TS EAMCET 2006 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આઈસોટોન્સ એટલે સમાન સંખ્યામાં ન્યુટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ.
$_{20}Ca^{40}$ માં,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $40 - 20 = 20$ છે.
$_{18}Ar^{40}$ માં,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $40 - 18 = 22$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા અલગ હોવાથી,$_{20}Ca^{40}$ અને $_{18}Ar^{40}$ આઈસોટોન્સ નથી.
તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.

(A) આપેલ છે:
$E = 3 \times 10^{-12} \ erg$
$h = 6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$
$c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$
સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{hc}{E}$
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^{10}}{3 \times 10^{-12}} \ cm$
$\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \ cm$
$1 \ cm = 10^7 \ nm$ હોવાથી,
$\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \times 10^7 \ nm$
$\lambda = 6.62 \times 10^2 \ nm = 662 \ nm$.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$.
કણ $A$ માટે: $\Delta x_A \cdot m_A \cdot \Delta v_A = \frac{h}{4 \pi}$.
કણ $B$ માટે: $\Delta x_B \cdot m_B \cdot \Delta v_B = \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે: $\Delta v_A = 0.05 \ m/s$,$\Delta v_B = 0.02 \ m/s$,અને $m_B = 5 m_A$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\Delta x_A \cdot m_A \cdot 0.05 = \Delta x_B \cdot (5 m_A) \cdot 0.02$.
$\Delta x_A \cdot m_A \cdot 0.05 = \Delta x_B \cdot m_A \cdot 0.10$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{0.10}{0.05} = 2$.

(C) જ્યારે વિક્ષિપ્ત કલા $solid$ (ઘન) હોય અને વિક્ષેપન માધ્યમ $liquid$ (પ્રવાહી) હોય ત્યારે સોનાનું કલિલ દ્રાવણ બને છે.
સોના જેવી ધાતુઓને ફક્ત પાણી સાથે મિશ્ર કરીને કલિલ અવસ્થામાં લાવી શકાતી નથી,તેથી તેને બનાવવા માટે ખાસ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે.
તેથી,તેઓ $lyophobic$ (દ્રાવક-વિરોધી) કલિલ તરીકે ઓળખાય છે.

(D) આપેલ થર્મો emf સમીકરણ: $V = 10 \times 10^{-6} t - \frac{1}{40} \times 10^{-6} t^2$.
તટસ્થ તાપમાન $(t_n)$ ત્યારે મળે છે જ્યારે થર્મો emf મહત્તમ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dV}{dt} = 0$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં $V$ નું વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dt} = 10 \times 10^{-6} - \frac{2}{40} \times 10^{-6} t = 10 \times 10^{-6} - \frac{1}{20} \times 10^{-6} t$.
$\frac{dV}{dt} = 0$ લેતા: $10 \times 10^{-6} = \frac{1}{20} \times 10^{-6} t_n \implies t_n = 200^{\circ} C$.
હવે,$V_{\max}$ શોધવા માટે $t_n = 200^{\circ} C$ ને $V$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V_{\max} = 10 \times 10^{-6} (200) - \frac{1}{40} \times 10^{-6} (200)^2$.
$V_{\max} = 2000 \times 10^{-6} - \frac{40000}{40} \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} = 1 \times 10^{-3} \text{ V} = 1 \text{ mV}$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળા માટે,$A = 4 \pi r^2$ અને $dQ = mc(dT) = (\rho V c) dT = \rho (4/3 \pi r^3) c dT$.
આમ,તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર: $\rho (4/3 \pi r^3) c (-dT/dt) = \sigma (4 \pi r^2) (T^4 - T_0^4)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $(-dT/dt) = [3 \sigma / (\rho c r)] (T^4 - T_0^4)$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\rho$ અને $c$ અચળ છે. સમાન તાપમાનના તફાવત માટે,$(-dT/dt) \propto 1/r$.
તેથી,$A$ અને $B$ ના તાપમાનમાં થતા ફેરફારના દરનો ગુણોત્તર: $(dT/dt)_A / (dT/dt)_B = r_B / r_A$ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,વાયુનું તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી વાયુ બોઈલના નિયમનું પાલન કરે છે: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે કે દબાણ બમણું થાય છે,તેથી $P_2 = 2 P_1$.
આમ,$P_1 V_1 = (2 P_1) V_2$,જે આપે છે $\frac{V_1}{V_2} = 2$.
હવે,વાયુનું સમોષ્મી વિસ્તરણ થાય છે જ્યાં સુધી તેનું મૂળ કદ પાછું ન આવે,તેથી $V_3 = V_1$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $P V^\gamma = \text{અચળ}$ અનુસરે છે,તેથી $P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
આપેલ છે $P_3 = 0.75 P_1$ અને $P_2 = 2 P_1$,તેથી:
$(2 P_1) V_2^\gamma = (0.75 P_1) V_1^\gamma$.
બંને બાજુ $P_1$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $2 V_2^\gamma = 0.75 V_1^\gamma$.
$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = \frac{2}{0.75} = \frac{2}{3/4} = \frac{8}{3}$.
કારણ કે $\frac{V_1}{V_2} = 2$,તેથી $2^\gamma = \frac{8}{3} = 2.667$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\gamma \log 2 = \log 2.667$.
$\gamma = \frac{\log 2.667}{\log 2} \approx \frac{0.426}{0.301} \approx 1.41$.

(D) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta E)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta H = \Delta E + \Delta n_g RT$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta n_g$ એ વાયુરૂપ ઘટકોના મોલની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta H \neq \Delta E$ માટે,$\Delta n_g \neq 0$ શરત સંતોષાવી જોઈએ.
$(A)$ $\Delta n_g = 1 - 1 = 0$.
$(B)$ $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
$(C)$ $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
$(D)$ $\Delta n_g = 1 - (1 + 0.5) = -0.5$.
વિકલ્પ $(D)$ માટે $\Delta n_g \neq 0$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા માટે $\Delta H \neq \Delta E$ થાય છે.

(D) આયનીય ઘન પદાર્થની લેટીસ ઉર્જા $(U)$ એટલે વાયુરૂપ આયનો જોડાઈને એક મોલ સ્ફટિકમય ઘન બનાવે ત્યારે મુક્ત થતી ઉર્જા.
Born-Landé સમીકરણ મુજબ,લેટીસ ઉર્જા આંતર-આયનીય અંતર $(r_0)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આયનીય ઘન $AB$ માટે,આંતર-આયનીય અંતર $r_0$ એ ધન આયનની ત્રિજ્યા $(r_c)$ અને ઋણ આયનની ત્રિજ્યા $(r_a)$ નો સરવાળો છે,એટલે કે $r_0 = r_c + r_a$.
તેથી,લેટીસ ઉર્જા $U$ એ $\frac{1}{(r_c+r_a)}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[C] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$
$[R] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$
$[L] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$
$[I] = [A]$
$(1)$ $[CR] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2] \times [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$
$(2)$ $[L/R] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] / [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$
$(3)$ $[\sqrt{LC}] = ([M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2])^{1/2} = [T^2]^{1/2} = [T^1]$
$(4)$ $[LI^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [A^2] = [M L^2 T^{-2}]$ (આ ઉર્જા છે,સમય નથી).
આમ,રાશિઓ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ સમયના પરિમાણ ધરાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto w$.
આપેલ છે કે પ્રથમ સ્લિટની પહોળાઈ $w_1 = 4 w_2$ છે,તેથી તીવ્રતાઓ $I_1 = 4 I_2$ થશે.
ધારો કે $I_2 = I$,તો $I_1 = 4 I$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{4I} + \sqrt{I})^2}{(\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2} = \frac{(2\sqrt{I} + \sqrt{I})^2}{(2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2} = \frac{(3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I})^2} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $9: 1$ છે.

(B) ગતિશીલ સ્ત્રોતમાંથી અવલોકનકાર દ્વારા સીધો સંભળાતા અવાજની આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$,જ્યાં $f_0 = 1000 ~Hz$,$v = 330 ~m/s$,અને $f_1 = 970 ~Hz$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $970 = 1000 \left( \frac{330}{330 + v_s} \right)$.
$v_s$ માટે ઉકેલતા: $330 + v_s = \frac{330000}{970} \approx 340.2 ~m/s$,તેથી $v_s \approx 10.2 ~m/s$.
ટેકરી પરથી પરાવર્તિત અવાજ એવું લાગે છે કે જાણે તે સ્થિર સ્ત્રોત (ટેકરી) માંથી અવલોકનકાર તરફ આવી રહ્યો છે,પરંતુ સ્ત્રોત (વાન) ટેકરી તરફ ગતિ કરી રહી છે. ટેકરી $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ આવૃત્તિ પર અવાજ મેળવે છે.
ટેકરી સ્થિર હોવાથી,તે આ આવૃત્તિને અવલોકનકાર તરફ પરાવર્તિત કરે છે: $f_2 = f' = 1000 \left( \frac{330}{330 - 10.2} \right)$.
$f_2 = \frac{330000}{319.8} \approx 1031.89 ~Hz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,આવૃત્તિ આશરે $1032 ~Hz$ છે.

(C) આપેલ છે: $T_A = T_B$,$f_A = f_B$,$L_A = 80 \ cm$,$L_B = x \ cm$,$d_A / d_B = 0.81$,અને $D_B = D_A / 2$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = \pi (D/2)^2 \times d = \frac{\pi D^2 d}{4}$.
તેથી,રેખીય ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left(\frac{D_A}{D_B}\right)^2 \times \frac{d_A}{d_B} = (2)^2 \times 0.81 = 4 \times 0.81 = 3.24$.
તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
$f_A = f_B$ અને $T_A = T_B$ હોવાથી,$\frac{1}{L_A \sqrt{\mu_A}} = \frac{1}{L_B \sqrt{\mu_B}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_B}{L_A} = \sqrt{\frac{\mu_A}{\mu_B}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x}{80} = \sqrt{3.24} = 1.8$.
$x = 80 \times 1.8 = 144 \ cm$.

(C) ધારો કે પાણીની ઘનતા $\rho$ છે,પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને પાણીનો વેગ $v$ છે.
દર સેકન્ડે બહાર આવતા પાણીનું દળ $m = A v \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીને દર સેકન્ડે આપવામાં આવતી ગતિઊર્જા એ મોટર માટે જરૂરી પાવર $P$ છે:
$P = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (A v \rho) v^2 = \frac{1}{2} A \rho v^3$.
આ સૂચવે છે કે $P \propto v^3$.
જો આપણે સમાન સમયમાં $n$-ગણું પાણી પહોંચાડવા માંગતા હોઈએ,તો દળનો પ્રવાહ દર $m' = n m$ થશે.
કારણ કે $m = A v \rho$,તેથી $m' = A v' \rho = n (A v \rho)$,જેનો અર્થ છે કે $v' = n v$.
જરૂરી નવો પાવર $P' = \frac{1}{2} A \rho (v')^3$ છે.
નવા પાવર અને મૂળ પાવરનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P'}{P} = \frac{\frac{1}{2} A \rho (n v)^3}{\frac{1}{2} A \rho v^3} = n^3$.
તેથી,પાવર $n^3$-ગણો વધારવો જોઈએ.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{total} = \Delta K = K_f - K_i$
અહીં,કુલ કાર્ય એ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_g)$ અને હવાના અવરોધ વિરુદ્ધ થયેલા કાર્ય $(W_{air})$ નો સરવાળો છે.
$W_g + W_{air} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
આપેલ છે:
દળ $m = 10 ~g = 0.01 ~kg$
પ્રારંભિક વેગ $u = 1000 ~ms^{-1}$
અંતિમ વેગ $v = 500 ~ms^{-1}$
ઊંચાઈ $h = 50 ~m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 ~ms^{-2}$
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mgh = 0.01 \times 10 \times 50 = 5 ~J$
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (500^2 - 1000^2)$
$\Delta K = 0.005 \times (250000 - 1000000) = 0.005 \times (-750000) = -3750 ~J$
હવે,$W_g + W_{air} = \Delta K$
$5 + W_{air} = -3750$
$W_{air} = -3750 - 5 = -3755 ~J$
હવાના અવરોધ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય એ હવાના અવરોધ દ્વારા થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય છે,જે $3755 ~J$ છે.

(D) બેન્ઝીનનું આણ્વીય સૂત્ર $C_6H_6$ છે.
બેન્ઝીનની રચનામાં $6$ $C-C$ બંધ અને $6$ $C-H$ બંધ હોય છે.
દરેક $C-C$ બંધમાં એક $\sigma$ બંધ હોય છે,અને આમાંથી ત્રણ બંધ દ્વિ-બંધ છે,જેમાં દરેક એક $\pi$ બંધ ધરાવે છે.
આમ,કાર્બન અણુઓ વચ્ચે $6$ $\sigma$ બંધ અને કાર્બન તથા હાઇડ્રોજન અણુઓ વચ્ચે $6$ $\sigma$ બંધ છે,જે કુલ $12$ $\sigma$ બંધ બનાવે છે.
વલયમાં $3$ $\pi$ બંધ હાજર છે.
તેથી,$\sigma$ અને $\pi$ બંધોની સંખ્યા અનુક્રમે $12$ અને $3$ છે.

(D) ઈથીન $(C_2H_4)$ માં,દરેક કાર્બન પરમાણુ $sp^2$ સંકરણ ધરાવે છે.
દરેક કાર્બન પરમાણુ હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ સાથે $sp^2$ અને $s$ કક્ષકોના અતિવ્યાપન દ્વારા બે $\sigma$ બંધ બનાવે છે. બે કાર્બન પરમાણુઓ હોવાથી,કુલ $2 \times 2 = 4$ આવા $\sigma$ બંધો છે.
બે કાર્બન પરમાણુઓ એકબીજા સાથે $sp^2$ અને $sp^2$ કક્ષકોના અતિવ્યાપન દ્વારા એક $\sigma$ બંધથી જોડાયેલા છે.
વધુમાં,બે કાર્બન પરમાણુઓની અસંકરિત $p_z$ કક્ષકો એકબીજા સાથે પાર્શ્વીય અતિવ્યાપન કરીને એક $\pi$ બંધ બનાવે છે.
આમ,અણુ $(X)$ એ $C_2H_4$ છે.

(C) ઉદ્દીપકની હાજરીમાં સંતુલન અચળાંક $(K_c)$ પર કોઈ અસર થતી નથી. તેથી,વિધાન $(c)$ ખોટું છે.

(B) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે આધુનિક આવર્ત નિયમ મુજબ તત્વોના ભૌતિક અને રાસાયણિક ગુણધર્મો તેમના પરમાણુ ક્રમાંકના આવર્તનીય વિધેયો છે,જે તેમની ઇલેક્ટ્રોનિક રચનાને સમાન છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે ફ્લોરિન $(F)$ ની વિદ્યુતઋણતા $(4.0)$ આવર્ત કોષ્ટકમાં સૌથી વધુ છે,જે ક્લોરિન ($Cl$,$3.0$) કરતા વધારે છે.
વિધાન $III$ ખોટું છે કારણ કે સમૂહમાં ઉપરથી નીચે તરફ જતાં આયનીકરણ એન્થાલ્પી ઘટતી હોવાથી વિદ્યુતધનાત્મક સ્વભાવ (ધાત્વીય ગુણધર્મ) વધે છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $I$ સાચું છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\sqrt{9 x^2+6 x+1} < (2-x)$
$\sqrt{(3x+1)^2} = |3x+1|$ હોવાથી,અસમતા $|3x+1| < 2-x$ બને છે.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$9x^2+6x+1 \ge 0$ હોવું જોઈએ,જે હંમેશા સાચું છે.
અસમતા માટે,જમણી બાજુ ધન હોવી જોઈએ: $2-x > 0 \implies x < 2$.
હવે,$|3x+1| < 2-x$ ઉકેલો:
આ $-(2-x) < 3x+1 < 2-x$ ને સમતુલ્ય છે.
કિસ્સો $1$: $3x+1 < 2-x \implies 4x < 1 \implies x < \frac{1}{4}$.
કિસ્સો $2$: $3x+1 > -(2-x) \implies 3x+1 > -2+x \implies 2x > -3 \implies x > -\frac{3}{2}$.
આ બંનેને જોડતા,$-\frac{3}{2} < x < \frac{1}{4}$ મળે છે.
આમ,$x \in \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)$.

(D) આપેલ છે કે $x = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$.
વર્ગમૂળની અંદર છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}} = 2+\sqrt{3}$.
હવે,આપણે $x^2(x-4)^2 = [x(x-4)]^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x = 2+\sqrt{3}$ મુકતા:
$x(x-4) = (2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}-4) = (2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)$.
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x(x-4) = (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - (2)^2 = 3 - 4 = -1$.
તેથી,$x^2(x-4)^2 = (-1)^2 = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\left|\frac{z-1}{z+1}\right| = 1$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$\left|\frac{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}\right| = 1$
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|(x-1) + iy| = |(x+1) + iy|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-2x = 2x$
$4x = 0$
$x = 0$
આમ,બિંદુપથ કાલ્પનિક અક્ષ છે,જે $x = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે $\left|\frac{z-i}{z i}\right|=2$.
$z=x iy$ હોવાથી, $\left|\frac{x i(y-1)}{x i(y 1)}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{x^2 (y-1)^2}{x^2 (y 1)^2}=4$.
$x^2 (y-1)^2=4(x^2 (y 1)^2)$.
$x^2 y^2-2y 1=4(x^2 y^2 2y 1)$.
$x^2 y^2-2y 1=4x^2 4y^2 8y 4$.
પદોને ગોઠવતા,$3x^2 3y^2 10y 3=0$ મળે છે.

(A) $1000$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1$-અંકી,$2$-અંકી અથવા $3$-અંકી હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: $1$-અંકી સંખ્યાઓ. અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ હોઈ શકે. કુલ $= 9$.
કિસ્સો $2$: $2$-અંકી સંખ્યાઓ. પ્રથમ અંક $9$ રીતે પસંદ કરી શકાય ($0$ સિવાય) અને બીજો અંક $9$ રીતે પસંદ કરી શકાય ($0$ સહિત પણ પ્રથમ અંક સિવાય). કુલ $= 9 \times 9 = 81$.
કિસ્સો $3$: $3$-અંકી સંખ્યાઓ. પ્રથમ અંક $9$ રીતે,બીજો અંક $9$ રીતે અને ત્રીજો અંક $8$ રીતે પસંદ કરી શકાય. કુલ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$.
કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $= 9 + 81 + 648 = 738$.

(C) આઠ અલગ-અલગ અક્ષરોમાંથી પુનરાવર્તન સાથે $4$ અક્ષરોના શબ્દોની કુલ સંખ્યા $= 8^{4}$ છે.
કોઈપણ અક્ષરનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય તેવા $4$ અક્ષરોના શબ્દોની સંખ્યા $={}^{8}P_{4}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $= 8^{4} - {}^{8}P_{4}$ થાય.

(B) ધારો કે $S=1+\frac{2}{4}+\frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 8}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\ldots$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ સાથે સરખાવતા,
$nx = 1/2$ અને $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = 5/16$ મળે છે.
ઉકેલતા $n=2/3$ અને $x=3/4$ મળે છે.
તેથી $S = (1-3/4)^{-2/3} = (1/4)^{-2/3} = 4^{2/3} = \sqrt[3]{16}$.

(D) ક્લોરોફ્લોરોકાર્બન $(CFCs)$ સ્ટ્રેટોસ્ફિયરમાં ઓઝોનના ઘટાડા માટે જવાબદાર છે.
$CFCl_3$ અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણોત્સર્ગની હાજરીમાં વિઘટન પામીને ક્લોરિન મુક્ત મુલક $(Cl^{\bullet})$ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ ક્લોરિન મુક્ત મુલકો ઓઝોન $(O_3)$ ના અણુઓ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ઓક્સિજન $(O_2)$ અને ક્લોરિન મોનોક્સાઇડ $(ClO^{\bullet})$ બનાવે છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $Cl^{\bullet} + O_3 \rightarrow ClO^{\bullet} + O_2$.

(A) પ્રથમ,$x$ ની કિંમત શોધો:
$x = \tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$.
ત્યારબાદ,$y$ ની કિંમત શોધો:
$y = \operatorname{cosec} 75^{\circ} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \approx 1.035$.
અંતે,$z$ ની કિંમત શોધો:
$z = 4 \sin 18^{\circ} = \sqrt{5} - 1 \approx 1.236$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.268 < 1.035 < 1.236$,જે દર્શાવે છે કે $x < y < z$.

(C) આપણી પાસે $\operatorname{cosec} 15^{\circ} + \sec 15^{\circ} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} + \frac{1}{\cos 15^{\circ}}$ છે
$= \frac{\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} = \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$= 4(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})$
$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ અને $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 4 \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$
$= 4 \left( \frac{2 \sqrt{6}}{4} \right) = 2 \sqrt{6}$

(B) સંબંધિત ખૂણાઓ (allied angles) માટે ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\sin 330^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$= -\frac{4}{4} = -1$

(A) રેખાઓના સમીકરણો $x-3y+2=0$ $(i)$ અને $2x+5y-7=0$ $(ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x-6y+4=0$ $(iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $(2x+5y-7) - (2x-6y+4) = 0$ $\Rightarrow 11y - 11 = 0$ $\Rightarrow y=1$.
$y=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x-3(1)+2=0$ $\Rightarrow x-1=0$ $\Rightarrow x=1$.
છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
$3x+2y+5=0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x-3y+\lambda=0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખા $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2(1)-3(1)+\lambda=0$ $\Rightarrow 2-3+\lambda=0$ $\Rightarrow \lambda=1$.
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $2x-3y+1=0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-y^2-x+3y-2=0$ છે.
આ સમીકરણને $x$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે જોતા:
$x^2 - x - (y^2 - 3y + 2) = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(y^2 - 3y + 2)}}{2} = \frac{1 \pm (2y-3)}{2}$.
પ્રથમ રેખા: $x = \frac{1 + 2y - 3}{2} = y-1 \implies x-y+1=0$.
બીજી રેખા: $x = \frac{1 - 2y + 3}{2} = 2-y \implies x+y-2=0$.
તેથી,રેખાઓ $x-y+1=0$ અને $x+y-2=0$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(6x - 7y)(2x - y) = 0$.
ત્રિકોણની બાજુઓના સમીકરણો:
$L_1: 6x - 7y = 0$
$L_2: 2x - y = 0$
$L_3: 2x - 3y + 4 = 0$
શિરોબિંદુઓ શોધતા:
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0, 0)$.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(7, 6)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(1, 2)$.
મધ્યકેન્દ્ર = $\left(\frac{0+7+1}{3}, \frac{0+6+2}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$.

(A) કાર્નાલાઈટનું રાસાયણિક સૂત્ર $KCl \cdot MgCl_2 \cdot 6H_2O$ છે.
તે પોટેશિયમ ક્લોરાઈડ અને મેગ્નેશિયમ ક્લોરાઈડનું બનેલું દ્વિ ક્ષાર છે.
તેથી,કાર્નાલાઈટમાં હાજર ધાતુ આયનો $K^+$ અને $Mg^{2+}$ છે.

(B) $m$ દળના કણ માટે પૃથ્વીની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -\frac{GMmr}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે.
આ બળ સ્થાનાંતર $r$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેની શરત છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(F \propto 1/r^2)$. આ ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ છે,જે પૃથ્વીની બહાર અથવા સપાટી પરના કણો માટે સાચો છે. જોકે,પૃથ્વીની અંદર,અસરકારક બળ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદર સમાવિષ્ટ દળ પર આધાર રાખે છે,જે $r$ પર રેખીય નિર્ભરતા તરફ દોરી જાય છે.
જોકે $(R)$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ વિશેનું સાચું વિધાન છે,તે સમજાવતું નથી કે પૃથ્વીની અંદરની ગતિ સરળ આવર્ત કેમ છે (જે પૃથ્વીની અંદરના રેખીય બળના નિયમ પર આધારિત છે). તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) ફ્રિડલ-ક્રાફ્ટ એસાઇલેશન: આ પ્રક્રિયામાં નિર્જળ એલ્યુમિનિયમ ક્લોરાઇડ $(AlCl_3)$ જેવા લુઈસ એસિડ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં બેન્ઝીનની એસિટાઇલ ક્લોરાઇડ $(CH_3COCl)$ અથવા એસિટિક એનહાઇડ્રાઇડ સાથે પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$C_6H_6 + CH_3COCl \xrightarrow{anhydrous \ AlCl_3} C_6H_5COCH_3 + HCl$
આમ,બેન્ઝીન એસિટાઇલ ક્લોરાઇડ $(CH_3COCl)$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને એસિટોફિનોન બનાવે છે.

(C) $50\%$ સલ્ફ્યુરિક એસિડના વિદ્યુતવિભાજન અને ત્યારબાદ શૂન્યાવકાશ નિસ્યંદન દ્વારા $30\%$ હાઇડ્રોજન પેરોક્સાઇડનું દ્રાવણ મેળવી શકાય છે.
વિદ્યુતવિભાજનની પ્રથમ નીપજ પરડાયસલ્ફ્યુરિક એસિડ $(H_2S_2O_8)$ છે,જે નિસ્યંદન દરમિયાન પાણી સાથે પ્રક્રિયા કરીને $H_2O_2$ બનાવે છે.
$2H_2SO_4 \longrightarrow 2H^+ + 2HSO_4^-$
$2HSO_4^- \longrightarrow H_2S_2O_8 + 2e^-$ (એનોડ પર)
$H_2S_2O_8 + 2H_2O \longrightarrow 2H_2SO_4 + H_2O_2$
અહીં,$X$ એ $H_2SO_4$ છે અને $Y$ એ $H_2S_2O_8$ છે.
$H_2SO_4$ માં $0$ પેરોક્સી બંધ છે,જ્યારે $H_2S_2O_8$ (માર્શલ એસિડ) માં $1$ પેરોક્સી બંધ $(HO_3S-O-O-SO_3H)$ હોય છે.

(D) ધારો કે સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ છે અને સેક્ટરનો ખૂણો $\theta$ (રેડિયનમાં) છે. ચાપની લંબાઈ $l = r\theta$ છે.
પરિમિતિ $P = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$.
તેથી,$r = \frac{P}{2 + \theta}$.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$A = \frac{1}{2} \left( \frac{P}{2 + \theta} \right)^2 \theta = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને $0$ લઈએ છીએ:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{P^2}{2} \left[ \frac{(2 + \theta)^2 - \theta \cdot 2(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} \right] = 0$.
$(2 + \theta)^2 - 2\theta(2 + \theta) = 0$.
$2 + \theta \neq 0$ હોવાથી,$2 + \theta - 2\theta = 0$,જે $\theta = 2$ આપે છે.
તેથી,જ્યારે સેક્ટરનો ખૂણો $2^c$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = e^x \sin x$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$.
બીજું વિકલન: $f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$.
ત્રીજું વિકલન: $f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$.
ચોથું વિકલન: $f^{(4)}(x) = 2e^x(\cos x - \sin x) + 2e^x(-\sin x - \cos x) = -4e^x \sin x$.
પાંચમું વિકલન: $f^{(5)}(x) = -4e^x \sin x - 4e^x \cos x = -4e^x(\sin x + \cos x)$.
છઠ્ઠું વિકલન: $f^{(6)}(x) = -4e^x(\sin x + \cos x) - 4e^x(\cos x - \sin x) = -4e^x \sin x - 4e^x \cos x - 4e^x \cos x + 4e^x \sin x = -8e^x \cos x$.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x+2}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$
બંને બાજુ $(x+1)(2x^2+3)$ વડે ગુણતા: $3x+2 = A(2x^2+3) + (Bx+C)(x+1)$
$x = -1$ લેતા: $3(-1)+2 = A(2(-1)^2+3) + 0 \Rightarrow -1 = A(5) \Rightarrow A = -\frac{1}{5}$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x+2 = 2Ax^2 + 3A + Bx^2 + Bx + Cx + C = (2A+B)x^2 + (B+C)x + (3A+C)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^2$ માટે: $2A+B = 0 \Rightarrow B = -2A = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$
$x$ માટે: $B+C = 3 \Rightarrow C = 3 - B = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$
$A+C-B$ ની ગણતરી કરતા: $-\frac{1}{5} + \frac{13}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13-2-1}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(D) $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{4}$ પર સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ થવું જોઈએ.
અહીં $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = a$ આપેલ છે.
હવે,$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\sqrt{2} \sin x}{\pi-4x}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે,તેથી આપણે $L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\sqrt{2} \sin x)}{\frac{d}{dx}(\pi-4x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \cos x}{-4}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ મુકતા:
$= \frac{-\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
વિધેય સતત હોવાથી,$a = \frac{1}{4}$ થાય.

(D) $1$. જ્યારે પદાર્થ અચળ વેગથી નીચે સરકે છે,ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે. આમ,ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ એ ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,$mg \sin \theta = \mu_k mg \cos \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_k = \tan \theta$.
$2$. જ્યારે પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ઉપર ધકેલવામાં આવે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઘર્ષણ બંનેની વિરુદ્ધ ગતિ કરે છે. પ્રતિપ્રવેગ $a = g \sin \theta + \mu_k g \cos \theta = g \sin \theta + (\tan \theta) g \cos \theta = 2g \sin \theta$ છે.
$3$. ઉપર પહોંચીને અટકી ગયા પછી,પદાર્થ નીચે સરકવાનો પ્રયત્ન કરે છે. નીચે સરકતી વખતે પ્રવેગ $a' = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta = g \sin \theta - (\tan \theta) g \cos \theta = 0$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ જ્યાં અટકે છે ત્યાં જ સ્થિર રહેશે.

(D) વક્રોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$xy=2$ $\ldots$ $(i)$
$x^2+4y=0$ $\ldots$ $(ii)$
$(i)$ પરથી,$y = \frac{2}{x}$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + 4(\frac{2}{x}) = 0 \Rightarrow x^2 + \frac{8}{x} = 0 \Rightarrow x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ માટે,$y = \frac{2}{-2} = -1$. તેથી,છેદબિંદુ $(-2, -1)$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(-2, -1)$ બિંદુએ,$m_1 = -(\frac{-1}{-2}) = -\frac{1}{2}$.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 4 \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{4} = -\frac{x}{2}$.
$(-2, -1)$ બિંદુએ,$m_2 = -(\frac{-2}{2}) = 1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-\frac{1}{2} - 1}{1 + (-\frac{1}{2})(1)} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = |-3| = 3$.
તેથી,$\tan \theta = 3$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$.
અંતરાલ $(-3, 3)$ માં વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$f'(x) = \frac{x^2 - 9}{3x^2}$.
કારણ કે તમામ $x \in (-3, 3)$ અને $x \neq 0$ માટે $x^2 < 9$ થાય છે,તેથી અંશ $x^2 - 9$ હંમેશા ઋણ રહેશે.
$x \neq 0$ માટે $3x^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,તમામ $x \in (-3, 3) \setminus \{0\}$ માટે $f'(x) < 0$ થાય છે.
તેથી,વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $(-3, 3)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^2+2x+2}$.
છેદને પૂર્ણવર્ગની રીતે લખતા:
$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x+1$ અને $a = 1$ છે:
$I = \tan^{-1}(x+1) + c$.
આપેલ છે કે $I = f(x) + c$,તેથી $f(x) = \tan^{-1}(x+1)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} \, dx$.
આને ઉકેલવા માટે,આપણે સંકલ્યને ફરીથી લખીએ:
$I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3(1 - (x/a)^{3})}} \, dx = \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a^3} \sqrt{1 - (x^{3/2}/a^{3/2})^2}} \, dx$.
ધારો કે $u = \left(\frac{x}{a}\right)^{3/2} = \sqrt{\frac{x^3}{a^3}}$.
તેથી $du = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{x}{a^3}} \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{\frac{x}{a^3}} \, dx = \frac{2}{3} \, du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{2}{3} \, du = \frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + c$.
$u = \sqrt{\frac{x^3}{a^3}}$ પાછા મૂકતા,આપણને $I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right) + c$ મળે છે.
આને $g(x) + c$ સાથે સરખાવતા,$g(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 \frac{\cosh x}{1+e^{2 x}} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$,તેથી સંકલનમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int_{-1}^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2(1 + e^{2x})} d x$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{e^x(1 + e^{-2x})}{2(1 + e^{2x})} = \frac{e^x(1 + \frac{1}{e^{2x}})}{2(1 + e^{2x})} = \frac{e^x(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}})}{2(1 + e^{2x})} = \frac{e^x}{2e^{2x}} = \frac{1}{2e^x} = \frac{1}{2}e^{-x}$.
તેથી,$I = \int_{-1}^1 \frac{1}{2}e^{-x} d x$.
$I = \frac{1}{2} \left[ -e^{-x} \right]_{-1}^1$.
$I = -\frac{1}{2} (e^{-1} - e^1) = \frac{1}{2} (e^1 - e^{-1}) = \frac{e - \frac{1}{e}}{2} = \frac{e^2 - 1}{2e}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,તેથી $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x$ ...$(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3(\pi/2 - x)}{\sin ^3(\pi/2 - x) + \cos ^3(\pi/2 - x)} d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x}{\cos ^3 x + \sin ^3 x} d x$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x + \sin ^3 x}{\sin ^3 x + \cos ^3 x} d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$
તેથી,$I = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ છે કે અંતરાલ $[0, 6]$ ને $n = 6$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યો છે.
દરેક પેટા-અંતરાલની પહોળાઈ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{6-0}{6} = 1$ છે.
$x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ માટે $f(x) = x^3$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$y_0 = f(0) = 0^3 = 0$
$y_1 = f(1) = 1^3 = 1$
$y_2 = f(2) = 2^3 = 8$
$y_3 = f(3) = 3^3 = 27$
$y_4 = f(4) = 4^3 = 64$
$y_5 = f(5) = 5^3 = 125$
$y_6 = f(6) = 6^3 = 216$
ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ દ્વારા:
$\int_0^6 x^3 dx \approx \frac{h}{2} \{y_0 + y_6 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5)\}$
$= \frac{1}{2} \{0 + 216 + 2(1 + 8 + 27 + 64 + 125)\}$
$= \frac{1}{2} \{216 + 2(225)\}$
$= \frac{1}{2} \{216 + 450\}$
$= \frac{666}{2} = 333$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^y = y^x$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $y \log x = x \log y$ મળે છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \log y$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \log x - \frac{x}{y} \right) = \log y - \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{y \log x - x}{y} \right) = \frac{x \log y - y}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણીને ગોઠવણી કરતા:
$x \left( \frac{y \log x - x}{y} \right) \frac{dy}{dx} = x \log y - y$.
જરૂરી સ્વરૂપ મેળવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$x \left( \frac{x - y \log x}{y} \right) \frac{dy}{dx} = y - x \log y$.
તેથી,$x(x - y \log x) \frac{dy}{dx} = y(y - x \log y)$.