TS EAMCET 2010 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) જ્યારે અબાષ્પશીલ દ્રાવ્યને બાષ્પશીલ દ્રાવકમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે દ્રાવ્યના કણો દ્રાવકની સપાટીનો અમુક ભાગ રોકે છે.
આનાથી બાષ્પીભવન માટે ઉપલબ્ધ દ્રાવકના અણુઓની સંખ્યા ઘટે છે,જેના પરિણામે બાષ્પ દબાણમાં ઘટાડો થાય છે.
જેમ અબાષ્પશીલ દ્રાવ્યની સાંદ્રતા વધે છે,તેમ દ્રાવણનું બાષ્પ દબાણ ઘટે છે.
$X$ ની આપેલી સાંદ્રતા:
$0.01 \text{ mol L}^{-1} < 0.10 \text{ mol L}^{-1} < 0.25 \text{ mol L}^{-1}$
તેથી,બાષ્પ દબાણનો ક્રમ:
$p_3 > p_1 > p_2$
જેને આ રીતે લખી શકાય:
$p_2 < p_1 < p_3$

(C) ગ્રેફાઇટની દહન પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$C_{(s)} + O_{2(g)} \longrightarrow CO_{2(g)}$
પ્રક્રિયાના તત્વયોગમિતિ મુજબ,$1 \text{ mol } C$ એ $1 \text{ mol } CO_2$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$1 \text{ mol}$ પદાર્થમાં $6.022 \times 10^{23}$ અણુઓ હોય છે.
તેથી,$0.1 \text{ mol } C$ એ $0.1 \times 6.022 \times 10^{23} = 6.022 \times 10^{22}$ અણુઓ $CO_2$ ઉત્પન્ન કરશે.

(B) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,$\frac{r_{CH_4}}{r_X} = \sqrt{\frac{M_X}{M_{CH_4}}}$.
આપેલ છે કે $r_{CH_4} = 2 \cdot r_X$,તેથી $2 = \sqrt{\frac{M_X}{16}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{M_X}{16}$,જે $M_X = 64 \ g/mol$ આપે છે.
$32 \ g$ વાયુ $X$ માં મોલની સંખ્યા $n = \frac{32 \ g}{64 \ g/mol} = 0.5 \ mol$ છે.
અણુઓની સંખ્યા $n \times N = 0.5 \times N = \frac{N}{2}$ થાય.

(C) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ હોવાથી,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ ઊર્જા તફાવત $\Delta E$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
સૌથી ઓછી તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે,આપણે સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતું સંક્રમણ પસંદ કરવું પડે.
સંક્રમણોની સરખામણી:
$(A)$ $n_2=\infty$ થી $n_1=2$: $\Delta E \propto 0.25$
$(B)$ $n_2=4$ થી $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0486$
$(C)$ $n_2=2$ થી $n_1=1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(D)$ $n_2=5$ થી $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0711$
$n_2=2$ થી $n_1=1$ સંક્રમણ સૌથી વધુ ઊર્જા તફાવત ધરાવે છે,તેથી તે સૌથી ઓછી તરંગલંબાઇનું વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે.

(C) ભૌતિક રીતે સ્વીકાર્ય અથવા સુવ્યવસ્થિત તરંગ વિધેય માટે,તેણે નીચેની બોર્નની શરતો સંતોષવી આવશ્યક છે:
$1$. $\psi$ દરેક જગ્યાએ મર્યાદિત હોવું જોઈએ.
$2$. $\psi$ એક-મૂલ્યવાન હોવું જોઈએ.
$3$. $\psi$ સતત હોવું જોઈએ અને તેનું પ્રથમ વિકલન પણ સતત હોવું જોઈએ.
તેથી,$\psi$ અનંત હોવું જોઈએ તે શરત ખોટી છે.

(B) સાબુના અણુઓમાં હાઇડ્રોફોબિક (પાણીને અપાકર્ષતી) પૂંછડી અને હાઇડ્રોફિલિક (પાણીને આકર્ષતું) માથું હોય છે.
જ્યારે સાબુને ચીકાશ કે મેલવાળા પાણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે હાઇડ્રોફોબિક પૂંછડીઓ ચીકાશમાં ઓગળી જાય છે,જ્યારે હાઇડ્રોફિલિક માથા પાણીમાં રહે છે.
આ ગોઠવણી એક ગોળાકાર રચના બનાવે છે જ્યાં ચીકાશ હાઇડ્રોફોબિક કોરની અંદર ફસાઈ જાય છે અને હાઇડ્રોફિલિક માથા પાણી તરફ બહારની તરફ રહે છે.
સાબુ અને મેલના આ સમૂહને મિસેલ કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે સપાટીને પાણીથી ધોવામાં આવે છે,ત્યારે મિસેલ દૂર થાય છે,જેનાથી મેલ અસરકારક રીતે દૂર થાય છે.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AD = l/2$ થાય. વેધ $DC$ ની લંબાઈ $DC^2 = AC^2 - AD^2 = l^2 - (l/2)^2 = 3l^2/4$ દ્વારા મળે છે.
તાપમાનમાં નાના ફેરફાર $\Delta t$ પછી,નવી લંબાઈ $l' = l(1 + \alpha \Delta t)$ થાય છે.
$AC$ ની નવી લંબાઈ $l_{AC}' = l(1 + \alpha_2 \Delta t)$ અને $AD$ ની નવી લંબાઈ $l_{AD}' = (l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)$ છે.
કારણ કે $DC$ અચળ રહે છે,તેથી $DC^2 = (l_{AC}')^2 - (l_{AD}')^2$.
$3l^2/4 = [l(1 + \alpha_2 \Delta t)]^2 - [(l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)]^2$.
$3l^2/4 = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta t + \alpha_2^2 \Delta t^2) - (l^2/4)(1 + 2\alpha_1 \Delta t + \alpha_1^2 \Delta t^2)$.
ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદો $\alpha^2 \Delta t^2$ ને અવગણતા,આપણને મળે છે:
$3l^2/4 = l^2 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - l^2/4 - (l^2/4)(2\alpha_1 \Delta t)$.
$3l^2/4 = 3l^2/4 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - (l^2/2)\alpha_1 \Delta t$.
$0 = 2\alpha_2 \Delta t - (1/2)\alpha_1 \Delta t$.
$2\alpha_2 = \alpha_1/2 \implies \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(B) ધારો કે $L_0$ એ ગરમ કરતા પહેલા દરેક પટ્ટીની પ્રારંભિક લંબાઈ છે. ધારો કે $d$ એ બાયમેટાલિક પટ્ટીની કુલ જાડાઈ છે.
ગરમ કર્યા પછી,પિત્તળની પટ્ટીની લંબાઈ $L_B = L_0(1 + \alpha_B \Delta T) = (R + d) \theta$ થાય છે.
તાંબાની પટ્ટીની લંબાઈ $L_C = L_0(1 + \alpha_C \Delta T) = R \theta$ થાય છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\frac{R + d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 + \frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$ મળે છે.
$\frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} - 1 = \frac{1 + \alpha_B \Delta T - 1 - \alpha_C \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} = \frac{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$.
કારણ કે $\alpha \Delta T \ll 1$,આપણે $1 + \alpha_C \Delta T \approx 1$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
આમ,$R \approx \frac{d}{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}$.
તેથી,$R \propto \frac{1}{\Delta T}$.

(B) ધારો કે જંકશન $B$ નું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા $BC$ અને $BD$ ના છેડાઓ $C$ અને $D$ સમાન તાપમાન $80^{\circ}C$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સમાંતર ઉષ્મીય અવરોધ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. સળિયા $BC$ અને $BD$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થશે.
સ્થાયી ઉષ્મા વહનના સિદ્ધાંત મુજબ,સળિયા $AB$ માંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ એ સળિયા $BC$ અને $BD$ માંથી વહેતા ઉષ્મા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ઉષ્મા પ્રવાહના સૂત્ર $\frac{Q}{t} = \frac{\Delta T}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\theta - 20}{R} = \frac{80 - \theta}{R/2}$
$\theta - 20 = 2(80 - \theta)$
$\theta - 20 = 160 - 2\theta$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^{\circ}C$.

(B) આ પ્રક્રિયા $p-T$ આલેખ પર આપવામાં આવી છે। આદર્શ વાયુ માટે, $p V = \mu R T$, જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{\mu R}{V} T$.
$p-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ અચળ કદ (isochoric) પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે કારણ કે $p \propto T$ થાય છે।
આપેલી આકૃતિમાં, $A B$ અને $C D$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ છે, તેથી આ અચળ કદની પ્રક્રિયાઓ છે।
અચળ કદની પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે। તેથી, $W_{A B} = 0$ અને $W_{C D} = 0$.
અચળ દબાણ (isobaric) પ્રક્રિયાઓ $B C$ અને $D A$ માટે, થયેલ કાર્ય $W = p \Delta V = \mu R \Delta T$ છે।
પ્રક્રિયા $B C$ માટે (અચળ દબાણ $p_2$ પર): $W_{B C} = \mu R (T_C - T_B) = 3 \times R \times (2400 - 800) = 3 R \times 1600 = 4800 R$.
પ્રક્રિયા $D A$ માટે (અચળ દબાણ $p_1$ પર): $W_{D A} = \mu R (T_A - T_D) = 3 \times R \times (400 - 1200) = 3 R \times (-800) = -2400 R$.
ચક્રમાં થયેલ કુલ કાર્ય $W = W_{A B} + W_{B C} + W_{C D} + W_{D A} = 0 + 4800 R + 0 - 2400 R = 2400 R$.
$R = 8.314 \, J / mol K$ મૂકતા: $W = 2400 \times 8.314 = 19953.6 \, J \approx 20 \, kJ$.

(D) $1$. $p-V$ આલેખમાં,$A$ થી $B$ સુધીનું સમતાપી વિસ્તરણ $AB$ વક્રને અનુસરે છે. $B$ થી $C$ સુધીનું સમોષ્મી સંકોચન $BC$ વક્રને અનુસરે છે.
$2$. આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ $C$ પરનું અંતિમ દબાણ $p_2$ એ બિંદુ $A$ પરના પ્રારંભિક દબાણ $p_1$ કરતા વધારે છે $(p_2 > p_1)$.
$3$. ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W$ એ $ABCA$ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. પ્રક્રિયા વિષમઘડી (anti-clockwise) હોવાથી (વિસ્તરણ $A \to B$ અને ત્યારબાદ સંકોચન $B \to C$),વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ છે $(W < 0)$.
$4$. વૈકલ્પિક રીતે,સમોષ્મી વક્ર $BC$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ (જે સંકોચન દરમિયાન વાયુ પર થયેલું કાર્ય છે) એ સમતાપી વક્ર $AB$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળ (જે વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે) કરતા વધારે છે. આમ,વાયુ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય ઋણ છે.
$5$. તેથી,$p_2 > p_1$ અને $W < 0$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q + W$.
સિસ્ટમને ઉષ્મા આપવામાં આવતી હોવાથી,$Q = +50 \ J$.
સિસ્ટમ પર કાર્ય કરવામાં આવતું હોવાથી,$W = +10 \ J$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 50 \ J + 10 \ J = 60 \ J$ છે.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક સમીકરણમાં દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $F = at + bt^2$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $t$ એ સમય છે.
બળ $F$ નું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
પ્રથમ પદ માટે: $[at] = [F]$
$[a] = [F] / [t] = [MLT^{-2}] / [T] = [MLT^{-3}]$.
બીજા પદ માટે: $[bt^2] = [F]$
$[b] = [F] / [t^2] = [MLT^{-2}] / [T^2] = [MLT^{-4}]$.
આમ,$a$ અને $b$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[MLT^{-3}]$ અને $[MLT^{-4}]$ છે.

(C) બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{64}{1}$ આપેલ છે.
ધારો કે $I_1 = 64k$ અને $I_2 = k$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{64k} + \sqrt{k})^2}{(\sqrt{64k} - \sqrt{k})^2} = \frac{(8\sqrt{k} + \sqrt{k})^2}{(8\sqrt{k} - \sqrt{k})^2}$.
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(9\sqrt{k})^2}{(7\sqrt{k})^2} = \frac{81k}{49k} = \frac{81}{49}$.

(D) પ્રથમ હાર્મોનિકમાં કંપન કરતા બંધ ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v_1}{4 l_1}$ છે.
ત્રીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરતા ખુલ્લા ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $n_3 = \frac{3 v_2}{2 l_2}$ છે.
બંને પાઇપ એક જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,તેમની આવૃત્તિઓ સમાન છે: $n_1 = n_3$.
તેથી,$\frac{v_1}{4 l_1} = \frac{3 v_2}{2 l_2}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \left( \frac{v_1}{v_2} \right)$ મળે છે.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ (સંકોચનક્ષમતાનું વ્યસ્ત) છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
આપેલ છે કે બંને પાઇપમાં સંકોચનક્ષમતા સમાન છે,તેથી $B_1 = B_2 = B$.
આમ,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{B/\rho_1}{B/\rho_2}} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$.
આ કિંમત લંબાઈના ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$.

(D) $l$ લંબાઈના સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયર માટે $T$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $l \propto \frac{1}{n}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 3 : 4$ આપેલ છે,તેથી ભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ હોવો જોઈએ.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,$1, 3, 4$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે ગુણતા: $l_1 : l_2 : l_3 = 12 : 4 : 3$.
ભાગોનો સરવાળો $12 + 4 + 3 = 19$ છે.
કુલ લંબાઈ $114 ~cm$ છે.
તેથી,$l_1 = \frac{12}{19} \times 114 = 12 \times 6 = 72 ~cm$.
$l_2 = \frac{4}{19} \times 114 = 4 \times 6 = 24 ~cm$.
$l_3 = \frac{3}{19} \times 114 = 3 \times 6 = 18 ~cm$.
તેથી,લંબાઈઓ $72 ~cm, 24 ~cm, 18 ~cm$ છે.

(C) ધારો કે દડાનું દળ $m$ છે. જ્યારે દડો $h = 10 ~m$ ની ઊંચાઈ પર હોય,ત્યારે તેનો વેગ $v_0$ છે. આ બિંદુએ ગતિ ઉર્જા $K_1 = \frac{1}{2} m v_0^2$ છે.
જમીન સાથે અથડાતા પહેલા,દડો વધારાના $10 ~m$ નીચે પડે છે. કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,અથડામણ પહેલાની ગતિ ઉર્જા $K_{impact} = K_1 + mgh = \frac{1}{2} m v_0^2 + mg(10)$ છે.
અથડામણ પછી,દડો તેની $50 \%$ ઉર્જા ગુમાવે છે,તેથી અથડામણ પછીની ગતિ ઉર્જા $K_{after} = 0.5 \times K_{impact} = 0.5 \times (\frac{1}{2} m v_0^2 + 10mg)$ છે.
દડો પાછો $10 ~m$ ની ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ટોચ પર તેની સ્થિતિ ઉર્જા $mgh = 10mg$ છે. ટોચ પર ગતિ ઉર્જા શૂન્ય હોવાથી,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_{after} = 10mg$.
બંનેને સરખાવતા: $0.5 \times (\frac{1}{2} m v_0^2 + 10mg) = 10mg$.
$\frac{1}{2} m v_0^2 + 10mg = 20mg$.
$\frac{1}{2} m v_0^2 = 10mg$.
$v_0^2 = 20g$.
$g = 10 ~m/s^2$ લેતા,$v_0^2 = 200$,તેથી $v_0 = \sqrt{200} \approx 14.14 ~m/s$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$14 ~m/s$ સાચો જવાબ છે.

(C) જ્યારે દડો $h$ ઊંચાઈ પરથી પડે છે,ત્યારે $n$-માં ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત થતી ઊંચાઈ $h_n = h e^{2n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક છે.
દડો સ્થિર થાય તે પહેલાં તેણે કાપેલું કુલ અંતર $H$ એ પ્રારંભિક પતન અને દરેક ઉછાળા માટેના ત્યારબાદના ઉપર અને નીચેના માર્ગોનો સરવાળો છે:
$H = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$H = h + 2(h e^2) + 2(h e^4) + 2(h e^6) + \dots$
$H = h + 2h(e^2 + e^4 + e^6 + \dots)$
કૌંસમાં રહેલું પદ એ અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = e^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = e^2$ છે. તેનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{e^2}{1-e^2}$ થાય છે.
આ કિંમતને $H$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$H = h + 2h \left( \frac{e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 + e^2}{1-e^2} \right)$

(A) ધારો કે નાના ટુકડાનું દળ $m$ છે અને મોટા ટુકડાનું દળ $4m$ છે. કુલ દળ $5m$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન:
$P_{initial} = P_{final}$
$5m(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = m(200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4m(\vec{v}_{large})$
$m$ વડે ભાગતા:
$5(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4\vec{v}_{large}$
$(200 \hat{i} + 250 \hat{j} - 125 \hat{k}) - (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) = 4\vec{v}_{large}$
$0 \hat{i} + 180 \hat{j} - 140 \hat{k} = 4\vec{v}_{large}$
$\vec{v}_{large} = \frac{180 \hat{j} - 140 \hat{k}}{4} = 45 \hat{j} - 35 \hat{k} \text{ m/s}$.

(A) મધ્યસ્થ પરમાણુ પરના અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{Lone pairs} = \frac{V - M}{2}$,જ્યાં $V$ એ મધ્યસ્થ પરમાણુના સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $M$ એ તેની સાથે જોડાયેલા એકસંયોજક પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
$A. \ NH_3$: મધ્યસ્થ પરમાણુ $N$ પાસે $5$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે. તે $3$ $H$ પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે. $\text{Lone pairs} = \frac{5-3}{2} = 1$ (વિકલ્પ $5$).
$B. \ H_2O$: મધ્યસ્થ પરમાણુ $O$ પાસે $6$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે. તે $2$ $H$ પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે. $\text{Lone pairs} = \frac{6-2}{2} = 2$ (વિકલ્પ $1$).
$C. \ XeF_2$: મધ્યસ્થ પરમાણુ $Xe$ પાસે $8$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે. તે $2$ $F$ પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે. $\text{Lone pairs} = \frac{8-2}{2} = 3$ (વિકલ્પ $2$).
$D. \ CH_4$: મધ્યસ્થ પરમાણુ $C$ પાસે $4$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે. તે $4$ $H$ પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે. $\text{Lone pairs} = \frac{4-4}{2} = 0$ (વિકલ્પ $3$).
તેથી,સાચી જોડ $A-5, B-1, C-2, D-3$ છે.

(D) પ્રક્રિયા $H_{2(g)} + I_{2(g)} \rightleftharpoons 2 HI_{(g)}$ માટે,સંતુલન અચળાંક $K = \frac{[HI]^2}{[H_2][I_2]}$ ...$(i)$
પ્રક્રિયા $HI_{(g)} \rightleftharpoons \frac{1}{2} H_{2(g)} + \frac{1}{2} I_{2(g)}$ માટે,સંતુલન અચળાંક $K' = \frac{[H_2]^{1/2} [I_2]^{1/2}}{[HI]}$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $K' = \sqrt{\frac{1}{K}} = \frac{1}{\sqrt{K}}$.

(C) અર્ધ-પૂર્ણ અથવા સંપૂર્ણ ભરાયેલી કક્ષકો ધરાવતા તત્વો,એટલે કે સ્થાયી ઇલેક્ટ્રોનિક રચના ધરાવતા તત્વો,ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્તિ એન્થાલ્પીનું ખૂબ જ ઓછું ઋણ મૂલ્ય ધરાવે છે.
આપેલા મૂલ્યોમાં $B$ ની ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્તિ એન્થાલ્પી $(-60 \ kJ \ mol^{-1})$ સૌથી ઓછી હોવાથી,તે સૌથી સ્થાયી ઇલેક્ટ્રોનિક રચના ધરાવે છે,જે $3s^2 3p^3$ (અર્ધ-પૂર્ણ $p$-કક્ષક) છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^3-ax^2+ax-1=0$.
આપણે સમીકરણને આ રીતે અવયવ પાડી શકીએ: $(x^3-1) - ax(x-1) = 0$.
$(x-1)(x^2+x+1) - ax(x-1) = 0$.
$(x-1)(x^2+x+1-ax) = 0$.
કારણ કે $\alpha \neq 1$ એ બીજ છે,તેથી $\alpha$ એ $x^2+(1-a)x+1=0$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ.
આમ,$\alpha^2+(1-a)\alpha+1=0$.
જો $x = \frac{1}{\alpha}$ એ બીજ હોય,તો $(\frac{1}{\alpha})^3 - a(\frac{1}{\alpha})^2 + a(\frac{1}{\alpha}) - 1 = 0$.
$\alpha^3$ વડે ગુણતા,આપણને $1 - a\alpha + a\alpha^2 - \alpha^3 = 0$ મળે છે,જે $x=\alpha$ માટે $-(x^3-ax^2+ax-1) = 0$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\alpha}$ એ આપેલ સમીકરણનું બીજ છે.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-b x^2+c x-d=0$ છે.
ધારો કે આ સમીકરણના બીજ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1$. બીજનો સરવાળો: $\frac{a}{r} + a + ar = b \Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = b$ ... $(i)$
$2$. બે-બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\frac{a}{r} \cdot a + a \cdot ar + ar \cdot \frac{a}{r} = c \Rightarrow a^2(\frac{1}{r} + 1 + r) = c$ ... (ii)
$3$. બીજનો ગુણાકાર: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = d \Rightarrow a^3 = d$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^2(\frac{1}{r} + 1 + r)}{a(\frac{1}{r} + 1 + r)} = \frac{c}{b} \Rightarrow a = \frac{c}{b}$.
$a = \frac{c}{b}$ ની કિંમત સમીકરણ (iii) માં મૂકતા:
$(\frac{c}{b})^3 = d$ $\Rightarrow \frac{c^3}{b^3} = d$ $\Rightarrow c^3 = b^3 d$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x-1)(x-2)(x-3)=0$,તેથી બીજ $1, 2, 3$ છે.
ધારો કે $\alpha=1, \beta=2, \gamma=3$.
તો,$a = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 1^2+2^2+3^2 = 1+4+9 = 14$.
$b = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = (1)(2)+(2)(3)+(3)(1) = 2+6+3 = 11$.
$c = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (1+2)(2+3)(3+1) = 3 \times 5 \times 4 = 60$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$11 < 14 < 60$,જે દર્શાવે છે કે $b < a < c$.

(D) આપેલ છે $z=1+i\sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંકર સંખ્યા $z=x+iy$ માટે,કોણાંક $\operatorname{Arg} z = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ થાય.
અહીં,$x=1$ અને $y=\sqrt{3}$ છે.
$x>0$ અને $y>0$ હોવાથી,$z$ પ્રથમ ચરણમાં આવે છે.
$\operatorname{Arg} z = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
હવે,$z$ ની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = 1-i\sqrt{3}$ છે.
અહીં,$x=1$ અને $y=-\sqrt{3}$ છે.
$x>0$ અને $y < 0$ હોવાથી,$\bar{z}$ ચોથા ચરણમાં આવે છે.
$\operatorname{Arg} \bar{z} = \tan^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{1}) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
તેથી,$|\operatorname{Arg} z|+|\operatorname{Arg} \bar{z}| = |\frac{\pi}{3}| + |-\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(A) વાતાવરણમાં કાર્બન મોનોક્સાઇડ વાયુ $(CO)$ નું સ્વીકાર્ય સ્તર આશરે $9 \ ppm$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\cos (x-y), \cos x, \cos (x+y)$ હાર્મોનિક શ્રેણી $(HP)$ માં છે.
તેથી,$\cos x = \frac{2 \cos (x-y) \cos (x+y)}{\cos (x+y) + \cos (x-y)}$.
નિત્યસમ $\cos (A-B) \cos (A+B) = \cos ^2 A + \cos ^2 B - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x = \frac{2(\cos ^2 x + \cos ^2 y - 1)}{2 \cos x \cos y}$.
$\cos ^2 x \cos y = \cos ^2 x + \cos ^2 y - 1$.
પદોને ગોઠવતા:
$\cos ^2 x (\cos y - 1) = \cos ^2 y - 1$.
$\cos ^2 x (\cos y - 1) = - (1 - \cos ^2 y)$.
$\cos ^2 x (\cos y - 1) = - \sin ^2 y$.
$\cos ^2 x (1 - \cos y) = (1 - \cos y)(1 + \cos y)$.
$(1 - \cos y)$ વડે ભાગતા:
$\cos ^2 x = 1 + \cos y$.

(B) ધન $x$ અને $y$ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ $a$ બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે,જે $x + y = a$ (જ્યાં $a > 0$) તરીકે લખી શકાય છે.
આ રેખાનું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી લંબ અંતર $1$ એકમ આપેલું છે.
અંતરના સૂત્ર $\left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right| = d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \frac{0 + 0 - a}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right| = 1$
$\left| \frac{-a}{\sqrt{2}} \right| = 1$
$a > 0$ હોવાથી,$a = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $x + y = \sqrt{2}$ ... $(i)$ છે.
બીજી રેખા $y = 2x + 3 + \sqrt{2}$ આપેલ છે,જેને $2x - y = -3 - \sqrt{2}$ ... (ii) તરીકે લખી શકાય.
છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (2x - y) = \sqrt{2} + (-3 - \sqrt{2})$
$3x = -3 \implies x_0 = -1$.
$x_0 = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$-1 + y_0 = \sqrt{2} \implies y_0 = \sqrt{2} + 1$.
છેલ્લે,$2x_0 + y_0$ ની કિંમત:
$2(-1) + (\sqrt{2} + 1) = -2 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} - 1$.

(A) $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં રેખા $x+y-2=0$ નું પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x$ ને $-x$ વડે બદલીએ છીએ.
આપેલ સમીકરણ $x+y-2=0$ માં $x = -x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(-x)+y-2=0$
$-x+y-2=0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x-y+2=0$
આમ,રેખાનું પ્રતિબિંબ $x-y+2=0$ છે.

(C) આપેલ રેખા $4x - 2y = 1$ છે,જેને $y = 2x - 1/2$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
રેખા $L$ આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$2 \times m_2 = -1$,જે $m_2 = -1/2$ આપે છે.
$-1/2$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + 2y + \lambda = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ રેખા યામ અક્ષોને $(-\lambda, 0)$ અને $(0, -\lambda/2)$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
રેખા દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\text{base}| \times |\text{height}| = 4$ છે.
$\frac{1}{2} \times |-\lambda| \times |-\lambda/2| = 4$.
$\frac{\lambda^2}{4} = 4 \implies \lambda^2 = 16 \implies \lambda = \pm 4$.
સમીકરણ $x + 2y + \lambda = 0$ માં $\lambda = 4$ મૂકતા,આપણને $x + 2y + 4 = 0$ મળે છે,જે $2x + 4y + 8 = 0$ ને સમાન છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(4, -13)$ નું પ્રતિબિંબ $P'(x_1, y_1)$ છે.
$Q$ એ $PP'$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેના યામ $Q = \left(\frac{x_1 + 4}{2}, \frac{y_1 - 13}{2}\right)$ છે.
$Q$ એ રેખા $5x + y + 6 = 0$ પર આવેલું હોવાથી:
$5\left(\frac{x_1 + 4}{2}\right) + \left(\frac{y_1 - 13}{2}\right) + 6 = 0$
$5x_1 + 20 + y_1 - 13 + 12 = 0$
$5x_1 + y_1 + 19 = 0$ $\ldots$ $(i)$
રેખા $PP'$ એ રેખા $5x + y + 6 = 0$ (જેનો ઢાળ $-5$ છે) ને લંબ હોવાથી,$PP'$ નો ઢાળ $\frac{1}{5}$ થાય.
તેથી,$\frac{y_1 - (-13)}{x_1 - 4} = \frac{1}{5}$
$5(y_1 + 13) = x_1 - 4$
$x_1 - 5y_1 - 69 = 0$ $\ldots$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ ને $5$ વડે ગુણતા: $25x_1 + 5y_1 + 95 = 0$
તેને (ii) માં ઉમેરતા: $(25x_1 + 5y_1 + 95) + (x_1 - 5y_1 - 69) = 0$
$26x_1 + 26 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
$x_1 = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $5(-1) + y_1 + 19 = 0 \Rightarrow y_1 = -14$.
આમ,પ્રતિબિંબ $(-1, -14)$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $3x^2-11xy+10y^2-7x+13y+k=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=3, h=-\frac{11}{2}, b=10, g=-\frac{7}{2}, f=\frac{13}{2}$.
રેખાઓનું છેદબિંદુ $(x, y)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$x = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ અને $y = \frac{gh-af}{ab-h^2}$.
છેદની કિંમત: $ab-h^2 = 3(10) - (-\frac{11}{2})^2 = 30 - \frac{121}{4} = -\frac{1}{4}$.
$x$ ની કિંમત: $x = \frac{(-\frac{11}{2})(\frac{13}{2}) - (10)(-\frac{7}{2})}{-\frac{1}{4}} = 3$.
$y$ ની કિંમત: $y = \frac{(-\frac{7}{2})(-\frac{11}{2}) - (3)(\frac{13}{2})}{-\frac{1}{4}} = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, 1)$ છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $x^2+y^2=4$ તથા $x+y=a$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીને મેળવી શકાય છે:
$x^2+y^2=4 \left(\frac{x+y}{a}\right)^2$
$a^2(x^2+y^2)=4(x^2+y^2+2xy)$
$(a^2-4)x^2 - 8xy + (a^2-4)y^2 = 0$
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a^2-4) + (a^2-4) = 0$
$2(a^2-4) = 0$
$a^2 = 4$
$a>0$ હોવાથી,$a=2$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $8x^2 - 24xy + 18y^2 - 6x + 9y - 5 = 0$ છે.
આને $2(2x - 3y)^2 - 3(2x - 3y) - 5 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = 2x - 3y$,તો સમીકરણ $2t^2 - 3t - 5 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(2t - 5)(t + 1) = 0$ મળે.
તેથી,$2x - 3y = 2.5$ અને $2x - 3y = -1$.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|-2.5 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{3.5}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}}$.

(B) એનાન્શિયોમર્સ એ સ્ટીરિયો આઈસોમર્સ છે જે એકબીજાના અરીસામાં પ્રતિબિંબ છે જે એકબીજા પર બંધબેસતા નથી.
તેઓ સમાન ભૌતિક ગુણધર્મો ધરાવે છે જેમ કે ઉત્કલન બિંદુ,ઘનતા અને બંધ લંબાઈ.
જોકે,તેઓ સમતલ-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ સાથેની તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાં અલગ પડે છે,જેને વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ તરીકે માપવામાં આવે છે.
તેથી,સેકન્ડરી બ્યુટાઈલ ક્લોરાઈડના બે એનાન્શિયોમર્સ વિશિષ્ટ પરિભ્રમણમાં અલગ પડે છે.

(A) પ્રતિબિંબીત સમઘટકો (enantiomers) એકબીજાના અરીસામાં દેખાતા અદ્રશ્ય પ્રતિબિંબો છે જે એકબીજા પર બંધબેસતા નથી.
$2,3-$બ્યુટેનડાયોલ માટે,કિરાલ કેન્દ્રો $2$ અને $3$ સ્થાન પર છે.
$(2R, 3R)$ સમઘટકનું પ્રતિબિંબીત સમઘટક $(2S, 3S)$ સમઘટક છે.
તેથી,$(2R, 3R)$ અને $(2S, 3S)$ ની જોડી પ્રતિબિંબીત સમઘટકો છે.

(A) ડીલ્સ-એલ્ડર પ્રક્રિયા માટે સંયુગ્મિત ડાયિન (conjugated diene) અને ડાયિનોફાઇલ (આલ્કીન અથવા આલ્કાઇન) ની જરૂર હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માં,પ્રક્રિયક $CH_2=CH-CH_2-CH=CH_2$ એ $penta-1,4-diene$ છે.
આ એક આઇસોલેટેડ ડાયિન છે,સંયુગ્મિત ડાયિન નથી.
તેથી,તે ડીલ્સ-એલ્ડર પ્રક્રિયામાં ભાગ લઈ શકતું નથી.

(D) જ્યારે $TiO_2$ ના એસિડિક દ્રાવણની પ્રક્રિયા $H_2O_2$ સાથે કરવામાં આવે છે,ત્યારે $H_2TiO_4$ (પરટાઈટેનિક એસિડ) ના નિર્માણને કારણે તીવ્ર પીળો-નારંગી રંગ મળે છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા:
$TiO_2 + H_2O_2 \xrightarrow{H_2SO_4} H_2TiO_4$
આ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ $Ti(IV)$ અને $H_2O_2$ બંનેની ઓળખ માટે થાય છે.

(D) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ છે,જ્યાં પ્રારંભિક કિંમતો $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ છે.
આપણે ક્રમશઃ કિંમતો શોધીએ:
$x=3$ માટે: $f(3)=f(1)+f(0)=1+0=1$.
$x=4$ માટે: $f(4)=f(2)+f(1)=2+1=3$.
$x=5$ માટે: $f(5)=f(3)+f(2)=1+2=3$.
$x=6$ માટે: $f(6)=f(4)+f(3)=3+1=4$.
$x=7$ માટે: $f(7)=f(5)+f(4)=3+3=6$.
$x=8$ માટે: $f(8)=f(6)+f(5)=4+3=7$.
$x=9$ માટે: $f(9)=f(7)+f(6)=6+4=10$.
આમ,$f(9)=10$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^4+y^4}{x+y}\right)$.
ધારો કે $v=\sin u=\frac{x^4+y^4}{x+y}$.
અહીં,$v$ એ $x$ અને $y$ નું $n = 4 - 1 = 3$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
આઈલરના પ્રમેય મુજબ,$x \frac{\partial v}{\partial x} + y \frac{\partial v}{\partial y} = n v$.
$v = \sin u$ અને $n = 3$ મુકતા,આપણને મળે $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 3 \sin u$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \sin u$.
બંને બાજુ $\cos u$ વડે ભાગતા,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \frac{\sin u}{\cos u} = 3 \tan u$.

(A) આપેલ છે: $pH = 5.0$ અને સાંદ્રતા $C = 0.01 \ M = 10^{-2} \ M$.
$[H^{+}] = 10^{-pH} = 10^{-5} \ M$.
નિર્બળ એસિડ માટે,વિયોજન અચળાંક $K_a$ નું સૂત્ર $[H^{+}] = \sqrt{K_a \cdot C}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$[H^{+}]^2 = K_a \cdot C$ મળે છે.
તેથી,$K_a = \frac{[H^{+}]^2}{C} = \frac{(10^{-5})^2}{10^{-2}} = \frac{10^{-10}}{10^{-2}} = 10^{-8}$.
આમ,$[H^{+}] = 1 \times 10^{-5} \ M$ અને $K_a = 1 \times 10^{-8}$ છે.

(C) આપેલ છે,$y = \cos^{-1}\left(\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{2ax}{a^2+x^2}\right)$.
$x = a \tan \theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$.
તેથી,$y = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 - a^2 \tan^2 \theta}{a^2 + a^2 \tan^2 \theta}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{2a^2 \tan \theta}{a^2 + a^2 \tan^2 \theta}\right)$.
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$y = \cos^{-1}\left(\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \cos^{-1}(\cos 2\theta) + \sin^{-1}(\sin 2\theta)$.
$y = 2\theta + 2\theta = 4\theta$.
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ પાછું મૂકતા,આપણને $y = 4 \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot \frac{1}{1 + (x/a)^2} \cdot \frac{1}{a} = 4 \cdot \frac{a^2}{a^2 + x^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4a}{a^2 + x^2}$.

(A) આપણને સંકલન $I = \int(1-\cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \left(2 \sin^2 \frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{4 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$
$\sec^2 \frac{x}{2}$ નું સંકલન $2 \tan \frac{x}{2}$ થાય છે:
$I = \frac{1}{2} \cdot (2 \tan \frac{x}{2}) + c = \tan \frac{x}{2} + c$.
આને $f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \tan \frac{x}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$.
સરવાળો $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^r x \, dx + \int_0^{\pi / 4} \tan^{r+2} x \, dx$ ધ્યાનમાં લો.
$I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^r x (1 + \tan^2 x) \, dx$.
કારણ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,તેથી $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^r x \sec^2 x \, dx$.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^2 x \, dx$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\pi/4, t=1$.
આમ,$I_r + I_{r+2} = \int_0^1 t^r \, dt = \left[ \frac{t^{r+1}}{r+1} \right]_0^1 = \frac{1}{r+1}$.
$r=2$ માટે,$I_2 + I_4 = \frac{1}{3}$.
$r=3$ માટે,$I_3 + I_5 = \frac{1}{4}$.
$r=4$ માટે,$I_4 + I_6 = \frac{1}{5}$.
શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots$ છે,જે હરાત્મક શ્રેણી $(HP)$ માં છે કારણ કે તેમના વ્યસ્ત $3, 4, 5, \ldots$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $\log _4 2 - \log _8 2 + \log _{16} 2 - \dots$ છે.
$\log _b a = \frac{1}{\log _a b}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{\log _2 4} - \frac{1}{\log _2 8} + \frac{1}{\log _2 16} - \dots$
$= \frac{1}{\log _2(2^2)} - \frac{1}{\log _2(2^3)} + \frac{1}{\log _2(2^4)} - \dots$
$= \frac{1}{2 \log _2 2} - \frac{1}{3 \log _2 2} + \frac{1}{4 \log _2 2} - \dots$
$\log _2 2 = 1$ હોવાથી:
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log _e(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$
$x = 1$ લેતા,$\log _e(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$
તેથી,$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log _e 2$.

(A) આપેલ શરત છે: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ ...$(i)$
કારણ કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$ થાય.
ધારો કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(-\overrightarrow{c})^2$
$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=|\overrightarrow{c}|^2$
$|\overrightarrow{a}|=1, |\overrightarrow{b}|=1, |\overrightarrow{c}|=1$ ની કિંમતો મૂકતા:
$1^2+1^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=1^2$
$2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=1$
$2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=-1$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}$
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$:
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = -\frac{1}{2}$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ મળે.

(A) આપેલ છે કે,$\overrightarrow{a}=2 x^2 \hat{i}+4 x \hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+x \hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$ નું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta < 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$.
સદિશોના માન $|\overrightarrow{a}|$ અને $|\overrightarrow{b}|$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$\cos \theta < 0$ ની શરત એ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$ ને સમાન છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2 x^2)(7) + (4 x)(-2) + (1)(x) = 14 x^2 - 8 x + x = 14 x^2 - 7 x$.
અસમતાને શૂન્ય કરતા નાની લેતા:
$14 x^2 - 7 x < 0$
$7 x(2 x - 1) < 0$.
આ અસમતા ઉકેલવા માટે,આપણે નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = \frac{1}{2}$ મેળવીએ છીએ.
અંતરાલો તપાસતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે પદાવલિ $7 x(2 x - 1)$ એ $0$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચે ઋણ છે.
તેથી,$x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.
આપણે સદિશ ગુણાકાર શોધીએ: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}$.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$,તેથી:
$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = 0 + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - 0 = 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$.
માન મેળવતા: $|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
નિત્યસમ $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$.
અહીં $|\overrightarrow{a}| = 2$ અને $|\overrightarrow{b}| = 2$ હોવાથી,$|\overrightarrow{a}|^2 = 4$ અને $|\overrightarrow{b}|^2 = 4$ થાય.
તેથી,$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{4 \times 4 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} = \sqrt{16 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$.
આમ,$|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2 \sqrt{16 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$.

(B) ગોલકનું સમીકરણ $x^2+y^2+z^2-6x-12y-2z+20=0$ છે.
આને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $u=-3, v=-6, w=-1$ મળે છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u,-v,-w) = (3,6,1)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$(3,6,1) = \left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+3}{2}, \frac{\gamma-3}{2}\right)$.
યામોને સરખાવતા:
$\frac{\alpha+2}{2} = 3 \Rightarrow \alpha+2 = 6 \Rightarrow \alpha = 4$.
$\frac{\beta+3}{2} = 6 \Rightarrow \beta+3 = 12 \Rightarrow \beta = 9$.
$\frac{\gamma-3}{2} = 1 \Rightarrow \gamma-3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$.
આમ,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(4,9,5)$ છે.