Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$43x + 67y = -24 .....(i)$
$67x + 43y = 24 .....(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(43 + 67)x + (67 + 43)y = -24 + 24$
$110x + 110y = 0$
$110(x + y) = 0$
$x + y = 0 \Rightarrow x = -y .....(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(67 - 43)x + (43 - 67)y = 24 - (-24)$
$24x - 24y = 48$
$24(x - y) = 48$
$x - y = 2 .....(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $x = -y$ ની કિંમત $(iv)$ માં મૂકતા:
$-y - y = 2$
$-2y = 2$
$y = -1$
$y = -1$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$x = -(-1) = 1$
આમ,ઉકેલ $x = 1$ અને $y = -1$ છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b \quad .....(i)$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0 \quad .....(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $\frac{1}{a}$ વડે ગુણતા:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} = 1 + \frac{b}{a} \quad .....(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(iii)$ બાદ કરતા:
$\left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} \right) - \left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} \right) = 2 - \left( 1 + \frac{b}{a} \right)$
$\frac{y}{b^{2}} - \frac{y}{ab} = 1 - \frac{b}{a}$
$y \left( \frac{a - b}{ab^{2}} \right) = \frac{a - b}{a}$
$(a - b)$ ને દૂર કરતા:
$\frac{y}{ab^{2}} = \frac{1}{a}$
$y = b^{2}$
$y = b^{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2}} = 2$
$\frac{x}{a^{2}} + 1 = 2$
$\frac{x}{a^{2}} = 1$
$x = a^{2}$
આમ,ઉકેલ $x = a^{2}$ અને $y = b^{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{2xy}{x+y} = \frac{3}{2} \implies \frac{x+y}{2xy} = \frac{2}{3} \implies \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{4}{3} \quad ...(i)$
$\frac{xy}{2x-y} = \frac{-3}{10} \implies \frac{2x-y}{xy} = \frac{-10}{3} \implies \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{-10}{3} \quad ...(ii)$
ધારો કે $\frac{1}{x} = u$ અને $\frac{1}{y} = v$. તેથી સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$v + u = \frac{4}{3} \quad ...(iii)$
$2v - u = \frac{-10}{3} \quad ...(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(v + u) + (2v - u) = \frac{4}{3} - \frac{10}{3}$
$3v = \frac{-6}{3} = -2 \implies v = \frac{-2}{3}$
$v = \frac{-2}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$u + (\frac{-2}{3}) = \frac{4}{3} \implies u = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$
અહીં $u = \frac{1}{x} = 2$ હોવાથી,$x = \frac{1}{2}$ મળે.
અહીં $v = \frac{1}{y} = \frac{-2}{3}$ હોવાથી,$y = \frac{-3}{2}$ મળે.
આમ,ઉકેલ $x = \frac{1}{2}, y = \frac{-3}{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{x}{10} + \frac{y}{5} = 1 \dots (i)$
$\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 15 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $10$ વડે ગુણતા,આપણને $x + 2y = 10 \dots (iii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(ii)$ ને $24$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 4y = 360 \dots (iv)$ મળે છે.
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(iii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2x + 4y = 20 \dots (v)$
સમીકરણ $(iv)$ માંથી સમીકરણ $(v)$ બાદ કરતા:
$(3x + 4y) - (2x + 4y) = 360 - 20$
$x = 340$
$x = 340$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$340 + 2y = 10$
$2y = -330$
$y = -165$
સંબંધ $y = \lambda x + 5$ માં $x = 340$ અને $y = -165$ મૂકતા:
$-165 = \lambda(340) + 5$
$-170 = 340\lambda$
$\lambda = -\frac{170}{340} = -\frac{1}{2}$
આમ,ઉકેલ $x = 340, y = -165$ છે અને $\lambda = -\frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની જોડ:
$3x + y + 4 = 0 .....(i)$
$6x - 2y + 4 = 0 .....(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = 4$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = 4$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે છે. તેથી,આ સમીકરણોની જોડ સુસંગત છે.
સમીકરણ $(i)$ માટે,$y = -3x - 4$:

$x$	$0$	$-1$	$-2$
$y$	$-4$	$-1$	$2$

સમીકરણ $(ii)$ માટે,$2y = 6x + 4 \Rightarrow y = 3x + 2$:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$y$	$-1$	$2$	$5$

આ રેખાઓને આલેખ પર દોરતા,તે $(-1, -1)$ બિંદુએ છેદે છે. આમ,ઉકેલ $x = -1, y = -1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ યુગ્મ છે:
$x - 2y = 6$ ..... $(i)$
$3x - 6y = 0$ ..... $(ii)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -6$
$a_2 = 3, b_2 = -6, c_2 = 0$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{0}$ (જે અવ્યાખ્યાયિત છે)
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેઓ કોઈ પણ બિંદુએ છેદતી નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત નથી અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(CONSISTENT) આપેલ સમીકરણોની જોડી છે:
$x+y=3 .....(i)$
$3x+3y=9 .....(ii)$
$ax+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1=1, b_1=1, c_1=-3$ [સમીકરણ $(i)$ પરથી]
$a_2=3, b_2=3, c_2=-9$ [સમીકરણ $(ii)$ પરથી]
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આપેલ રેખાઓ સંપાતી છે. તેથી,આ રેખાઓને અનંત ઉકેલો છે. આમ,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી સુસંગત છે.
હવે,$x+y=3 \Rightarrow y=3-x$ માટે:

$x$	$0$	$3$
$y$	$3$	$0$
બિંદુઓ	$A$	$B$

અને $3x+3y=9 \Rightarrow y = \frac{9-3x}{3} = 3-x$ માટે:

$x$	$0$	$1$	$3$
$y$	$3$	$2$	$0$
બિંદુઓ	$C$	$D$	$E$

બિંદુઓ $A(0,3)$ અને $B(3,0)$ ને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણને રેખા $AB$ મળે છે. તેવી જ રીતે,બિંદુઓ $C(0,3), D(1,2)$ અને $E(3,0)$ ને દર્શાવતા,આપણને તે જ રેખા મળે છે. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સંપાતી છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી $2x + y = 4$ અને $2x - y = 4$ છે.
રેખા $2x + y = 4$ માટેનું કોષ્ટક:

$x$	$0$	$2$
$y = 4 - 2x$	$4$	$0$
બિંદુઓ	$A(0, 4)$	$B(2, 0)$

રેખા $2x - y = 4$ માટેનું કોષ્ટક:

$x$	$0$	$2$
$y = 2x - 4$	$-4$	$0$
બિંદુઓ	$C(0, -4)$	$B(2, 0)$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને રેખાઓ બિંદુ $B(2, 0)$ પર છેદે છે અને $y$-અક્ષને બિંદુઓ $A(0, 4)$ અને $C(0, -4)$ પર છેદે છે.
આ રેખાઓ અને $y$-અક્ષ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 4)$,$B(2, 0)$ અને $C(0, -4)$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $y$-અક્ષ પર છે,જેની લંબાઈ $AC = |4 - (-4)| = 8$ એકમ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ બિંદુ $B(2, 0)$ થી $y$-અક્ષનું લંબ અંતર છે,જે $2$ એકમ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$ ચોરસ એકમ.
આમ,શિરોબિંદુઓ $(0, 4), (2, 0), (0, -4)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $8$ ચોરસ એકમ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સુરેખ સમીકરણોની જોડી ઉકેલીએ:
$x + y = 2$ --- $(i)$
$2x - y = 1$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (2x - y) = 2 + 1$
$3x = 3$
$x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1 + y = 2$
$y = 1$
ઉકેલ બિંદુ $(1, 1)$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાને $y - 1 = m(x - 1)$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં $m$ એ રેખાનો ઢાળ છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $m = 1$ લઈએ,તો સમીકરણ $y - 1 = x - 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય.
ઢાળ $m$ ની અસંખ્ય કિંમતો શક્ય હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી આવી અસંખ્ય રેખાઓ મળી શકે છે.

(D) આપેલ છે કે $(x+1)$ એ $f(x) = 2x^{3} + ax^{2} + 2bx + 1$ નો અવયવ છે,તેથી અવયવ પ્રમેય મુજબ $f(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$2(-1)^{3} + a(-1)^{2} + 2b(-1) + 1 = 0$
$-2 + a - 2b + 1 = 0$
$a - 2b = 1$ ... $(i)$
આપણને બીજું સમીકરણ $2a - 3b = 4$ ... $(ii)$ આપેલ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$a = 2b + 1$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$2(2b + 1) - 3b = 4$
$4b + 2 - 3b = 4$
$b + 2 = 4$
$b = 2$
હવે,$b = 2$ ની કિંમત $a = 2b + 1$ માં મૂકતા:
$a = 2(2) + 1 = 5$.
આમ,$a$ અને $b$ ની જરૂરી કિંમતો અનુક્રમે $5$ અને $2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x, y$ અને $40^{\circ}$ એ ત્રિકોણના ખૂણાઓ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી:
$x + y + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow x + y = 140^{\circ} \quad \dots(i)$
વળી,બે ખૂણાઓ વચ્ચેનો તફાવત $30^{\circ}$ આપેલ છે:
$x - y = 30^{\circ} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 140^{\circ} + 30^{\circ}$
$2x = 170^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$85^{\circ} + y = 140^{\circ}$
$y = 140^{\circ} - 85^{\circ} = 55^{\circ}$
આમ,$x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે $85^{\circ}$ અને $55^{\circ}$ છે.

(B) ધારો કે સલીમની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને તેની પુત્રીની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,બે વર્ષ પહેલાં:
$x - 2 = 3(y - 2)$
$x - 2 = 3y - 6$
$x - 3y = -4$ --- $(i)$
બીજી શરત મુજબ,છ વર્ષ પછી:
$x + 6 = 2(y + 6) + 4$
$x + 6 = 2y + 12 + 4$
$x - 2y = 10$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતાં:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-4)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 4$
$y = 14$
$y = 14$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$x - 2(14) = 10$
$x - 28 = 10$
$x = 38$
આમ,સલીમની હાલની ઉંમર $38$ વર્ષ અને તેની પુત્રીની હાલની ઉંમર $14$ વર્ષ છે.

(C) ધારો કે પિતાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને તેમના બે બાળકોની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $S$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $x = 2S$ ... $(i)$
$20$ વર્ષ પછી,પિતાની ઉંમર $(x + 20)$ વર્ષ થશે.
$20$ વર્ષ પછી,દરેક બાળકની ઉંમરમાં $20$ વર્ષનો વધારો થશે,તેથી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(S + 20 + 20) = (S + 40)$ વર્ષ થશે.
બીજી શરત મુજબ: $x + 20 = S + 40$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $S = x/2$ ની કિંમત બીજી શરતમાં મૂકતા:
$x + 20 = x/2 + 40$
$x - x/2 = 40 - 20$
$x/2 = 20$
$x = 40$
આમ,પિતાની હાલની ઉંમર $40$ વર્ષ છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $5x$ અને $6x$ છે,જે આપેલ ગુણોત્તર $5:6$ પર આધારિત છે.
બીજી શરત મુજબ,જો દરેક સંખ્યામાંથી $8$ બાદ કરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $4:5$ બને છે.
તેથી,$\frac{5x - 8}{6x - 8} = \frac{4}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે $5(5x - 8) = 4(6x - 8)$.
$25x - 40 = 24x - 32$.
$25x - 24x = 40 - 32$.
$x = 8$.
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $5x = 5 \times 8 = 40$ છે.
બીજી સંખ્યા $6x = 6 \times 8 = 48$ છે.
આમ,જરૂરી સંખ્યાઓ $40$ અને $48$ છે.

(A) ધારો કે ખંડ $A$ અને $B$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,જો $A$ માંથી $B$ માં $10$ વિદ્યાર્થીઓ મોકલવામાં આવે,તો વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા સમાન થાય છે:
$x - 10 = y + 10$
$\Rightarrow x - y = 20$ ---$(i)$
બીજી શરત મુજબ,જો $B$ માંથી $A$ માં $20$ વિદ્યાર્થીઓ મોકલવામાં આવે,તો $A$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $B$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા કરતા બમણી થાય છે:
$x + 20 = 2(y - 20)$
$x + 20 = 2y - 40$
$\Rightarrow x - 2y = -60$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ (ii) બાદ કરતા:
$(x - y) - (x - 2y) = 20 - (-60)$
$x - y - x + 2y = 80$
$y = 80$
$y = 80$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x - 80 = 20$
$x = 100$
આમ,ખંડ $A$ માં $100$ વિદ્યાર્થીઓ અને ખંડ $B$ માં $80$ વિદ્યાર્થીઓ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ બે દિવસ માટેનું નિશ્ચિત ભાડું $Rs. x$ છે અને ત્યારબાદના દરેક દિવસ માટેનું વધારાનું ભાડું $Rs. y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,લતિકાએ છ દિવસ માટે રાખેલ પુસ્તક માટે $Rs. 22$ ચૂકવ્યા (પ્રથમ $2$ દિવસ + $4$ વધારાના દિવસ):
$x + 4y = 22$ --- $(i)$
બીજી શરત મુજબ,આનંદે ચાર દિવસ માટે રાખેલ પુસ્તક માટે $Rs. 16$ ચૂકવ્યા (પ્રથમ $2$ દિવસ + $2$ વધારાના દિવસ):
$x + 2y = 16$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 22 - 16$
$2y = 6$
$y = 3$
$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$x + 2(3) = 16$
$x + 6 = 16$
$x = 10$
આમ,નિશ્ચિત ભાડું $Rs. 10$ છે અને દરેક વધારાના દિવસનું ભાડું $Rs. 3$ છે.

(C) ધારો કે સાચા જવાબોની સંખ્યા $x$ છે અને ખોટા જવાબોની સંખ્યા $(120-x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મેળવેલા કુલ ગુણ $90$ છે.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $x \times 1 - (120 - x) \times \frac{1}{2} = 90$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x - 60 + \frac{x}{2} = 90$.
બંને બાજુ $60$ ઉમેરતા: $x + \frac{x}{2} = 150$.
પદોને જોડતા: $\frac{3x}{2} = 150$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{150 \times 2}{3} = 100$.
આમ,જયંતીએ $100$ પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપ્યા હતા.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle A + \angle C = (6x + 10)^{\circ} + (x + y)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 7x + y = 170 \quad \dots(i)$
તે જ રીતે,$\angle B + \angle D = (5x)^{\circ} + (3y - 10)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 5x + 3y = 190 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $21x + 3y = 510 \quad \dots(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(21x + 3y) - (5x + 3y) = 510 - 190$
$16x = 320 \Rightarrow x = 20$
$x = 20$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$7(20) + y = 170 \Rightarrow 140 + y = 170 \Rightarrow y = 30$
હવે,ખૂણાઓના માપ:
$\angle A = 6(20) + 10 = 130^{\circ}$
$\angle B = 5(20) = 100^{\circ}$
$\angle C = 20 + 30 = 50^{\circ}$
$\angle D = 3(30) - 10 = 80^{\circ}$
આમ,$x = 20$,$y = 30$ અને ખૂણાઓ $130^{\circ}, 100^{\circ}, 50^{\circ}, 80^{\circ}$ છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $x=-2$ નો આલેખ એ $y$-અક્ષને સમાંતર અને તેની ડાબી બાજુ $2$ એકમ અંતરે આવેલી રેખા છે.
$y=3$ નો આલેખ એ $x$-અક્ષને સમાંતર અને તેની ઉપર $3$ એકમ અંતરે આવેલી રેખા છે.
$x=-2$,$y=3$,$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલી આકૃતિ $OABC$ છે,જે એક લંબચોરસ છે.
$A$ એ $y$-અક્ષ પરનું બિંદુ છે જે $x$-અક્ષથી ઉપર $3$ એકમ અંતરે છે. તેથી,$A$ ના યામ $(0, 3)$ છે.
$C$ એ $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ છે જે $y$-અક્ષથી ડાબી બાજુ $2$ એકમ અંતરે છે. તેથી,$C$ ના યામ $(-2, 0)$ છે.
$B$ એ $x=-2$ અને $y=3$ રેખાઓનું છેદબિંદુ છે. તેથી,$B$ ના યામ $(-2, 3)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0)$ છે.
આમ,લંબચોરસ $OABC$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(0, 3)$,$B(-2, 3)$ અને $C(-2, 0)$ છે.
આ લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $2$ એકમ અને $3$ એકમ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $=$ લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ હોવાથી,
લંબચોરસ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 3 = 6 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ એ તેની બાજુઓ બનાવતી રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે. આ બિંદુઓ શોધવા માટે આપણે સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીશું.
જોડી $1$: $5x - y = 5$ અને $x + 2y = 1$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = 5x - 5$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(5x - 5) = 1 \implies x + 10x - 10 = 1 \implies 11x = 11 \implies x = 1$. તેથી $y = 5(1) - 5 = 0$. શિરોબિંદુ: $(1, 0)$.
જોડી $2$: $x + 2y = 1$ અને $6x + y = 17$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$y = 17 - 6x$. પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(17 - 6x) = 1 \implies x + 34 - 12x = 1 \implies -11x = -33 \implies x = 3$. તેથી $y = 17 - 6(3) = -1$. શિરોબિંદુ: $(3, -1)$.
જોડી $3$: $5x - y = 5$ અને $6x + y = 17$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(5x - y) + (6x + y) = 5 + 17 \implies 11x = 22 \implies x = 2$. $x = 2$ ને $5x - y = 5$ માં મૂકતા: $5(2) - y = 5 \implies 10 - y = 5 \implies y = 5$. શિરોબિંદુ: $(2, 5)$.
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(1, 0), (3, -1)$ અને $(2, 5)$ છે.

(C) ધારો કે ટેબલની મૂળ કિંમત $Rs.\, x$ છે અને ખુરશીની મૂળ કિંમત $Rs.\, y$ છે.
ટેબલ પર $10\%$ નફા સાથે વેચાણ કિંમત $x + 0.10x = 1.10x$ થાય.
ખુરશી પર $25\%$ નફા સાથે વેચાણ કિંમત $y + 0.25y = 1.25y$ થાય.
આપેલ છે કે,$1.10x + 1.25y = 1050$. $100$ વડે ગુણતા,આપણને $110x + 125y = 105000$ મળે ....$(1)$
જો ટેબલ $25\%$ નફા પર અને ખુરશી $10\%$ નફા પર વેચવામાં આવે,તો વેચાણ કિંમત $1.25x + 1.10y = 1065$ થાય.
$100$ વડે ગુણતા,આપણને $125x + 110y = 106500$ મળે ....$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$235x + 235y = 211500 \implies x + y = 900$ ....$(3)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$-15x + 15y = -1500 \implies x - y = 100$ ....$(4)$
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$2x = 1000 \implies x = 500$.
$(3)$ માં $x = 500$ મૂકતા:
$500 + y = 900 \implies y = 400$.
આમ,ટેબલની મૂળ કિંમત $Rs.\, 500$ અને ખુરશીની મૂળ કિંમત $Rs.\, 400$ છે.

(D) ધારો કે મોટા પાઇપને પૂલ ભરતા લાગતો સમય $x$ કલાક છે અને નાના પાઇપને લાગતો સમય $y$ કલાક છે.
$1$ કલાકમાં,મોટો પાઇપ પૂલનો $1/x$ ભાગ ભરે છે અને નાનો પાઇપ $1/y$ ભાગ ભરે છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,જો બંને પાઇપનો ઉપયોગ થાય,તો તેઓ $12$ કલાકમાં પૂલ ભરે છે:
$1/x + 1/y = 1/12$ --- (સમીકરણ $1$)
બીજી શરત મુજબ,મોટો પાઇપ $4$ કલાક અને નાનો પાઇપ $9$ કલાક કામ કરે ત્યારે અડધો પૂલ ભરાય છે:
$4/x + 9/y = 1/2$ --- (સમીકરણ $2$)
ધારો કે $u = 1/x$ અને $v = 1/y$. સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$u + v = 1/12$ --- (સમીકરણ $3$)
$4u + 9v = 1/2$ --- (સમીકરણ $4$)
સમીકરણ $3$ ને $4$ વડે ગુણતા: $4u + 4v = 4/12 = 1/3$.
આને સમીકરણ $4$ માંથી બાદ કરતા: $(4u + 9v) - (4u + 4v) = 1/2 - 1/3$.
$5v = 1/6$,તેથી $v = 1/30$.
$v = 1/30$ ને સમીકરણ $3$ માં મૂકતા: $u + 1/30 = 1/12$.
$u = 1/12 - 1/30 = (5 - 2)/60 = 3/60 = 1/20$.
$u = 1/x = 1/20$ હોવાથી,$x = 20$ કલાક.
$v = 1/y = 1/30$ હોવાથી,$y = 30$ કલાક.
આમ,મોટા પાઇપને $20$ કલાક અને નાના પાઇપને $30$ કલાકનો સમય અલગથી પૂલ ભરતા લાગશે.

(4:1) આપેલ સમીકરણો $2x + y = 6$ અને $2x - y + 2 = 0$ છે.
સમીકરણ $2x + y = 6$ માટેનું કોષ્ટક:

$x$	$0$	$3$
$y$	$6$	$0$
બિંદુઓ	$B$	$A$

સમીકરણ $2x - y + 2 = 0$ માટેનું કોષ્ટક:

$x$	$0$	$-1$
$y$	$2$	$0$
બિંદુઓ	$D$	$C$

ધારો કે $A_1$ અને $A_2$ એ અનુક્રમે $\triangle ACE$ અને $\triangle BDE$ ના ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
હવે,$A_1 = \triangle ACE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times PE = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.
અને $A_2 = \triangle BDE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BD \times QE = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$.
તેથી,$A_1 : A_2 = 8 : 2 = 4 : 1$.
આમ,સમીકરણોની જોડી આલેખ પર બિંદુ $E(1, 4)$ પર છેદે છે,એટલે કે $x = 1$ અને $y = 4$.

(O(0,0), Q(4,4), D(6,2)) આપેલ સુરેખ સમીકરણો છે:
$y=x \quad (i)$
$3y=x \quad (ii)$
$x+y=8 \quad (iii)$
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓની જોડીના છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. $(i)$ અને $(ii)$ નું છેદબિંદુ:
$y=x$ ને $3y=x$ માં મૂકતા,આપણને $3x=x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $2x=0$,તેથી $x=0$. આમ,$y=0$. છેદબિંદુ $O(0,0)$ છે.
$2$. $(i)$ અને $(iii)$ નું છેદબિંદુ:
$y=x$ ને $x+y=8$ માં મૂકતા,આપણને $x+x=8$ મળે છે,તેથી $2x=8$,જેનો અર્થ છે $x=4$. આમ,$y=4$. છેદબિંદુ $Q(4,4)$ છે.
$3$. $(ii)$ અને $(iii)$ નું છેદબિંદુ:
$(ii)$ પરથી,$x=3y$. આને $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને $3y+y=8$ મળે છે,તેથી $4y=8$,જેનો અર્થ છે $y=2$. પછી $x=3(2)=6$. છેદબિંદુ $D(6,2)$ છે.
આમ,રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$Q(4,4)$ અને $D(6,2)$ છે.

(8) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $2x-y-4=0$,$x=3$ અને $x=5$ છે.
રેખા $2x-y-4=0$ માટે,આપણે બે બિંદુઓ શોધીએ છીએ:

$x$	$0$	$2$
$y=2x-4$	$-4$	$0$

બિંદુઓ $P(0, -4)$ અને $Q(2, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવો અને તેમાંથી પસાર થતી રેખા દોરો. આ ઉપરાંત,શિરોલંબ રેખાઓ $x=3$ અને $x=5$ દોરો.
રેખાઓ $x=3$,$x=5$,$x$-અક્ષ અને રેખા $2x-y-4=0$ દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે,જેમાં $x=3$ અને $x=5$ પરની બાજુઓ સમાંતર છે.
$x=3$ માટે,$y = 2(3)-4 = 2$. તેથી,બિંદુ $D$ એ $(3, 2)$ છે.
$x=5$ માટે,$y = 2(5)-4 = 6$. તેથી,બિંદુ $C$ એ $(5, 6)$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણની સમાંતર બાજુઓ $AD = 2$ એકમ અને $BC = 6$ એકમ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $AB = 5-3 = 2$ એકમ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times (\text{ઊંચાઈ})$
$= \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times AB$
$= \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 2$
$= 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $8 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.

(D) ધારો કે એક પેનની કિંમત $Rs.\, x$ છે અને એક પેન્સિલ બોક્સની કિંમત $Rs.\, y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$4x + 4y = 100$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $x + y = 25$ મળે છે (સમીકરણ $i$).
બીજી શરત મુજબ,$3x = y + 15$,જેને $3x - y = 15$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (3x - y) = 25 + 15$
$4x = 40$
$x = 10$
$x = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$10 + y = 25$
$y = 15$
આમ,પેનની કિંમત $Rs.\, 10$ અને પેન્સિલ બોક્સની કિંમત $Rs.\, 15$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$3x - y = 3 \quad ...(i)$
$2x - 3y = 2 \quad ...(ii)$
$x + 2y = 8 \quad ...(iii)$
ધારો કે રેખાઓ $(i), (ii),$ અને $(iii)$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC,$ અને $CA$ દર્શાવે છે.
$1$. શિરોબિંદુ $B$ શોધવા માટે,રેખાઓ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલો:
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $9x - 3y = 9$
તેમાંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા: $(9x - 3y) - (2x - 3y) = 9 - 2 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $3(1) - y = 3 \Rightarrow y = 0$.
તેથી,શિરોબિંદુ $B$ એ $(1, 0)$ છે.
$2$. શિરોબિંદુ $C$ શોધવા માટે,રેખાઓ $(ii)$ અને $(iii)$ ઉકેલો:
સમીકરણ $(iii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 4y = 16$.
તેમાંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા: $(2x + 4y) - (2x - 3y) = 16 - 2 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$.
$y = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા: $x + 2(2) = 8 \Rightarrow x = 4$.
તેથી,શિરોબિંદુ $C$ એ $(4, 2)$ છે.
$3$. શિરોબિંદુ $A$ શોધવા માટે,રેખાઓ $(iii)$ અને $(i)$ ઉકેલો:
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $6x - 2y = 6$.
તેમાં સમીકરણ $(iii)$ ઉમેરતા: $(6x - 2y) + (x + 2y) = 6 + 8 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$.
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $3(2) - y = 3 \Rightarrow 6 - y = 3 \Rightarrow y = 3$.
તેથી,શિરોબિંદુ $A$ એ $(2, 3)$ છે.
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, 3), B(1, 0),$ અને $C(4, 2)$ છે.

(B) ધારો કે રિક્ષાની ઝડપ $x \,km/h$ અને બસની ઝડપ $y \,km/h$ છે.
રિક્ષા દ્વારા $2 \,km$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{2}{x} \,h$ છે.
બાકીનું અંતર $(14 - 2) = 12 \,km$ બસ દ્વારા કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{12}{y} \,h$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $\frac{2}{x} + \frac{12}{y} = \frac{1}{2} \quad ...(i)$
રિક્ષા દ્વારા $4 \,km$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t_3 = \frac{4}{x} \,h$ છે.
બાકીનું અંતર $(14 - 4) = 10 \,km$ બસ દ્વારા કાપવા માટે લાગતો સમય $t_4 = \frac{10}{y} \,h$ છે.
તેને $9 \,\text{મિનિટ}$ વધુ લાગે છે,તેથી કુલ સમય $\frac{1}{2} + \frac{9}{60} = \frac{1}{2} + \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \,h$ થાય.
બીજી શરત મુજબ: $\frac{4}{x} + \frac{10}{y} = \frac{13}{20} \quad ...(ii)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$2u + 12v = \frac{1}{2} \quad ...(iii)$
$4u + 10v = \frac{13}{20} \quad ...(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4u + 24v = 1 \quad ...(v)$
સમીકરણ $(v)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$(4u + 24v) - (4u + 10v) = 1 - \frac{13}{20}$
$14v = \frac{7}{20} \Rightarrow v = \frac{7}{20 \times 14} = \frac{1}{40}$.
આમ,$y = 40 \,km/h$.
$v = \frac{1}{40}$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$2u + 12(\frac{1}{40}) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2u + \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$
$2u = \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{5-3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$u = \frac{1}{10}$. આમ,$x = 10 \,km/h$.
રિક્ષાની ઝડપ $10 \,km/h$ અને બસની ઝડપ $40 \,km/h$ છે.

(C) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $v \, km/h$ છે.
આપેલ છે કે,સ્થિર પાણીમાં વ્યક્તિની ઝડપ $5 \, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં વ્યક્તિની ઝડપ $(5 + v) \, km/h$ થશે.
પ્રવાહની સામેની દિશામાં વ્યક્તિની ઝડપ $(5 - v) \, km/h$ થશે.
પ્રવાહની દિશામાં $40 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{40}{5 + v} \, h$ છે.
પ્રવાહની સામેની દિશામાં $40 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{40}{5 - v} \, h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની સામે જતાં લાગતો સમય એ પ્રવાહની દિશામાં લાગતા સમય કરતાં ત્રણ ગણો છે,તેથી $t_2 = 3 \times t_1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{40}{5 - v} = 3 \times \frac{40}{5 + v}$.
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{5 - v} = \frac{3}{5 + v}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5 + v = 3(5 - v)$.
$5 + v = 15 - 3v$.
$4v = 10$.
$v = 2.5 \, km/h$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $2.5 \, km/h$ છે.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટર બોટની ઝડપ $u \, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v \, km/h$ છે.
તેથી,પ્રવાહની દિશામાં બોટની ઝડપ $(u+v) \, km/h$ અને પ્રવાહની સામે બોટની ઝડપ $(u-v) \, km/h$ થશે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$30 \, km$ પ્રવાહની સામે અને $28 \, km$ પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $7 \, \text{કલાક}$ છે:
$\frac{30}{u-v} + \frac{28}{u+v} = 7 \quad ...(i)$
બીજી શરત મુજબ,$21 \, km$ પ્રવાહની સામે અને $21 \, km$ પાછા આવતા લાગતો સમય $5 \, \text{કલાક}$ છે:
$\frac{21}{u-v} + \frac{21}{u+v} = 5 \quad ...(ii)$
ધારો કે $x = \frac{1}{u+v}$ અને $y = \frac{1}{u-v}$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માં કિંમત મૂકતા:
$30y + 28x = 7 \quad ...(iii)$
$21y + 21x = 5 \Rightarrow x + y = \frac{5}{21} \quad ...(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ પરથી,$x = \frac{5}{21} - y$. આ કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$30y + 28(\frac{5}{21} - y) = 7$
$30y + \frac{20}{3} - 28y = 7$
$2y = 7 - \frac{20}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{6}$
હવે,$x = \frac{5}{21} - \frac{1}{6} = \frac{10-7}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$.
કારણ કે $y = \frac{1}{u-v} = \frac{1}{6}$,તેથી $u-v = 6 \quad ...(v)$
કારણ કે $x = \frac{1}{u+v} = \frac{1}{14}$,તેથી $u+v = 14 \quad ...(vi)$
સમીકરણ $(v)$ અને $(vi)$ નો સરવાળો કરતા:
$2u = 20 \Rightarrow u = 10 \, km/h$.
$u=10$ ની કિંમત $(vi)$ માં મૂકતા:
$10 + v = 14 \Rightarrow v = 4 \, km/h$.
આમ,સ્થિર પાણીમાં બોટની ઝડપ $10 \, km/h$ અને પ્રવાહની ઝડપ $4 \, km/h$ છે.

(A) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ દશકનો અંક છે અને $y$ એકમનો અંક છે.
કિસ્સો $I$: અંકોના સરવાળાને $8$ વડે ગુણીને $5$ બાદ કરતા સંખ્યા મળે છે:
$8(x + y) - 5 = 10x + y$
$8x + 8y - 5 = 10x + y$
$2x - 7y = -5$ ... $(i)$
કિસ્સો $II$: અંકોના તફાવતને $16$ વડે ગુણીને $3$ ઉમેરતા સંખ્યા મળે છે:
$16(x - y) + 3 = 10x + y$
$16x - 16y + 3 = 10x + y$
$6x - 17y = -3$ ... $(ii)$
આ સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6x - 21y = -15$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(iii)$ બાદ કરતા:
$(6x - 17y) - (6x - 21y) = -3 - (-15)$
$4y = 12$
$y = 3$
$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2x - 7(3) = -5$
$2x - 21 = -5$
$2x = 16$
$x = 8$
તેથી,માંગેલ સંખ્યા $10x + y = 10(8) + 3 = 83$ છે.

(B) ધારો કે ફર્સ્ટ ક્લાસનું પૂરું ભાડું $x$ છે અને ટિકિટ દીઠ રિઝર્વેશન ચાર્જ $y$ છે.
કિસ્સો $I$: સ્ટેશન $A$ થી $B$ સુધીની એક રિઝર્વ્ડ ફર્સ્ટ ક્લાસ ટિકિટની કિંમત $Rs. 2530$ છે.
$x + y = 2530$ ... $(i)$
કિસ્સો $II$: સ્ટેશન $A$ થી $B$ સુધીની એક રિઝર્વ્ડ ફર્સ્ટ ક્લાસ ટિકિટ અને એક રિઝર્વ્ડ ફર્સ્ટ ક્લાસ અડધી ટિકિટની કિંમત $Rs. 3810$ છે.
અડધી ટિકિટની કિંમત $\frac{x}{2} + y$ થાય.
તેથી,$(x + y) + (\frac{x}{2} + y) = 3810$
$\frac{3x}{2} + 2y = 3810$
$3x + 4y = 7620$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$4x + 4y = 10120$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(4x + 4y) - (3x + 4y) = 10120 - 7620$
$x = 2500$
$x = 2500$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2500 + y = 2530$
$y = 30$
આમ,ફર્સ્ટ ક્લાસનું પૂરું ભાડું $Rs. 2500$ છે અને રિઝર્વેશન ચાર્જ $Rs. 30$ છે.

(C) ધારો કે સાડીની મૂળ કિંમત $Rs. x$ છે અને સ્વેટરની છાપેલી કિંમત $Rs. y$ છે.
કિસ્સો $I$: સાડી $8 \%$ નફા પર અને સ્વેટર $10 \%$ વળતર પર વેચતા,કુલ રકમ $= Rs. 1008$.
$1.08x + 0.90y = 1008$ --- $(i)$
કિસ્સો $II$: સાડી $10 \%$ નફા પર અને સ્વેટર $8 \%$ વળતર પર વેચતા,કુલ રકમ $= Rs. 1028$.
$1.10x + 0.92y = 1028$ --- $(ii)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(i)$ ને $92$ વડે અને $(ii)$ ને $90$ વડે ગુણતા:
$99.36x + 82.8y = 92736$ --- $(iii)$
$99x + 82.8y = 92520$ --- $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$0.36x = 216$
$x = 600$
$x = 600$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1.08(600) + 0.9y = 1008$
$648 + 0.9y = 1008$
$0.9y = 360$
$y = 400$
આમ,સાડીની મૂળ કિંમત $Rs. 600$ અને સ્વેટરની છાપેલી કિંમત $Rs. 400$ છે.

(A) ધારો કે યોજના $A$ અને $B$ માં રોકાણ કરેલી રકમ અનુક્રમે $Rs.\, x$ અને $Rs.\, y$ છે.
$\text{કિસ્સો }\, I$: યોજના $A$ પર $8 \%$ વાર્ષિક વ્યાજ + યોજના $B$ પર $9 \%$ વાર્ષિક વ્યાજ = $1860$.
$\Rightarrow \frac{8x}{100} + \frac{9y}{100} = 1860 \Rightarrow 8x + 9y = 186000 \quad \dots(i)$
$\text{કિસ્સો }\, II$: જો રકમની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો વ્યાજ $1860 + 20 = 1880$ થાય.
$\Rightarrow \frac{9x}{100} + \frac{8y}{100} = 1880 \Rightarrow 9x + 8y = 188000 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $8$ વડે અને $(ii)$ ને $9$ વડે ગુણતા:
$64x + 72y = 1488000 \quad \dots(iii)$
$81x + 72y = 1692000 \quad \dots(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા:
$(81x - 64x) = 1692000 - 1488000$
$17x = 204000 \Rightarrow x = 12000$
$x = 12000$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$8(12000) + 9y = 186000$
$96000 + 9y = 186000$
$9y = 90000 \Rightarrow y = 10000$
આમ,તેણે યોજના $A$ માં $Rs.\, 12000$ અને યોજના $B$ માં $Rs.\, 10000$ નું રોકાણ કર્યું હતું.

(A) ધારો કે ભાગ $A$ અને $B$ માં કેળાની સંખ્યા અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
કિસ્સો $I$: પ્રથમ ભાગ $3$ કેળાના $Rs. 2$ ના દરે $+$ બીજો ભાગ $1$ કેળાના $Rs. 1$ ના દરે $=$ મળેલ કુલ રકમ.
$\frac{2}{3}x + y = 400$
$2x + 3y = 1200 \dots (i)$
કિસ્સો $II$: પ્રથમ ભાગ $1$ કેળાના $Rs. 1$ ના દરે $+$ બીજો ભાગ $5$ કેળાના $Rs. 4$ ના દરે $=$ મળેલ કુલ રકમ.
$x + \frac{4}{5}y = 460$
$5x + 4y = 2300 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$8x + 12y = 4800$
$15x + 12y = 6900$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(15x - 8x) + (12y - 12y) = 6900 - 4800$
$7x = 2100$
$x = 300$
હવે,$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2(300) + 3y = 1200$
$600 + 3y = 1200$
$3y = 600$
$y = 200$
કેળાની કુલ સંખ્યા $= x + y = 300 + 200 = 500$.

(N/A) ધારો કે $1\,kg$ સફરજનની કિંમત $x$ રૂપિયા છે અને $1\,kg$ દ્રાક્ષની કિંમત $y$ રૂપિયા છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$2\,kg$ સફરજન અને $1\,kg$ દ્રાક્ષની કુલ કિંમત $160$ રૂપિયા છે.
તેથી,સમીકરણ: $2x + y = 160$ $... (1)$
બીજી શરત મુજબ,$4\,kg$ સફરજન અને $2\,kg$ દ્રાક્ષની કુલ કિંમત $300$ રૂપિયા છે.
તેથી,સમીકરણ: $4x + 2y = 300$ $... (2)$
આમ,આપેલી પરિસ્થિતિને દર્શાવતા બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $2x + y = 160$ અને $4x + 2y = 300$ છે.

ધારો કે ગણિત $IX$ ના એક પાઠ્યપુસ્તકની કિંમત રૂ. $x$ છે અને ગણિત $X$ ના એક પાઠ્યપુસ્તકની કિંમત રૂ. $y$ છે.
કુશાને ગણિત $IX$ ના $2$ પાઠ્યપુસ્તકો અને ગણિત $X$ ના $3$ પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદ્યા. તેની કુલ કિંમત $(2x + 3y)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કુલ કિંમત રૂ. $250$ છે,તેથી:
$2x + 3y = 250$ ........ $(1)$
રાજને ગણિત $IX$ ના $4$ પાઠ્યપુસ્તકો અને ગણિત $X$ ના $6$ પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદ્યા. તેની કુલ કિંમત $(4x + 6y)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કુલ કિંમત રૂ. $500$ છે,તેથી:
$4x + 6y = 500$ ........ $(2)$
આમ,સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ આપેલી પરિસ્થિતિને બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી તરીકે દર્શાવે છે.

(N/A) ધારો કે ધોરણ $10$ ની ગણિતની વાર્ષિક પરીક્ષામાં દેવર્ષિના ગુણ $x$ છે અને મહર્ષિના ગુણ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દેવર્ષિને મળેલા ગુણ મહર્ષિના ગુણ કરતાં ત્રણ ગણા છે:
$x = 3y$
$\therefore x - 3y = 0$ .......... $(1)$
દેવર્ષિ અને મહર્ષિના ગુણનો સરવાળો $150$ છે:
$x + y = 150$ .......... $(2)$
આમ,આપેલી પરિસ્થિતિને દર્શાવતી બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$x - 3y = 0$
$x + y = 150$

(N/A) ધારો કે પ્રથમ છોકરીની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને બીજી છોકરીની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
તેમની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર $x:y = 5:7$ છે.
આથી $\frac{x}{y} = \frac{5}{7}$,જેનું સાદું રૂપ $7x = 5y$ અથવા $7x - 5y = 0$ થાય છે ......... $(1)$
આઠ વર્ષ પહેલાં,પ્રથમ છોકરીની ઉંમર $(x - 8)$ વર્ષ હતી અને બીજી છોકરીની ઉંમર $(y - 8)$ વર્ષ હતી.
આઠ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $(x - 8) : (y - 8) = 7 : 13$ હતો.
આથી $\frac{x - 8}{y - 8} = \frac{7}{13}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $13(x - 8) = 7(y - 8)$ મળે.
$13x - 104 = 7y - 56$.
$13x - 7y = 104 - 56$.
$13x - 7y = 48$ ......... $(2)$
આમ,આપેલી પરિસ્થિતિને દર્શાવતા બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $7x - 5y = 0$ અને $13x - 7y = 48$ છે.

(N/A) ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ $x \, m$ અને પહોળાઈ $y \, m$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ તેની પહોળાઈ કરતાં $4 \, m$ વધારે છે:
$x = y + 4$
$x - y = 4$ ...... $(1)$
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(x + y)$ થાય છે.
તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $\frac{2(x + y)}{2} = x + y$ થાય.
આપેલ છે કે અર્ધ-પરિમિતિ $36 \, m$ છે:
$x + y = 36$ ...... $(2)$
આમ,આપેલી પરિસ્થિતિને દર્શાવતી બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડ નીચે મુજબ છે:
$x - y = 4$
$x + y = 36$

(N/A) ધારો કે એક પેન્ટની કિંમત $x$ છે અને એક શર્ટની કિંમત $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$4$ પેન્ટ અને $3$ શર્ટની કુલ કિંમત $5000$ રૂપિયા છે,જેને $4x + 3y = 5000$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
બીજી શરત મુજબ,એક પેન્ટ અને એક શર્ટની કિંમત $750$ રૂપિયા છે,જેને $x + y = 750$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $4x + 3y = 5000$ અને $x + y = 750$ છે.

(A) ધારો કે પિતાનું વજન $x \, kg$ છે અને પુત્રનું વજન $y \, kg$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ વજન $x + y = 70$ છે (સમીકરણ $1$).
પુત્રનું વજન પિતાના વજનના છઠ્ઠા ભાગનું છે,તેથી $y = \frac{1}{6}x$,જેનો અર્થ છે કે $x = 6y$ અથવા $x - 6y = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માં $x = 6y$ મૂકતા:
$6y + y = 70$
$7y = 70$
$y = 10 \, kg$.
હવે,$y = 10$ ને $x = 6y$ માં મૂકતા:
$x = 6 \times 10 = 60 \, kg$.
તેથી,પિતાનું વજન $60 \, kg$ અને પુત્રનું વજન $10 \, kg$ છે.

(B) ધારો કે મોટી સંખ્યા $x$ છે અને નાની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $25$ છે,તેથી:
$x+y=25$ --- $(1)$
બીજી શરત મુજબ,નાની સંખ્યાના પાંચ ગણા $(5y)$ એ મોટી સંખ્યાના ત્રણ ગણા $(3x)$ કરતાં $5$ વધારે છે:
$5y = 3x + 5$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(ax+by+c=0)$ માં ગોઠવતા:
$3x - 5y + 5 = 0$ --- $(2)$
આમ,સુરેખ સમીકરણોની જોડી $x+y=25$ અને $3x-5y+5=0$ છે.

(A) ધારો કે પુત્રની ઉંમર $x$ છે અને પિતાની ઉંમર $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમની ઉંમરના વ્યસ્ત $\frac{1}{x}$ અને $\frac{1}{y}$ છે.
તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{40}$ આપેલ છે.
તેમના વ્યસ્તનો તફાવત $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{40}$ આપેલ છે.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{40}$ અને $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{40}$ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $x$ છે અને પહોળાઈ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ એ પહોળાઈના બમણા કરતાં $3$ ઓછી છે,તેથી $x = 2y - 3$,જેને $x - 2y + 3 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $2(x + y) = 100$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y = 50$ મળે છે.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $x - 2y + 3 = 0$ અને $x + y = 50$ છે.

(C) ધારો કે માતાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને પુત્રની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
કિસ્સો $1$: પાંચ વર્ષ પહેલાં,માતાની ઉંમર $(x - 5)$ હતી અને પુત્રની ઉંમર $(y - 5)$ હતી.
પ્રશ્ન મુજબ: $(x - 5) = 5(y - 5)$
$x - 5 = 5y - 25$
$x - 5y + 20 = 0$
કિસ્સો $2$: દસ વર્ષ પછી,માતાની ઉંમર $(x + 10)$ થશે અને પુત્રની ઉંમર $(y + 10)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ: $(x + 10) = 2(y + 10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y - 10 = 0$
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $x - 5y + 20 = 0$ અને $x - 2y - 10 = 0$ છે.

(A) ધારો કે એક મોબાઈલની કિંમત $x$ છે અને એક મેમરી કાર્ડની કિંમત $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$2$ મોબાઈલ અને $3$ મેમરી કાર્ડની કુલ કિંમત રૂ. $6500$ છે,જેને સમીકરણ સ્વરૂપે $2x + 3y = 6500$ લખી શકાય.
બીજી શરત મુજબ,એક મોબાઈલ અને એક મેમરી કાર્ડની કુલ કિંમત રૂ. $2950$ છે,જેને સમીકરણ સ્વરૂપે $x + y = 2950$ લખી શકાય.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડ $2x + 3y = 6500$ અને $x + y = 2950$ છે.

(D) ધારો કે રાજે મેળવેલા ગુણ $x$ છે અને નીલે મેળવેલા ગુણ $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,રાજે નીલના ગુણ કરતા $\frac{3}{4}$ ગણા ગુણ મેળવ્યા છે,તેથી $x = \frac{3}{4}y$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $4x = 3y$ અથવા $4x - 3y = 0$ મળે છે.
બીજી શરત મુજબ,તેમના ગુણનો સરવાળો $140$ છે,તેથી $x + y = 140$.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડ $4x - 3y = 0$ અને $x + y = 140$ છે.

(N/A) ધારો કે $1 \,kg$ કેરીની કિંમત $x$ છે અને $1 \,kg$ દાડમની કિંમત $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $3x + y = 200$.
બીજી શરત મુજબ: $x + y = 80$.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $3x + y = 200$ અને $x + y = 80$ છે.

(A) ધારો કે એક પેનની કિંમત $x$ છે અને એક પેન્સિલની કિંમત $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$7$ પેન અને $5$ પેન્સિલની કુલ કિંમત $50$ રૂપિયા છે,જેને આ રીતે લખી શકાય: $7x + 5y = 50$.
બીજી શરત મુજબ,$5$ પેન અને $7$ પેન્સિલની કુલ કિંમત $46$ રૂપિયા છે,જેને આ રીતે લખી શકાય: $5x + 7y = 46$.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડ નીચે મુજબ છે:
$7x + 5y = 50$
$5x + 7y = 46$