Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(A) $x+y=7$
$\therefore y=7-x$
$x=0$ માટે,$y=7-0=7$
$x=7$ માટે,$y=7-7=0$

$x$	$0$	$7$
$y$	$7$	$0$

$\therefore$ આલેખપત્ર પર $x+y=7$ ના ઉકેલ ગણના ક્રમયુક્ત જોડ $(0, 7)$ અને $(7, 0)$ ને દર્શાવો અને તેમને જોડતી રેખા દોરો.
$5x+2y=20$
$\therefore 2y=20-5x \quad \therefore y=\frac{20-5x}{2}$
$x=0$ માટે,$y=\frac{20-0}{2}=10$
$x=4$ માટે,$y=\frac{20-20}{2}=0$

$x$	$0$	$4$
$y$	$10$	$0$

$\therefore$ આલેખપત્ર પર $5x+2y=20$ ના ઉકેલ ગણના ક્રમયુક્ત જોડ $(0, 10)$ અને $(4, 0)$ ને દર્શાવો અને તેમને જોડતી રેખા દોરો.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ (સામાન્ય બિંદુ) $(2, 5)$ છે,જે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
આમ,સુરેખ સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ $(2, 5)$ છે.

(N/A) સમીકરણ $3x + 6y = 3900$ માટે:
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 2y = 1300$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{1300 - x}{2}$.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 650$. જો $x = 1300$ હોય,તો $y = 0$.

$x$	$0$	$1300$
$y$	$650$	$0$

બિંદુઓ $(0, 650)$ અને $(1300, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને રેખા દોરો.
સમીકરણ $x + 3y = 1300$ માટે:
આનો અર્થ છે કે $y = \frac{1300 - x}{3}$.
જો $x = 1300$ હોય,તો $y = 0$. જો $x = 100$ હોય,તો $y = 400$.

$x$	$1300$	$100$
$y$	$0$	$400$

બિંદુઓ $(1300, 0)$ અને $(100, 400)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને રેખા દોરો.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(1300, 0)$ છે,જે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
આમ,સુરેખ સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ $x = 1300, y = 0$ છે.

(D) સમીકરણ $3x + 4y = 6$ માટે:
$4y = 6 - 3x$
$y = \frac{6 - 3x}{4}$
જો $x = -2$,તો $y = \frac{6 - 3(-2)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
જો $x = 2$,તો $y = \frac{6 - 3(2)}{4} = \frac{0}{4} = 0$.

$x$	$-2$	$2$
$y$	$3$	$0$

બિંદુઓ $(-2, 3)$ અને $(2, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને રેખા દોરો.
સમીકરણ $3x + 4y = 19$ માટે:
$4y = 19 - 3x$
$y = \frac{19 - 3x}{4}$
જો $x = 5$,તો $y = \frac{19 - 3(5)}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
જો $x = 1$,તો $y = \frac{19 - 3(1)}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

$x$	$5$	$1$
$y$	$1$	$4$

બિંદુઓ $(5, 1)$ અને $(1, 4)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને રેખા દોરો.
આ બંને રેખાઓ સમાંતર છે અને એકબીજાને છેદતી નથી,તેથી આ સમીકરણોની જોડીનો કોઈ ઉકેલ નથી. ઉકેલ ગણ $\varnothing$ છે.

(N/A) અહીં,$3x+3y=15$ ના દરેક પદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x+y=5$ સમીકરણ મળે છે.
આમ,બંને સમીકરણો સમાન છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે બંને રેખાઓ એક જ છે.
તેથી,તેઓ સંપાતી છે. આનો અર્થ એ છે કે અનંત ઉકેલો મળે છે. આલેખ દોરવા માટે,આપણે નીચે મુજબનું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:
$x+y=5$
$\therefore y=5-x$
$x=0$ માટે,$y=5-0=5$
$x=5$ માટે,$y=5-5=0$
અને
$3x+3y=15$
$\therefore 3y=15-3x$
$\therefore y=\frac{15-3x}{3}$
$\therefore y=5-x$
$\therefore$ બંને કોષ્ટકો સમાન છે.

$x$	$0$	$5$
$y$	$5$	$0$

$\therefore$ આલેખપત્ર પર $x+y=5$ (અથવા $3x+3y=15$,એટલે કે $x+y=5$) ના ઉકેલ ગણના બે બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(5, 0)$ ને અંકિત કરો અને તેમને જોડીને રેખા દોરો.
અહીં,બંને સમીકરણોના આલેખ સમાન છે. ઉપરાંત,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખા પર અનંત બિંદુઓ છે,અને તે બધા ઉકેલ ગણ બનાવે છે. આમ,સુરેખ સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ ગણ ${(x, y) \mid x+y=5, x, y \in R}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$1) \, y + x = 5 \implies y = 5 - x$
$2) \, y - x = 9 \implies y = 9 + x$
આલેખ દોરવા માટે, આપણે દરેક રેખા માટે બિંદુઓ શોધીએ છીએ:
$y = 5 - x$ માટે: જો $x = 0, y = 5$; જો $x = 5, y = 0$. બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(5, 0)$ છે.
$y = 9 + x$ માટે: જો $x = 0, y = 9$; જો $x = -9, y = 0$. બિંદુઓ $(0, 9)$ અને $(-9, 0)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે બીજગણિતીય રીતે ઉકેલતા:
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(y + x) + (y - x) = 5 + 9 \implies 2y = 14 \implies y = 7$.
$y = 7$ ને $y + x = 5$ માં મૂકતા: $7 + x = 5 \implies x = -2$.
આમ, છેદબિંદુ $(-2, 7)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) 3x + 6y = 4$
$2) 2x + 4y = \frac{8}{3}$
સમીકરણ $(2)$ ને $\frac{3}{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{3}{2}(2x + 4y) = \frac{3}{2} \times \frac{8}{3}$
$3x + 6y = 4$
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવે છે,તેથી તે સંપાતી રેખાઓ છે.
આથી,આ સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો મળે છે. ઉકેલ ગણ $\{(x, y) \mid 3x + 6y = 4; x, y \in R \}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) 2x + y = 7 \implies y = 7 - 2x$
$x = 0$ માટે,$y = 7$. $x = 2$ માટે,$y = 3$. $x = 3$ માટે,$y = 1$.
$2) x - 2y = 6 \implies x = 6 + 2y$
$y = 0$ માટે,$x = 6$. $y = -1$ માટે,$x = 4$. $y = -2$ માટે,$x = 2$.
આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,બંને રેખાઓ $(4, -1)$ બિંદુએ છેદે છે.
આમ,ઉકેલ $x = 4$ અને $y = -1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$1) y = 2$
$2) x + 4y = 10$
પગલું $1$: પ્રથમ સમીકરણ $y = 2$ એ એક આડી રેખા દર્શાવે છે જે તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે જ્યાં $y$-યામ $2$ છે.
પગલું $2$: બીજા સમીકરણ $x + 4y = 10$ માટે,સમીકરણમાં $y = 2$ મૂકતા:
$x + 4(2) = 10$
$x + 8 = 10$
$x = 10 - 8$
$x = 2$
પગલું $3$: બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(2, 2)$ છે.
આલેખની રીતે,રેખા $y = 2$ એ એક આડી રેખા છે,અને $x + 4y = 10$ એ $(10, 0)$ અને $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે. બંને રેખાઓ $(2, 2)$ બિંદુએ છેદે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) x + y = 5$
$2) 5x - 2y = 4$
સમીકરણ $(1)$ માટે,જો $x = 0$,તો $y = 5$. જો $y = 0$,તો $x = 5$. બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(5, 0)$ છે.
સમીકરણ $(2)$ માટે,જો $x = 0$,તો $-2y = 4 \implies y = -2$. જો $y = 0$,તો $5x = 4 \implies x = 0.8$. બિંદુઓ $(0, -2)$ અને $(0.8, 0)$ છે.
આ રેખાઓને આલેખ પર દોરતા,છેદબિંદુ $(2, 3)$ મળે છે.
ચકાસણી: $2 + 3 = 5$ (સાચું) અને $5(2) - 2(3) = 10 - 6 = 4$ (સાચું).
આમ,ઉકેલ $(2, 3)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \, 2x - 3y = 5$
$2) \, 4x - 6y = -13$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -5$
$a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = 13$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{13}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ ક્યાંય છેદતી નથી,તેથી આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી $(\varnothing)$.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$1) 4x + y = 7$
$2) 16x + 4y = 28$
સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ભાગતા:
$4x + y = 7$
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,તેઓ આલેખ પર એક જ રેખા દર્શાવે છે.
$x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,આપણે $y$ ની અનુરૂપ કિંમત શોધી શકીએ છીએ જેથી $y = 7 - 4x$ થાય.
તેથી,આ સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.
ઉકેલ ગણ ${(x, y) \mid 4x + y = 7; x, y \in R}$ છે.

(D) આલેખની મદદથી સમીકરણો $x + 2y = -4$ અને $3x + 4y = -6$ નો ઉકેલ મેળવવા માટે:
$1$. પ્રથમ સમીકરણ $x + 2y = -4$ માટે,જો $x = 0$ હોય,તો $y = -2$. જો $y = 0$ હોય,તો $x = -4$. આ રેખા $(0, -2)$ અને $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. બીજા સમીકરણ $3x + 4y = -6$ માટે,જો $x = 0$ હોય,તો $y = -1.5$. જો $y = 0$ હોય,તો $x = -2$. આ રેખા $(0, -1.5)$ અને $(-2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. બીજગણિતીય રીતે ઉકેલતા: પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 4y = -8$. આને બીજા સમીકરણમાંથી બાદ કરતા: $(3x + 4y) - (2x + 4y) = -6 - (-8)$,જે આપણને $x = 2$ આપે છે.
$4$. $x = 2$ ને $x + 2y = -4$ માં મૂકતા: $2 + 2y = -4 \implies 2y = -6 \implies y = -3$.
$5$. છેદબિંદુ $(2, -3)$ છે.

(A) આલેખની મદદથી સમીકરણો $x + y = 8$ અને $x - y = 2$ નો ઉકેલ મેળવવા માટે:
$1$. સમીકરણ $x + y = 8$ માટે,બે બિંદુઓ શોધો: જો $x = 0$ હોય,તો $y = 8$; જો $x = 8$ હોય,તો $y = 0$. આ રેખા $(0, 8)$ અને $(8, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. સમીકરણ $x - y = 2$ માટે,બે બિંદુઓ શોધો: જો $x = 0$ હોય,તો $y = -2$; જો $x = 2$ હોય,તો $y = 0$. આ રેખા $(0, -2)$ અને $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. આ બંને રેખાઓને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દોરતા,તે $(5, 3)$ બિંદુએ છેદે છે.
$4$. તેથી,ઉકેલ $x = 5$ અને $y = 3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \ 2x + 3y = 12$
$2) \ 2x + 3y = 6$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -12$
$a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -6$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-12}{-6} = 2$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણોની આ જોડીનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\varnothing$ છે.

(C) $1$. સમીકરણ $x+y=10$ માટે,જો $x=0$ તો $y=10$; જો $y=0$ તો $x=10$. આ રેખા $(0,10)$ અને $(10,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. સમીકરણ $x-y=4$ માટે,જો $x=0$ તો $y=-4$; જો $y=0$ તો $x=4$. આ રેખા $(0,-4)$ અને $(4,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવતા: $(x+y=10)$ અને $(x-y=4)$ નો સરવાળો કરતા $2x=14$ મળે,તેથી $x=7$. $x=7$ ને $x+y=10$ માં મૂકતા $y=3$ મળે. છેદબિંદુ $(7,3)$ છે.
$4$. ત્રિકોણ બે રેખાઓના છેદબિંદુ $(7,3)$ અને $X$-અક્ષ સાથેના તેમના છેદબિંદુઓ $(4,0)$ અને $(10,0)$ દ્વારા બને છે.
$5$. આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(7,3), (4,0)$ અને $(10,0)$ છે.

(D) $1$. સમીકરણ $x + 3y = 6$ માટે: જો $x = 0$,તો $3y = 6 \implies y = 2$. જો $y = 0$,તો $x = 6$. બિંદુઓ $(0, 2)$ અને $(6, 0)$ છે.
$2$. સમીકરણ $2x - 3y = 12$ માટે: જો $x = 0$,તો $-3y = 12 \implies y = -4$. જો $y = 0$,તો $2x = 12 \implies x = 6$. બિંદુઓ $(0, -4)$ અને $(6, 0)$ છે.
$3$. સમીકરણો ઉકેલતા: બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$(x + 3y) + (2x - 3y) = 6 + 12 \implies 3x = 18 \implies x = 6$. $x = 6$ ને $x + 3y = 6$ માં મૂકતા,$6 + 3y = 6 \implies y = 0$. છેદબિંદુ $(6, 0)$ છે.
$4$. ત્રિકોણ આ બે રેખાઓ અને $Y$-અક્ષ દ્વારા બને છે. શિરોબિંદુઓ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(6, 0)$,પ્રથમ રેખાનો $Y$-અંતઃખંડ $(0, 2)$ અને બીજી રેખાનો $Y$-અંતઃખંડ $(0, -4)$ છે.
$5$. આમ,શિરોબિંદુઓ $(6, 0), (0, 2), (0, -4)$ છે.

$(A)$ ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $x$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $6$ છે,તેથી $x + y = 6$.
છોકરીઓની સંખ્યા છોકરાઓની સંખ્યા કરતા $2$ ઓછી છે,તેથી $y = x - 2$,જેને $x - y = 2$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલતા:
$1) x + y = 6$
$2) x - y = 2$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (x - y) = 6 + 2 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x = 4$ મૂકતા: $4 + y = 6 \rightarrow y = 2$.
આમ,$4$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ છે.

(A) સમીકરણોની જોડી સુસંગત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સહગુણકોના ગુણોત્તરની સરખામણી કરીએ છીએ:
$a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -9$
$a_2 = 3, b_2 = 6, c_2 = -\frac{27}{2}$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-9}{-27/2} = \frac{9 \times 2}{27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
સંપાતી રેખાઓને અનંત ઉકેલો હોય છે,તેથી આ સમીકરણોની જોડી સુસંગત છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y = 11$ .......... $(i)$
$2x - y = -1$ .......... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ:
$y = 2x + 1$ .......... $(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2x + 3(2x + 1) = 11$
$2x + 6x + 3 = 11$
$8x + 3 = 11$
$8x = 8$
$x = 1$
હવે,$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$y = 2(1) + 1$
$y = 2 + 1$
$y = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 3)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$3x - 7y = 18$ ..... $(1)$
$6x - 14y = 12$ ..... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા:
$3x - 7y = 6$ ..... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$3x = 18 + 7y$ મળે છે. આ કિંમતને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$(18 + 7y) - 7y = 6$
$18 = 6$
આ એક વિરોધાભાસ છે,કારણ કે $18$ ક્યારેય $6$ ની બરાબર હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને કોઈ ઉકેલ નથી,જેનો અર્થ છે કે ઉકેલ ગણ $\varnothing$ છે.

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંકનો અંશ $x$ છે અને છેદ $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,જો અંશમાંથી $2$ બાદ કરવામાં આવે અને છેદમાં $3$ ઉમેરવામાં આવે,તો અપૂર્ણાંક $\frac{1}{4}$ બને છે.
$\frac{x-2}{y+3} = \frac{1}{4}$
$4(x-2) = y+3$
$4x - 8 = y + 3$
$4x - y = 11$ .......... $(1)$
બીજી શરત મુજબ,જો અંશમાં $6$ ઉમેરવામાં આવે અને છેદને $3$ વડે ગુણવામાં આવે,તો અપૂર્ણાંક $\frac{2}{3}$ બને છે.
$\frac{x+6}{3y} = \frac{2}{3}$
$3(x+6) = 2(3y)$
$3x + 18 = 6y$
$3x - 6y = -18$
$3$ વડે ભાગતા,$x - 2y = -6$ .......... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y = 4x - 11$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x - 2(4x - 11) = -6$
$x - 8x + 22 = -6$
$-7x = -28$
$x = 4$
હવે,$x = 4$ ની કિંમત $y = 4x - 11$ માં મૂકતા:
$y = 4(4) - 11 = 16 - 11 = 5$
તેથી,મૂળ અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ છે.

(A) ધારો કે પિતાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને પુત્રની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $x + 2y = 70$ --- $(1)$
બીજી શરત મુજબ: $2x + y = 95$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x = 70 - 2y$ મળે છે.
આ $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(70 - 2y) + y = 95$
$140 - 4y + y = 95$
$140 - 3y = 95$
$-3y = 95 - 140$
$-3y = -45$
$y = 15$
હવે,$y = 15$ ની કિંમત $x = 70 - 2y$ માં મૂકતા:
$x = 70 - 2(15)$
$x = 70 - 30 = 40$
તેથી,પિતાની હાલની ઉંમર $40$ વર્ષ અને પુત્રની હાલની ઉંમર $15$ વર્ષ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1) x + y = 7$
$2) 5x + 12y = 7$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$x = 7 - y$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$5(7 - y) + 12y = 7$
$35 - 5y + 12y = 7$
$35 + 7y = 7$
$7y = 7 - 35$
$7y = -28$
$y = -4$
હવે,$y = -4$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = 7 - (-4)$
$x = 7 + 4$
$x = 11$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (11, -4)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) 5x - 3y = 1$
$2) 2x + 5y = 19$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$5x = 1 + 3y$,તેથી $x = \frac{1 + 3y}{5}$.
$x$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(\frac{1 + 3y}{5}) + 5y = 19$
છેદ દૂર કરવા માટે $5$ વડે ગુણતા:
$2(1 + 3y) + 25y = 95$
$2 + 6y + 25y = 95$
$31y = 93$
$y = 3$
હવે,$y = 3$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = \frac{1 + 3(3)}{5} = \frac{1 + 9}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, 3)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $2x - y + 3 = 0$
$(2)$ $y = 2x - \frac{3}{2}$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x - (2x - \frac{3}{2}) + 3 = 0$
$2x - 2x + \frac{3}{2} + 3 = 0$
$\frac{3}{2} + 3 = 0$
$\frac{3 + 6}{2} = 0$
$\frac{9}{2} = 0$
અહીં $\frac{9}{2} \neq 0$ હોવાથી,આ વિધાન વિરોધાભાસી છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને કોઈ ઉકેલ નથી,જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ સમાંતર છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણો:
$1) \, 2x - 3y = -11$
$2) \, 4x - 6y + 22 = 0$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $4x - 6y = -22$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $2(2x - 3y) = -22$ મળે,એટલે કે $2x - 3y = -11$.
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે આ સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો છે.
$2x - 3y = -11$ નું સમાધાન કરતી કોઈપણ જોડ $(x, y)$ એ ઉકેલ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{(x, y) \mid 2x - 3y = -11; \, x, y \in R \}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $3x + y + 1 = 0$
$(2)$ $2x - 3y + 8 = 0$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$y = -3x - 1$ $(3)$
હવે,સમીકરણ $(3)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2x - 3(-3x - 1) + 8 = 0$
$2x + 9x + 3 + 8 = 0$
$11x + 11 = 0$
$11x = -11$
$x = -1$
હવે,$x = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$y = -3(-1) - 1$
$y = 3 - 1$
$y = 2$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (-1, 2)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) 8x - 3y = 1$
$2) 34x - 3y = 14$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$3y$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$3y = 8x - 1$
$y = (8x - 1) / 3$
$y$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$34x - 3((8x - 1) / 3) = 14$
$34x - (8x - 1) = 14$
$34x - 8x + 1 = 14$
$26x = 13$
$x = 13 / 26 = 1/2$
હવે,$x = 1/2$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (8(1/2) - 1) / 3$
$y = (4 - 1) / 3$
$y = 3 / 3 = 1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1/2, 1)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1) x + 8y = 19$
$(2) 2x + 11y = 28$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$x = 19 - 8y$
આ $x$ ની કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(19 - 8y) + 11y = 28$
$38 - 16y + 11y = 28$
$38 - 5y = 28$
$-5y = 28 - 38$
$-5y = -10$
$y = 2$
હવે,$y = 2$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 19 - 8(2)$
$x = 19 - 16$
$x = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (3, 2)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \, 2x + 3y = 7$
$2) \, 6x + 9y = 23$
સહગુણકોનો ગુણોત્તર તપાસતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{23}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી,જેને $\varnothing$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$(1) x + 11y = 1$
$(2) 8x + 13y = 2$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને $x = 1 - 11y$ મળે છે.
આ $x$ ની કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$8(1 - 11y) + 13y = 2$
$8 - 88y + 13y = 2$
$8 - 75y = 2$
$-75y = 2 - 8$
$-75y = -6$
$y = \frac{-6}{-75} = \frac{2}{25}$.
હવે,$y = \frac{2}{25}$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 1 - 11(\frac{2}{25})$
$x = 1 - \frac{22}{25} = \frac{25 - 22}{25} = \frac{3}{25}$.
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (\frac{3}{25}, \frac{2}{25})$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $8x + 5y = 9$
$(2)$ $3x + 2y = 4$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$2y = 4 - 3x$
$y = \frac{4 - 3x}{2}$
આ $y$ ની કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$8x + 5(\frac{4 - 3x}{2}) = 9$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$16x + 5(4 - 3x) = 18$
$16x + 20 - 15x = 18$
$x + 20 = 18$
$x = 18 - 20$
$x = -2$
હવે,$x = -2$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{4 - 3(-2)}{2}$
$y = \frac{4 + 6}{2}$
$y = \frac{10}{2}$
$y = 5$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (-2, 5)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) 2x + y = 40$
$2) x + y = 30$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(2x + y) - (x + y) = 40 - 30$
$x = 10$
$x = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$10 + y = 30$
$y = 20$
તેથી,ઉકેલ $(x, y) = (10, 20)$ છે.
હવે,આ કિંમતોને $y = mx + 6$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$20 = m(10) + 6$
$20 - 6 = 10m$
$14 = 10m$
$m = \frac{14}{10} = 1.4$.

(A) ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$x + 3x + y = 180$,જેનું સાદું રૂપ $4x + y = 180$ થાય છે.
આથી,$y = 180 - 4x$ મળે.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણ $3y - 5x = 30$ માં મૂકતા:
$3(180 - 4x) - 5x = 30$
$540 - 12x - 5x = 30$
$540 - 17x = 30$
$17x = 510$
$x = 30^{\circ}$.
હવે,$y$ શોધો:
$y = 180 - 4(30) = 180 - 120 = 60^{\circ}$.
ખૂણાઓ તપાસતા: $m \angle A = 30^{\circ}$,$m \angle B = 3(30) = 90^{\circ}$,અને $m \angle C = 60^{\circ}$.
એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ત્રણેય ખૂણાઓ $30^{\circ}, 90^{\circ}, 60^{\circ}$ છે.

(C) ધારો કે અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $\frac{x+1}{y+1} = \frac{4}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5(x+1) = 4(y+1) \implies 5x + 5 = 4y + 4 \implies 5x - 4y = -1$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ: $\frac{x-5}{y-5} = \frac{1}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(x-5) = 1(y-5) \implies 2x - 10 = y - 5 \implies 2x - y = 5$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,$y = 2x - 5$. આ કિંમત સમીકરણ $1$ માં મુકતા:
$5x - 4(2x - 5) = -1$
$5x - 8x + 20 = -1$
$-3x = -21 \implies x = 7$.
હવે,$y$ શોધો: $y = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$.
આમ,અપૂર્ણાંક $\frac{7}{9}$ છે.

(A) ધારો કે અમદાવાદથી નડિયાદની ટિકિટની કિંમત રૂ. $x$ છે અને અમદાવાદથી વડોદરાની ટિકિટની કિંમત રૂ. $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$1) 5x + 10y = 1050$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $x + 2y = 210$
$2) x + y = 130$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(x + 2y) - (x + y) = 210 - 130$
$y = 80$
સમીકરણ $(2)$ માં $y = 80$ મુકતા:
$x + 80 = 130$
$x = 130 - 80 = 50$
તેથી,અમદાવાદથી નડિયાદની ટિકિટની કિંમત રૂ. $50$ છે અને અમદાવાદથી વડોદરાની ટિકિટની કિંમત રૂ. $80$ છે.

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંકનો અંશ $x$ છે અને છેદ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,છેદ એ અંશ કરતાં $6$ વધારે છે: $y = x + 6$.
જો અંશમાં $1$ ઉમેરવામાં આવે અને છેદમાંથી $3$ બાદ કરવામાં આવે,તો અપૂર્ણાંક $\frac{3}{4}$ બને છે: $\frac{x + 1}{y - 3} = \frac{3}{4}$.
બીજા સમીકરણમાં $y = x + 6$ મૂકતા: $\frac{x + 1}{(x + 6) - 3} = \frac{3}{4}$.
$\frac{x + 1}{x + 3} = \frac{3}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4(x + 1) = 3(x + 3)$.
$4x + 4 = 3x + 9$.
$4x - 3x = 9 - 4$.
$x = 5$.
હવે,$y$ શોધો: $y = x + 6 = 5 + 6 = 11$.
તેથી,અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y} = \frac{5}{11}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$2x + y = 4$ --- $(1)$
$x + 3y = 7$ --- $(2)$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2(x + 3y) = 2(7) \implies 2x + 6y = 14$ --- $(3)$
હવે,સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(2x + 6y) - (2x + y) = 14 - 4$
$5y = 10$
$y = 2$
$y = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 2 = 4$
$2x = 2$
$x = 1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 2)$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે સમીકરણ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 2$ ને $12$ વડે ગુણીએ જેથી તે પૂર્ણાંક સહગુણકોવાળા સમીકરણમાં રૂપાંતરિત થાય:
$3x + 4y = 24$ .......... $(1)$
$4x + 3y = 25$ .......... $(2)$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$12x + 16y = 96$ .......... $(3)$
$12x + 9y = 75$ .......... $(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(4)$ બાદ કરતા:
$(12x - 12x) + (16y - 9y) = 96 - 75$
$7y = 21$
$y = 3$
$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x + 4(3) = 24$
$3x + 12 = 24$
$3x = 12$
$x = 4$
આમ,આપેલ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ $(x, y) = (4, 3)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$5x + 6y = 14$ ............ $(1)$
$3x - 2y = -14$ ............ $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3(3x - 2y) = 3(-14) \implies 9x - 6y = -42$ ............ $(3)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(5x + 6y) + (9x - 6y) = 14 + (-42)$
$14x = -28$
$x = \frac{-28}{14} = -2$
$x = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(-2) + 6y = 14$
$-10 + 6y = 14$
$6y = 14 + 10$
$6y = 24$
$y = \frac{24}{6} = 4$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (-2, 4)$ છે.

(A) દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે બંને સમીકરણોને $10$ વડે ગુણતા:
$4x + 3y = 17$ ............. $(1)$
$7x - 2y = 8$ ............. $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$8x + 6y = 34$
$21x - 6y = 24$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(8x + 21x) + (6y - 6y) = 34 + 24$
$29x = 58$
$x = \frac{58}{29} = 2$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$4(2) + 3y = 17$
$8 + 3y = 17$
$3y = 17 - 8$
$3y = 9$
$y = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, 3)$ છે.

(A) ધારો કે થેલીમાં $50$ પૈસાના $x$ સિક્કા અને $25$ પૈસાના $y$ સિક્કા છે.
સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $x + y = 150$ છે. ....... $(1)$
$50$ પૈસાના $x$ સિક્કાનું મૂલ્ય $50x$ પૈસા થાય અને $25$ પૈસાના $y$ સિક્કાનું મૂલ્ય $25y$ પૈસા થાય.
કુલ રકમ $50x + 25y$ પૈસા છે.
કુલ રકમ રૂ. $55$ એટલે કે $5500$ પૈસા હોવાથી:
$50x + 25y = 5500$
આ સમીકરણને $25$ વડે ભાગતા:
$2x + y = 220$ ....... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(2x + y) - (x + y) = 220 - 150$
$x = 70$
$x = 70$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$70 + y = 150$
$y = 80$
આમ,$50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $70$ છે અને $25$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $80$ છે.

(C) ધારો કે દશકનો અંક $y$ છે અને એકમનો અંક $x$ છે.
મૂળ સંખ્યા $10y + x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો $6$ છે:
$x + y = 6$ ............ $(1)$
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10x + y$ બને છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $18$ ઓછી છે:
$(10y + x) - (10x + y) = 18$
$9y - 9x = 18$
$9$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$y - x = 2$ ............ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (y - x) = 6 + 2$
$2y = 8$
$y = 4$
$y = 4$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$x + 4 = 6$
$x = 2$
તેથી,મૂળ સંખ્યા $10(4) + 2 = 42$ છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$(1) x + 3y = 6$
$(2) 2x - y = 5$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$3(2x - y) = 3(5) \implies 6x - 3y = 15$ $(3)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(3)$ નો સરવાળો કરો:
$(x + 3y) + (6x - 3y) = 6 + 15$
$7x = 21$
$x = 3$
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(3) - y = 5$
$6 - y = 5$
$y = 1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (3, 1)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \quad 4x - 3y = 5$
$(2) \quad \frac{5}{2}x - y = 4$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3 \times (\frac{5}{2}x - y) = 3 \times 4$
$\frac{15}{2}x - 3y = 12 \quad (3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(\frac{15}{2}x - 3y) - (4x - 3y) = 12 - 5$
$\frac{15}{2}x - 4x = 7$
$\frac{15x - 8x}{2} = 7$
$\frac{7x}{2} = 7$
$x = 2$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{5}{2}(2) - y = 4$
$5 - y = 4$
$y = 1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, 1)$ છે.

(B) આપેલા સમીકરણો:
$1) \frac{x}{2} + \frac{3y}{5} = -1$
$2) \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{1}{3}$
$x$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માંથી બાદ કરતા:
$(\frac{x}{2} + \frac{3y}{5}) - (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) = -1 - \frac{1}{3}$
$\frac{3y}{5} - \frac{y}{3} = -\frac{4}{3}$
$\frac{9y - 5y}{15} = -\frac{4}{3}$
$\frac{4y}{15} = -\frac{4}{3}$
$y = -\frac{4}{3} \times \frac{15}{4} = -5$
$y = -5$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{x}{2} + \frac{-5}{3} = \frac{1}{3}$
$\frac{x}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$x = 4$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (4, -5)$ છે.

(C) આપેલા સમીકરણો:
$(1) \ 9x + 7y = 55$
$(2) \ 7x + 9y = 57$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(9x + 7x) + (7y + 9y) = 55 + 57$
$16x + 16y = 112$
$16$ વડે ભાગતા:
$x + y = 7 \quad (3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(9x - 7x) + (7y - 9y) = 55 - 57$
$2x - 2y = -2$
$2$ વડે ભાગતા:
$x - y = -1 \quad (4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 7 + (-1)$
$2x = 6 \implies x = 3$
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મુકતા:
$3 + y = 7 \implies y = 4$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (3, 4)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \ 11x + 13y = 61$
$(2) \ 13x + 11y = 59$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(11x + 13x) + (13y + 11y) = 61 + 59$
$24x + 24y = 120$
$24$ વડે ભાગતા:
$x + y = 5$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(13x - 11x) + (11y - 13y) = 59 - 61$
$2x - 2y = -2$
$2$ વડે ભાગતા:
$x - y = -1$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 5 + (-1)$
$2x = 4 \implies x = 2$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$2 + y = 5 \implies y = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, 3)$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપેલા સમીકરણોને સાદું રૂપ આપો:
$1$) $5(x-2) + 3y = 1 \implies 5x - 10 + 3y = 1 \implies 5x + 3y = 11$ (સમીકરણ $1$)
$2$) $3(x+1) + 5(y-3) = 1 \implies 3x + 3 + 5y - 15 = 1 \implies 3x + 5y = 13$ (સમીકરણ $2$)
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $1$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણો:
$25x + 15y = 55$ (સમીકરણ $3$)
$9x + 15y = 39$ (સમીકરણ $4$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $4$ બાદ કરતા:
$(25x - 9x) + (15y - 15y) = 55 - 39$
$16x = 16 \implies x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$5(1) + 3y = 11$
$5 + 3y = 11$
$3y = 6 \implies y = 2$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 2)$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપેલા સમીકરણોનું સાદું રૂપ આપો:
સમીકરણ $1$: $7y + 21 - 2x - 4 = 14 \implies -2x + 7y = -3$
સમીકરણ $2$: $4y - 8 + 3x - 9 = 2 \implies 3x + 4y = 19$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $1$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણો:
$-6x + 21y = -9$
$6x + 8y = 38$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $29y = 29 \implies y = 1$
$y = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $3x + 4(1) = 19 \implies 3x = 15 \implies x = 5$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (5, 1)$ છે.