TS EAMCET 2006 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $5 \cos x + 12 \cos y = 13$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(5 \cos x + 12 \cos y)^2 = 169$.
ધારો કે $S = 5 \sin x + 12 \sin y$.
$S^2 + 13^2 = (5 \sin x + 12 \sin y)^2 + (5 \cos x + 12 \cos y)^2$ લો.
$= 25(\sin^2 x + \cos^2 x) + 144(\sin^2 y + \cos^2 y) + 120(\sin x \sin y + \cos x \cos y)$.
$= 25 + 144 + 120 \cos(x - y) = 169 + 120 \cos(x - y)$.
આમ,$S^2 = 169 + 120 \cos(x - y) - 169 = 120 \cos(x - y)$.
કારણ કે $\cos(x - y)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $S^2$ ની મહત્તમ કિંમત $120$ થાય.
તેથી,$S$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{120}$ છે.

(C) રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x-y-2=0$ ...$(i)$
$x+y-4=0$ ...(ii)
$x+3y=6$ ...(iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(x-y-2) + (x+y-4) = 0$
$2x - 6 = 0 \implies x = 3$
સમીકરણ (ii) માં $x=3$ મુકતા:
$3 + y - 4 = 0 \implies y = 1$
હવે,ચકાસો કે બિંદુ $(3,1)$ સમીકરણ (iii) નું સમાધાન કરે છે કે નહીં:
$3 + 3(1) = 3 + 3 = 6$
આમ,બિંદુ $(3,1)$ ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી રેખાઓ $(3,1)$ બિંદુએ સંગામી છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-y^2-x+3y-2=0$ છે.
આ સમીકરણને $(x-y+1)(x+y-2)=0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ $x-y+1=0$ અને $x+y-2=0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+6xy+8y^2=10$ છે.
અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવતા,રૂપાંતરણના સૂત્રો:
$x = \frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 6\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 10$
સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{x_1^2+y_1^2-2x_1y_1 + 6(x_1^2-y_1^2) + 8(x_1^2+y_1^2+2x_1y_1)}{2} = 10$
$15x_1^2 + 3y_1^2 + 14x_1y_1 = 20$
તેથી,રૂપાંતરિત સમીકરણ $15x^2+14xy+3y^2=20$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+6xy+8y^2=10$ છે.
અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવતા,રૂપાંતરણ સૂત્રો:
$x = \frac{x'-y'}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{x'+y'}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}}\right)^2 + 6\left(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}}\right)^2 = 10$
સાદુરૂપ આપતા:
$15x'^2 + 3y'^2 + 14x'y' = 20$
તેથી,જરૂરી સમીકરણ $15x^2+14xy+3y^2=20$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડ $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ છે. તેના અવયવો પાડતા $(6x - 7y)(2x - y) = 0$ મળે છે.
તેથી,બે રેખાઓના સમીકરણો $6x - 7y = 0$ $(i)$ અને $2x - y = 0$ (ii) છે.
ત્રીજી રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ (iii) છે.
$(i)$ અને (ii) ઉકેલતા: $x=0, y=0$. શિરોબિંદુ $A = (0, 0)$.
$(i)$ અને (iii) ઉકેલતા: $x=7, y=6$. શિરોબિંદુ $B = (7, 6)$.
(ii) અને (iii) ઉકેલતા: $x=1, y=2$. શિરોબિંદુ $C = (1, 2)$.
મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{0+7+1}{3}, \frac{0+6+2}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$ છે.

(C) કેન્દ્ર $(h, k)$ ના કાર્તેઝિયન યામ $h = r_0 \cos \theta_0$ અને $k = r_0 \sin \theta_0$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $(r_0, \theta_0) = (2, \frac{\pi}{2})$.
$h = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ અને $k = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$.
તેથી,કેન્દ્ર $(0, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $a = 3$ છે.
વર્તુળનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ છે.
$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$.
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 9$.
$x^2 + y^2 - 4y = 5$.
ધ્રુવીય યામ સંબંધો $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$,અને $x^2 + y^2 = r^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r^2 - 4(r \sin \theta) = 5$.
$r^2 - 4r \sin \theta = 5$.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ અને બિંદુ $(1,3)$ છે.
બિંદુ $(1,3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
લંબાઈ $= \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11}$
$= \sqrt{1+9-2+12-11}$
$= \sqrt{22-13}$
$= \sqrt{9}$
$= 3$

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-8x+2y=0$ અને $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{17}$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, 8)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{40}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{90}$ છે.
અહીં $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે $y$-અક્ષને સ્પર્શવાની શરત $g^2=c$ છે.
વર્તુળ માટે $x$-અક્ષને સ્પર્શવાની શરત $f^2=c$ છે.
$I$. $x^2+y^2-6x-4y-7=0$ માટે,$g=-3$ અને $c=-7$. $g^2 = (-3)^2 = 9 \neq -7$ હોવાથી,તે $y$-અક્ષને સ્પર્શતું નથી.
$II$. $x^2+y^2+6x+4y-7=0$ માટે,$f=2$ અને $c=-7$. $f^2 = (2)^2 = 4 \neq -7$ હોવાથી,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતું નથી.
તેથી,$I$ કે $II$ બંનેમાંથી એક પણ સાચું નથી.

(D) પરવલયનો અર્ધ-નાભિલંબ એ તેની કોઈપણ નાભિ-જીવાના રેખાખંડોનો હરાત્મક મધ્યક (harmonic mean) છે.
ધારો કે $l$ એ અર્ધ-નાભિલંપની લંબાઈ છે.
તેથી,$l$ એ $b$ અને $c$ વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક છે.
$l = \frac{2bc}{b+c}$

(D) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ પરના બિંદુ $A$ ના યામ $(t^2, 2t)$ છે,જ્યાં $a=1$.
$O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ હોવાથી,$OA$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ નીચે મુજબ મળે:
$h = \frac{0+t^2}{2} = \frac{t^2}{2} \implies t^2 = 2h$
$k = \frac{0+2t}{2} = t \implies t = k$
$t=k$ ને $t^2=2h$ માં મૂકતા,આપણને $k^2 = 2h$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2=2x$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1-2x}{e^x} = (1-2x)e^{-x}$.
$e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!}$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1-2x) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!} - 2x \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!}$.
$x^n$ નો સહગુણક પ્રથમ પદમાંથી $k=n$ લેતા અને બીજા પદમાંથી $k=n-1$ લેતા મળે છે:
સહગુણક $= \frac{(-1)^n}{n!} - 2 \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$.
$(-1)^{n-1} = -(-1)^n$ હોવાથી:
સહગુણક $= \frac{(-1)^n}{n!} + 2 \cdot \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = \frac{(-1)^n}{n!} [1 + 2n] = (-1)^n \cdot \frac{1+2n}{n!}$.

(A) આપેલ શ્રેણીનું વિસ્તરણ: $y = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$
આ $\log(1+x)$ માટેનું લઘુગણકીય શ્રેણી વિસ્તરણ છે.
તેથી,$y = \log(1+x)$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $e^y = 1+x$.
તેથી,$x = e^y - 1$.
$e^y$ નું વિસ્તરણ $1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots$ છે.
આને $x$ ના પદમાં મૂકતા:
$x = (1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots) - 1$
$x = y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots$

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 - 18x - 8y - 23 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$9(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2 = 36$
$36$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$
અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a^2 < b^2$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નાભિલંબના સમીકરણો $y - k = \pm be$ છે,જ્યાં $(h, k) = (1, 1)$.
$y - 1 = \pm 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3}$
$y = 1 \pm \sqrt{5}$

(C) ધારો કે $e$ અને $e^{\prime}$ એ અતિવલય અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતાઓ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તેમની વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$ છે.
આપેલ છે કે $e = \sqrt{3}$,તેથી $e^2 = 3$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{3} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$.
$\frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$(e^{\prime})^2 = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{\prime} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(C) $l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (x + [x])$ માટે: ધારો કે $x = 2 + h$ જ્યાં $h \rightarrow 0^{+}$. તેથી $[x] = 2$. આમ,$l_1 = \lim_{h \rightarrow 0} (2 + h + 2) = 4$.
$l_2 = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (2x - [x])$ માટે: ધારો કે $x = 2 - h$ જ્યાં $h \rightarrow 0^{+}$. તેથી $[x] = 1$. આમ,$l_2 = \lim_{h \rightarrow 0} (2(2 - h) - 1) = 3$.
$l_3 = \lim_{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\cos x}{x - \pi / 2}$ માટે: $L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{x \rightarrow \pi / 2} \frac{-\sin x}{1} = -\sin(\pi / 2) = -1$.
કિંમતો સરખાવતા: $l_3 = -1$,$l_2 = 3$,$l_1 = 4$. તેથી,$-1 < 3 < 4$,જેનો અર્થ છે કે $l_3 < l_2 < l_1$.

(D) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\sqrt{x^2+2 x-1}-x\right]$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પદને તેના અનુબદ્ધ $\left(\sqrt{x^2+2 x-1}+x\right)$ વડે ગુણી અને ભાગીશું:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left[\frac{\left(\sqrt{x^2+2 x-1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+2 x-1}+x\right)}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2+2 x-1-x^2}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{2-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}+1}\right]$
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{1}{x} \rightarrow 0$ અને $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$:
$= \frac{2-0}{\sqrt{1+0-0}+1} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

(C) ધારો કે $f(x) = \cos 4x + a \cos 2x + b$. લક્ષ સીમિત હોવા માટે,અંશ $x^4$ ના દરે શૂન્ય થવો જોઈએ.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\cos 4x = 1 - 8x^2 + \frac{32}{3}x^4$
$a \cos 2x = a - 2ax^2 + \frac{2a}{3}x^4$
અંશમાં કિંમતો મુકતા: $(1 + a + b) + (-8 - 2a)x^2 + (\frac{32}{3} + \frac{2a}{3})x^4$.
લક્ષ સીમિત રહે તે માટે $x^0$ અને $x^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$1 + a + b = 0$ અને $-8 - 2a = 0$.
$-8 - 2a = 0$ પરથી $a = -4$ મળે.
$a = -4$ ને $1 + a + b = 0$ માં મુકતા: $1 - 4 + b = 0 \implies b = 3$.
આમ,$a = -4, b = 3$ મળે છે.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(q^n+p^n\right)^{1 / n}$ છે.
અહીં $0 < p < q$ હોવાથી,આપણે પદમાંથી $q^n$ સામાન્ય લઈ શકીએ:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ q^n \left( 1 + \left( \frac{p}{q} \right)^n \right) \right]^{1/n}$
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} q \left( 1 + \left( \frac{p}{q} \right)^n \right)^{1/n}$
અહીં $0 < \frac{p}{q} < 1$ હોવાથી,જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે $\left( \frac{p}{q} \right)^n \rightarrow 0$ થાય.
તેથી,$L = q \cdot (1 + 0)^0 = q \cdot 1 = q$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ માટે અડધા ખૂણાના સૂત્રો: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
અહીં $s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$2s = a+b+c$ થાય.
તેથી,$\frac{s}{s-a} = \frac{2s}{2s-2a} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2a} = \frac{a+b+c}{b+c-a}$.
આપેલ છે કે $b+c = 3a$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{a + 3a}{3a - a} = \frac{4a}{2a} = 2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$.
આપેલ છે કે $\tan \frac{A}{2} = \frac{5}{6}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \frac{2}{5}$,તેથી $\frac{s-b}{s} = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$.
આમ,$3(s-b) = s$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$.
કારણ કે $2s = a + b + c$,તેથી $a + b + c = 3b$,જેનું સાદું રૂપ $a + c = 2b$ થાય છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $3x, 5x$ અને $10x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$3x + 5x + 10x = 180^{\circ}$.
$18x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$.
ખૂણાઓ $30^{\circ}, 50^{\circ}$ અને $100^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓનો ગુણોત્તર $\sin A : \sin B : \sin C$ થાય.
સૌથી નાની બાજુ સૌથી નાના ખૂણા $(30^{\circ})$ ની સામે હોય અને સૌથી મોટી બાજુ સૌથી મોટા ખૂણા $(100^{\circ})$ ની સામે હોય.
ગુણોત્તર $= \sin 30^{\circ} : \sin 100^{\circ}$.
$= \frac{1}{2} : \sin(90^{\circ} + 10^{\circ})$.
$= \frac{1}{2} : \cos 10^{\circ}$.
$= 1 : 2 \cos 10^{\circ}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $b+c=3a$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s=2a$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ છે અને સેક્ટરનો ખૂણો $\theta$ (રેડિયનમાં) છે.
ચાપની લંબાઈ $l = r\theta$.
પરિમિતિ $P = l + 2r = r\theta + 2r = r(\theta + 2)$.
તેથી,$r = \frac{P}{\theta + 2}$.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}r^2\theta$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$A = \frac{1}{2} \left( \frac{P}{\theta + 2} \right)^2 \theta = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(\theta + 2)^2}$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $0$ સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{P^2}{2} \left[ \frac{(\theta + 2)^2 - \theta \cdot 2(\theta + 2)}{(\theta + 2)^4} \right] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\theta + 2) - 2\theta = 0$,તેથી $2 - \theta = 0$,જે $\theta = 2 \text{ રેડિયન}$ આપે છે.
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે સેક્ટરનો ખૂણો $2^c$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A$ ની ગણતરી કરો:
$A^3 = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^3 - 4A^2 - 6A$ પદાવલિની ગણતરી કરો:
$A^3 - 4A^2 - 6A = \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 41-36-6 & 42-32-12 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 41-36-6 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 42-32-12 & 41-36-6 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -1 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = -A$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A|I_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_n$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A(\operatorname{adj} A)| = ||A|I_n|$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ અને $|kA| = k^n|A|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n \cdot |I_n|$ મળે છે.
કારણ કે $|I_n| = 1$,તેથી $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n$.
$A$ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોવાથી,$|A| \neq 0$,તેથી $|A|$ વડે ભાગતા આપણને $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} \log e & \log e^2 & \log e^3 \\ \log e^2 & \log e^3 & \log e^4 \\ \log e^3 & \log e^4 & \log e^5 \end{array}\right|$ છે.
ગુણધર્મ $\log a^n = n \log a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} \log e & 2 \log e & 3 \log e \\ 2 \log e & 3 \log e & 4 \log e \\ 3 \log e & 4 \log e & 5 \log e \end{array}\right|$.
દરેક સ્તંભમાંથી $\log e$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (\log e)^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (\log e)^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right|$.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = [2x] - 2[x]$.
કિસ્સો $1$: જો $x$ પૂર્ણાંક હોય,ધારો કે $x = n$ જ્યાં $n \in Z$.
તો $f(n) = [2n] - 2[n] = 2n - 2n = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,ધારો કે $x = n + f$ જ્યાં $n \in Z$ અને $0 < f < 1$.
તો $f(x) = [2(n + f)] - 2[n + f] = [2n + 2f] - 2n = 2n + [2f] - 2n = [2f]$.
$0 < f < 1$ હોવાથી,$0 < 2f < 2$ થાય. આમ,$[2f]$ ની કિંમત $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક ન હોય તેવી $x$ ની કિંમત માટે,$[2x] - 2[x]$ હંમેશા $1$ મળે છે.
તેથી,$f$ નો વિસ્તાર $\{0, 1\}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x - [x] - \frac{1}{2}$ છે.
આપણે એવા $x$ શોધવાના છે કે જેના માટે $f(x) = \frac{1}{2}$ થાય.
$f(x)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} = x - [x] - \frac{1}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\frac{1}{2}$ ઉમેરતા,$x - [x] = 1$ મળે છે.
અપૂર્ણાંક ભાગના વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,${x} = x - [x]$,જ્યાં $0 \le \{x\} < 1$ હોય છે.
આમ,સમીકરણ ${x} = 1$ બને છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ હંમેશા $1$ થી નાનો હોવો જોઈએ,તેથી એવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નથી જે આ શરતનું પાલન કરે.
તેથી,ગણ $\{x \in R: f(x) = \frac{1}{2}\}$ એ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે કે $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$.
આથી $\sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$ મળે.
ધારો કે $f(x, y) = \sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$.
અહીં,$f(x, y)$ એ $n = 1$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે કારણ કે $f(tx, ty) = \frac{(tx)^2+(ty)^2}{tx+ty} = t \frac{x^2+y^2}{x+y} = t^1 f(x, y)$.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટે આઈલરના પ્રમેય મુજબ,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f$.
$f = \sin u$ અને $n = 1$ મૂકતા:
$x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 1 \cdot \sin u$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\partial}{\partial x}(\sin u) = \cos u \frac{\partial u}{\partial x}$ અને $\frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = \cos u \frac{\partial u}{\partial y}$.
તેથી,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = \sin u$.
બંને બાજુ $\cos u$ વડે ભાગતા:
$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin u}{\cos u} = \tan u$.

(B) ધારો કે વસ્તુની ઊંચાઈ $h$ છે અને બીજા બિંદુથી ટેકરીના પાયા સુધીનું અંતર $x$ છે.
$\triangle ACD$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow 120 + x = h\sqrt{3} \quad \dots(i)$
$\triangle BCD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$120 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$120 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{120 \times \sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \ m$.

(C) વિધાન $A$ માટે: ધારો કે $I = \int \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right) e^{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)} d x$.
આપણે સંકલ્યને $I = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x + \frac{1}{x}\right)} d x$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$,તો $d t = \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int e^t d t = e^t + c = e^{x + \frac{1}{x}} + c = e^{\frac{x^2+1}{x}} + c$ મળે છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $R$ માટે: સંકલન $\int f^{\prime}(x) e^{f(x)} d x$ એક પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે. ધારો કે $u = f(x)$,તો $d u = f^{\prime}(x) d x$.
સંકલન $\int e^u d u = e^u + c = e^{f(x)} + c$ બને છે.
વિધાન $R$ માં પરિણામ $f(x) + c$ આપેલું છે,જે ખોટું છે. તેથી,$R$ ખોટું છે.

(D) $10 ~cm$ કેન્દ્રલંબાઈ અને $1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે,હવામાં લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_g - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (0.5)(\frac{2}{R}) = \frac{1}{R}$ છે. તેથી $R = 10 ~cm$ મળે.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ માટે $\frac{1}{f'} = (\mu_g - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{0.5}{R} = \frac{1}{20}$ થાય,એટલે કે $f' = 20 ~cm$.
જ્યારે આ બે પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સને તેમની બહિર્ગોળ સપાટીઓ એકબીજાને સ્પર્શે તેમ જોડવામાં આવે,ત્યારે તે હવામાં $10 ~cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બાયકોન્વેક્સ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
જ્યારે તેને પાણીમાં (વક્રીભવનાંક $\mu_w = 4/3$) ડૂબાડવામાં આવે,ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $F'$ માટે $\frac{1}{F'} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ સૂત્ર વપરાય છે.
આ સંયોજન માટે,અસરકારક પાવર $\frac{1}{F'} = (\frac{1.5}{4/3} - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (1.125 - 1)(\frac{2}{10}) = 0.125 \times 0.2 = 0.025$ થાય.
તેથી,$F' = \frac{1}{0.025} = 40 ~cm$.

(A) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ કોણીય વિભાજન $(\delta_v - \delta_r)$ અને સરેરાશ વિચલન $(\delta_y)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y} = \frac{(\mu_v - 1)A - (\mu_r - 1)A}{(\mu_y - 1)A} = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિભાજન શક્તિ માત્ર પ્રિઝમના દ્રવ્યના વિવિધ રંગો માટેના વક્રીભવનાંક $(\mu_v, \mu_r, \mu_y)$ પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રિઝમના ખૂણા $(A)$,પ્રિઝમના આકાર અને પ્રિઝમના કદથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પ્રક્રિયા માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ: $2KMnO_4 + 5H_2C_2O_4 + 3H_2SO_4 \rightarrow K_2SO_4 + 2MnSO_4 + 8H_2O + 10CO_2$.
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$2 \text{ મોલ } KMnO_4$ એ $5 \text{ મોલ } H_2C_2O_4$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે.
સંબંધ $n_{KMnO_4} / 2 = n_{H_2C_2O_4} / 5$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(0.05 \ M \times 16 \ mL) / 2 = (x \ M \times 40 \ mL) / 5$.
$0.4 / 2 = 40x / 5 \implies 0.2 = 8x \implies x = 0.025 \ M$.
ઓક્ઝેલિક એસિડ $(H_2C_2O_4)$ એ દ્વિ-પ્રોટિક એસિડ હોવાથી અને તે સંપૂર્ણપણે વિયોજન પામતું હોવાથી:
$[H^+] = 2 \times [H_2C_2O_4] = 2 \times 0.025 = 0.05 \ M$.
$pH = -\log[H^+] = -\log(0.05) = -\log(5 \times 10^{-2}) = 2 - \log 5 = 2 - 0.699 = 1.301 \approx 1.3$.

(A) $1$. $AlCl_3 + 4NaOH \longrightarrow NaAlO_2 + 3NaCl + 2H_2O$. આ પ્રક્રિયામાં સોડિયમ મેટા-એલ્યુમિનેટ બને છે અને કોઈ વાયુ મુક્ત થતો નથી.
$2$. $3NaOH + P_4 + 3H_2O \longrightarrow PH_3 (\text{gas}) + 3NaH_2PO_2$. આમાં ફોસ્ફિન વાયુ મુક્ત થાય છે.
$3$. $2Al + 2NaOH + 2H_2O \xrightarrow{\Delta} 2NaAlO_2 + 3H_2 (\text{gas})$. આમાં હાઇડ્રોજન વાયુ મુક્ત થાય છે.
$4$. $Zn + 2NaOH \xrightarrow{\Delta} Na_2ZnO_2 + H_2 (\text{gas})$. આમાં હાઇડ્રોજન વાયુ મુક્ત થાય છે.
તેથી,$AlCl_3$ અને $NaOH$ વચ્ચેની પ્રક્રિયામાં કોઈ વાયુરૂપ નીપજ મુક્ત થતી નથી.

(A) $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,જ્યારે કલેક્ટર-બેઝ જંકશન રિવર્સ બાયસમાં હોય છે.
કેપેસિટન્સ $C$ એ $C = \frac{\epsilon A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ છે.
ફોરવર્ડ બાયસ જંકશન (બેઝ-એમિટર) માટે,ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ $d_1$ ખૂબ જ નાની હોય છે.
રિવર્સ બાયસ જંકશન (કલેક્ટર-બેઝ) માટે,ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ $d_2$ નોંધપાત્ર રીતે મોટી હોય છે.
કારણ કે $C \propto \frac{1}{d}$,નાની ડેપ્લેશન પહોળાઈ મોટી કેપેસિટન્સ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,$C_1$ (બેઝ-એમિટર કેપેસિટન્સ) એ $C_2$ (કલેક્ટર-બેઝ કેપેસિટન્સ) કરતા વધારે છે.
આમ,$C_1 > C_2$.

(B) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ મેળવવા માટે $(1+x^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)y = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
અહીં,$P = \frac{2x}{1+x^2}$ અને $Q = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y(1+x^2) = \int \left(\frac{4x^2}{1+x^2}\right)(1+x^2) dx + c$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + c$.
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + c$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3y(1+x^2) = 4x^3 + c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$,તેથી $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$
તેને ફરીથી ગોઠવતા સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$
અહીં,$P = -\frac{1}{y}$ અને $Q = -1$
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P dy} = e^{-\int \frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$
વ્યાપક ઉકેલ $t \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dy + c$ છે
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$
$\frac{1}{xy} = -\log y + c$
$y$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{x} = cy - y \log y$

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
આપણે તેને $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(-\overrightarrow{c})^2$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta=|\overrightarrow{c}|^2$ મળે,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3^2+4^2+2(3)(4) \cos \theta = (\sqrt{37})^2$.
$9+16+24 \cos \theta = 37$.
$25+24 \cos \theta = 37$.
$24 \cos \theta = 37-25 = 12$.
$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે.

(B) સમાંતરફલકનું ઘનફળ તેની ત્રણ ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના અદિશ ત્રિગુણક $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે આ સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકના માનાંક જેટલું હોય છે.
આપેલ ધાર: $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}$,$\vec{c} = 3 \hat{i} + 9 \hat{j} + p \hat{k}$.
ઘનફળ $= |\text{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})| = 34$.
$\Rightarrow \left|\begin{array}{rrr} 4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & 9 & p \end{array}\right| = \pm 34$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4(-p - 9) - 5(0 - 3) + 1(0 - (-3)) = \pm 34$.
$-4p - 36 + 15 + 3 = \pm 34$.
$-4p - 18 = \pm 34$.
કિસ્સો $1$: $-4p - 18 = 34 \Rightarrow -4p = 52 \Rightarrow p = -13$.
કિસ્સો $2$: $-4p - 18 = -34 \Rightarrow -4p = -16 \Rightarrow p = 4$.
અહીં વિકલ્પમાં $-13$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $-13$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
કારણ કે $OA$ એ $OX, OY$ અને $OZ$ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલું છે,તેથી તેના દિક-કોસાઇન $l, m, n$ સમાન થાય.
આમ,$l = m = n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $3l^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $l = m = n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બિંદુ $A$ ના યામ $(r l, r m, r n)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r$ એ ઉગમબિંદુથી અંતર છે.
અહીં $r = \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી યામ $(\sqrt{3} \times \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3} \times \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3} \times \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ થશે.
આ સાદું રૂપ આપતા $(1, 1, 1)$ અથવા $(-1, -1, -1)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $(1, 1, 1)$ છે.

(B) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0$ $\dots(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ $\dots(ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇન માટે $l^2+m^2+n^2=1$ $\dots(iii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l+m = -n$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $l^2+m^2+2lm = n^2$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $l^2+m^2 = n^2$ ને આમાં મૂકતા,આપણને $n^2+2lm = n^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2lm = 0$,તેથી $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $m+n=0 \implies m=-n$. સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,$0^2+(-n)^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$. આમ,$(l_1, m_1, n_1) = (0, -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ અને $(0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $l+n=0 \implies l=-n$. સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,$(-n)^2+0^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$. આમ,$(l_2, m_2, n_2) = (-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})$ અને $(1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$.
$L_1 = (0, -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ અને $L_2 = (-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})$ લેતા:
$\cos \theta = |(0)(-1/\sqrt{2}) + (-1/\sqrt{2})(0) + (1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2})| = |0 + 0 + 1/2| = 1/2$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi/3$.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $= 5 + 6 = 11$.
$11$ માંથી $7$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${ }^{11} C_7$ છે.
$5$ માંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${ }^5 C_3$ છે.
$6$ માંથી $4$ લીલા દડા પસંદ કરવાની રીતો ${ }^6 C_4$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ${ }^5 C_3 \times { }^6 C_4$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{{ }^5 C_3 \times { }^6 C_4}{{ }^{11} C_7}$.

(B) સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ છે,તેથી $n(S) = 1000$.
આપણે એવી સંખ્યાઓ $n$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેના માટે $n \equiv 1 \pmod{7}$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $n = 7k + 1$ સ્વરૂપની છે,જ્યાં $k \ge 0$.
$1 \le 7k + 1 \le 1000$ માટે,આપણી પાસે $0 \le 7k \le 999$ છે,જેનો અર્થ છે કે $0 \le k \le \frac{999}{7} \approx 142.71$.
કારણ કે $k$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $k \in \{0, 1, 2, \ldots, 142\}$.
આવી કિંમતોની સંખ્યા $142 - 0 + 1 = 143$ છે.
તેથી સંભાવના $P = \frac{143}{1000}$ છે.

(C) પ્રતિ પાના ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda_{page} = \frac{250}{500} = 0.5$ છે.
$n = 2$ પાનાના નમૂના માટે,ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda = n \times \lambda_{page} = 2 \times 0.5 = 1$ થાય.
પોઈસન વિતરણ મુજબ,$X$ ભૂલો મળવાની સંભાવના $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પણ ભૂલ ન હોય તે માટે,આપણે $k = 0$ લઈએ છીએ:
$P(X=0) = \frac{e^{-1} \times 1^0}{0!} = e^{-1} \times 1 = e^{-1}$.

(B) બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $E$ (સરવાળો $8$ મળે) માટે: પરિણામો $\{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$ છે. તેથી,$n(E) = 5$ અને $P(E) = \frac{5}{36}$. આમ,વિધાન $I$ ખોટું છે.
ઘટના $F$ (બંને પાસા પર બેકી સંખ્યા મળે) માટે: પાસા પરની બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6\}$ છે. પરિણામો $\{(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}$ છે. તેથી,$n(F) = 9$ અને $P(F) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$. આમ,વિધાન $II$ ખોટું છે.
તેથી,$I$ કે $II$ બંનેમાંથી એક પણ સાચું નથી.

(D) ઓક્સિજનમાંથી ઓઝોન બનવાની રાસાયણિક પ્રક્રિયા: $3O_2(g) \rightarrow 2O_3(g)$ છે.
ધારો કે $O_2$ નું પ્રારંભિક કદ $100 \ L$ છે.
ધારો કે પ્રક્રિયા પામેલ $O_2$ નું કદ $3x \ L$ છે.
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,બનેલા $O_3$ નું કદ $2x \ L$ હશે.
બાકી રહેલ $O_2$ નું કદ $(100 - 3x) \ L$ છે.
આપેલ છે કે $O_2$ અને $O_3$ ના અંતિમ કદ સમાન છે:
$100 - 3x = 2x$
$100 = 5x$
$x = 20 \ L$.
બનેલા ઓઝોનનું કદ $2x = 2 \times 20 = 40 \ L$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,તેને $V = (\frac{nR}{P})T$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{nR}{P}$ છે.
ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(m \propto \frac{1}{P})$,નાનો ઢાળ એ ઊંચા દબાણ સૂચવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$P_1$ માટે રેખાનો ઢાળ સૌથી નાનો છે,ત્યારબાદ $P_3$ અને $P_2$ માટે ઢાળ સૌથી મોટો છે.
તેથી,દબાણનો સાચો ક્રમ $P_1 > P_3 > P_2$ છે.