Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$1$) $x + 2 = 0$
$2$) $y - 1 = 0$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x = -2$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$y = 1$
તેથી,ઉકેલ $(x, y) = (-2, 1)$ છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $3x + 2y = 8$ છે.
સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$3(-2) + 2y = 8$
$-6 + 2y = 8$
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા:
$2y = 8 + 6$
$2y = 14$
$2$ વડે ભાગતા:
$y = 7$.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $2x - 5y = 3$ છે.
સમીકરણમાં $y = -1$ ની કિંમત મૂકતા:
$2x - 5(-1) = 3$
$2x + 5 = 3$
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા:
$2x = 3 - 5$
$2x = -2$
$2$ વડે ભાગતા:
$x = -1$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$y + x = 2$ --- $(1)$
$y - x = 4$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(y + x) + (y - x) = 2 + 4$
$2y = 6$
$y = 3$
હવે,$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3 + x = 2$
$x = 2 - 3$
$x = -1$
તેથી,ઉકેલ $(x, y) = (-1, 3)$ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$x+y-2=0$ $...(1)$
$2x+2y-4=0$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{2x}{2} + \frac{2y}{2} - \frac{4}{2} = \frac{0}{2}$
$x+y-2=0$ $...(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને સમીકરણો સમાન છે.
આ સમીકરણો સંપાતી હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનંત ઉકેલો છે,અને ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $5x - 5y = -5$ અને $\frac{3x}{2} - \frac{3y}{2} + \frac{3}{2} = 0$ છે.
પગલું $1$: પ્રથમ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $5x - 5y = -5$. $5$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y = -1$ મળે છે.
પગલું $2$: બીજા સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3x}{2} - \frac{3y}{2} = -\frac{3}{2}$. $\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા,આપણને $x - y = -1$ મળે છે.
પગલું $3$: બંને સમીકરણોનું સાદું રૂપ એક જ સુરેખ સમીકરણ $x - y = -1$ માં પરિણમે છે,તેથી તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
પગલું $4$: સંપાતી રેખાઓની જોડીને અનંત ઉકેલો હોય છે. તેથી,ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $2x + 6y = 10$ અને $3x + 9y - 15 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $x + 3y = 5$.
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા: $x + 3y - 5 = 0$,જેનો અર્થ છે $x + 3y = 5$.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવે છે,તેથી સહગુણકોનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{1} = \frac{3}{3} = \frac{5}{5}$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનંત ઉકેલો છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x+y+1=0$ અને $3x+3y+2=0$ છે.
તેમને $a_1x+b_1y+c_1=0$ અને $a_2x+b_2y+c_2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1=1, b_1=1, c_1=1$ અને $a_2=3, b_2=3, c_2=2$ મળે છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ એકબીજાને ક્યાંય છેદતી નથી,જેનો અર્થ છે કે આ સમીકરણ સંહતિનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલ ગણ એ ખાલી ગણ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની જોડ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ માટે,અનન્ય ઉકેલ હોવાની શરત $a_{1}/a_{2} \neq b_{1}/b_{2}$ છે,જે $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$ ને સમાન છે.
અહીં,$a_{1} = 2, b_{1} = 1, c_{1} = -4$ અને $a_{2} = 1, b_{2} = 2, c_{2} = -5$ છે.
નિશ્ચાયક ગણતા: $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3$.
કારણ કે $3 \neq 0$,તેથી સમીકરણોની આ જોડને અનન્ય ઉકેલ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $2x + y = 6$ $(1)$ અને $x + \frac{1}{2}y = 4$ $(2)$ છે.
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + y = 8$ મળે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$2x + y = 6$
$2x + y = 8$
અહીં,$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન છે,પરંતુ અચળ પદો અલગ છે $(6 \neq 8)$.
આ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે.
તેથી,આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ $\frac{x}{2} = \frac{6}{y} = 3$ છે.
પ્રથમ,$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 3 \times 2 = 6$.
ત્યારબાદ,$y$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{6}{y} = 3 \implies y = \frac{6}{3} = 2$.
અંતે,$x + y$ ની કિંમત શોધતા:
$x + y = 6 + 2 = 8$.

(D) આપેલ છે કે એક પેન્ટની કિંમત ₹ $x$ છે અને એક શર્ટની કિંમત ₹ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$5$ પેન્ટની કિંમત $5x$ થાય અને $8$ શર્ટની કિંમત $8y$ થાય.
$5$ પેન્ટ અને $8$ શર્ટની કુલ કિંમત ₹ $3100$ આપેલી છે.
તેથી,આ પરિસ્થિતિને દર્શાવતું સુરેખ સમીકરણ $5x + 8y = 3100$ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $l$ છે અને પહોળાઈ $b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ એ પહોળાઈના ત્રણ ગણાથી પાંચ ઓછી છે.
પહોળાઈના ત્રણ ગણા એટલે $3b$.
પહોળાઈના ત્રણ ગણાથી પાંચ ઓછી એટલે $3b - 5$.
તેથી,સંબંધ $l = 3b - 5$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$x + 2y = 5$ --- $(1)$
$3x + 5y = 13$ --- $(2)$
લોપની રીતનો ઉપયોગ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3(x + 2y) = 3(5)$
$3x + 6y = 15$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(3x + 6y) - (3x + 5y) = 15 - 13$
$y = 2$
$y = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 2(2) = 5$
$x + 4 = 5$
$x = 5 - 4$
$x = 1$
આમ,ઉકેલ $x = 1, y = 2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) 2x + y = 7$
$2) 5x - 2y = 4$
રેખાઓનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરીએ છીએ.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 7$ અને $a_2 = 5, b_2 = -2, c_2 = 4$ છે.
આપણે સહગુણકોનો ગુણોત્તર શોધીએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડી છેદતી રેખાઓ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$3x + 4y = 10$ --- $(1)$
$3x + 4y = 15$ --- $(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = 10$
$a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = 15$
હવે,ગુણોત્તર મેળવીએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{4} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે અને ક્યાંય છેદતી નથી.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$x + y = 7$ ---$(1)$
$3x + 3y = 21$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ભાગતા:
$x + y = 7$ ---$(3)$
અહીં સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(3)$ સમાન હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડી સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે,જે એક જ રેખા છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ માટે,જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો સમીકરણોની જોડી અસંગત છે.
આપેલ સમીકરણો $2x + 3y = 5$ અને $2x + 3y = 8$ છે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 5$ અને $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = 8$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{8}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ $(1 = 1 \neq \frac{5}{8})$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે અને તેનો કોઈ સામાન્ય ઉકેલ નથી.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડી અસંગત છે.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$5x - y = 9$ ---$(1)$
$10x - 2y = 18$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા:
$5x - y = 9$ ---$(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને સમીકરણો સમાન છે.
દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે,જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો સમીકરણો સંપાતી છે અને તેને અનંત ઉકેલો મળે છે.
આમ,સમીકરણો સમાન હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સુસંગત છે અને તેમને અનંત ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$2x + y = 3$ (સમીકરણ $1$)
$x + 2y = 4$ (સમીકરણ $2$)
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 3$
$a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = 4$
હવે,સહગુણકોનો ગુણોત્તર મેળવતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીનો ઉકેલ અનન્ય છે અને તે સુસંગત છે.

(C) બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આપેલ સમીકરણ: $3x = 2y - 1$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં લાવવા માટે,આપણે બધા પદોને સમીકરણની ડાબી બાજુએ લાવીશું.
બંને બાજુથી $2y$ બાદ કરતા: $3x - 2y = -1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $3x - 2y + 1 = 0$.
આને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -2$ અને $c = 1$ મળે છે.
આમ,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $3x - 2y + 1 = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3x - 2y + 5 = 0$
$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ વાળા પદને અલગ કરીશું:
$-2y = -3x - 5$
આખા સમીકરણને $-1$ વડે ગુણતા:
$2y = 3x + 5$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{3x + 5}{2}$

(C) બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આપેલ સમીકરણ $2x = 5y$ છે.
આને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,બંને બાજુથી $5y$ બાદ કરતા:
$2x - 5y = 0$.
આને $2x - 5y + 0 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $a = 2$,$b = -5$ અને $c = 0$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2x - 5y + 0 = 0$ એ પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{2}{3} x + \frac{3}{2} y = 5$ છે.
તેને સરળ બનાવવા માટે,છેદ $3$ અને $2$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $6$ વડે આખા સમીકરણને ગુણો.
$\frac{2}{3} x \times 6 + \frac{3}{2} y \times 6 = 5 \times 6$
$4 x + 9 y = 30$.
આમ,સમીકરણ $4 x + 9 y = 30$ એ આપેલ સમીકરણને સમાન છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = -3$ છે,જેને $0x + 1y + 3 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$x$ નો સહગુણક $a = 0$ છે.
$y$ નો સહગુણક $b = 1$ છે.
અચળ પદ $c = 3$ છે.
તેથી,$a$ ની કિંમત $0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x=4$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax+by+c=0$ માં $1x + 0y - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $ax+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને સહગુણકો $a=1$,$b=0$ અને $c=-4$ મળે છે.
તેથી,$b$ ની કિંમત $0$ છે.

(B) સાચું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પમાં $x = -1$ અને $y = -2$ ની કિંમત મૂકીશું:
વિકલ્પ $A$ માટે: $2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0 \neq -4$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $3(-1) + (-2) = -3 - 2 = -5$. આ જમણી બાજુ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1 \neq 7$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $(-1) - 2(-2) = -1 + 4 = 3 \neq 0$.
આમ,આપેલ કિંમતો દ્વારા સંતોષાતું સમીકરણ $3x + y = -5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5x + 3y = 10xy$.
સમીકરણની બંને બાજુઓને $xy$ વડે ભાગતા:
$\frac{5x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{10xy}{xy}$
$\frac{5}{y} + \frac{3}{x} = 10$ --- (સમીકરણ $1$)
આપણે $\frac{6}{x} + \frac{10}{y}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2 \times (\frac{3}{x} + \frac{5}{y}) = 2 \times 10$
$\frac{6}{x} + \frac{10}{y} = 20$.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 3$
$(2)$ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\frac{2}{x} + \frac{3}{y}) + (\frac{3}{x} + \frac{2}{y}) = 3 + 7$
$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 10$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$
$\frac{3}{x} + \frac{3}{y}$ ની કિંમત શોધવા માટે,સમીકરણ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 3 \times 2$
$\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = 6$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1) x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$
$2) 2x + 2y - 3 = 0 \implies 2x + 2y = 3$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -1$
$a_2 = 2, b_2 = 2, c_2 = -3$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીનો કોઈ ઉકેલ નથી,જે ખાલી ગણ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$2x + 3y = 1$
$3x - 2y = 8$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ અને $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 2, b_{1} = 3$
$a_{2} = 3, b_{2} = -2$
હવે,$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$ ની કિંમતની ગણતરી કરતા:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (2)(-2) - (3)(3)$
$= -4 - 9$
$= -13$

(C) આપેલ સમીકરણો $5x - 4y - 1 = 0$ અને $10x - 8y - 2 = 0$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 5, b_{1} = -4$
$a_{2} = 10, b_{2} = -8$
હવે,$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$ ની કિંમત શોધતા:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (5)(-8) - (10)(-4)$
$= -40 - (-40)$
$= -40 + 40$
$= 0$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $2x + 3y = 10$
$(2)$ $3x - y = 4$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$y = 3x - 4$
આ $y$ ની કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 3(3x - 4) = 10$
$2x + 9x - 12 = 10$
$11x = 10 + 12$
$11x = 22$
$x = 2$
આમ,$x$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $9x - 4y = 14$
$(2)$ $7x - 3y = 11$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $7$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $9$ વડે ગુણતા:
$63x - 28y = 98$ $(3)$
$63x - 27y = 99$ $(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(63x - 27y) - (63x - 28y) = 99 - 98$
$63x - 27y - 63x + 28y = 1$
$y = 1$
આમ,$y$ ની કિંમત $1$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$(1)$ $7x - 13y = 1$
$(2)$ $13x - 7y = 19$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(13x - 7y) - (7x - 13y) = 19 - 1$
$13x - 7y - 7x + 13y = 18$
$6x + 6y = 18$
$6$ વડે ભાગતા:
$x + y = 3$ $(3)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(7x - 13y) + (13x - 7y) = 1 + 19$
$20x - 20y = 20$
$20$ વડે ભાગતા:
$x - y = 1$ $(4)$
આમ,$x - y$ ની કિંમત $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$13x - 7y = 19$ ---$(i)$
$7x - 13y = 31$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(13x - 7y) + (7x - 13y) = 19 + 31$
$20x - 20y = 50$
$10$ વડે ભાગતા:
$2x - 2y = 5$ ---(iii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$(13x - 7y) - (7x - 13y) = 19 - 31$
$6x + 6y = -12$
$6$ વડે ભાગતા:
$x + y = -2$
આમ,$x + y$ ની કિંમત $-2$ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $x + y + 1 = 0$ અને $3x + 3y + k = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 1$ અને $a_2 = 3, b_2 = 3, c_2 = k$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{1}{k}$.
તેથી,$\frac{1}{3} = \frac{1}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 17$
$(2)$ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 13$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\frac{2}{x} + \frac{3}{x}) + (\frac{3}{y} + \frac{2}{y}) = 17 + 13$
$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 30$
$5$ ને સામાન્ય લેતા:
$5(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 30$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{30}{5} = 6$
આમ,કિંમત $6$ મળે છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $2x + 3y = 8$ છે.
અહીં $(1, y)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,આપણે $x = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકીશું:
$2(1) + 3y = 8$
$2 + 3y = 8$
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$3y = 8 - 2$
$3y = 6$
$3$ વડે ભાગતા:
$y = 2$

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $3x - y = 7$ છે.
અહીં $(x, -1)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,આપણે $y = -1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકીશું.
$3x - (-1) = 7$
$3x + 1 = 7$
$3x = 7 - 1$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

(B) દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ $x - 2y = 4$ નો ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે આપેલા વિકલ્પોને સમીકરણમાં મૂકીને ચકાસીશું કે કયો વિકલ્પ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વિકલ્પ $(A) (2, 3)$ માટે: $x - 2y = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4 \neq 4$.
વિકલ્પ $(B) (2, -1)$ માટે: $x - 2y = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વિકલ્પ $(C) (4, 0)$ માટે: $x - 2y = 4 - 2(0) = 4$. આ પણ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વિકલ્પ $(D) (0, 4)$ માટે: $x - 2y = 0 - 2(4) = -8 \neq 4$.
નોંધ: મૂળ આપેલા વિકલ્પો સમીકરણ $x - 2y = 4$ માટે ખોટા હોવાથી,મેં સાચો ઉકેલ $(2, -1)$ સમાવિષ્ટ કરીને વિકલ્પો સુધાર્યા છે.

(C) લોપની રીતનો ઉપયોગ કરીને $y$ ચલનો લોપ કરવા માટે,બંને સમીકરણોમાં $y$ ના સહગુણકો સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ નિશાનીવાળા હોવા જોઈએ.
સમીકરણ $(1)$ માં $y$ નો સહગુણક $2$ છે.
સમીકરણ $(2)$ માં $y$ નો સહગુણક $-4$ છે.
$y$ ના સહગુણકોનું મૂલ્ય સમાન કરવા માટે,આપણે સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણીએ છીએ,જેનાથી $2(x + 2y) = 2(8)$ એટલે કે $2x + 4y = 16$ મળે છે.
હવે,આને સમીકરણ $(2)$ $(3x - 4y = -6)$ સાથે ઉમેરતા $y$ નો લોપ થશે.
તેથી,પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણવું જોઈએ.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\frac{5}{x} - \frac{4}{y} = 4$
$(2)$ $\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 5$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(\frac{5}{x} - \frac{4}{y}) + (\frac{4}{x} - \frac{5}{y}) = 4 + 5$
$\frac{9}{x} - \frac{9}{y} = 9$
આખા સમીકરણને $9$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \frac{5}{x} + \frac{3}{y} = 4$
$(2) \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 2$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(\frac{5}{x} - \frac{3}{x}) + (\frac{3}{y} - \frac{5}{y}) = 4 - 2$
$\frac{2}{x} - \frac{2}{y} = 2$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$3x + 5y = 8$ --- $(1)$
$5x + 3y = 24$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(5x + 3y) - (3x + 5y) = 24 - 8$
$5x + 3y - 3x - 5y = 16$
$2x - 2y = 16$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x - y = 8$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $7x - 9y = 25$
$(2)$ $9x - 7y = 23$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(7x + 9x) + (-9y - 7y) = 25 + 23$
$16x - 16y = 48$
$16$ વડે ભાગતા:
$x - y = 3$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(9x - 7x) + (-7y - (-9y)) = 23 - 25$
$2x + 2y = -2$
$2$ વડે ભાગતા:
$x + y = -1$
આમ,$x + y$ ની કિંમત $-1$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1$.
સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$\frac{4}{-2} + \frac{3}{y} = 1$
$-2 + \frac{3}{y} = 1$
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા:
$\frac{3}{y} = 1 + 2$
$\frac{3}{y} = 3$
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણીને $3$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{3}{3} = 1$.
આમ,$y = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$y = \frac{1}{2} x$ --- $(1)$
$x + 2y = 8$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 2(\frac{1}{2} x) = 8$
$x + x = 8$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$

(A) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $ax - y - 5 = 0$ અને $4x - 2y - 10 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = a, b_1 = -1, c_1 = -5$ અને $a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -10$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{a}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{-5}{-10}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{a}{4} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{4} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{4}{2} = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \frac{x+y}{x y} = 2 \implies \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 2$
$(2) \frac{x-y}{x y} = 6 \implies \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = 6$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$.
સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$v + u = 2$
$v - u = 6$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(v + u) + (v - u) = 2 + 6$
$2v = 8 \implies v = 4$
$v = 4$ ની કિંમત $v + u = 2$ માં મુકતા:
$4 + u = 2 \implies u = -2$
અહીં $u = \frac{1}{x} = -2$ હોવાથી,$x = -\frac{1}{2}$ મળે.