TS EAMCET 2010 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $54$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n + 9)(n - 12) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$.
આમ,બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા $12$ છે.

(A) ધારો કે $f(\theta) = \left(\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta\right) \left(\frac{1}{3} - \tan^2 \theta\right)^{-1}$.
આપેલ છે કે $\tan^2 \theta \neq \frac{1}{3}$,તેથી આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(\theta) = \frac{\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta}{\frac{1}{3} - \tan^2 \theta} = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$.
નિત્યસમ $\tan(3\theta) = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(\theta) = \tan(3\theta)$ મળે છે.
$\tan(x)$ નું આવર્તમાન $\pi$ છે. તેથી,$\tan(3\theta)$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{3}$ થાય.

(B) આપેલ છે: $a \sin^2 \theta + b \cos^2 \theta = c$
બંને બાજુ $\cos^2 \theta$ વડે ભાગતા:
$a \tan^2 \theta + b = c \sec^2 \theta$
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ હોવાથી:
$a \tan^2 \theta + b = c(1 + \tan^2 \theta)$
$a \tan^2 \theta + b = c + c \tan^2 \theta$
$\tan^2 \theta$ ને કર્તા બનાવતા:
$a \tan^2 \theta - c \tan^2 \theta = c - b$
$(a - c) \tan^2 \theta = c - b$
$\tan^2 \theta = \frac{c - b}{a - c}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta+(\sqrt{3}+1) \cos \theta=2$
બંને બાજુ $2\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(15^{\circ}) = \cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin(15^{\circ}) = \sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sin(\frac{\pi}{12}) \sin \theta + \cos(\frac{\pi}{12}) \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
નિત્યસમ $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\theta - \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{4})$
$\cos x = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$\theta - \frac{\pi}{12} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$,જ્યાં $n \in Z$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+12y+15=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3$,$f=6$,અને $c=15$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$.
આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2 = 30\pi$ છે.
ધારો કે સમકેન્દ્રી વર્તુળ $x^2+y^2-6x+12y+k=0$ છે.
તેની ત્રિજ્યા $r_2$ માટે $r_2^2 = g^2+f^2-k = 45-k$ થાય.
નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r_2^2 = \pi(45-k)$ છે.
આપેલ છે કે $A_2 = 2A_1$,તેથી $\pi(45-k) = 2(30\pi) = 60\pi$.
આમ,$45-k = 60$,જેનો અર્થ છે કે $k = -15$.
તેથી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+12y-15=0$ છે.

(C) આપેલ છે,$r_1 = 15$ એકમ,$r_2 = 20$ એકમ,અને કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = 25$ એકમ.
અહીં $r_1^2 + r_2^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = (C_1 C_2)^2$.
કે ત્રિજ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો એ કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતરના વર્ગ જેટલો હોવાથી,$\triangle A C_1 C_2$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle C_1 A C_2 = 90^\circ$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ એ કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $C_1 C_2$ ને $D$ બિંદુએ લંબ છે.
$\triangle A C_1 C_2$ માં,કર્ણ $C_1 C_2$ પરનો વેધ $AD = \frac{r_1 \times r_2}{C_1 C_2}$ થાય.
$AD = \frac{15 \times 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$ એકમ.
તેથી,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $= 2 \times AD = 2 \times 12 = 24$ એકમ.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+3y+1=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+3y+2=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ નું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + k(S_1 - S_2) = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
$x^2+y^2+2x+3y+1 + k(2x+1) = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $x = -\frac{1}{2}$ પર હોવાથી,$k = \frac{1}{2}$ મળે છે.
સમીકરણમાં $k = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $x^2+y^2+2x+3y+1 + \frac{1}{2}(2x+1) = 0$.
$x^2+y^2+3x+3y+\frac{3}{2} = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સમીકરણોને સામાન્ય બનાવો જેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો $1$ થાય.
$S_1$ માટે: $x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}=0$
$S_2$ માટે: $x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5=0$
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}) - (x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5) = 0$
$-x + \frac{7}{4}x + \frac{18}{7} - 5 = 0$
$\frac{3}{4}x + \frac{18-35}{7} = 0$
$\frac{3}{4}x - \frac{17}{7} = 0$
$28$ વડે ગુણતા:
$21x - 68 = 0$

(C) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ છે ...$(i)$
આપેલ બિંદુઓ $(0, 4), (1, 9)$ અને $(4, 5)$ સમીકરણ $(i)$ નું સમાધાન કરે છે.
$(0, 4)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $4 = A(0)^2 + B(0) + C \Rightarrow C = 4$ ...(ii)
$(1, 9)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $9 = A(1)^2 + B(1) + 4 \Rightarrow A + B = 5$ ...(iii)
$(4, 5)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $5 = A(4)^2 + B(4) + 4 \Rightarrow 16A + 4B = 1$ ...(iv)
(iv) ને $4$ વડે ભાગતા,$4A + B = \frac{1}{4}$ ...$(v)$
$(v)$ માંથી (iii) બાદ કરતા: $3A = \frac{1}{4} - 5 = -\frac{19}{4} \Rightarrow A = -\frac{19}{12}$
$A$ ની કિંમત (iii) માં મૂકતા: $B = 5 + \frac{19}{12} = \frac{79}{12}$
આમ,પરવલયનું સમીકરણ $y = -\frac{19}{12}x^2 + \frac{79}{12}x + 4$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 8(x-3)$ છે. અહીં શિરોબિંદુ $(3,0)$ અને $a=2$ છે.
નાભિ $S(5,0)$ છે અને નિયામિકા $x=1$ છે.
$P$ ના યામ $(3+2t^2, 4t)$ લેતા,$M$ ના યામ $(1, 4t)$ થશે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે $SP = SM$ હોવું જોઈએ.
$SP = 2(t^2+1)$ અને $SM = 4\sqrt{1+t^2}$.
$2(t^2+1) = 4\sqrt{1+t^2}$ લેતા,$t^2=3$ મળે છે.
તેથી $P(9, 4\sqrt{3})$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે સંયુગ્મી રેખાઓ $2x + 3y + 12 = 0$ $(i)$ અને $x - y + k = 0$ $(ii)$ છે.
બે રેખાઓ પરવલયના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી ત્યારે કહેવાય જ્યારે એક રેખાનો ધ્રુવ (pole) બીજી રેખા પર હોય.
ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ ના સાપેક્ષમાં રેખા $2x + 3y + 12 = 0$ નો ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $yy_1 = 4(x + x_1)$ છે,જે $4x - yy_1 + 4x_1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આને આપેલ રેખા $2x + 3y + 12 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3} = \frac{4x_1}{12}$
$2 = \frac{-y_1}{3} \Rightarrow y_1 = -6$
$2 = \frac{x_1}{3} \Rightarrow x_1 = 6$
આમ,ધ્રુવ $(6, -6)$ છે.
રેખાઓ સંયુગ્મી હોવાથી,ધ્રુવ $(6, -6)$ એ બીજી રેખા $x - y + k = 0$ પર હોવો જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા,$6 - (-6) + k = 0$.
$12 + k = 0 \Rightarrow k = -12$.

(D) આપેલ છે,$a_n = 6^n - 5n$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$
આપણે $6^n$ ને $(1 + 5)^n$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$6^n = (1 + 5)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(5) + {^nC_2}(5^2) + {^nC_3}(5^3) + \ldots$
$6^n = 1 + 5n + 25({^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots)$
હવે,આ કિંમતને $a_n$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a_n = (1 + 5n + 25k) - 5n$,જ્યાં $k = {^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots$
$a_n = 1 + 25k$
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે $a_n$ ને $25$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $1$ મળે છે.

(B) આપણને આપેલ છે $n = 1! + 4! + 7! + \ldots + 400!$.
પ્રથમ,ફેક્ટોરિયલની કિંમતો ગણો:
$1! = 1$
$4! = 24$
$7! = 5040$
$10! = 3628800$
કોઈપણ $k \ge 10$ માટે,$k!$ ઓછામાં ઓછા બે શૂન્ય સાથે સમાપ્ત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $k!$ ના છેલ્લા બે અંકો $00$ છે.
આમ,$n$ નો $100$ વડે ભાગાકાર કરતા મળતી શેષ પ્રથમ થોડા પદોના સરવાળા દ્વારા નક્કી થાય છે:
$n \equiv 1! + 4! + 7! + 10! + \ldots + 400! \pmod{100}$
$n \equiv 1 + 24 + 40 + 0 + \ldots + 0 \pmod{100}$
$n \equiv 65 \pmod{100}$
$n$ ના છેલ્લા બે અંકો $65$ છે.
તેથી,$n$ નો દશકનો અંક $6$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(1+2x+3x^2)^{10} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{20}x^{20}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k y^k$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $y = 2x+3x^2$:
$(1+(2x+3x^2))^{10} = {}^{10}C_0 + {}^{10}C_1(2x+3x^2) + {}^{10}C_2(2x+3x^2)^2 + \ldots$
$= 1 + 10(2x+3x^2) + 45(4x^2+12x^3+9x^4) + \ldots$
$= 1 + 20x + 30x^2 + 180x^2 + 540x^3 + 405x^4 + \ldots$
$= 1 + 20x + 210x^2 + \ldots$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a_1 = 20$
$a_2 = 210$
તેથી,$\frac{a_2}{a_1} = \frac{210}{20} = 10.5$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{(1-5 x)(1-4 x)}$ છે,જ્યાં $|x| < \frac{1}{5}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણના સૂત્ર $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-5x)^{-1} = 1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots$
$(1-4x)^{-1} = 1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots$
આ બંને શ્રેણીનો ગુણાકાર કરતા:
$(1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots)(1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots)$
$x^3$ નો સહગુણક મેળવવા માટે જે પદોનો ઘાતનો સરવાળો $3$ થાય તેનો ગુણાકાર કરીએ:
$= (1 \cdot 64) + (5x \cdot 16x^2) + (25x^2 \cdot 4x) + (125x^3 \cdot 1)$
$= 64 + 80 + 100 + 125$
$= 369$

(C) આપેલ વક્ર $2 x^2+y^2=2 x$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $2 x^2-2 x+y^2=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $2(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2}$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-\frac{1}{2})^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/2} = 1$.
આ એક ઉપવલય છે જેનું કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, 0)$,$a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \theta, \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)$ લો.
બિંદુ $Q(a, 0)$ થી અંતર $PQ^2 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \theta - a)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)^2$ છે.
ગણતરી કરતા,$PQ^2 = -\frac{1}{4} \cos^2 \theta + (\frac{1}{2}-a) \cos \theta + (\frac{1}{2}-a)^2 + \frac{1}{2}$.
મહત્તમ કિંમત માટે $\cos \theta = 1-2a$ લેતા,અંતર $\sqrt{2a^2 - 2a + 1}$ મળે છે.

(C) અનંતસ્પર્શકો $L_1=0$ અને $L_2=0$ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $L_1 \cdot L_2 + k = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,અનંતસ્પર્શકો $(4x+3y-7)=0$ અને $(x-2y-1)=0$ છે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $(4x+3y-7)(x-2y-1)+k=0$ થશે ...$(i)$
અતિવલય બિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(4(2)+3(3)-7)(2-2(3)-1)+k=0$
$(8+9-7)(2-6-1)+k=0$
$(10)(-5)+k=0$
$-50+k=0 \Rightarrow k=50$
$k=50$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(4x+3y-7)(x-2y-1)+50=0$
$4x^2-8xy-4x+3xy-6y^2-3y-7x+14y+7+50=0$
$4x^2-5xy-6y^2-11x+11y+57=0$

(B) ધારો કે $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ છે.
બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ થી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ પરના લંબનું અંતર $P_1 = \frac{|\sec \theta + \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ છે.
બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ થી રેખા $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ પરના લંબનું અંતર $P_2 = \frac{|\sec \theta - \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ છે.
તેથી,$P_1 P_2 = \frac{|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta|}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}} = \frac{1}{\frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}} = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.

(C) આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીએ:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{3}) - (x - \frac{x^3}{6})}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6}}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$.

(A) પોલિડિસ્પર્સિટી ઇન્ડેક્સ $(PDI)$ એ વજન સરેરાશ આણ્વીય દળ અને સંખ્યા સરેરાશ આણ્વીય દળનો ગુણોત્તર છે:
$PDI = \frac{\bar{M}_w}{\bar{M}_n}$
આપેલ છે:
$\bar{M}_n = 40000$
$\bar{M}_w = 60000$
કિંમતો મૂકતા:
$PDI = \frac{60000}{40000} = 1.5$
તેથી,$PDI > 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\angle C = 90^{\circ}$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$c^2 = a^2 + b^2$ થાય.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = c \sin A$ અને $b = c \sin B$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(c \sin A)^2 - (c \sin B)^2}{c^2} = \sin^2 A - \sin^2 B$.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા.
કારણ કે $A+B+C = 180^{\circ}$ અને $C = 90^{\circ}$,તેથી $A+B = 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\sin(A+B) = \sin 90^{\circ} = 1$.
આમ,$\sin^2 A - \sin^2 B = 1 \cdot \sin(A-B) = \sin(A-B)$.

(B) આપેલ છે $\Delta = a^2 - (b - c)^2$.
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta = (a - b + c)(a + b - c)$.
$2s = a + b + c$ હોવાથી,$a + b - c = 2s - 2c$ અને $a - b + c = 2s - 2b$.
તેથી,$\Delta = (2s - 2b)(2s - 2c) = 4(s - b)(s - c)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 4(s - b)(s - c)$.
બંને બાજુ $\sqrt{(s - b)(s - c)}$ વડે ભાગતા,$\sqrt{s(s - a)} = 4\sqrt{(s - b)(s - c)}$.
તેથી,$\sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}} = \frac{1}{4}$.
$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}}$ હોવાથી,$\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$.
સૂત્ર $\tan A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan A = \frac{2(1/4)}{1 - (1/4)^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.

(A) આપેલ છે કે $\operatorname{det}(I+A) \neq 0$,જે સૂચવે છે કે $(I+A)$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
આપણને $A^3 = O$ આપેલ છે.
આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ જાણીએ છીએ.
$x=A$ અને $y=I$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A^3 + I^3 = (A+I)(A^2 - AI + I^2)$.
$I^3 = I$ અને $A^3 = O$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$O + I = (A+I)(A^2 - A + I)$.
$I = (A+I)(A^2 - A + I)$.
$(A+I)$ વ્યસ્ત હોવાથી,આપણે બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $(A+I)^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ:
$(A+I)^{-1} I = (A+I)^{-1} (A+I)(A^2 - A + I)$.
$(A+I)^{-1} = I(A^2 - A + I)$.
$(A+I)^{-1} = I - A + A^2$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$.
આપણે નિશ્ચાયકને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right|=0$.
બીજા નિશ્ચાયકમાંથી $xyz$ સામાન્ય લેતા: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|+xyz\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|=0$.
સ્તંભોની અદલાબદલી ($C_1 \leftrightarrow C_2$ અને પછી $C_2 \leftrightarrow C_3$) કરવાથી,બીજો નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|$ બની જાય છે.
આમ,$(1+xyz)\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|=0$.
કારણ કે $x \neq y \neq z$,તેથી નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| \neq 0$.
તેથી,$1+xyz=0$,જેનો અર્થ છે કે $xyz = -1$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકના વિકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime}(x)$ એ ત્રણ નિશ્ચાયકોનો સરવાળો છે જ્યાં દરેક હારનું વારાફરતી વિકલન કરવામાં આવે છે:
$f^{\prime}(x) = \left| \begin{array}{ccc} -2 \sin x & 1 & 0 \\ 1 & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 0 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & -2 \sin x & 1 \\ 0 & 0 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 0 \\ 0 & 1 & -2 \sin x \end{array} \right|$.
હવે,$x = \pi$ મૂકતા. કારણ કે $\sin \pi = 0$ અને $\cos \pi = -1$:
$f^{\prime}(\pi) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
દરેક નિશ્ચાયકની કિંમત શોધતા:
$1$. $\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| = 0 - 1(-2 - 0) + 0 = 2$.
$2$. $\left| \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right| = 0$ (કારણ કે બીજી સ્તંભ શૂન્ય છે).
$3$. $\left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right| = 0$ (કારણ કે ત્રીજી સ્તંભ શૂન્ય છે).
તેથી,$f^{\prime}(\pi) = 2 + 0 + 0 = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tanh ^{-1} x = a \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$,જ્યાં $|x| < 1$ ...$(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક ટેન્જેન્ટ વિધેયનું પ્રમાણિત લઘુગણકીય સ્વરૂપ: $\tanh ^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ ...(ii) છે.
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ (ii) ની સરખામણી કરતા,આપણે લઘુગણકીય પદના સહગુણકોને સરખાવી શકીએ છીએ.
તેથી,$a = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$.
તેથી,$\tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) + \tan ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા,$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ.
ધારો કે $A = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ અને $B = \tan ^{-1} z$.
તો $\tan(A+B) = \tan \left( \frac{\pi}{2} \right) = \infty$.
પદ અવ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$1 - \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) z = 0$.
$1 - \frac{z(x+y)}{1-xy} = 0$.
$1 - xy - z(x+y) = 0$.
$1 - xy - zx - zy = 0$.
તેથી,$1 - xy - yz - zx = 0$.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$,જ્યાં $x \in \mathbb{R}$.
ધારો કે $y = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$.
$y(x^2+2x+1) = x^2-6x+5$.
$yx^2 + 2yx + y = x^2 - 6x + 5$.
$(y-1)x^2 + (2y+6)x + (y-5) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (2y+6)^2 - 4(y-1)(y-5) \geq 0$.
$4(y+3)^2 - 4(y^2 - 6y + 5) \geq 0$.
$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 - 6y + 5) \geq 0$.
$12y + 4 \geq 0$.
$12y \geq -4$.
$y \geq -\frac{1}{3}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x + \cos x$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x) = \cos x - \sin x$.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(x) = -\sin x - \cos x$.
તૃતીય વિકલન: $f'''(x) = -\cos x + \sin x$.
ચતુર્થ વિકલન: $f^{(iv)}(x) = \sin x + \cos x$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ માટે કિંમત મેળવતા:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
તે જ રીતે,$f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$.
તેથી,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$.

(B) આપેલ છે કે $y = \sin(m \sin^{-1} x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \cos(m \sin^{-1} x) \cdot \frac{m}{\sqrt{1 - x^2}}$
$y_1 \sqrt{1 - x^2} = m \cos(m \sin^{-1} x)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$y_1^2 (1 - x^2) = m^2 \cos^2(m \sin^{-1} x) = m^2 (1 - \sin^2(m \sin^{-1} x)) = m^2 (1 - y^2)$
$y_1^2 (1 - x^2) = m^2 - m^2 y^2$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 y_1 y_2 (1 - x^2) + y_1^2 (-2x) = -2 m^2 y y_1$
$2 y_1$ વડે ભાગતા ($y_1 \neq 0$ ધારીને):
$y_2 (1 - x^2) - x y_1 = -m^2 y$

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \prod_{r=1}^n \cos(rx)$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln|f(x)| = \sum_{r=1}^n \ln|\cos(rx)|$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{f(x)} f^{\prime}(x) = \sum_{r=1}^n \frac{1}{\cos(rx)} \cdot (-\sin(rx) \cdot r)$.
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = -\sum_{r=1}^n r \tan(rx)$.
બંને બાજુ $f(x)$ વડે ગુણતા:
$f^{\prime}(x) = -f(x) \sum_{r=1}^n r \tan(rx)$.
પદોને ગોઠવતા:
$f^{\prime}(x) + \sum_{r=1}^n (r \tan(rx)) f(x) = 0$.

(C) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે અને શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OPB$ માં,જ્યાં $O$ એ ગોળાનું કેન્દ્ર છે,$P$ એ શંકુના પાયાનું કેન્દ્ર છે અને $B$ એ શંકુના પાયાના પરિઘ પરનું બિંદુ છે:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$r^2 = R^2 - (h - R)^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2) = 2Rh - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા:
$\frac{\pi}{3} h(4R - 3h) = 0$.
$h \neq 0$ હોવાથી,$h = \frac{4R}{3}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)$.
$h = \frac{4R}{3}$ માટે,$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6(\frac{4R}{3})) = \frac{\pi}{3} (4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$h = \frac{4R}{3}$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.

(A) $f(x)$ શોધવા માટે,આપણે આપેલા વિકલ્પોનું વિકલન કરીશું જેથી જાણી શકાય કે કયું વિકલન સંકલ્ય $\frac{7x^8+8x^7}{(1+x+x^8)^2}$ આપે છે.
ધારો કે $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x^8$ અને $v = 1+x+x^8$ છે:
$f'(x) = \frac{(1+x+x^8)(8x^7) - (x^8)(1+8x^7)}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{8x^7 + 8x^8 + 8x^{15} - x^8 - 8x^{15}}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{7x^8 + 8x^7}{(1+x+x^8)^2}$
આમ,વિકલ્પ $A$ નું વિકલન સંકલ્ય સાથે મેળ ખાય છે,તેથી $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f_n(x) = \log(\log(\ldots \log x))$ ($n$ વખત).
ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_n(x)}$.
ધારો કે $t = f_n(x) = \log(f_{n-1}(x))$.
તેથી,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{f_{n-1}(x)} \cdot \frac{d}{dx}(f_{n-1}(x)) = \frac{1}{f_{n-1}(x) f_{n-2}(x) \ldots f_1(x) \cdot x}$.
આમ,$dx = (x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{(x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x) f_n(x)} = \int \frac{dt}{f_n(x)}$.
અહીં $t = f_n(x)$ લેતા,$dt = \frac{dx}{x f_1(x) \ldots f_{n-1}(x)}$.
તેથી,$I = \int \frac{dt}{t} = \log|t| + c = \log|f_n(x)| + c$.
કારણ કે $f_{n+1}(x) = \log(f_n(x))$,તેથી $I = f_{n+1}(x) + c$.

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ $(i)$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) ના છેદબિંદુઓ $(i)$ માંથી $y^2=1-x^2$ ને (ii) માં મૂકતા મળે છે:
$(x-1)^2+(1-x^2)=1$
$x^2-2x+1+1-x^2=1$
$2-2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ મળે,તેથી $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
છેદબિંદુઓ $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ અને $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + 2 \times \int_{1/2}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/2}^1$
$= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2})) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) \right] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} \right]$
$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) સંકલન $\int_{x_0}^{x_n} f(x) dx$ ના અંદાજ માટે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\int_{x_0}^{x_n} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [ (y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) ]$
અહીં,$h = 1$ ($x$ ના ક્રમિક મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત છે).
મૂલ્યો $y_0=2, y_1=3, y_2=6, y_3=11, y_4=18, y_5=27$ છે.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} [ (2 + 27) + 2(3 + 6 + 11 + 18) ]$
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} [ 29 + 2(38) ]$
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} [ 29 + 76 ]$
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} [ 105 ] = 52.5$ ચોરસ એકમ.

(C) ઓપ્ટિકલ ફાઇબર માટે,એક્સેપ્ટન્સ એંગલ (સ્વીકૃતિ કોણ) $\theta_a$ નું સૂત્ર: $\sin \theta_a = \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$ છે,જ્યાં $\mu_1$ એ કોરનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_2$ એ ક્લેડિંગનો વક્રીભવનાંક છે,અને બહારનું માધ્યમ હવા $(\mu_0 = 1)$ છે.
આપેલ છે કે $\mu_1 = 1.5$ અને $\mu_2 = 1.414$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta_a = \sqrt{(1.5)^2 - (1.414)^2}$.
કારણ કે $(1.414)^2 \approx 2$,તેથી $\sin \theta_a = \sqrt{2.25 - 2} = \sqrt{0.25} = 0.5$.
તેથી,$\theta_a = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે આપાત પ્રકાશ ઓપ્ટિકલ ફાઇબરની ધરી સાથે $0^{\circ}$ થી $30^{\circ}$ ના ખૂણાની શ્રેણીમાં દાખલ થવો જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) ટેલિસ્કોપની વિભેદન મર્યાદા $(d\theta)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 4538 \ \mathring{A} = 4538 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$a = 1 \ \text{m}$
કિંમતો મૂકતા:
$d\theta = \frac{1.22 \times 4538 \times 10^{-10}}{1}$
$d\theta = 5536.36 \times 10^{-10} \ \text{rad}$
$d\theta \approx 5.54 \times 10^{-7} \ \text{rad}$

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો છે,અને બંને પ્રિઝમના ખૂણાના $3/4$ ગણા છે:
$i = e = \frac{3}{4} \times A = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
આપાતકોણ,નિર્ગમનકોણ,પ્રિઝમનો ખૂણો અને વિચલનકોણ $\delta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$i + e = A + \delta$
સમીકરણમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$45^{\circ} + 45^{\circ} = 60^{\circ} + \delta$
$90^{\circ} = 60^{\circ} + \delta$
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,વિચલનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(B) જ્યારે ક્લોરિન ગરમ અને સાંદ્ર સોડિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે તે વિષમીકરણ (disproportionation) પ્રક્રિયા દ્વારા સોડિયમ ક્લોરાઇડ,સોડિયમ ક્લોરેટ અને પાણી બનાવે છે.
સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ:
$3Cl_{2(g)} + 6NaOH_{(aq, \text{hot conc})} \longrightarrow 5NaCl_{(aq)} + NaClO_{3(aq)} + 3H_2O_{(l)}$
આમ,સોડિયમ ક્લોરાઇડ સિવાય,સોડિયમ ક્લોરેટ $(NaClO_3)$ બને છે.

(D) કોમન-એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો કરંટ ગેઈન $\beta$ એ કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $(\Delta i_C)$ અને બેઝ પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $(\Delta i_B)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\beta = \frac{\Delta i_C}{\Delta i_B}$
આપેલ છે: $\beta = 80$ અને $\Delta i_B = 250 \mu A = 250 \times 10^{-6} \text{ A}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$80 = \frac{\Delta i_C}{250 \times 10^{-6} \text{ A}}$
$\Delta i_C = 80 \times 250 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20,000 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20 \times 10^{-3} \text{ A} = 20 \text{ mA}$.
તેથી,કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $20 \text{ mA}$ છે.

(B) આપેલ છે: $\tan y \frac{dy}{dx} = \sin(x+y) + \sin(x-y)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$
ચલને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \sin x dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = \int 2 \sin x dx$
ધારો કે $t = \cos y$,તેથી $dt = -\sin y dy$,એટલે કે $\sin y dy = -dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$-\int \frac{dt}{t^2} = -2 \cos x + c$
$-(- \frac{1}{t}) = -2 \cos x + c$
$\frac{1}{\cos y} = -2 \cos x + c$
$\sec y = -2 \cos x + c$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{x}-\frac{x}{y}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા: $y \frac{d y}{d x}-\frac{2 y^2}{x}=-x$ $\ldots$ $(i)$.
ધારો કે $v=y^2$,તો $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d v}{d x}=2 y \frac{d y}{d x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}$.
આને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}-\frac{2 v}{x}=-x$.
$2$ વડે ગુણતા: $\frac{d v}{d x}-\frac{4 v}{x}=-2 x$.
આ $\frac{d v}{d x}+P v=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-\frac{4}{x}$ અને $Q=-2 x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF=e^{\int P d x}=e^{\int-\frac{4}{x} d x}=e^{-4 \log x}=x^{-4}$.
ઉકેલ $v \cdot IF = \int Q \cdot IF d x + c$ છે.
$v \cdot x^{-4} = \int (-2 x) \cdot x^{-4} d x + c = -2 \int x^{-3} d x + c$.
$v x^{-4} = -2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = x^{-2} + c$.
$v = x^2 + c x^4$.
કારણ કે $v=y^2$,વક્રોનો પરિવાર $y^2 = x^2 + c x^4$ છે.

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$ છે.
જેহেতু $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ એક સમતલમાં આવેલા છે,તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ એ તે સમતલને લંબ સદિશ છે.
જો $\overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ ને સમાવતા સમતલને સમાંતર હોય,તો $\overrightarrow{c}$ એ લંબ સદિશ $\overrightarrow{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 0$ થાય.
પ્રથમ,$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-9) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(3+4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
હવે,$\overrightarrow{c}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લઈએ:
$(-7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} + (2\lambda-1)\hat{k}) = 0$.
$-7\lambda + 7(1) + 7(2\lambda-1) = 0$.
$-7\lambda + 7 + 14\lambda - 7 = 0$.
$7\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
આમ,$\lambda$ ની કિંમત $0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $P(A \cap B) = \frac{3}{25}$ અને $P(B - A) = \frac{8}{25}$.
ગણ અને સંભાવનાના ગુણધર્મો મુજબ,ઘટના $B$ ને બે અલગ-અલગ ગણના યોગ તરીકે દર્શાવી શકાય છે: $(B - A)$ અને $(A \cap B)$.
તેથી,$P(B) = P(B - A) + P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(B) = \frac{8}{25} + \frac{3}{25} = \frac{11}{25}$.

(D) કિસ્સો $I$: પાત્ર $A$ માંથી પાત્ર $B$ માં સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પાત્ર $A$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_A) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$ છે.
સ્થાનાંતર પછી,પાત્ર $B$ માં $7$ સફેદ અને $8$ કાળા દડા (કુલ $15$) છે.
પાત્ર $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_B|W_A) = \frac{7}{15}$ છે.
આ કિસ્સાની સંભાવના $P(W_A) \times P(W_B|W_A) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$ છે.
કિસ્સો $II$: પાત્ર $A$ માંથી પાત્ર $B$ માં કાળો દડો સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પાત્ર $A$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B_A) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ છે.
સ્થાનાંતર પછી,પાત્ર $B$ માં $6$ સફેદ અને $9$ કાળા દડા (કુલ $15$) છે.
પાત્ર $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_B|B_A) = \frac{6}{15}$ છે.
આ કિસ્સાની સંભાવના $P(B_A) \times P(W_B|B_A) = \frac{5}{8} \times \frac{6}{15} = \frac{30}{120} = \frac{10}{40}$ છે.
પાત્ર $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની કુલ સંભાવના $\frac{7}{40} + \frac{10}{40} = \frac{17}{40}$ છે.

(C) ધારો કે $\lambda$ એ યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે પોઈસન વિતરણનો પ્રાચલ (મધ્યક) છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots$.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$,તેથી:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda$ વડે ભાગતા આપણને $1 = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2$.
હવે,$P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=5) = \frac{\lambda^5 e^{-\lambda}}{5!} = \frac{2^5 e^{-2}}{120}$
$P(X=5) = \frac{32 e^{-2}}{120} = \frac{4}{15} e^{-2}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p = 1 - q$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે.
આપણે $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(C) સફેદ ટીન,ટીનનું એક અપરરૂપ છે જે ટેટ્રાગોનલ સ્ફટિક પ્રણાલીનું ઉદાહરણ છે.
ટેટ્રાગોનલ પ્રણાલી માટે એકમ કોષના પરિમાણો $a = b \neq c$ અને $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ કારણમાં $a=b=c$ અને $\alpha=\beta=\gamma \neq 90^{\circ}$ જણાવેલ છે,જે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે,ઋણાયન અને ધનાયન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $= 10 : 9.3$.
$\therefore$ ધનાયન અને ઋણાયન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $= 9.3 : 10 = 0.93$.
જ્યારે ધનાયન અને ઋણાયન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $0.732$ અને $1.00$ ની વચ્ચે હોય,ત્યારે સવર્ગ આંક $8$ હોય છે.
આમ,સ્ફટિકમાં ધનાયનનો સવર્ગ આંક $8$ છે.