TS EAMCET 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) जब एक गेंद $h$ ऊँचाई से गिरती है,तो वह फर्श से टकराती है और $h_1 = h e^2$ ऊँचाई तक उछलती है।
दूसरी टक्कर के बाद,यह $h_2 = h_1 e^2 = h e^4$ ऊँचाई तक उछलती है।
सामान्य तौर पर,$n$-वीं उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_n = h e^{2n}$ होती है।
गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $H$ प्रारंभिक गिरावट और प्रत्येक उछाल के लिए बाद के ऊपर और नीचे के रास्तों का योग है:
$H = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$H = h + 2(h e^2 + h e^4 + h e^6 + \dots)$
$H = h + 2h(e^2 + e^4 + e^6 + \dots)$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = e^2$ और सार्व अनुपात $r = e^2$ है। इसका योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{e^2}{1-e^2}$ है।
$H = h + 2h \left( \frac{e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$

(A) मान लीजिए कि बम का कुल द्रव्यमान $M = 5m$ है। छोटे टुकड़े का द्रव्यमान $m_1 = m$ और बड़े टुकड़े का द्रव्यमान $m_2 = 4m$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग:
$M \vec{v} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$
$5m(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = m(200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4m \vec{v}_2$
$m$ से विभाजित करने पर:
$5(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4 \vec{v}_2$
$(200 \hat{i} + 250 \hat{j} - 125 \hat{k}) - (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) = 4 \vec{v}_2$
$0 \hat{i} + 180 \hat{j} - 140 \hat{k} = 4 \vec{v}_2$
$\vec{v}_2 = \frac{180 \hat{j} - 140 \hat{k}}{4} = 45 \hat{j} - 35 \hat{k} \text{ m/s}$.

(B) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,असंपीड्य तरल के लिए अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और वेग का गुणनफल स्थिर रहता है: $A_1 v_1 = A_2 v_2$।
यहाँ $A_1 = A$,$v_1 = 4 \,m/s$,और $A_2 = \frac{2}{3} A$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $A \times 4 = \frac{2}{3} A \times v_2$।
$v_2$ के लिए हल करने पर: $v_2 = 4 \times \frac{3}{2} = 6 \,m/s$।
अब,नीचे गिरती धारा के लिए ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत (बर्नौली समीकरण) का उपयोग करने पर: $P + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$।
चूंकि दबाव $P$ स्थिर है और $h_1 - h_2 = h$ है,समीकरण सरल होकर बनता है: $g h = \frac{1}{2} (v_2^2 - v_1^2)$।
मान रखने पर: $10 \times h = \frac{1}{2} (6^2 - 4^2)$।
$10 h = \frac{1}{2} (36 - 16) = \frac{1}{2} (20) = 10$।
अतः,$h = 1 \,m$।

(D) साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $p = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दबाव तेल के स्तंभ द्वारा लगाए गए दबाव $p = h \rho g$ द्वारा संतुलित होता है।
दोनों को बराबर करने पर, हमें मिलता है $h \rho g = \frac{4T}{R}$।
पृष्ठ तनाव $T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $T = \frac{R h \rho g}{4}$।
दी गई मान:
त्रिज्या $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$।
ऊंचाई $h = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$।
तेल का घनत्व $\rho = 0.8 \times 10^3 \,kg/m^3$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$।
इन मानों को रखने पर:
$T = \frac{10^{-2} \times 2 \times 10^{-3} \times 0.8 \times 10^3 \times 9.8}{4}$।
$T = \frac{1.568 \times 10^{-2}}{4} = 0.392 \times 10^{-2} \,N/m = 0.00392 \,N/m$।

(C) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{CM})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$v_{CM} = \frac{4 \times 5 \hat{i} + 2 \times 10 \hat{i}}{4 + 2}$
$v_{CM} = \frac{20 \hat{i} + 20 \hat{i}}{6} = \frac{40 \hat{i}}{6} = \frac{20}{3} \hat{i} \text{ m/s}$
द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है:
$K_{CM} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{CM}^2$
$K_{CM} = \frac{1}{2} \times (4 + 2) \times \left( \frac{20}{3} \right)^2$
$K_{CM} = \frac{1}{2} \times 6 \times \frac{400}{9}$
$K_{CM} = 3 \times \frac{400}{9} = \frac{400}{3} \text{ J}$

(B) पृथ्वी की सतह पर उपग्रह की कुल ऊर्जा उसकी स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग है। चूंकि यह सतह पर स्थिर है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा $0$ है। अतः,$E_1 = -\frac{GMm}{R}$.
जब उपग्रह $r = 7R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में होता है,तो उसकी कुल ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$r = 7R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_2 = -\frac{GMm}{2(7R)} = -\frac{GMm}{14R}$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेपण यान द्वारा खर्च की जाने वाली न्यूनतम ऊर्जा अंतिम ऊर्जा और प्रारंभिक ऊर्जा के बीच का अंतर है: $\Delta E = E_2 - E_1$.
$\Delta E = -\frac{GMm}{14R} - (-\frac{GMm}{R}) = -\frac{GMm}{14R} + \frac{GMm}{R}$.
$\Delta E = \frac{-GMm + 14GMm}{14R} = \frac{13GMm}{14R}$.

(A) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}} = n t_s$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
इसे सरल करने पर $\sin \theta = n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ प्राप्त होता है,जिससे $\mu \cos \theta = \sin \theta (1 - \frac{1}{n^2})$ मिलता है।
अतः,$\mu = \tan \theta (1 - \frac{1}{n^2})$।
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,$\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$ होगा।

(B) मान लीजिए कि दोनों सदिशों के परिमाण $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}| = a$ हैं।
परिणामी सदिश $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$,सदिश $\overrightarrow{A}$ के साथ $\alpha$ कोण बनाता है,जो इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$
चूंकि $A = B = a$,इसलिए:
$\tan \alpha = \frac{a \sin \theta}{a + a \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\tan \alpha = \frac{2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})}{2 \cos^2(\frac{\theta}{2})} = \tan(\frac{\theta}{2})$
अतः,$\alpha = \frac{\theta}{2}$.
यह दर्शाता है कि परिणामी सदिश समान परिमाण वाले दो सदिशों के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है।

(C) सही मिलान इस प्रकार है:
$A$. हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक होता है। अतः,$A-3$.
$B$. अपरूपण विकृति: इसे उस कोण (रेडियन में) के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके द्वारा किसी घनाकार पिंड की स्थिर सतह के लंबवत एक तल स्पर्शरेखीय बल के प्रभाव में मुड़ जाता है। इसे स्पर्शरेखीय विकृति भी कहा जाता है। अतः,$B-1$.
$C$. आयतन विकृति: एक ठोस के लिए,आयतन विकृति (वॉल्यूमेट्रिक विकृति) रैखिक विकृति के $3$ गुना के बराबर होती है। अतः,$C-4$.
$D$. प्रत्यास्थ थकान: बार-बार बदलने वाले विरूपक बलों की क्रिया के कारण प्रत्यास्थ गुणों के अस्थायी नुकसान को प्रत्यास्थ थकान कहा जाता है। अतः,$D-2$.
इसलिए,सही मिलान $A-3, B-1, C-4, D-2$ है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(B) कुल दिया गया समय $2 \,min \,20 \,s$ है।
इसे सेकंड में बदलने पर: $2 \times 60 \,s + 20 \,s = 120 \,s + 20 \,s = 140 \,s$ प्राप्त होता है।
एथलीट $40 \,s$ में एक चक्कर पूरा करता है।
$140 \,s$ में पूरे किए गए चक्करों की संख्या $\frac{140}{40} = 3.5$ चक्कर है।
$3$ पूर्ण चक्करों के बाद, एथलीट प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाता है, इसलिए इन $3$ चक्करों के लिए विस्थापन $0$ है।
शेष $0.5$ चक्कर में, एथलीट प्रारंभिक बिंदु $A$ से व्यास के विपरीत बिंदु $B$ तक जाता है।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी है, जो वृत्ताकार ट्रैक का व्यास है।
अतः, विस्थापन $= 2R$ होगा।

(D) $SHM$ कर रहे कण की ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, और $A$ आयाम है।
पहले कण के लिए, $x_1 = 4 \sin (10t + \frac{\pi}{6})$, आयाम $A_1 = 4$ और कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 10$ है।
ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} m (10)^2 (4)^2 = \frac{1}{2} m (100)(16) = 800m$ है।
दूसरे कण के लिए, $x_2 = 5 \cos (\omega t)$, आयाम $A_2 = 5$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ है।
ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (5)^2 = \frac{25}{2} m \omega^2$ है।
यह दिया गया है कि ऊर्जा समान है, इसलिए $E_1 = E_2$.
$800m = \frac{25}{2} m \omega^2$.
$1600 = 25 \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{1600}{25} = 64$.
$\omega = 8 \text{ unit}$.

(D) $1$. डिस्क का उसके व्यास $(I_d)$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{4} M R^2$ होता है।
$2$. समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समानांतर किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + M h^2$ होता है,जहाँ $h$ अक्षों के बीच की दूरी है।
$3$. व्यास के समानांतर स्पर्शरेखा के लिए,दूरी $h = R$ है।
$4$. इसलिए,$I = \frac{1}{4} M R^2 + M R^2 = \frac{5}{4} M R^2$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 25 \,kg$,त्रिज्या $R = 0.2 \,m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 240 \,rpm = \frac{240 \times 2 \pi}{60} \,rad/s = 8 \pi \,rad/s$,समय $t = 20 \,s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0 \,rad/s$.
सबसे पहले,कोणीय मंदन $\alpha$ की गणना करें:
$\alpha = \frac{\omega_i - \omega_f}{t} = \frac{8 \pi - 0}{20} = \frac{8 \pi}{20} = 0.4 \pi \,rad/s^2$.
इसके बाद,फ्लाईव्हील के जड़त्व आघूर्ण $I$ की गणना करें (यह मानते हुए कि यह एक डिस्क है):
$I = M R^2 = 25 \times (0.2)^2 = 25 \times 0.04 = 1 \,kg \cdot m^2$.
अंत में,टॉर्क $\tau$ की गणना करें:
$\tau = I \alpha = 1 \times 0.4 \pi = 0.4 \pi \,Nm$.

(B) मान लीजिए प्रत्येक छड़ की प्रारंभिक लंबाई $l$ है। समबाहु त्रिभुज $ABC$ में,शीर्षलंब $DC$ की लंबाई इस प्रकार दी गई है:
$DC^2 = AC^2 - AD^2 = l^2 - (l/2)^2 = 3l^2/4$.
तापमान में छोटे परिवर्तन $\Delta t$ के बाद,नई लंबाई $l' = l(1 + \alpha \Delta t)$ होती है।
छड़ $AC$ के लिए,नई लंबाई $l_{AC}' = l(1 + \alpha_2 \Delta t)$ है।
खंड $AD$ के लिए,नई लंबाई $l_{AD}' = (l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)$ है।
चूंकि $DC$ स्थिर रहता है,$DC^2 = (l_{AC}')^2 - (l_{AD}')^2$.
$3l^2/4 = [l(1 + \alpha_2 \Delta t)]^2 - [(l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)]^2$.
$3l^2/4 = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta t + \alpha_2^2 \Delta t^2) - (l^2/4)(1 + 2\alpha_1 \Delta t + \alpha_1^2 \Delta t^2)$.
उच्च-क्रम के पदों $\alpha^2 \Delta t^2$ की उपेक्षा करने और सरल करने पर:
$3l^2/4 = l^2 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - l^2/4 - (l^2/4)(2\alpha_1 \Delta t)$.
$3l^2/4 = 3l^2/4 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - (l^2/2)\alpha_1 \Delta t$.
$0 = 2l^2 \alpha_2 \Delta t - (l^2/2)\alpha_1 \Delta t$.
$2\alpha_2 = \alpha_1/2 \implies \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(B) मान लीजिए $L_0$ गर्म करने से पहले प्रत्येक पट्टी की प्रारंभिक लंबाई है। गर्म करने के बाद,पीतल और तांबे की पट्टियों की लंबाई इस प्रकार है:
$L_B = L_0(1 + \alpha_B \Delta T) = (R + d)\theta$
$L_C = L_0(1 + \alpha_C \Delta T) = R\theta$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R + d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$1 + \frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$\frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} - 1 = \frac{1 + \alpha_B \Delta T - 1 - \alpha_C \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} = \frac{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
चूंकि $\alpha \Delta T \ll 1$,हम $1 + \alpha_C \Delta T \approx 1$ मान सकते हैं। अतः:
$R \approx \frac{d}{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}$
इसलिए,$R \propto \frac{1}{\Delta T}$.

(B) मान लीजिए जंक्शन $B$ पर तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें $BC$ और $BD$ अपने बाहरी सिरों पर समान तापमान $(80^{\circ} C)$ से जुड़ी हैं,इसलिए वे समानांतर ऊष्मीय प्रतिरोध के रूप में कार्य करती हैं।
मान लीजिए प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है।
छड़ों $BC$ और $BD$ के समानांतर संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होगा।
स्थिर अवस्था में,छड़ $AB$ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा,छड़ों $BC$ और $BD$ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धाराओं के योग के बराबर होनी चाहिए।
ऊष्मा धारा के सूत्र $\frac{Q}{t} = \frac{\Delta T}{R}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\theta - 20}{R} = \frac{80 - \theta}{R/2}$
$\theta - 20 = 2(80 - \theta)$
$\theta - 20 = 160 - 2\theta$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^{\circ} C$
अतः,जंक्शन $B$ पर तापमान $60^{\circ} C$ है।

(B) एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था समीकरण $pV = \mu RT$ है, जिसका अर्थ है $p = (\frac{\mu R}{V})T$।
$p-T$ आरेख में, मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं समआयतनिक प्रक्रियाओं (स्थिर आयतन) को दर्शाती हैं क्योंकि $p \propto T$ का अर्थ है $V = \text{स्थिर}$।
प्रक्रियाएं $AB$ और $CD$ मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं हैं, इसलिए वे समआयतनिक प्रक्रियाएं हैं।
समआयतनिक प्रक्रिया में किया गया कार्य शून्य होता है। अतः, $W_{AB} = 0$ और $W_{CD} = 0$।
प्रक्रियाएं $BC$ और $DA$ समदाबी प्रक्रियाएं (स्थिर दबाव) हैं।
समदाबी प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = p\Delta V = \mu R \Delta T$ होता है।
प्रक्रिया $BC$ के लिए (दबाव $p_2$ पर): $W_{BC} = \mu R(T_C - T_B) = 3 \times R \times (2400 - 800) = 3R \times 1600 = 4800R$।
प्रक्रिया $DA$ के लिए (दबाव $p_1$ पर): $W_{DA} = \mu R(T_A - T_D) = 3 \times R \times (400 - 1200) = 3R \times (-800) = -2400R$।
चक्र में किया गया कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 0 + 4800R + 0 - 2400R = 2400R$।
$R = 8.314 \, J/mol \cdot K$ का मान रखने पर: $W = 2400 \times 8.314 = 19953.6 \, J \approx 20 \, kJ$।

(D) $1$. $p-V$ आरेख में,$A$ से $B$ तक समतापीय प्रसार $AB$ वक्र का अनुसरण करता है। गैस द्वारा किया गया कार्य $AB$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है,जो $ABDE$ क्षेत्रफल है।
$2$. $B$ से $C$ तक रुद्धोष्म संपीड़न $BC$ वक्र का अनुसरण करता है। गैस पर किया गया कार्य $BC$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है,जो $BCDE$ क्षेत्रफल है।
$3$. ग्राफ से यह स्पष्ट है कि बिंदु $C$ पर अंतिम दाब $p_2$,बिंदु $A$ पर प्रारंभिक दाब $p_1$ से अधिक है,इसलिए $p_2 > p_1$ है।
$4$. गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $W$,प्रसार के दौरान किए गए कार्य $(W_{exp} > 0)$ और संपीड़न के दौरान किए गए कार्य $(W_{comp} < 0)$ का योग है।
$5$. चूंकि रुद्धोष्म वक्र $BC$ के नीचे का क्षेत्रफल (जो गैस पर किए गए कार्य के परिमाण को दर्शाता है) समतापीय वक्र $AB$ के नीचे के क्षेत्रफल (जो गैस द्वारा किए गए कार्य के परिमाण को दर्शाता है) से अधिक है,इसलिए कुल कार्य $W = W_{AB} - W_{BC}$ ऋणात्मक है $(W < 0)$।
$6$. अतः,$p_2 > p_1$ और $W < 0$।

(B) विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक भौतिक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिया गया समीकरण $F = at + bt^2$ है,जहाँ $F$ बल है और $t$ समय है।
बल $F$ की विमा $[MLT^{-2}]$ होती है।
प्रथम पद के लिए: $[at] = [F]$
$[a] = [F] / [t] = [MLT^{-2}] / [T] = [MLT^{-3}]$.
द्वितीय पद के लिए: $[bt^2] = [F]$
$[b] = [F] / [t^2] = [MLT^{-2}] / [T^2] = [MLT^{-4}]$.
अतः,$a$ और $b$ की विमाएँ क्रमशः $[MLT^{-3}]$ और $[MLT^{-4}]$ हैं।

(D) प्रथम हार्मोनिक में कंपन करने वाले बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n_1 = \frac{v_1}{4 l_1}$ है।
तीसरे हार्मोनिक में कंपन करने वाले खुले ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n_3 = \frac{3 v_2}{2 l_2}$ है।
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए $n_1 = n_3$ है।
अतः,$\frac{v_1}{4 l_1} = \frac{3 v_2}{2 l_2}$,जिसका अर्थ है $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \left( \frac{v_1}{v_2} \right)$।
गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $B$ बल्क मापांक (संपीड्यता का व्युत्क्रम) है और $\rho$ घनत्व है।
चूंकि संपीड्यता समान है,इसलिए $B_1 = B_2 = B$ है।
इस प्रकार,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{B/\rho_1}{B/\rho_2}} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$।
इस मान को लंबाई के अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$ प्राप्त होता है।

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तार समान है,इसलिए $T$ (तनाव) और $m$ (प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान) स्थिर हैं,अतः $n \propto \frac{1}{l}$।
आवृत्तियों का अनुपात $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 3 : 4$ दिया गया है,इसलिए लंबाई का अनुपात व्युत्क्रमानुपाती होगा:
$l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए $1, 3, 4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $12$ से गुणा करने पर:
$l_1 : l_2 : l_3 = 12 : 4 : 3$।
भागों का योग $12 + 4 + 3 = 19$ है।
तार की कुल लंबाई $114 \ cm$ है।
अतः,लंबाई इस प्रकार है:
$l_1 = \frac{12}{19} \times 114 = 12 \times 6 = 72 \ cm$
$l_2 = \frac{4}{19} \times 114 = 4 \times 6 = 24 \ cm$
$l_3 = \frac{3}{19} \times 114 = 3 \times 6 = 18 \ cm$।
इस प्रकार,लंबाई $72 \ cm, 24 \ cm, 18 \ cm$ है।

(C) माना गेंद का द्रव्यमान $m$ है। जब गेंद $h = 10 ~m$ की ऊँचाई पर होती है,तो उसका वेग $v_0$ होता है।
जमीन से टकराने से ठीक पहले,माना उसका वेग $v$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रभाव से ठीक पहले गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2 + mgh$ है।
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि $10 ~m$ की ऊँचाई पर वेग $v_0$ है। माना कुल ऊँचाई $H$ है जहाँ से वह गिरी थी। तब $\frac{1}{2} m v^2 = mgH$।
टकराव के बाद,वह अपनी गतिज ऊर्जा का $50 \%$ खो देती है। शेष गतिज ऊर्जा $K_f = 0.5 \times K_i = 0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2)$ है।
यह ऊर्जा इसे वापस $h = 10 ~m$ की ऊँचाई तक ऊपर उठने में सक्षम बनाती है। अतः,$0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2) = mgh$।
$h = 10 ~m$ और $g = 9.8 ~m/s^2$ रखने पर:
$0.25 v^2 = 9.8 \times 10 = 98$।
$v^2 = 392$।
अब,$10 ~m$ की ऊँचाई से जमीन तक की गति पर विचार करें: $v^2 = v_0^2 + 2gh$।
$392 = v_0^2 + 2 \times 9.8 \times 10$।
$392 = v_0^2 + 196$।
$v_0^2 = 196$।
$v_0 = 14 ~m/s$।

(B) निरावेशित होते संधारित्र के सिरों पर विभव $V = V_0 e^{-t/RC}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $V = V_0/2$ हो।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $V_0/2 = V_0 e^{-t/RC}$।
यह सरल होकर $1/2 = e^{-t/RC}$, या $e^{t/RC} = 2$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $t/RC = \ln(2)$।
रूपांतरण $\ln(2) = 2.3026 \times \log_{10}(2)$ का उपयोग करने पर, हमें $t = RC \times 2.3026 \times 0.3010$ प्राप्त होता है।
यहाँ $C = 0.1 \mu F = 0.1 \times 10^{-6} F$ और $R = 10 M \Omega = 10 \times 10^6 \Omega$ दिया गया है।
समय नियतांक की गणना करने पर: $RC = (0.1 \times 10^{-6}) \times (10 \times 10^6) = 1 \ s$।
अतः, $t = 1 \times 2.3026 \times 0.3010 \approx 0.693 \ s$।

(B) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{\text{eq}}$ का मान $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$C_1 = 1 \mu F$ और $C_2 = C \mu F$ के लिए,हमें $C_{\text{eq}} = \frac{1 \times C}{1 + C} = \frac{C}{C+1} \mu F$ प्राप्त होता है।
कुल आवेश $q = 80 \mu C$ और विभवांतर $V = 120 \ V$ दिया गया है,इसलिए हम $q = C_{\text{eq}} V$ संबंध का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $80 = \left( \frac{C}{C+1} \right) \times 120$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर: $2 = \left( \frac{C}{C+1} \right) \times 3$.
$2(C+1) = 3C \implies 2C + 2 = 3C \implies C = 2 \mu F$.
श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश कुल आवेश $q = 80 \mu C$ के बराबर होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
$C = 2 \mu F$ संधारित्र के लिए: $U = \frac{(80 \mu C)^2}{2 \times 2 \mu F} = \frac{6400}{4} \mu J = 1600 \mu J$.

(D) समांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $V = 10^4 \,V$ और $d = 0.5 \,cm = 0.5 \times 10^{-2} \,m$ दिया गया है।
अतः, $E = \frac{10^4}{0.5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^6 \,V/m$.
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ है, जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ है।
$F = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (2 \times 10^6 \,V/m) = 3.2 \times 10^{-13} \,N$.

(B) दिया है: क्षेत्रफल $A = 0.3 \,m^2$,आवेश घनत्व $n = 2 \times 10^{25} / m^3$,और आवेश $q = 3t^2 + 5t + 2$.
सबसे पहले,$t = 2 \,s$ पर विद्युत धारा $i$ की गणना $i = \frac{dq}{dt}$ का उपयोग करके करें।
$i = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5t + 2) = 6t + 5$.
$t = 2 \,s$ पर,$i = 6(2) + 5 = 17 \,A$.
विद्युत धारा और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच संबंध $i = n e A v_d$ है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$v_d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $v_d = \frac{i}{n e A}$.
मान रखने पर: $v_d = \frac{17}{2 \times 10^{25} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$.
$v_d = \frac{17}{0.96 \times 10^6} = 17.708 \times 10^{-6} \,m/s = 1.77 \times 10^{-5} \,m/s$.

(A) सबसे पहले, $6 \Omega$ और $12 \Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$
इसके बाद, परिपथ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें, क्योंकि समानांतर संयोजन $6 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है:
$R_{eq} = R_p + 6 \Omega = 4 \Omega + 6 \Omega = 10 \Omega$
अब, $10 \text{ V}$ की बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल विद्युत धारा ज्ञात करें:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \text{ V}}{10 \Omega} = 1 \text{ A}$
समानांतर संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर, कुल विद्युत धारा और समानांतर भाग के तुल्य प्रतिरोध का गुणनफल होता है:
$V_p = I \times R_p = 1 \text{ A} \times 4 \Omega = 4 \text{ V}$
चूंकि $6 \Omega$ और $12 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं, इसलिए उन दोनों के सिरों के बीच विभवांतर समान होता है और यह समानांतर संयोजन के विभवांतर के बराबर होता है।
अतः, $12 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर $4 \text{ V}$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h v - h v_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्ति $v_1$ के लिए,$K_1 = h(v_1 - v_0)$.
आवृत्ति $v_2$ के लिए,$K_2 = h(v_2 - v_0)$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात $K_1 : K_2 = 1 : n$ दिया गया है,इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{n}$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{n}$.
$\frac{v_1 - v_0}{v_2 - v_0} = \frac{1}{n}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$n(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$.
$n v_1 - n v_0 = v_2 - v_0$.
$n v_1 - v_2 = n v_0 - v_0$.
$n v_1 - v_2 = v_0(n - 1)$.
अतः,देहली आवृत्ति $v_0 = \frac{n v_1 - v_2}{n - 1}$ है।

(A) $LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$\tau_1 = \frac{L}{R} = 3 \times 10^{-3} \text{ s}$ ...$(i)$
जब $90 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $(R + 90) \Omega$ हो जाता है। नया समय नियतांक $\tau_2 = \frac{L}{R + 90} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ s}$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{3 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{L/R}{L/(R + 90)}$
$6 = \frac{R + 90}{R}$
$6R = R + 90$
$5R = 90 \implies R = 18 \Omega$
$R = 18 \Omega$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$L = 3 \times 10^{-3} \times 18 = 54 \times 10^{-3} \text{ H} = 54 \text{ mH}$.
अतः,प्रेरकत्व $54 \text{ mH}$ और प्रतिरोध $18 \Omega$ है।

(D) थर्मो emf $E = aT + bT^2$ द्वारा दिया गया है।
न्यूट्रल तापमान $(T_n)$ पर emf अधिकतम होता है और इनवर्जन तापमान $(T_i)$ पर emf शून्य हो जाता है।
$E = 0$ रखने पर:
$aT_i + bT_i^2 = 0$
$T_i(a + bT_i) = 0$
चूंकि $T_i \neq 0$,इसलिए $T_i = -\frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{a}{b} = -200^{\circ}C$,इसलिए $T_i = -(-200^{\circ}C) = 200^{\circ}C$।
यह $T_i$ $0^{\circ}C$ के कोल्ड जंक्शन के सापेक्ष तापमान है।
यदि कोल्ड जंक्शन $T_c = 30^{\circ}C$ पर है,तो इनवर्जन तापमान $T_i = 2T_n - T_c$ सूत्र के अनुसार होगा,जहाँ $T_n = -\frac{a}{2b} = 100^{\circ}C$ है।
अतः,$T_i = 2(100) - 30 = 170^{\circ}C$।
केल्विन में बदलने पर: $T = 170 + 273 = 443 \ K$।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में $u$ वेग से गति करने वाले और $L$ दूरी तय करने वाले आवेशित कण का विक्षेप $y = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{L}{u})^2 = \frac{qEL^2}{2mu^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संवेग $p = mu$ है, इसलिए $u = p/m$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर, $y = \frac{qEL^2}{2m(p/m)^2} = \frac{qEL^2m}{2p^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $E, L$ और $p$ सभी कणों के लिए स्थिर हैं, इसलिए विक्षेप $y \propto qm$ है।
प्रोटॉन $(p)$, ड्यूटेरॉन $(d)$ और $\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए:
आवेश का अनुपात: $q_p : q_d : q_\alpha = 1 : 1 : 2$.
द्रव्यमान का अनुपात: $m_p : m_d : m_\alpha = 1 : 2 : 4$.
अतः, विक्षेप का अनुपात $y_p : y_d : y_\alpha = (q_p m_p) : (q_d m_d) : (q_\alpha m_\alpha) = (1 \times 1) : (1 \times 2) : (2 \times 4) = 1 : 2 : 8$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $K = 45.5 \ eV = 45.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ और $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ दिया गया है।
$v^2 = \frac{2K}{m} = \frac{2 \times 45.5 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} = \frac{145.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} = 16 \times 10^{12} \ m^2s^{-2}$.
अतः,$v = 4 \times 10^6 \ ms^{-1}$.
जब इलेक्ट्रॉन परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में बिना विक्षेपित हुए गति करता है,तो विद्युत बल और चुंबकीय बल संतुलित होते हैं: $eE = evB$,जिसका अर्थ है $v = \frac{E}{B}$।
यहाँ $E = 1 \times 10^3 \ Vm^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $B = \frac{E}{v} = \frac{1 \times 10^3}{4 \times 10^6} = 0.25 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-4} \ Wb \ m^{-2}$।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में दोलनों की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ द्वारा दी जाती है।
$M_1$ और $M_2$ आघूर्ण तथा $I_1$ और $I_2$ जड़त्व आघूर्ण वाले दो चुंबकों के लिए,जब उन्हें एक साथ बांधा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2$ होता है।
जब समान ध्रुवों को बांधा जाता है,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{sum} = M_1 + M_2$ होता है। आवृत्ति $n_1 = 6 \ Hz$ है।
जब असमान ध्रुवों को बांधा जाता है,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{diff} = M_1 - M_2$ होता है। आवृत्ति $n_2 = 2 \ Hz$ है।
चूंकि $n \propto \sqrt{M}$,इसलिए $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\frac{6}{2})^2 = \frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2} \implies 9 = \frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2}$।
$9M_1 - 9M_2 = M_1 + M_2$।
$8M_1 = 10M_2$।
$\frac{M_1}{M_2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$।

(A) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
दी गई मान हैं:
निर्वात की पारगम्यता,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
धारा,$I = 0.9 \,A$
त्रिज्या,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{3.6\pi \times 10^{-7}}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{3.6\pi \times 10^{-7}}{10^{-1}}$
$B = 3.6\pi \times 10^{-6} \,T$
$B = 36\pi \times 10^{-7} \,T$

(D) जब एक चुंबकीय सुई को दो परस्पर लंबवत चुंबकीय क्षेत्रों $B_1$ और $B_2$ में रखा जाता है,तो यह परिणामी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित हो जाती है।
पहले क्षेत्र $B_1$ के कारण टॉर्क $\tau_1 = mB_1 \sin \theta$ है,जहाँ $m$ चुंबकीय आघूर्ण है।
दूसरे क्षेत्र $B_2$ के कारण टॉर्क $\tau_2 = mB_2 \cos \theta$ है।
संतुलन की स्थिति में,सुई पर कुल टॉर्क शून्य होता है,इसलिए $\tau_1 = \tau_2$।
$mB_1 \sin \theta = mB_2 \cos \theta$
$\tan \theta = \frac{B_2}{B_1}$
यहाँ $B_1 = 1 \text{ T}$ और $B_2 = \sqrt{3} \text{ T}$ दिया गया है।
$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
$\theta = 60^{\circ}$

(C) स्वीकृति कोण $\theta_a$ ऑप्टिकल फाइबर के प्रवेश द्वार पर आपतन का वह अधिकतम कोण है जिस पर प्रकाश कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करता है।
कोर अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.5$ और क्लैडिंग अपवर्तनांक $\mu_2 = 1.414$ वाले ऑप्टिकल फाइबर के लिए,स्वीकृति कोण $\theta_a$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\sin \theta_a = \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \theta_a = \sqrt{(1.5)^2 - (1.414)^2}$
$\sin \theta_a = \sqrt{2.25 - 1.999396} \approx \sqrt{0.2506} \approx 0.5006$
$\theta_a = \sin^{-1}(0.5006) \approx 30^{\circ}$
इस प्रकार,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए ऑप्टिकल फाइबर की धुरी के साथ आपतन कोण की सीमा $0^{\circ}$ से $30^{\circ}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा $(d\theta)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिया गया है:
$\lambda = 4538 \ \text{Å} = 4538 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$a = 1 \ \text{m}$
मान रखने पर:
$d\theta = \frac{1.22 \times 4538 \times 10^{-10}}{1}$
$d\theta = 5536.36 \times 10^{-10} \ \text{rad}$
$d\theta \approx 5.54 \times 10^{-7} \ \text{rad}$

(D) कॉमन-एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में ट्रांजिस्टर का करंट गेन $\beta$,कलेक्टर करंट में परिवर्तन $(\Delta i_C)$ और बेस करंट में परिवर्तन $(\Delta i_B)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\beta = \frac{\Delta i_C}{\Delta i_B}$
दिया गया है: $\beta = 80$ और $\Delta i_B = 250 \mu A = 250 \times 10^{-6} \text{ A}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$80 = \frac{\Delta i_C}{250 \times 10^{-6} \text{ A}}$
$\Delta i_C = 80 \times 250 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20,000 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20 \times 10^{-3} \text{ A} = 20 \text{ mA}$।
अतः,कलेक्टर करंट में परिवर्तन $20 \text{ mA}$ है।

(C) दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रता का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{64}{1}$ दिया गया है।
माना तीव्रताएँ $I_1 = 64k$ और $I_2 = 1k$ हैं।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{64k} + \sqrt{1k})^2}{(\sqrt{64k} - \sqrt{1k})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(8\sqrt{k} + 1\sqrt{k})^2}{(8\sqrt{k} - 1\sqrt{k})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(9\sqrt{k})^2}{(7\sqrt{k})^2} = \frac{81k}{49k} = \frac{81}{49}$.