Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(C) આપેલા સમીકરણો:
$(1) \quad 4x - 3y = 8$
$(2) \quad 6x - y = \frac{29}{3}$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$18x - 3y = 29 \quad (3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(18x - 3y) - (4x - 3y) = 29 - 8$
$14x = 21$
$x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$6(\frac{3}{2}) - y = \frac{29}{3}$
$9 - y = \frac{29}{3}$
$y = 9 - \frac{29}{3} = \frac{27 - 29}{3} = -\frac{2}{3}$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (\frac{3}{2}, -\frac{2}{3})$ છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$(1) \ 5x - 3y = 1$
$(2) \ 2x + 5y = 19$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$25x - 15y = 5 \quad (3)$
$6x + 15y = 57 \quad (4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(25x + 6x) + (-15y + 15y) = 5 + 57$
$31x = 62$
$x = 2$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(2) - 3y = 1$
$10 - 3y = 1$
$-3y = -9$
$y = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, 3)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $x + 2y = \frac{3}{2}$
$(2)$ $2x + y = \frac{3}{2}$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $1$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$x + 2y = \frac{3}{2}$
$4x + 2y = 3$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(4x - x) + (2y - 2y) = 3 - \frac{3}{2}$
$3x = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2} + 2y = \frac{3}{2}$
$2y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y = \frac{1}{2}$
આમ,ઉકેલ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \ 2x + y = 35$
$(2) \ 3x + 4y = 65$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$y = 35 - 2x$
$y$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3x + 4(35 - 2x) = 65$
$3x + 140 - 8x = 65$
$-5x = 65 - 140$
$-5x = -75$
$x = 15$
હવે,$x = 15$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 35 - 2(15)$
$y = 35 - 30$
$y = 5$
છેલ્લે,ગુણોત્તર $\frac{x}{y}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{y} = \frac{15}{5} = 3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $25$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $x$ છે અને $50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $100$ છે,તેથી $x + y = 100$ (સમીકરણ $1$).
$25$ પૈસાના $x$ સિક્કાઓનું મૂલ્ય $0.25x$ રૂપિયા છે અને $50$ પૈસાના $y$ સિક્કાઓનું મૂલ્ય $0.50y$ રૂપિયા છે.
કુલ રકમ રૂ. $42.50$ છે,તેથી $0.25x + 0.50y = 42.50$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $0.25$ વડે ગુણતા: $0.25x + 0.25y = 25$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $3$ બાદ કરતા: $(0.25x + 0.50y) - (0.25x + 0.25y) = 42.50 - 25$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $0.25y = 17.50$ મળે,તેથી $y = 17.50 / 0.25 = 70$.
$y = 70$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x + 70 = 100$,તેથી $x = 30$.
આમ,થેલીમાં $25$ પૈસાના $30$ સિક્કા અને $50$ પૈસાના $70$ સિક્કા છે.

(D) ધારો કે એકમનો અંક $x$ છે અને દશકનો અંક $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દશકનો અંક એકમના અંક કરતા બમણો છે,તેથી $y = 2x$.
મૂળ સંખ્યાને $10y + x$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$y = 2x$ મૂકતા,મૂળ સંખ્યા $10(2x) + x = 20x + x = 21x$ થાય છે.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10x + y$ બને છે.
$y = 2x$ મૂકતા,નવી સંખ્યા $10x + 2x = 12x$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતા $27$ ઓછી છે,તેથી $21x - 12x = 27$.
$9x = 27$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.
કારણ કે $y = 2x$,તેથી $y = 2(3) = 6$.
આમ,મૂળ સંખ્યા $10(6) + 3 = 63$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $9$ છે,તેથી $x + y = 9$ (સમીકરણ $1$).
પ્રથમ સંખ્યાના પાંચ ગણા અને બીજી સંખ્યાના ત્રણ ગણાનો તફાવત $5$ છે,તેથી $5x - 3y = 5$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,આપણને $y = 9 - x$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $5x - 3(9 - x) = 5$.
$5x - 27 + 3x = 5$.
$8x = 32$.
$x = 4$.
હવે,$x = 4$ ને $y = 9 - x$ માં મૂકતા: $y = 9 - 4 = 5$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $4$ અને $5$ છે.

(B) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. મૂળ સંખ્યા $10x + y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો $x + y = 13$ છે (સમીકરણ $1$).
અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી નવી સંખ્યા $10y + x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(10y + x) = (10x + y) + 9$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$9y - 9x = 9$,જે આપણને $y - x = 1$ આપે છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (y - x) = 13 + 1$,તેથી $2y = 14$,જેનો અર્થ છે કે $y = 7$.
$y = 7$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x + 7 = 13$,તેથી $x = 6$.
આમ,મૂળ સંખ્યા $10x + y = 10(6) + 7 = 67$ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x \,cm$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, લંબાઈ તેની પહોળાઈ કરતાં $1.5$ ગણી છે, તેથી લંબાઈ $= 1.5x \,cm$ થાય.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$ છે.
આપેલ છે કે $P = 100 \,cm$, તેથી $100 = 2 \times (1.5x + x)$.
$100 = 2 \times (2.5x)$.
$100 = 5x$.
$x = 20 \,cm$.
આમ, પહોળાઈ $20 \,cm$ છે અને લંબાઈ $1.5 \times 20 = 30 \,cm$ છે.

(A) ધારો કે રાજન અને જયની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $3x$ અને $2x$ છે.
પાંચ વર્ષ પછી,તેમની ઉંમર $(3x + 5)$ અને $(2x + 5)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,પાંચ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $4:3$ છે,તેથી:
$\frac{3x + 5}{2x + 5} = \frac{4}{3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(3x + 5) = 4(2x + 5)$
$9x + 15 = 8x + 20$
$9x - 8x = 20 - 15$
$x = 5$
તેથી,રાજનની હાલની ઉંમર $3 \times 5 = 15$ વર્ષ અને જયની હાલની ઉંમર $2 \times 5 = 10$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે એક પેનની કિંમત રૂ. $x$ છે અને એક પેન્સિલની કિંમત રૂ. $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,આપણી પાસે નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો છે:
$3x + 4y = 23$ --- $(1)$
$2x + 3y = 16$ --- $(2)$
આને ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$6x + 8y = 46$ --- $(3)$
$6x + 9y = 48$ --- $(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(6x + 9y) - (6x + 8y) = 48 - 46$
$y = 2$
$y = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x + 4(2) = 23$
$3x + 8 = 23$
$3x = 15$
$x = 5$
આમ,એક પેનની કિંમત રૂ. $5$ અને એક પેન્સિલની કિંમત રૂ. $2$ છે.

(A) ધારો કે $25$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $x$ છે અને $50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $20$ છે,તેથી $x + y = 20$ (સમીકરણ $1$).
સિક્કાઓની કુલ કિંમત $7$ રૂપિયા છે,જે $700$ પૈસા થાય છે. તેથી,$25x + 50y = 700$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને $25$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 2y = 28$ મળે છે (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(x + 2y) - (x + y) = 28 - 20$,જે આપણને $y = 8$ આપે છે.
$y = 8$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x + 8 = 20$,જે આપણને $x = 12$ આપે છે.
આમ,$25$ પૈસાના $12$ સિક્કા અને $50$ પૈસાના $8$ સિક્કા છે.

(N/A) આપેલા સમીકરણો:
$1) 0.3 x + 0.4 y = 1$
$2) 6 x + 8 y = 20$
દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $10$ વડે ગુણતા: $3 x + 4 y = 10$ (સમીકરણ $3$).
હવે,સમીકરણ $(3)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $6 x + 8 y = 20$ (સમીકરણ $4$).
સમીકરણ $(2)$ અને સમીકરણ $(4)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે બંને સમાન છે: $6 x + 8 y = 20$.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,તેના અનંત ઉકેલો મળે છે.
ઉકેલ ગણ $\{(x, y) \mid 3 x + 4 y = 10, x, y \in R \}$ છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$2x + 5y = 7$ --- $(i)$
$4x + 10y = 12$ --- $(ii)$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4x + 10y = 14$ --- $(iii)$
હવે,સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(4x + 10y) - (4x + 10y) = 14 - 12$
$0 = 2$
અહીં $0 = 2$ એ અસત્ય વિધાન છે,તેથી આપેલા સુરેખ સમીકરણોની જોડીને કોઈ ઉકેલ નથી. આમ,આ સમીકરણ સંહતિ સુસંગત નથી.

(A) ધારો કે $12 \%$ ના દરે રોકવામાં આવેલી રકમ રૂ. $x$ છે અને $10 \%$ ના દરે રોકવામાં આવેલી રકમ રૂ. $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ વ્યાજ રૂ. $130$ છે:
$0.12x + 0.10y = 130$ --- (સમીકરણ $1$)
જો રકમોની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો વ્યાજમાં રૂ. $4$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું વ્યાજ રૂ. $134$ થાય છે:
$0.10x + 0.12y = 134$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$0.22x + 0.22y = 264 \implies x + y = 1200$ --- (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$0.02x - 0.02y = -4 \implies x - y = -200$ --- (સમીકરણ $4$)
સમીકરણ $3$ અને સમીકરણ $4$ નો સરવાળો કરતા:
$2x = 1000 \implies x = 500$
સમીકરણ $3$ માં $x = 500$ મૂકતા:
$500 + y = 1200 \implies y = 700$
તેથી,રાજવંશે $12 \%$ ના દરે રૂ. $500$ અને $10 \%$ ના દરે રૂ. $700$ નું રોકાણ કર્યું હતું.

(B) આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 1$
$a_2 = 2, b_2 = -3, c_2 = -12$
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(2)(-12) - (-3)(1)} = \frac{y}{(1)(2) - (-12)(1)} = \frac{1}{(1)(-3) - (2)(2)}$
$\frac{x}{-24 + 3} = \frac{y}{2 + 12} = \frac{1}{-3 - 4}$
$\frac{x}{-21} = \frac{y}{14} = \frac{1}{-7}$
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{x}{-21} = \frac{1}{-7} \implies x = \frac{-21}{-7} = 3$
$y$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{y}{14} = \frac{1}{-7} \implies y = \frac{14}{-7} = -2$
આમ,ઉકેલ $x = 3, y = -2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માં ફેરવતા:
$2x + y - 35 = 0$ ........ $(1)$
$3x + 4y - 65 = 0$ ........ $(2)$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -35$
$a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -65$
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(1)(-65) - (4)(-35)} = \frac{y}{(-35)(3) - (-65)(2)} = \frac{1}{(2)(4) - (3)(1)}$
$\frac{x}{-65 + 140} = \frac{y}{-105 + 130} = \frac{1}{8 - 3}$
$\frac{x}{75} = \frac{y}{25} = \frac{1}{5}$
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{x}{75} = \frac{1}{5} \implies x = \frac{75}{5} = 15$
$y$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{y}{25} = \frac{1}{5} \implies y = \frac{25}{5} = 5$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (15, 5)$ છે.

(D) સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ માં ફેરવતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ પરથી,$bx + ay = 2ab$,તેથી $bx + ay - 2ab = 0$ ... $(1)$
$ax - by = a^{2} - b^{2}$ પરથી,$ax - by - (a^{2} - b^{2}) = 0$ ... $(2)$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = b, b_{1} = a, c_{1} = -2ab$
$a_{2} = a, b_{2} = -b, c_{2} = -(a^{2} - b^{2}) = b^{2} - a^{2}$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}} = \frac{y}{c_{1}a_{2} - c_{2}a_{1}} = \frac{1}{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}}$
$\frac{x}{a(b^{2} - a^{2}) - (-b)(-2ab)} = \frac{y}{(-2ab)(a) - (b^{2} - a^{2})(b)} = \frac{1}{b(-b) - a(a)}$
$\frac{x}{ab^{2} - a^{3} - 2ab^{2}} = \frac{y}{-2a^{2}b - b^{3} + a^{2}b} = \frac{1}{-b^{2} - a^{2}}$
$\frac{x}{-a^{3} - ab^{2}} = \frac{y}{-a^{2}b - b^{3}} = \frac{1}{-(a^{2} + b^{2})}$
$\frac{x}{-a(a^{2} + b^{2})} = \frac{y}{-b(a^{2} + b^{2})} = \frac{1}{-(a^{2} + b^{2})}$
અચળ પદ સાથે સરખાવતા:
$x = \frac{-a(a^{2} + b^{2})}{-(a^{2} + b^{2})} = a$
$y = \frac{-b(a^{2} + b^{2})}{-(a^{2} + b^{2})} = b$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (a, b)$ મળે છે.

(A) આપેલા સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -(a + b) = -a - b$
$a_2 = a, b_2 = -b, c_2 = -(a^2 - b^2) = -a^2 + b^2$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(1)(-a^2 + b^2) - (-b)(-a - b)} = \frac{y}{(-a - b)(a) - (-a^2 + b^2)(1)} = \frac{1}{(1)(-b) - (a)(1)}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{-a^2 + b^2 - (ab + b^2)} = \frac{y}{-a^2 - ab + a^2 - b^2} = \frac{1}{-b - a}$
$\frac{x}{-a^2 - ab} = \frac{y}{-b^2 - ab} = \frac{1}{-(a + b)}$
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{-a^2 - ab}{-(a + b)} = \frac{-a(a + b)}{-(a + b)} = a$
$y$ માટે ઉકેલતા:
$y = \frac{-b^2 - ab}{-(a + b)} = \frac{-b(b + a)}{-(a + b)} = b$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (a, b)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$ax + by + (-a + b) = 0$
$bx - ay + (-a - b) = 0$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = a, b_1 = b, c_1 = -a + b$
$a_2 = b, b_2 = -a, c_2 = -a - b$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{b(-a - b) - (-a)(-a + b)} = \frac{y}{(-a + b)(b) - (-a - b)(a)} = \frac{1}{a(-a) - b(b)}$
$\frac{x}{-ab - b^2 - (a^2 - ab)} = \frac{y}{-ab + b^2 - (-a^2 - ab)} = \frac{1}{-a^2 - b^2}$
$\frac{x}{-ab - b^2 - a^2 + ab} = \frac{y}{-ab + b^2 + a^2 + ab} = \frac{1}{-a^2 - b^2}$
$\frac{x}{-(a^2 + b^2)} = \frac{y}{a^2 + b^2} = \frac{1}{-(a^2 + b^2)}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{-(a^2 + b^2)}{-(a^2 + b^2)} = 1$
$y = \frac{a^2 + b^2}{-(a^2 + b^2)} = -1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, -1)$ છે.

(C) ધારો કે બે અંકની મૂળ સંખ્યામાં દશકનો અંક $x$ અને એકમનો અંક $y$ છે.
તેથી,મૂળ સંખ્યા $= 10x + y$ થાય.
અંકોનો સરવાળો $x + y = 9$ છે ......... $(1)$
અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી નવી સંખ્યા $= 10y + x$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $45$ વધારે છે:
$10y + x = (10x + y) + 45$
$10y + x - 10x - y = 45$
$-9x + 9y = 45$
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $-x + y = 5$ મળે ......... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (-x + y) = 9 + 5$
$2y = 14$
$y = 7$
$y = 7$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 7 = 9$
$x = 2$
તેથી,મૂળ સંખ્યા $= 10x + y = 10(2) + 7 = 27$ થાય.

(D) સૌ પ્રથમ,સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માં લખો:
$1$) $x - 3y + 5 = 0$
$2$) $3x - 7y + 13 = 0$
અહીં,$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = 5$ અને $a_2 = 3, b_2 = -7, c_2 = 13$ છે.
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(-3)(13) - (-7)(5)} = \frac{y}{(5)(3) - (13)(1)} = \frac{1}{(1)(-7) - (3)(-3)}$
$\frac{x}{-39 + 35} = \frac{y}{15 - 13} = \frac{1}{-7 + 9}$
$\frac{x}{-4} = \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{-4}{2} = -2$
$y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{2}{2} = 1$
આમ,ઉકેલ $(-2, 1)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$3x - 4y - 17 = 0$ --- $(1)$
$4x - 5y - 21 = 0$ --- $(2)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{(-4)(-21) - (-5)(-17)} = \frac{y}{(-17)(4) - (-21)(3)} = \frac{1}{(3)(-5) - (4)(-4)}$
$\frac{x}{84 - 85} = \frac{y}{-68 + 63} = \frac{1}{-15 + 16}$
$\frac{x}{-1} = \frac{y}{-5} = \frac{1}{1}$
તેથી,$x = -1$ અને $y = -5$ મળે છે.
ઉકેલ $(-1, -5)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$3x + y - 7 = 0$ --- $(i)$
$2x + 3y - 14 = 0$ --- $(ii)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા,સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -7$ અને $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -14$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(1)(-14) - (3)(-7)} = \frac{y}{(-7)(2) - (-14)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (2)(1)}$
$\frac{x}{-14 + 21} = \frac{y}{-14 + 42} = \frac{1}{9 - 2}$
$\frac{x}{7} = \frac{y}{28} = \frac{1}{7}$
$x$ માટે: $\frac{x}{7} = \frac{1}{7} \implies x = 1$
$y$ માટે: $\frac{y}{28} = \frac{1}{7} \implies y = 4$
આમ,ઉકેલ $(1, 4)$ છે.

(C) આપેલા સમીકરણો:
$3x + y - 5 = 0$ --- $(1)$
$5x + 3y - 3 = 0$ --- $(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -5$
$a_2 = 5, b_2 = 3, c_2 = -3$
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(1)(-3) - (3)(-5)} = \frac{y}{(-5)(5) - (-3)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (5)(1)}$
$\frac{x}{-3 + 15} = \frac{y}{-25 + 9} = \frac{1}{9 - 5}$
$\frac{x}{12} = \frac{y}{-16} = \frac{1}{4}$
$x$ માટે: $\frac{x}{12} = \frac{1}{4} \implies x = 3$
$y$ માટે: $\frac{y}{-16} = \frac{1}{4} \implies y = -4$
આમ,ઉકેલ $(3, -4)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$4x + 6y - 11 = 0$ ... $(i)$
$5x - 8y - 6 = 0$ ... $(ii)$
ચોકડી ગુણાકારની રીત $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 4, b_1 = 6, c_1 = -11$ અને $a_2 = 5, b_2 = -8, c_2 = -6$.
$\frac{x}{(6)(-6) - (-8)(-11)} = \frac{y}{(-11)(5) - (-6)(4)} = \frac{1}{(4)(-8) - (5)(6)}$
$\frac{x}{-36 - 88} = \frac{y}{-55 + 24} = \frac{1}{-32 - 30}$
$\frac{x}{-124} = \frac{y}{-31} = \frac{1}{-62}$
$x$ માટે: $x = \frac{-124}{-62} = 2$
$y$ માટે: $y = \frac{-31}{-62} = \frac{1}{2}$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, \frac{1}{2})$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સમીકરણોને સરળ બનાવો:
$1$) પ્રથમ સમીકરણને $20$ વડે ગુણતા: $4x - 5y = 4.5$ અથવા $8x - 10y = 9$,તેથી $8x - 10y - 9 = 0$.
$2$) બીજા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા: $4x - 6y = 5$,તેથી $4x - 6y - 5 = 0$.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 8, b_1 = -10, c_1 = -9$ અને $a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = -5$.
$\frac{x}{(-10)(-5) - (-6)(-9)} = \frac{y}{(-9)(4) - (-5)(8)} = \frac{1}{(8)(-6) - (4)(-10)}$
$\frac{x}{50 - 54} = \frac{y}{-36 + 40} = \frac{1}{-48 + 40}$
$\frac{x}{-4} = \frac{y}{4} = \frac{1}{-8}$
$x = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$.
આમ,ઉકેલ $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$5x + 2y - 10 = 0$ ---$(1)$
$4x + 3y - 1 = 0$ ---$(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 5, b_1 = 2, c_1 = -10$
$a_2 = 4, b_2 = 3, c_2 = -1$
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(2)(-1) - (3)(-10)} = \frac{y}{(-10)(4) - (-1)(5)} = \frac{1}{(5)(3) - (4)(2)}$
$\frac{x}{-2 + 30} = \frac{y}{-40 + 5} = \frac{1}{15 - 8}$
$\frac{x}{28} = \frac{y}{-35} = \frac{1}{7}$
$x$ માટે: $\frac{x}{28} = \frac{1}{7} \implies x = \frac{28}{7} = 4$
$y$ માટે: $\frac{y}{-35} = \frac{1}{7} \implies y = \frac{-35}{7} = -5$
આમ,ઉકેલ $(4, -5)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$4x - 19y + 13 = 0$ ... $(i)$
$13x - 23y + 19 = 0$ ... $(ii)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 4, b_1 = -19, c_1 = 13$ અને $a_2 = 13, b_2 = -23, c_2 = 19$ છે.
$\frac{x}{(-19)(19) - (-23)(13)} = \frac{y}{(13)(13) - (19)(4)} = \frac{1}{(4)(-23) - (13)(-19)}$
$\frac{x}{-361 + 299} = \frac{y}{169 - 76} = \frac{1}{-92 + 247}$
$\frac{x}{-62} = \frac{y}{93} = \frac{1}{155}$
$x = -62 / 155 = -2 / 5$
$y = 93 / 155 = 3 / 5$
આમ,ઉકેલ $(-2/5, 3/5)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - (a + b) = 0$
$2$) $\frac{x}{a^2} + \frac{y}{b^2} - 2 = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{B_1C_2 - B_2C_1} = \frac{y}{C_1A_2 - C_2A_1} = \frac{1}{A_1B_2 - A_2B_1}$
અહીં,$A_1 = \frac{1}{a}, B_1 = \frac{1}{b}, C_1 = -(a + b)$
$A_2 = \frac{1}{a^2}, B_2 = \frac{1}{b^2}, C_2 = -2$
ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{\frac{-2}{b} + \frac{a+b}{b^2}} = \frac{y}{\frac{-(a+b)}{a^2} + \frac{2}{a}} = \frac{1}{\frac{1}{ab^2} - \frac{1}{a^2b}}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{\frac{a-b}{b^2}} = \frac{y}{\frac{a-b}{a^2}} = \frac{a^2b^2}{a-b}$
તેથી,$x = a^2$ અને $y = b^2$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ $(a^2, b^2)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$ax - by - \frac{a-b}{2} = 0$ --- $(1)$
$x + 3y - 2 = 0$ --- $(2)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = a, b_1 = -b, c_1 = -\frac{a-b}{2}$ અને $a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = -2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{2b + \frac{3a-3b}{2}} = \frac{y}{-\frac{a-b}{2} + 2a} = \frac{1}{3a + b}$
ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{\frac{3a+b}{2}} = \frac{y}{\frac{3a+b}{2}} = \frac{1}{3a+b}$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \implies bx - ay = 0$
$2$) $ax + by = a^2 + b^2 \implies ax + by - (a^2 + b^2) = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = b, b_1 = -a, c_1 = 0$ અને $a_2 = a, b_2 = b, c_2 = -(a^2 + b^2)$.
$\frac{x}{(-a)(-(a^2 + b^2)) - (b)(0)} = \frac{y}{(0)(a) - (-(a^2 + b^2))(b)} = \frac{1}{(b)(b) - (a)(-a)}$
$\frac{x}{a(a^2 + b^2)} = \frac{y}{b(a^2 + b^2)} = \frac{1}{b^2 + a^2}$
$x = \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a$
$y = \frac{b(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = b$
આમ,ઉકેલ $(a, b)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \implies bx + ay = 0$
$2$) $(a+b)x + (a-b)y = a^2 + b^2$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ માં લખતા:
$1$) $bx + ay + 0 = 0$
$2$) $(a+b)x + (a-b)y - (a^2 + b^2) = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીત $\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{a(-(a^2+b^2)) - (a-b)(0)} = \frac{y}{0(a+b) - (- (a^2+b^2))b} = \frac{1}{b(a-b) - a(a+b)}$
$\frac{x}{-a(a^2+b^2)} = \frac{y}{b(a^2+b^2)} = \frac{1}{ab - b^2 - a^2 - ab}$
$\frac{x}{-a(a^2+b^2)} = \frac{y}{b(a^2+b^2)} = \frac{1}{-(a^2+b^2)}$
$x$ માટે: $x = \frac{-a(a^2+b^2)}{-(a^2+b^2)} = a$
$y$ માટે: $y = \frac{b(a^2+b^2)}{-(a^2+b^2)} = -b$
આમ,ઉકેલ $(a, -b)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$0.5x + 0.3y - 0.1 = 0$ --- $(1)$
$0.6x + 0.3y - 0.3 = 0$ --- $(2)$
સમીકરણોને સરળ બનાવવા માટે $10$ વડે ગુણતા:
$5x + 3y - 1 = 0$
$6x + 3y - 3 = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીત મુજબ:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 5, b_1 = 3, c_1 = -1$ અને $a_2 = 6, b_2 = 3, c_2 = -3$.
$\frac{x}{(3)(-3) - (3)(-1)} = \frac{y}{(-1)(6) - (-3)(5)} = \frac{1}{(5)(3) - (6)(3)}$
$\frac{x}{-9 + 3} = \frac{y}{-6 + 15} = \frac{1}{15 - 18}$
$\frac{x}{-6} = \frac{y}{9} = \frac{1}{-3}$
$x = \frac{-6}{-3} = 2$
$y = \frac{9}{-3} = -3$
આમ,ઉકેલ $(2, -3)$ છે.

(A) ધારો કે મોટી સંખ્યા $x$ છે અને નાની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$x = y + 3$ અથવા $x - y = 3$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ,$2x + 17 = 3y$ અથવા $2x - 3y = -17$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી $x = y + 3$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$2(y + 3) - 3y = -17$
$2y + 6 - 3y = -17$
$-y + 6 = -17$
$-y = -23$
$y = 23$.
હવે,$x = y + 3$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ શોધો:
$x = 23 + 3 = 26$.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $26$ અને $23$ છે.

(B) ધારો કે હારની સંખ્યા $x$ છે અને દરેક હારમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $y$ છે. વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $xy$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $(x - 2)(y + 1) = xy$
$xy + x - 2y - 2 = xy$
$x - 2y = 2$ --- $(1)$
બીજી શરત મુજબ: $(x + 3)(y - 1) = xy$
$xy - x + 3y - 3 = xy$
$-x + 3y = 3$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x - 2y) + (-x + 3y) = 2 + 3$
$y = 5$
સમીકરણ $(1)$ માં $y = 5$ મુકતા:
$x - 2(5) = 2$
$x - 10 = 2$
$x = 12$
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= xy = 12 \times 5 = 60$.

(C) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. મૂળ સંખ્યા $10x + y$ છે.
અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી સંખ્યા $10y + x$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $(10x + y) + (10y + x) = 110$.
$11x + 11y = 110 \implies x + y = 10$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ: $(10x + y - 10) = 5(x + y) + 4$.
સમીકરણમાં $x + y = 10$ મૂકતા: $10x + y - 10 = 5(10) + 4$.
$10x + y - 10 = 54 \implies 10x + y = 64$ (સમીકરણ $2$).
$x + y = 10$ અને $10x + y = 64$ પરથી,સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(10x + y) - (x + y) = 64 - 10$.
$9x = 54 \implies x = 6$.
$x = 6$ ને $x + y = 10$ માં મૂકતા,આપણને $y = 4$ મળે છે.
આમ,મૂળ સંખ્યા $10(6) + 4 = 64$ છે.

(A) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$m \angle A + m \angle C = 180^{\circ}$ અને $m \angle B + m \angle D = 180^{\circ}$.
ખૂણા $A$ અને $C$ માટે: $(2x + 4) + (2y + 10) = 180 \implies 2x + 2y + 14 = 180 \implies 2x + 2y = 166 \implies x + y = 83$ (સમીકરણ $1$).
ખૂણા $B$ અને $D$ માટે: $(y + 3) + (4x - 5) = 180 \implies 4x + y - 2 = 180 \implies 4x + y = 182$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(4x + y) - (x + y) = 182 - 83 \implies 3x = 99 \implies x = 33$.
$x = 33$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $33 + y = 83 \implies y = 50$.
ખૂણાઓના માપની ગણતરી:
$m \angle A = 2(33) + 4 = 66 + 4 = 70^{\circ}$.
$m \angle B = 50 + 3 = 53^{\circ}$.
$m \angle C = 2(50) + 10 = 100 + 10 = 110^{\circ}$.
$m \angle D = 4(33) - 5 = 132 - 5 = 127^{\circ}$.

(A) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x$ છે અને લંબાઈ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ એ પહોળાઈના બમણા કરતાં $5$ ઓછી છે: $y = 2x - 5$,જેને $2x - y - 5 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(l + b) = 110$ છે,તેથી $l + b = 55$,એટલે કે $x + y = 55$,અથવા $x + y - 55 = 0$.
આપણી પાસે સમીકરણોની જોડી છે:
$2x - y - 5 = 0$
$x + y - 55 = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{(-1)(-55) - (1)(-5)} = \frac{-y}{(2)(-55) - (1)(-5)} = \frac{1}{(2)(1) - (1)(-1)}$
$\frac{x}{55 + 5} = \frac{-y}{-110 + 5} = \frac{1}{2 + 1}$
$\frac{x}{60} = \frac{-y}{-105} = \frac{1}{3}$
$x = \frac{60}{3} = 20$ અને $y = \frac{105}{3} = 35$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $l \times b = 35 \times 20 = 700$ ચોરસ એકમ થાય.

(N/A) આપેલ સમીકરણો $2x + y = \frac{7xy}{3}$ અને $x + 3y = \frac{11xy}{3}$ છે.
સ્પષ્ટ છે કે $x = 0$ અને $y = 0$ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે. તેથી,$(0, 0)$ એક ઉકેલ છે.
ધારો કે $x \neq 0$ અને $y \neq 0$,બંને સમીકરણોને $xy$ વડે ભાગતા:
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $\frac{2x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{7}{3} \implies \frac{2}{y} + \frac{1}{x} = \frac{7}{3} \implies \frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 7$ ... $(1)$
બીજા સમીકરણ માટે: $\frac{x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{11}{3} \implies \frac{1}{y} + \frac{3}{x} = \frac{11}{3} \implies \frac{3}{y} + \frac{9}{x} = 11$ ... $(2)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$3u + 6v = 7$ ... $(3)$
$9u + 3v = 11$ ... $(4)$
સમીકરણ $(4)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $18u + 6v = 22$ ... $(5)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $(18u - 3u) + (6v - 6v) = 22 - 7 \implies 15u = 15 \implies u = 1$.
$u = 1$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા: $3(1) + 6v = 7 \implies 6v = 4 \implies v = \frac{2}{3}$.
તેથી $u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$ અને $v = \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \implies y = \frac{3}{2}$.
આમ,ઉકેલો $(x, y) = (0, 0)$ અને $(x, y) = (1, \frac{3}{2})$ છે.

(C) ધારો કે $\frac{1}{a} = x$ અને $\frac{1}{b} = y$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$2x + 3y = 1$ ....... $(1)$
$x + y = 1$ ........... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + 2y = 2$ મળે છે ....... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(2x + 3y) - (2x + 2y) = 1 - 2$
$y = -1$
$y = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x + (-1) = 1$
$x = 2$
અહીં $x = \frac{1}{a} = 2$ હોવાથી,$a = \frac{1}{2}$ મળે છે.
અહીં $y = \frac{1}{b} = -1$ હોવાથી,$b = -1$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ $(a, b) = \left(\frac{1}{2}, -1\right)$ છે.

(D) ધારો કે $\frac{1}{a} = x$ અને $\frac{1}{b} = y$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$5x + \frac{3}{2}y = 1$ અને $\frac{1}{2}x - 3y = 1$
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $10x + 3y = 2$ મળે છે ... $(1)$
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $x - 6y = 2$ મળે છે ... $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણીને સમીકરણ $(2)$ માં ઉમેરતા:
$20x + 6y = 4$
$x - 6y = 2$
સરવાળો કરતા $21x = 6$ મળે,તેથી $x = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$.
$x = \frac{2}{7}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$10(\frac{2}{7}) + 3y = 2$
$\frac{20}{7} + 3y = 2$
$3y = 2 - \frac{20}{7} = \frac{14 - 20}{7} = -\frac{6}{7}$
$y = -\frac{6}{7} \times \frac{1}{3} = -\frac{2}{7}$.
અહીં $x = \frac{1}{a} = \frac{2}{7}$ હોવાથી,$a = \frac{7}{2}$.
અહીં $y = \frac{1}{b} = -\frac{2}{7}$ હોવાથી,$b = -\frac{7}{2}$.
આમ,ઉકેલ $(a, b) = (\frac{7}{2}, -\frac{7}{2})$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = -1$ --- $(1)$
$\frac{4}{a} - \frac{9}{b} = -7$ --- $(2)$
ધારો કે $\frac{1}{a} = x$ અને $\frac{1}{b} = y$. તેથી સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$2x + 3y = -1$ --- $(3)$
$4x - 9y = -7$ --- $(4)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(3)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6x + 9y = -3$ --- $(5)$
સમીકરણ $(4)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$(4x - 9y) + (6x + 9y) = -7 + (-3)$
$10x = -10$
$x = -1$
અહીં $x = \frac{1}{a}$ હોવાથી,$\frac{1}{a} = -1$,તેથી $a = -1$.
$x = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$2(-1) + 3y = -1$
$-2 + 3y = -1$
$3y = 1$
$y = \frac{1}{3}$
અહીં $y = \frac{1}{b}$ હોવાથી,$\frac{1}{b} = \frac{1}{3}$,તેથી $b = 3$.
આમ,ઉકેલ $(a, b) = (-1, 3)$ છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \, km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \, km/hr$ છે. શરત મુજબ $x > y$ હોવું જરૂરી છે.
પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ $(x+y) \, km/hr$ અને પ્રવાહની સામે હોડીની ઝડપ $(x-y) \, km/hr$ થાય.
સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{32}{x-y} + \frac{36}{x+y} = 7$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{40}{x-y} + \frac{48}{x+y} = 9$ --- $(2)$
ધારો કે $\frac{1}{x-y} = a$ અને $\frac{1}{x+y} = b$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$32a + 36b = 7$ --- $(3)$
$40a + 48b = 9$ --- $(4)$
આ સુરેખ સમીકરણોને લોપની રીતથી ઉકેલતા:
સમીકરણ $(3)$ ને $4$ વડે અને $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$128a + 144b = 28$
$120a + 144b = 27$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8a = 1 \implies a = \frac{1}{8}$.
$a = \frac{1}{8}$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મુકતા:
$32(\frac{1}{8}) + 36b = 7 \implies 4 + 36b = 7 \implies 36b = 3 \implies b = \frac{1}{12}$.
હવે,$x-y = 8$ અને $x+y = 12$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2x = 20 \implies x = 10$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2y = 4 \implies y = 2$.
આમ,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $10 \, km/hr$ અને પ્રવાહની ઝડપ $2 \, km/hr$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $x + y = 5xy$
$(2)$ $3x + 2y = 13xy$
બંને સમીકરણોને $xy$ વડે ભાગતા ($x \neq 0, y \neq 0$ ધારીને):
$(1)$ પરથી: $1/y + 1/x = 5$ => $1/x + 1/y = 5$ --- $(3)$
$(2)$ પરથી: $3/y + 2/x = 13$ => $2/x + 3/y = 13$ --- $(4)$
ધારો કે $u = 1/x$ અને $v = 1/y$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$(3)$ $u + v = 5$
$(4)$ $2u + 3v = 13$
સમીકરણ $(3)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2u + 2v = 10$ --- $(5)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(5)$ બાદ કરતા: $(2u + 3v) - (2u + 2v) = 13 - 10$ => $v = 3$
$v = 3$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકતા: $u + 3 = 5$ => $u = 2$
$u = 1/x = 2$ હોવાથી,$x = 1/2$.
$v = 1/y = 3$ હોવાથી,$y = 1/3$.
વળી,જો $x=0$ અને $y=0$ હોય,તો બંને સમીકરણોનું સમાધાન થાય છે $(0=0)$.
આમ,ઉકેલ $(0, 0)$ અને $(1/2, 1/3)$ છે.

(A) ધારો કે $u = \frac{1}{x-1}$ અને $v = \frac{1}{y-2}$.
આ કિંમતો આપેલા સમીકરણોમાં મૂકતા:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (4, 5)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) 2(3u - v) = 5uv \implies 6u - 2v = 5uv$
$2) 2(u + 3v) = 5uv \implies 2u + 6v = 5uv$
બંને સમીકરણોને $uv$ વડે ભાગતા (ધારો કે $u, v \neq 0$):
$1) \frac{6}{v} - \frac{2}{u} = 5$
$2) \frac{2}{v} + \frac{6}{u} = 5$
ધારો કે $x = \frac{1}{u}$ અને $y = \frac{1}{v}$. સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$1) -2x + 6y = 5$
$2) 6x + 2y = 5$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $18x + 6y = 15$. તેમાંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(18x + 6y) - (-2x + 6y) = 15 - 5 \implies 20x = 10 \implies x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ ની કિંમત $6x + 2y = 5$ માં મૂકતા:
$6(\frac{1}{2}) + 2y = 5 \implies 3 + 2y = 5 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
અહીં $x = \frac{1}{u} = \frac{1}{2} \implies u = 2$ અને $y = \frac{1}{v} = 1 \implies v = 1$.
આમ,$(u, v) = (2, 1)$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{9}{xy}$
$(2)$ $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{21}{xy}$
બંને સમીકરણોને $xy$ વડે ગુણતા ($x \neq 0, y \neq 0$ હોવાથી):
$(1)$ $2y + 3x = 9 \implies 3x + 2y = 9$
$(2)$ $4y + 9x = 21 \implies 9x + 4y = 21$
$y$ નો લોપ કરવા માટે પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$2(3x + 2y) = 2(9) \implies 6x + 4y = 18$
હવે બીજા સમીકરણમાંથી આ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(9x + 4y) - (6x + 4y) = 21 - 18$
$3x = 3 \implies x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત $3x + 2y = 9$ માં મૂકતા:
$3(1) + 2y = 9$
$3 + 2y = 9 \implies 2y = 6 \implies y = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 3)$ છે.

(C) ધારો કે $x = \frac{1}{a}$ અને $y = \frac{1}{b}$.
સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$5x - 6y = 3$ --- $(1)$
$x + 4y = 11$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$x = 11 - 4y$.
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(11 - 4y) - 6y = 3$
$55 - 20y - 6y = 3$
$55 - 26y = 3$
$26y = 52$
$y = 2$.
અહીં $y = \frac{1}{b} = 2$ હોવાથી,$b = \frac{1}{2}$ મળે.
$y = 2$ ની કિંમત $x = 11 - 4y$ માં મૂકતા:
$x = 11 - 4(2) = 11 - 8 = 3$.
અહીં $x = \frac{1}{a} = 3$ હોવાથી,$a = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,$(a, b) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$.

(D) ધારો કે $x = \frac{1}{a}$ અને $y = \frac{1}{b}$.
સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$9x + 8y = 7$ --- $(1)$
$2x - 3y = -8$ --- $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $8$ વડે ગુણતા:
$27x + 24y = 21$ --- $(3)$
$16x - 24y = -64$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$43x = -43 \implies x = -1$.
અહીં $x = \frac{1}{a} = -1$ હોવાથી,$a = -1$ મળે છે.
$x = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(-1) - 3y = -8$
$-2 - 3y = -8$
$-3y = -6 \implies y = 2$.
અહીં $y = \frac{1}{b} = 2$ હોવાથી,$b = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$(a, b) = \left(-1, \frac{1}{2}\right)$.