TS EAMCET 2006 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$ છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ મળે.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $1-v^2 = t$,તેથી $-2v dv = dt$.
$-\int \frac{dt}{t} = \log|x| + \log|c|$.
$-\log|1-v^2| = \log|cx|$.
$\log|\frac{1}{1-v^2}| = \log|cx| \Rightarrow \frac{1}{1-v^2} = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{1}{1-(y^2/x^2)} = cx \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$.
$x = c(x^2-y^2)$.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $4^n = (1+3)^n$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots + x^n$.
$x=3$ મૂકતા,આપણને $4^n = 1 + 3n + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot 3^2 + \dots + 3^n$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$4^n - 3n - 1 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 9 + \dots + 3^n$ મળે છે.
જમણી બાજુના દરેક પદમાં $9$ નો અવયવ હોવાથી,$4^n - 3n - 1$ એ બધા પૂર્ણાંકો $n \geq 1$ માટે $9$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે $\overrightarrow{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,તેથી $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a_1 = 1$.
આગળ,$\overrightarrow{a} \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$,તેથી $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$.
આનાથી $2a_1 + a_2 = 1$ મળે છે. $a_1 = 1$ મૂકતા,આપણને $2(1) + a_2 = 1$ મળે,તેથી $a_2 = -1$.
છેલ્લે,$\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$,તેથી $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$.
આનાથી $a_1 + a_2 + 3a_3 = 1$ મળે છે. $a_1 = 1$ અને $a_2 = -1$ મૂકતા,આપણને $1 - 1 + 3a_3 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3a_3 = 1$,તેથી $a_3 = \frac{1}{3}$.
આમ,$\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(3 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k})$.

(B) બે બિંદુઓ જેના સ્થાન સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ છે,તેમને જોડતી રેખા પરના બિંદુનો સ્થાન સદિશ વિભાજન સૂત્ર $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એક અદિશ છે.
જો આપણે મધ્યબિંદુ લઈએ (જ્યાં $t = 0.5$),તો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ થશે:
$\vec{r} = \frac{(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}{2}$
$= \frac{2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}}{2}$
$= \hat{i}$
આમ,મધ્યબિંદુનો સ્થાન સદિશ $\hat{i}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $A$ અને $B^c$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$P(B) = \frac{2}{7}$,તેથી $P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
આપણને $P(A \cup B^c) = 0.8$ આપેલ છે.
સૂત્ર $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c)$ અને સ્વતંત્રતાના ગુણધર્મ $P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.8 = P(A) + \frac{5}{7} - P(A) \cdot \frac{5}{7}$
$0.8 - \frac{5}{7} = P(A) \cdot (1 - \frac{5}{7})$
$\frac{5.6 - 5}{7} = P(A) \cdot \frac{2}{7}$
$\frac{0.6}{7} = P(A) \cdot \frac{2}{7}$
$P(A) = \frac{0.6}{2} = 0.3$.

(D) ધારો કે બે સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે અને પરિણામી મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $c$ છે.
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4 T}{r}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પરપોટાનું આંતરિક દબાણ $P_a = P + \frac{4 T}{a}$,$P_b = P + \frac{4 T}{b}$,અને $P_c = P + \frac{4 T}{c}$ છે.
સમતાપી પરિસ્થિતિ અને હવાના મોલના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$P_a V_a + P_b V_b = P_c V_c$.
કદ $V_a = \frac{4}{3} \pi a^3$,$V_b = \frac{4}{3} \pi b^3$,અને $V_c = \frac{4}{3} \pi c^3$ મૂકતા:
$(P + \frac{4 T}{a})(\frac{4}{3} \pi a^3) + (P + \frac{4 T}{b})(\frac{4}{3} \pi b^3) = (P + \frac{4 T}{c})(\frac{4}{3} \pi c^3)$.
સાદુરૂપ આપતા,$P(a^3 + b^3 - c^3) + 4 T(a^2 + b^2 - c^2) = 0$.
કદમાં ફેરફાર $V = V_c - (V_a + V_b) = \frac{4}{3} \pi (c^3 - a^3 - b^3)$,તેથી $a^3 + b^3 - c^3 = -\frac{3 V}{4 \pi}$.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $A = 4 \pi c^2 - (4 \pi a^2 + 4 \pi b^2) = 4 \pi (c^2 - a^2 - b^2)$,તેથી $a^2 + b^2 - c^2 = -\frac{A}{4 \pi}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $P(-\frac{3 V}{4 \pi}) + 4 T(-\frac{A}{4 \pi}) = 0$.
$-4 \pi$ વડે ગુણતા,આપણને $3 P V + 4 T A = 0$ મળે છે.

(C) તન્ય પદાર્થો એવા પદાર્થો છે જેને ખેંચીને પાતળા તાર બનાવી શકાય છે. આ ગુણધર્મ એટલા માટે છે કારણ કે તેઓ તૂટતા પહેલા મોટા પ્રમાણમાં પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ (plastic deformation) અનુભવે છે.
તન્ય ધાતુઓના પ્રતિબળ-વિકૃતિ વક્રમાં,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા અને ભંગાણ બિંદુ (fracture point) વચ્ચેનો વિસ્તાર ખૂબ જ મોટો હોય છે,નાનો નહીં. આ મોટો પ્લાસ્ટિક વિસ્તાર પદાર્થને તૂટ્યા વિના નોંધપાત્ર રીતે ખેંચવાની મંજૂરી આપે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(A) સિલિકા $(SiO_2)$ નો ઉપયોગ તેની ઉચ્ચ પારદર્શિતા અને થર્મલ સ્થિરતાને કારણે ઓપ્ટિકલ સાધનો બનાવવા માટે થાય છે.

(C) ઓક્ઝેલિક એસિડ $(H_2C_2O_4)$ અને એસિડિક $KMnO_4$ વચ્ચેની પ્રક્રિયાનું સંતુલિત સમીકરણ:
$2MnO_4^- + 5H_2C_2O_4 + 6H^+ \rightarrow 2Mn^{2+} + 10CO_2 + 8H_2O$
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$5$ મોલ $H_2C_2O_4$ એ $2$ મોલ $MnO_4^-$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે.
સંબંધ $n_{H_2C_2O_4} / 5 = n_{MnO_4^-} / 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(40 \times 10^{-3} \times x) / 5 = (16 \times 10^{-3} \times 0.05) / 2$
$8 \times 10^{-3} \times x = 4 \times 10^{-4}$
$x = (4 \times 10^{-4}) / (8 \times 10^{-3}) = 0.05 \ M$
ઓક્ઝેલિક એસિડ એ દ્વિ-પ્રોટોનિક એસિડ છે: $H_2C_2O_4 \rightarrow 2H^+ + C_2O_4^{2-}$.
સંપૂર્ણ વિયોજન ધારતા,$[H^+] = 2 \times [H_2C_2O_4] = 2 \times 0.05 = 0.1 \ M$.
$pH = -\log[H^+] = -\log(0.1) = 1$.

(A) $1$. વિકલ્પ $A$ માં,પ્રક્રિયા $AlCl_3 + 3NaOH \longrightarrow Al(OH)_3(s) + 3NaCl(aq)$ છે. આ પ્રક્રિયામાં એલ્યુમિનિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડના અવક્ષેપ અને જલીય સોડિયમ ક્લોરાઇડ મળે છે; કોઈ વાયુ મુક્ત થતો નથી.
$2$. વિકલ્પ $B$ માં,સફેદ ફોસ્ફરસ $NaOH$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ફોસ્ફિન વાયુ $(PH_3)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માં,એલ્યુમિનિયમ $NaOH$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને સોડિયમ એલ્યુમિનેટ અને હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$4$. વિકલ્પ $D$ માં,ઝિંક $NaOH$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને સોડિયમ ઝિંકેટ અને હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,જે પ્રક્રિયામાં વાયુરૂપ નીપજ મુક્ત થતી નથી તે $A$ છે.

(D) ઓઝોન બનાવવા માટેની રાસાયણિક પ્રક્રિયા: $3O_2(g) \rightarrow 2O_3(g)$.
ધારો કે $O_2$ નું પ્રારંભિક કદ $100 \ L$ છે.
ધારો કે $x \ L$ $O_2$ ઓઝોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$3 \ L$ $O_2$ માંથી $2 \ L$ $O_3$ બને છે.
તેથી,$x \ L$ $O_2$ માંથી $\frac{2}{3}x \ L$ $O_3$ બનશે.
$O_2$ નું બાકી રહેલું કદ $(100 - x) \ L$ છે.
બનેલા $O_3$ નું કદ $\frac{2}{3}x \ L$ છે.
આપેલ છે કે $O_2$ અને $O_3$ નું કદ સમાન થાય છે:
$100 - x = \frac{2}{3}x$
$100 = x + \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}x$
$x = \frac{100 \times 3}{5} = 60 \ L$.
બનેલા ઓઝોનનું કદ $\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \times 60 = 40 \ L$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,તેને $V = (\frac{nR}{P})T$ તરીકે લખી શકાય.
આ $V = mT$ પ્રકારની સીધી રેખાનું સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{nR}{P}$ છે.
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(m \propto \frac{1}{P})$.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખાઓના ઢાળનો ક્રમ $m_2 > m_3 > m_1$ છે.
તેથી,દબાણનો સાચો ક્રમ $P_1 > P_3 > P_2$ છે.

(A) આપેલ છે: $E = 3 \times 10^{-12} \ erg$,$h = 6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$,$c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$.
સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{hc}{E}$.
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^{10}}{3 \times 10^{-12}} \ cm$.
$\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \ cm$.
કારણ કે $1 \ cm = 10^7 \ nm$,તેથી $\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \times 10^7 \ nm = 6.62 \times 10^2 \ nm = 662 \ nm$.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$.
ધારો કે કણ $A$ નું દળ $m_A = m$ અને કણ $B$ નું દળ $m_B = 5m$ છે.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v_A = 0.05 \ m \ s^{-1}$ અને $\Delta v_B = 0.02 \ m \ s^{-1}$ છે.
કણ $A$ માટે: $\Delta x_A \cdot m \cdot 0.05 = \frac{h}{4 \pi} \dots (i)$.
કણ $B$ માટે: $\Delta x_B \cdot 5m \cdot 0.02 = \frac{h}{4 \pi} \dots (ii)$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\Delta x_A \cdot m \cdot 0.05 = \Delta x_B \cdot 5m \cdot 0.02$.
$\Delta x_A \cdot 0.05 = \Delta x_B \cdot 0.10$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{0.10}{0.05} = 2$.

(D) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta E)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta H = \Delta E + \Delta n_g RT$ છે.
$\Delta H \neq \Delta E$ માટે,વાયુરૂપ મોલની સંખ્યામાં ફેરફાર $(\Delta n_g)$ $0$ હોવો જોઈએ નહીં.
$(A)$ $\Delta n_g = 1 - 1 = 0$.
$(B)$ $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
$(C)$ $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
$(D)$ $\Delta n_g = 1 - (1 + 0.5) = -0.5$.
વિકલ્પ $D$ માટે $\Delta n_g \neq 0$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા માટે $\Delta H \neq \Delta E$ થાય છે.

(D) આયનીય સ્ફટિકની લેટીસ ઉર્જા $(U)$ એ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે વાયુરૂપ આયનો એક મોલ ઘન આયનીય સ્ફટિક બનાવવા માટે જોડાય ત્યારે મુક્ત થાય છે.
Born-Landé સમીકરણ મુજબ,લેટીસ ઉર્જા આંતર-આયનીય અંતર $(r_0)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આંતર-આયનીય અંતર $r_0$ એ ધન આયન $(r_c)$ અને ઋણ આયન $(r_a)$ ની આયનીય ત્રિજ્યાનો સરવાળો હોવાથી,$r_0 = r_c + r_a$ થાય છે.
તેથી,લેટીસ ઉર્જા $U$ એ $\frac{1}{(r_c + r_a)}$ ના પ્રમાણમાં છે.