $x$ के किसी भी मान के लिए $y$ का एक स्थिर मान है।
इसलिए,$2y=3$ का ग्राफ $X$-अक्ष के समांतर एक क्षैतिज रेखा है।

(A) दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ मूलबिंदु $(0, 0)$ से होकर तभी गुजरता है जब अचर पद $c$ का मान $0$ हो।
दिए गए विकल्पों में:
$A) 4x = 5y \implies 4x - 5y = 0$. यहाँ,$c = 0$ है,इसलिए यह मूलबिंदु से होकर गुजरता है।
$B) 4x + 1 = 5y \implies 4x - 5y + 1 = 0$. यहाँ,$c = 1 \neq 0$ है।
$C) 5x - 1 = 4y \implies 5x - 4y - 1 = 0$. यहाँ,$c = -1 \neq 0$ है।
$D) 4x + 5y = 1 \implies 4x + 5y - 1 = 0$. यहाँ,$c = -1 \neq 0$ है।
अतः,समीकरण $4x = 5y$ मूलबिंदु से होकर गुजरता है।

(D) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
दिया गया है कि दहाई का अंक $x = 4$ है।
अंकों का गुणनफल $x \times y = 4y$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का गुणनफल दहाई के अंक का चार गुना है:
$x \times y = 4 \times x$
समीकरण में $x = 4$ रखने पर:
$4 \times y = 4 \times 4$
$4y = 16$
$y = 4$
अतः,इकाई का अंक $4$ है।
संख्या $10x + y = 10(4) + 4 = 44$ है।