Textbook - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(N/A) બનેલા સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$y = \frac{1}{2}x$
એટલે કે,$x - 2y = 0$ ......$(1)$
$3x + 4y = 20$ ......$(2)$
ચાલો આ સમીકરણોને આલેખની રીતે દર્શાવીએ. આ માટે,આપણને દરેક સમીકરણ માટે ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલોની જરૂર છે. આપણે આ ઉકેલો નીચેના કોષ્ટકોમાં આપીએ છીએ:

$x$	$0$	$2$
$y = \frac{x}{2}$	$0$	$1$

$x$	$0$	$\frac{20}{3}$	$4$
$y = \frac{20 - 3x}{4}$	$5$	$0$	$2$

ધોરણ $IX$ માંથી યાદ કરો કે દરેક સુરેખ સમીકરણ માટે અનંત ઉકેલો હોય છે. તેથી,તમે દરેક કોઈ પણ બે કિંમતો પસંદ કરી શકો છો,જે આપણે પસંદ કરી છે તેના કરતા અલગ હોઈ શકે છે. જ્યારે એક ચલ શૂન્ય હોય,ત્યારે સમીકરણ એક ચલવાળા સુરેખ સમીકરણમાં ફેરવાય છે,જેને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,સમીકરણ $(2)$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $4y = 20$ મળે છે,એટલે કે $y = 5$. તેવી જ રીતે,સમીકરણ $(2)$ માં $y = 0$ મૂકતા,આપણને $3x = 20$ મળે છે,એટલે કે $x = \frac{20}{3}$. પરંતુ $\frac{20}{3}$ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,તેને આલેખપત્ર પર ચોક્કસ રીતે દર્શાવવું સરળ રહેશે નહીં. તેથી,આપણે $y = 2$ પસંદ કરીએ છીએ,જે $x = 4$ આપે છે,જે એક પૂર્ણાંક કિંમત છે.
કોષ્ટકોમાં આપેલા ઉકેલોને અનુરૂપ બિંદુઓ $A(0, 0), B(2, 1)$ અને $P(0, 5), Q(4, 2)$ ને આલેખ પર દર્શાવો. હવે રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ દોરો,જે સમીકરણો $x - 2y = 0$ અને $3x + 4y = 20$ નું નિરૂપણ કરે છે.

(N/A) ધારો કે $1$ પેન્સિલની કિંમત ₹ $x$ છે અને $1$ રબરની કિંમત ₹ $y$ છે. બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચેના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$2x + 3y = 9$ $.......(1)$
$4x + 6y = 18$ $.......(2)$
આને આલેખની રીતે દર્શાવવા માટે,આપણે દરેક રેખા માટે બિંદુઓ શોધીએ છીએ:
સમીકરણ $(1)$ માટે,$y = \frac{9 - 2x}{3}$:

$x$	$0$	$4.5$
$y$	$3$	$0$

સમીકરણ $(2)$ માટે,$y = \frac{18 - 4x}{6}$:

$x$	$0$	$3$
$y$	$3$	$1$

જ્યારે આપણે આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર દર્શાવીએ છીએ,ત્યારે આપણે જોઈએ છીએ કે બંને રેખાઓ એકબીજા પર સંપાતી છે. આ એટલા માટે છે કારણ કે બંને સમીકરણો સમાન છે,એટલે કે સમીકરણ $(2)$ એ સમીકરણ $(1)$ ના $2$ ગણા છે.

(N/A) સમીકરણોને ભૌમિતિક રીતે દર્શાવવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણ માટે બે ઉકેલો શોધીએ છીએ.
સમીકરણ $x+2y-4=0$ માટે:

$x$	$0$	$4$
$y = \frac{4-x}{2}$	$2$	$0$

આપણે બિંદુઓ $R(0, 2)$ અને $S(4, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને $x+2y-4=0$ દર્શાવતી રેખા મેળવીએ છીએ.
સમીકરણ $2x+4y-12=0$ માટે:

$x$	$0$	$6$
$y = \frac{12-2x}{4}$	$3$	$0$

આપણે બિંદુઓ $P(0, 3)$ અને $Q(6, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને $2x+4y-12=0$ દર્શાવતી રેખા મેળવીએ છીએ.
આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને રેખાઓ ક્યાંય પણ એકબીજાને છેદતી નથી,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એકબીજાને સમાંતર છે.

(N/A) ધારો કે આફતાબની હાલની ઉંમર $x$ છે અને તેની પુત્રીની હાલની ઉંમર $y$ છે.
સાત વર્ષ પહેલાં:
આફતાબની ઉંમર $= x - 7$
તેની પુત્રીની ઉંમર $= y - 7$
પ્રશ્ન મુજબ,$(x - 7) = 7(y - 7) \implies x - 7 = 7y - 49 \implies x - 7y = -42$ $...(1)$
હવે પછીના ત્રણ વર્ષ પછી:
આફતાબની ઉંમર $= x + 3$
તેની પુત્રીની ઉંમર $= y + 3$
પ્રશ્ન મુજબ,$(x + 3) = 3(y + 3) \implies x + 3 = 3y + 9 \implies x - 3y = 6$ $...(2)$
બીજગણિતીય નિરૂપણ:
$x - 7y = -42$
$x - 3y = 6$
$x - 7y = -42$ માટે,$x = 7y - 42$:

$x$	$-7$	$0$	$7$
$y$	$5$	$6$	$7$

$x - 3y = 6$ માટે,$x = 3y + 6$:

$x$	$6$	$3$	$0$
$y$	$0$	$-1$	$-2$

(N/A) ધારો કે એક બેટની કિંમત ₹ $x$ છે અને એક દડાની કિંમત ₹ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$3x + 6y = 3900$
$x + 3y = 1300$
પ્રથમ સમીકરણ $3x + 6y = 3900$ માટે,તેને $x + 2y = 1300$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય,તેથી $x = 1300 - 2y$.
| $x$ | $300$ | $100$ | $-100$ |
| $y$ | $500$ | $600$ | $700$ |
બીજા સમીકરણ $x + 3y = 1300$ માટે,$x = 1300 - 3y$.
| $x$ | $400$ | $700$ | $1000$ |
| $y$ | $300$ | $200$ | $100$ |
ભૌમિતિક નિરૂપણ આપેલા આલેખમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) ધારો કે $1\, kg$ સફરજનની કિંમત ₹ $x$ છે અને $1\, kg$ દ્રાક્ષની કિંમત ₹ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$2x + y = 160$
$4x + 2y = 300$
સમીકરણ $2x + y = 160$ માટે,$y = 160 - 2x$. ઉકેલનું કોષ્ટક:

$x$	$50$	$60$	$70$
$y$	$60$	$40$	$20$

સમીકરણ $4x + 2y = 300$ માટે,$y = \frac{300 - 4x}{2} = 150 - 2x$. ઉકેલનું કોષ્ટક:

$x$	$70$	$80$	$75$
$y$	$10$	$-10$	$0$

ભૌમિતિક નિરૂપણમાં બે સમાંતર રેખાઓ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(N/A) ચાલો સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ના આલેખ દોરીએ. આ માટે,આપણે દરેક સમીકરણ માટે બે ઉકેલો શોધીએ છીએ,જે નીચેના કોષ્ટકોમાં આપેલા છે:
સમીકરણ $(1)$ માટે: $x+3y=6$

$x$	$0$	$6$
$y = \frac{6-x}{3}$	$2$	$0$

સમીકરણ $(2)$ માટે: $2x-3y=12$

$x$	$0$	$3$
$y = \frac{2x-12}{3}$	$-4$	$-2$

આલેખપત્ર પર રેખા $(1)$ માટે બિંદુઓ $A(0, 2), B(6, 0)$ અને રેખા $(2)$ માટે $P(0, -4), Q(3, -2)$ ને અંકિત કરો. બિંદુઓને જોડીને રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ બનાવો.
આપણે જોઈએ છીએ કે રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ બંનેમાં એક બિંદુ $B(6, 0)$ સામાન્ય છે. કારણ કે રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે,તેથી સુરેખ સમીકરણોની આ જોડ સુસંગત છે. ઉકેલ $x=6$ અને $y=0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$5x - 8y + 1 = 0$ $...(1)$
$3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5} = 6$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $\frac{5}{3}$ વડે ગુણતા:
$\frac{5}{3} \times (3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5}) = \frac{5}{3} \times 6$
$5x - 8y + 1 = 10$
આમ,$5x - 8y - 9 = 0$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ એટલે કે $5x - 8y + 1 = 0$ અને સમીકરણ $(2)$ એટલે કે $5x - 8y - 9 = 0$ ની સરખામણી કરતા,$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન છે પરંતુ અચળ પદ અલગ છે.
તેથી,આ રેખાઓ સમાંતર છે અને તેમને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) ધારો કે પેન્ટની સંખ્યા $x$ છે અને સ્કર્ટની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બનતા સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$y = 2x - 2$ $...(1)$
$y = 4x - 4$ $...(2)$
આ સુરેખ સમીકરણોની જોડીને આલેખની રીતે ઉકેલવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણ માટે બે ઉકેલો શોધીએ:
સમીકરણ $(1)$,$y = 2x - 2$ માટે:

$x$	$2$	$0$
$y$	$2$	$-2$

સમીકરણ $(2)$,$y = 4x - 4$ માટે:

$x$	$0$	$1$
$y$	$-4$	$0$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવીને અને રેખાઓ દોરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે બંને રેખાઓ બિંદુ $(1, 0)$ પર છેદે છે.
આમ,ઉકેલ $x = 1$ અને $y = 0$ છે.
તેથી,ચંપાએ $1$ પેન્ટ અને $0$ સ્કર્ટ ખરીદ્યા હતા.

(N/A) ધારો કે છોકરીઓની સંખ્યા $x$ છે અને છોકરાઓની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$x + y = 10$
$x - y = 4$
$x + y = 10$ માટે,$x = 10 - y$:

$x$	$5$	$4$	$6$
$y$	$5$	$6$	$4$

$x - y = 4$ માટે,$x = 4 + y$:

$x$	$5$	$4$	$3$
$y$	$1$	$0$	$-1$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખાઓ બિંદુ $(7, 3)$ પર છેદે છે.
તેથી,છોકરીઓની સંખ્યા $7$ અને છોકરાઓની સંખ્યા $3$ છે.

(N/A) ધારો કે $1$ પેન્સિલની કિંમત ₹ $x$ છે અને $1$ પેનની કિંમત ₹ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$5x + 7y = 50$
$7x + 5y = 46$
$5x + 7y = 50$ માટે,$x = \frac{50 - 7y}{5}$ મળે.

$x$	$3$	$10$	$-4$
$y$	$5$	$0$	$10$

$7x + 5y = 46$ માટે,$x = \frac{46 - 5y}{7}$ મળે.

$x$	$8$	$3$	$-2$
$y$	$-2$	$5$	$12$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખાઓ બિંદુ $(3, 5)$ પર છેદે છે.
તેથી,એક પેન્સિલની કિંમત ₹ $3$ અને એક પેનની કિંમત ₹ $5$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$5x - 4y + 8 = 0$
$7x + 6y - 9 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 5, b_{1} = -4, c_{1} = 8$
$a_{2} = 7, b_{2} = 6, c_{2} = -9$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોવાથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$9x + 3y + 12 = 0$
$18x + 6y + 24 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 9, b_{1} = 3, c_{1} = 12$
$a_{2} = 18, b_{2} = 6, c_{2} = 24$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણોની જોડી દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સંપાતી છે અને તેના અનંત ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$6x - 3y + 10 = 0$
$2x - y + 9 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 6, b_{1} = -3, c_{1} = 10$
$a_{2} = 2, b_{2} = -1, c_{2} = 9$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-1} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{10}{9}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણોની જોડી દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે. તેથી,આ રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદશે નહીં અને આ સમીકરણોની જોડી માટે કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$3x + 2y - 5 = 0$
$2x - 3y - 7 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = 3, b_{1} = 2, c_{1} = -5$
$a_{2} = 2, b_{2} = -3, c_{2} = -7$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડીનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે અને તે સુસંગત છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$2x - 3y = 8$ (અથવા $2x - 3y - 8 = 0$)
$4x - 6y = 9$ (અથવા $4x - 6y - 9 = 0$)
$a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = 2, b_{1} = -3, c_{1} = -8$
$a_{2} = 4, b_{2} = -6, c_{2} = -9$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડનો કોઈ ઉકેલ નથી અને તે અસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7 \implies \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y - 7 = 0$
$2) 9 x - 10 y = 14 \implies 9 x - 10 y - 14 = 0$
$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ અને $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = \frac{3}{2}, b_{1} = \frac{5}{3}, c_{1} = -7$
$a_{2} = 9, b_{2} = -10, c_{2} = -14$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3/2}{9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{5/3}{-10} = \frac{5}{-30} = -\frac{1}{6}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી સુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$5x - 3y = 11$ (સમીકરણ $1$)
$-10x + 6y = -22$ (સમીકરણ $2$)
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ અને $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = 5, b_{1} = -3, c_{1} = 11$
$a_{2} = -10, b_{2} = 6, c_{2} = -22$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{11}{-22} = -\frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
રેખાઓ સંપાતી હોવાથી,તેમને અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડ સુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) \frac{4}{3} x + 2 y - 8 = 0$
$2) 2 x + 3 y - 12 = 0$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = \frac{4}{3}, b_{1} = 2, c_{1} = -8$
$a_{2} = 2, b_{2} = 3, c_{2} = -12$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{2}{3}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
રેખાઓ સંપાતી હોવાથી,તેમને અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડ સુસંગત છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણો:
$x+y=5$
$2x+2y=10$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સુરેખ સમીકરણો સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે અને તેથી તેને અનંત ઉકેલો છે. આમ,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી સુસંગત છે.
$x+y=5$ માટે,$x = 5-y$:

$x$	$4$	$3$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$

$2x+2y=10$ માટે,$x = \frac{10-2y}{2} = 5-y$:

$x$	$4$	$3$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$

આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે આ રેખાઓ એકબીજા પર સંપાતી છે. તેથી,આપેલ સમીકરણોની જોડી માટે અનંત ઉકેલો શક્ય છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણો $x-y=8$ અને $3x-3y=16$ છે.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -8$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -16$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી,જેનો અર્થ છે કે સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી અસુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $2x + y - 6 = 0$ અને $4x - 2y - 4 = 0$ છે.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -6$
$a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -4$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે છે,તેથી સમીકરણોની જોડી સુસંગત છે.
$2x + y - 6 = 0 \implies y = 6 - 2x$ માટે:
જો $x=0, y=6$; જો $x=1, y=4$; જો $x=2, y=2$.
$4x - 2y - 4 = 0 \implies y = 2x - 2$ માટે:
જો $x=0, y=-2$; જો $x=1, y=0$; જો $x=2, y=2$.
આમ,રેખાઓ $(2, 2)$ બિંદુએ છેદે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$2x - 2y - 2 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$4x - 4y - 5 = 0$ (સમીકરણ $2$)
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2$
$a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5$
હવે,ગુણોત્તર મેળવીએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી અસુસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(N/A) ધારો કે બગીચાની પહોળાઈ $x$ છે અને લંબાઈ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$y - x = 4$ $...(1)$
$y + x = 36$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y = x + 4$. કિંમતોનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$8$	$12$
$y$	$4$	$12$	$16$

સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = 36 - x$. કિંમતોનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$36$	$16$
$y$	$36$	$0$	$20$

આ રેખાઓને આલેખ પર દોરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તેઓ $(16, 20)$ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,બગીચાની પહોળાઈ $16\, m$ અને લંબાઈ $20\, m$ છે.

(N/A) બે સુરેખ સમીકરણો $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે પરસ્પર છેદતી રેખાઓની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x + 3y - 8 = 0$ માં,$a_1 = 2$ અને $b_1 = 3$ છે.
આપણે $a_2$ અને $b_2$ એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી $\frac{2}{a_2} \neq \frac{3}{b_2}$ થાય.
જો આપણે $a_2 = 3$ અને $b_2 = 2$ લઈએ,તો $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$ થાય,જે શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,એક આવું સમીકરણ $3x + 2y - 5 = 0$ છે (અથવા શરતનું પાલન કરતું અન્ય કોઈ પણ સમીકરણ).

(A) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સમાંતર હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x + 3y - 8 = 0$ માટે,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ છે.
આ શરતનું પાલન કરવા માટે,આપણે $a_2 = 4$ અને $b_2 = 6$ લઈ શકીએ (જેથી $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$ થાય) અને $c_2$ એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$ થાય.
ધારો કે $c_2 = -10$. તેથી સમીકરણ $4x + 6y - 10 = 0$ મળે.
શરત ચકાસતા: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \neq \frac{-8}{-10}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{4}{5}$ થાય છે.
આમ,$4x + 6y - 10 = 0$ એ એક યોગ્ય જવાબ છે.

(A) બે સુરેખ સમીકરણો $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે સંપાતી રેખાઓની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x + 3y - 8 = 0$ માટે,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ છે.
બીજું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે આપેલ સમીકરણને કોઈપણ શૂન્યતર અચળાંક $k$ વડે ગુણી શકીએ છીએ. ધારો કે $k = 2$.
સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2(2x + 3y - 8) = 2(0)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x + 6y - 16 = 0$ થાય છે.
શરત તપાસતા: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે. આમ,$4x + 6y - 16 = 0$ એ સાચો જવાબ છે.

(N/A) સમીકરણ $x-y+1=0$ માટે,આપણે $x=y-1$ લખી શકીએ છીએ. મૂલ્યોનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$

સમીકરણ $3x+2y-12=0$ માટે,આપણે $x=\frac{12-2y}{3}$ લખી શકીએ છીએ. મૂલ્યોનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$4$	$2$	$0$
$y$	$0$	$3$	$6$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણને બે છેદતી રેખાઓ મળે છે. આ રેખાઓ એકબીજાને $(2,3)$ બિંદુએ છેદે છે અને $x$-અક્ષને $(-1,0)$ અને $(4,0)$ બિંદુએ છેદે છે.
આમ,આ રેખાઓ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(2,3)$,$(-1,0)$ અને $(4,0)$ છે.

(N/A) પગલું $1:$ આપણે કોઈપણ એક સમીકરણ પસંદ કરીએ અને એક ચલને બીજા ચલના સ્વરૂપમાં લખીએ. ચાલો સમીકરણ $(2)$ લઈએ.
$x + 2y = 3$
તેને $x = 3 - 2y$ $...(3)$ તરીકે લખી શકાય.
પગલું $2:$ સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$7(3 - 2y) - 15y = 2$
$21 - 14y - 15y = 2$
$-29y = 2 - 21$
$-29y = -19$
તેથી,$y = \frac{19}{29}$
પગલું $3:$ $y$ ની આ કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 3 - 2\left(\frac{19}{29}\right)$
$x = 3 - \frac{38}{29}$
$x = \frac{87 - 38}{29} = \frac{49}{29}$
તેથી,ઉકેલ $x = \frac{49}{29}, y = \frac{19}{29}$ છે.

(N/A) ધારો કે આફતાબની હાલની ઉંમર $s$ વર્ષ અને તેની પુત્રીની હાલની ઉંમર $t$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,સાત વર્ષ પહેલાં:
$(s - 7) = 7(t - 7)$
$s - 7 = 7t - 49$
$s - 7t = -42$ $...(1)$
બીજી શરત મુજબ,ત્રણ વર્ષ પછી:
$(s + 3) = 3(t + 3)$
$s + 3 = 3t + 9$
$s - 3t = 6$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને $s = 3t + 6$ મળે છે.
આ $s$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(3t + 6) - 7t = -42$
$-4t + 6 = -42$
$-4t = -48$
$t = 12$
હવે,$t = 12$ ની કિંમત $s = 3t + 6$ માં મૂકતા:
$s = 3(12) + 6 = 36 + 6 = 42$
આમ,આફતાબની હાલની ઉંમર $42$ વર્ષ અને તેની પુત્રીની ઉંમર $12$ વર્ષ છે.

(D) ધારો કે એક પેન્સિલની કિંમત ₹ $x$ છે અને એક રબરની કિંમત ₹ $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,રચાતા સુરેખ સમીકરણોની જોડ નીચે મુજબ છે:
$2x + 3y = 9$ $...(1)$
$4x + 6y = 18$ $...(2)$
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સમીકરણ $(2)$ એ સમીકરણ $(1)$ કરતા બમણું છે.
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x + 3y = 9$ મળે છે,જે સમીકરણ $(1)$ જેવું જ છે.
આમ,બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવે છે,એટલે કે તે સંપાતી રેખાઓ છે.
તેથી,$x$ અને $y$ માટે અનંત ઉકેલો મળે છે જે આ સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે. આથી,દરેક પેન્સિલ અને રબરની ચોક્કસ કિંમત નક્કી કરી શકાતી નથી.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$x + 2y - 4 = 0$ $...(1)$
$2x + 4y - 12 = 0$ $...(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -4$
$a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = -12$
હવે,સહગુણકોનો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,પાટાઓ એકબીજાને છેદશે નહીં.

(A) $x+y=14$ $....(1)$
$x-y=4$ $....(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ:
$x=14-y$ $....(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(14-y)-y=4$
$14-2y=4$
$14-4=2y$
$10=2y$
$y=5$ $....(4)$
હવે,$y=5$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x=14-5$
$x=9$
આમ,ઉકેલ $x=9$ અને $y=5$ મળે છે.

(S=9, T=6) $s-t=3$ $...(1)$
$\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $s$ ને $t$ ના સ્વરૂપમાં મેળવીએ છીએ:
$s = t + 3$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $s$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{t+3}{3} + \frac{t}{2} = 6$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $6$ ($3$ અને $2$ નો લ.સા.અ.) વડે ગુણતા:
$2(t+3) + 3t = 36$
$2t + 6 + 3t = 36$
$5t + 6 = 36$
$5t = 30$
$t = 6$ $...(4)$
હવે,$t = 6$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$s = 6 + 3$
$s = 9$
તેથી,ઉકેલ $s = 9$ અને $t = 6$ છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$3x - y = 3$ $...(1)$
$9x - 3y = 9$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ:
$y = 3x - 3$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$9x - 3(3x - 3) = 9$
$9x - 9x + 9 = 9$
$9 = 9$
અહીં $9 = 9$ એ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું વિધાન છે,તેથી આ બંને સમીકરણો સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે.
આમ,આપેલા સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો છે.
ચલ વચ્ચેનો સંબંધ $y = 3x - 3$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણો છે:
$0.2 x + 0.3 y = 1.3$ $...(1)$
$0.4 x + 0.5 y = 2.3$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$0.2 x = 1.3 - 0.3 y$
$x = \frac{1.3 - 0.3 y}{0.2}$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$0.4 \left( \frac{1.3 - 0.3 y}{0.2} \right) + 0.5 y = 2.3$
$2(1.3 - 0.3 y) + 0.5 y = 2.3$
$2.6 - 0.6 y + 0.5 y = 2.3$
$2.6 - 0.1 y = 2.3$
$2.6 - 2.3 = 0.1 y$
$0.3 = 0.1 y$
$y = \frac{0.3}{0.1} = 3$
હવે,$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = \frac{1.3 - 0.3(3)}{0.2}$
$x = \frac{1.3 - 0.9}{0.2}$
$x = \frac{0.4}{0.2} = 2$
તેથી,ઉકેલ $x = 2$ અને $y = 3$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\sqrt{2} x + \sqrt{3} y = 0$ $...(1)$
$\sqrt{3} x - \sqrt{8} y = 0$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$x = -\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{2}}$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{3} \left( -\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{2}} \right) - \sqrt{8} y = 0$
$-\frac{3 y}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} y = 0$
$y$ સામાન્ય લેતા:
$y \left( -\frac{3}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} \right) = 0$
અહીં કૌંસમાં રહેલી કિંમત શૂન્ય નથી,તેથી $y = 0$ મળે.
$y = 0$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = -\frac{\sqrt{3} (0)}{\sqrt{2}} = 0$
આમ,ઉકેલ $x = 0$ અને $y = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2$
$(2) \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6}$
પગલું $1$: સમીકરણોનું સાદું રૂપ આપો.
સમીકરણ $(1)$ ને $6$ વડે ગુણતા: $9x - 10y = -12$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ ને $6$ વડે ગુણતા: $2x + 3y = 13$ --- $(4)$
પગલું $2$: સમીકરણ $(4)$ માંથી $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$2x = 13 - 3y$
$x = \frac{13 - 3y}{2}$ --- $(5)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(5)$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકો:
$9(\frac{13 - 3y}{2}) - 10y = -12$
$2$ વડે ગુણતા: $9(13 - 3y) - 20y = -24$
$117 - 27y - 20y = -24$
$-47y = -24 - 117$
$-47y = -141$
$y = \frac{141}{47} = 3$
પગલું $4$: $y = 3$ ની કિંમત $(5)$ માં મૂકો:
$x = \frac{13 - 3(3)}{2} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
આમ,ઉકેલ $x = 2, y = 3$ છે.

(M = -1) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y = 11$ $...(1)$
$2x - 4y = -24$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$2x = 11 - 3y$
$x = \frac{11 - 3y}{2}$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2\left(\frac{11 - 3y}{2}\right) - 4y = -24$
$11 - 3y - 4y = -24$
$11 - 7y = -24$
$-7y = -24 - 11$
$-7y = -35$
$y = 5$
હવે,$x$ શોધવા માટે $y = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = \frac{11 - 3(5)}{2} = \frac{11 - 15}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
આમ,ઉકેલ $x = -2$ અને $y = 5$ છે.
હવે,$m$ શોધવા માટે આ કિંમતોને $y = mx + 3$ માં મૂકતા:
$5 = m(-2) + 3$
$5 - 3 = -2m$
$2 = -2m$
$m = -1$

(N/A) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $x$ છે અને બીજી સંખ્યા $y$ છે,જ્યાં $y > x$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$y = 3x$ $...(1)$
$y - x = 26$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3x - x = 26$
$2x = 26$
$x = 13$ $...(3)$
$x$ ની આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = 3(13) = 39$
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $13$ અને $39$ છે.

(A) ધારો કે મોટો ખૂણો $x$ છે અને નાનો ખૂણો $y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૂરકકોણોની જોડીના માપનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$x + y = 180^{\circ}$ $...(1)$
$x - y = 18^{\circ}$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x = 180^{\circ} - y$ $...(3)$
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(180^{\circ} - y) - y = 18^{\circ}$
$180^{\circ} - 2y = 18^{\circ}$
$180^{\circ} - 18^{\circ} = 2y$
$162^{\circ} = 2y$
$y = 81^{\circ}$ $...(4)$
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 180^{\circ} - 81^{\circ}$
$x = 99^{\circ}$
આમ,બે ખૂણાઓ $99^{\circ}$ અને $81^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે એક બેટની કિંમત $x$ છે અને એક દડાની કિંમત $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$7x + 6y = 3800$ $...(1)$
$3x + 5y = 1750$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$6y = 3800 - 7x$
$y = \frac{3800 - 7x}{6}$ $...(3)$
આ $y$ ની કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3x + 5\left(\frac{3800 - 7x}{6}\right) = 1750$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા:
$18x + 5(3800 - 7x) = 10500$
$18x + 19000 - 35x = 10500$
$-17x = 10500 - 19000$
$-17x = -8500$
$x = 500$
હવે,$x = 500$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{3800 - 7(500)}{6}$
$y = \frac{3800 - 3500}{6}$
$y = \frac{300}{6} = 50$
આમ,એક બેટની કિંમત ₹ $500$ અને એક દડાની કિંમત ₹ $50$ છે.

(D) ધારો કે નિશ્ચિત ભાડું ₹ $x$ છે અને પ્રતિ $km$ ભાડું ₹ $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$x + 10y = 105$ $(1)$
$x + 15y = 155$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x = 105 - 10y$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(105 - 10y) + 15y = 155$
$105 + 5y = 155$
$5y = 155 - 105$
$5y = 50$
$y = 10$
$y = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = 105 - 10(10)$
$x = 105 - 100$
$x = 5$
આમ,નિશ્ચિત ભાડું ₹ $5$ છે અને પ્રતિ $km$ ભાડું ₹ $10$ છે.
$25 \, km$ ના અંતર માટે કુલ ભાડું:
$x + 25y = 5 + 25(10) = 5 + 250 = ₹ 255$.

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંકનો અંશ $x$ છે અને છેદ $y$ છે. તેથી અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $\frac{x+2}{y+2} = \frac{9}{11}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $11(x+2) = 9(y+2) \implies 11x + 22 = 9y + 18 \implies 11x - 9y = -4$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ: $\frac{x+3}{y+3} = \frac{5}{6}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $6(x+3) = 5(y+3) \implies 6x + 18 = 5y + 15 \implies 6x - 5y = -3$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,$5y = 6x + 3 \implies y = \frac{6x+3}{5}$.
આ કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $11x - 9(\frac{6x+3}{5}) = -4$.
$5$ વડે ગુણતા: $55x - 9(6x+3) = -20 \implies 55x - 54x - 27 = -20 \implies x = 7$.
હવે,$y$ શોધો: $y = \frac{6(7)+3}{5} = \frac{42+3}{5} = \frac{45}{5} = 9$.
તેથી,માંગેલ અપૂર્ણાંક $\frac{7}{9}$ છે.

(N/A) ધારો કે જેકબની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને તેના પુત્રની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
કિસ્સો $1$: પાંચ વર્ષ પછી,જેકબની ઉંમર $(x + 5)$ થશે અને તેના પુત્રની ઉંમર $(y + 5)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(x + 5) = 3(y + 5) \implies x + 5 = 3y + 15 \implies x - 3y = 10$ (સમીકરણ $1$).
કિસ્સો $2$: પાંચ વર્ષ પહેલાં,જેકબની ઉંમર $(x - 5)$ હતી અને તેના પુત્રની ઉંમર $(y - 5)$ હતી.
પ્રશ્ન મુજબ,$(x - 5) = 7(y - 5) \implies x - 5 = 7y - 35 \implies x - 7y = -30$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$x = 3y + 10$.
આ કિંમતને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $(3y + 10) - 7y = -30 \implies -4y = -40 \implies y = 10$.
$y = 10$ ને $x = 3y + 10$ માં મૂકતા: $x = 3(10) + 10 = 40$.
તેથી,જેકબની હાલની ઉંમર $40$ વર્ષ છે અને તેના પુત્રની હાલની ઉંમર $10$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે બે વ્યક્તિઓની આવક અનુક્રમે ₹ $9x$ અને ₹ $7x$ છે અને તેમનો ખર્ચ અનુક્રમે ₹ $4y$ અને ₹ $3y$ છે.
આવક - ખર્ચ = બચત હોવાથી,આપણને મળે છે:
$9x - 4y = 2000$ $...(1)$
$7x - 3y = 2000$ $...(2)$
આ સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$27x - 12y = 6000$ $...(3)$
$28x - 12y = 8000$ $...(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(28x - 27x) - (12y - 12y) = 8000 - 6000$
$x = 2000$
$x = 2000$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$9(2000) - 4y = 2000$
$18000 - 4y = 2000$
$4y = 16000$
$y = 4000$
તેથી,તેમની માસિક આવક $9x = 9 \times 2000 = ₹ 18,000$ અને $7x = 7 \times 2000 = ₹ 14,000$ છે.

(D) પગલું $1$: $x$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $1$ વડે ગુણો. તેથી આપણને નીચે મુજબના સમીકરણો મળે છે:
$4x + 6y = 16$ $...(3)$
$4x + 6y = 7$ $...(4)$
પગલું $2$: સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(4)$ બાદ કરતાં:
$(4x - 4x) + (6y - 6y) = 16 - 7$
એટલે કે,$0 = 9$,જે એક અસત્ય વિધાન છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડીને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. સંખ્યા $10x + y$ છે.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(10x + y) + (10y + x) = 66$.
$11x + 11y = 66$,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 6$ થાય છે $...(1)$.
આપેલ છે કે અંકોનો તફાવત $2$ છે,તેથી બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $1$: $x - y = 2$ $...(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2x = 8 \implies x = 4$. $(1)$ માં $x=4$ મૂકતા,$y = 2$ મળે છે. સંખ્યા $42$ છે.
કિસ્સો $2$: $y - x = 2$ $...(3)$.
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $2y = 8 \implies y = 4$. $(1)$ માં $y=4$ મૂકતા,$x = 2$ મળે છે. સંખ્યા $24$ છે.
આમ,આવી બે સંખ્યાઓ શક્ય છે: $42$ અને $24$.

(N/A) લોપની રીત દ્વારા:
$x+y=5$ $...(1)$
$2x-3y=4$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2x+2y=10$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2x+2y) - (2x-3y) = 10 - 4$
$5y = 6$
$y = \frac{6}{5}$ $...(4)$
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x + \frac{6}{5} = 5$
$x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{25-6}{5} = \frac{19}{5}$
તેથી,$x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}$.
આદેશની રીત દ્વારા:
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x = 5 - y$ $...(5)$
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2(5-y) - 3y = 4$
$10 - 2y - 3y = 4$
$10 - 5y = 4$
$-5y = 4 - 10$
$-5y = -6$
$y = \frac{6}{5}$
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $(5)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$
તેથી,$x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}$.

(N/A) લોપની રીત દ્વારા:
$3x + 4y = 10$ $...(1)$
$2x - 2y = 2$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$4x - 4y = 4$ $...(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$7x = 14$
$x = 2$ $...(4)$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3(2) + 4y = 10$
$6 + 4y = 10$
$4y = 4$
$y = 1$
આમ,$x = 2, y = 1$.
આદેશની રીત દ્વારા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$2x = 2 + 2y$
$x = 1 + y$ $...(5)$
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3(1 + y) + 4y = 10$
$3 + 3y + 4y = 10$
$7y = 7$
$y = 1$
$y = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(5)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 1 + 1 = 2$
તેથી,$x = 2, y = 1$.