MHT CET 2020 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) कुल एन्ट्रापी परिवर्तन $\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{sys}} + \Delta S_{\text{surr}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\Delta S_{\text{sys}} = 15 \ JK^{-1}$।
परिवेश (surroundings) का एन्ट्रापी परिवर्तन $\Delta S_{\text{surr}} = -\frac{\Delta H_{\text{sys}}}{T}$ के रूप में गणना की जाती है।
चूंकि $\Delta H_{\text{sys}} = -29.8 \ kJ = -29800 \ J$,इसलिए $\Delta S_{\text{surr}} = -\frac{-29800 \ J}{298 \ K} = 100 \ JK^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta S_{\text{total}} = 15 \ JK^{-1} + 100 \ JK^{-1} = 115 \ JK^{-1}$।

(B) कुल एन्ट्रॉपी परिवर्तन $\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{sys}} + \Delta S_{\text{sur}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\Delta S_{\text{sys}} = \Delta S^{\circ} = 15 \ J \ K^{-1}$।
परिवेश का एन्ट्रॉपी परिवर्तन $\Delta S_{\text{sur}} = -\frac{\Delta H_{\text{sys}}}{T}$ है।
चूंकि $\Delta H_{\text{sys}} = -25 \ kJ = -25000 \ J$,इसलिए $\Delta S_{\text{sur}} = -\frac{-25000 \ J}{300 \ K} = 83.33 \ J \ K^{-1}$।
अतः,$\Delta S_{\text{total}} = 15 \ J \ K^{-1} + 83.33 \ J \ K^{-1} = 98.33 \ J \ K^{-1}$।

(B) ऊष्मागतिकी के तीसरे नियम के अनुसार,$T = 0 \ K$ पर एक पूर्णतः क्रिस्टलीय पदार्थ की एन्ट्रॉपी शून्य होती है।
यदि कोई पदार्थ पूर्णतः क्रिस्टलीय नहीं है (उदाहरण के लिए,इसमें दोष या जमी हुई अव्यवस्था है),तो $T = 0 \ K$ पर इसकी एन्ट्रॉपी शून्य से अधिक होती है।
परम शून्य ताप पर बची हुई इस एन्ट्रॉपी को अवशिष्ट एन्ट्रॉपी (residual entropy) कहा जाता है।

(C) स्वतःप्रवर्तित होने की शर्त गिब्स मुक्त ऊर्जा समीकरण द्वारा दी जाती है: $\Delta G = \Delta H - T\Delta S$.
अभिक्रिया के साम्यावस्था में होने के लिए $\Delta G = 0$ होता है,जिसका अर्थ है $T = \frac{\Delta H}{\Delta S}$.
दिया गया है: $\Delta H = -30 \ kJ = -30000 \ J$ और $\Delta S = -45 \ J \ K^{-1}$.
मान रखने पर: $T = \frac{-30000 \ J}{-45 \ J \ K^{-1}} = 666.67 \ K$.
चूंकि $\Delta H$ और $\Delta S$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए अभिक्रिया $666.67 \ K$ से कम तापमान पर स्वतःप्रवर्तित होती है और $666.67 \ K$ से अधिक तापमान पर अ-स्वतःप्रवर्तित हो जाती है।

(C) अभिक्रिया के स्वतःस्फूर्त होने के लिए,गिब्स मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\Delta G < 0$।
गिब्स-हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के अनुसार,$\Delta G = \Delta H - T\Delta S$।
यदि $\Delta H < 0$ (ऊष्माक्षेपी) और $\Delta S > 0$ (एन्ट्रॉपी में वृद्धि) है,तो $\Delta G$ सभी तापमानों पर हमेशा ऋणात्मक होगा क्योंकि $\Delta H$ ऋणात्मक है और $-T\Delta S$ भी ऋणात्मक है।
इसलिए,स्थिति $\Delta S > 0, \Delta H < 0, \Delta G < 0$ सभी तापमानों पर एक स्वतःस्फूर्त अभिक्रिया को दर्शाती है।

(B) मानक गिब्स मुक्त ऊर्जा परिवर्तन और साम्य स्थिरांक के बीच संबंध समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta G^{\circ} = -RT \ln K$।
दिए गए मान: $K = 20$,$T = 300 \ K$,$R = 8 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1} \ mol^{-1}$।
सूत्र में मान रखने पर: $\Delta G^{\circ} = -(8 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1} \ mol^{-1}) \times (300 \ K) \times \ln(20)$।
चूंकि $\ln(20) \approx 2.996$,इसलिए: $\Delta G^{\circ} = -2.4 \times 2.996 \approx -7.19 \ kJ \ mol^{-1}$।
अतः,सही मान $-7.19 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(B) अभिक्रिया की स्वतःप्रवर्तित प्रकृति गिब्स मुक्त ऊर्जा समीकरण $\Delta G = \Delta H - T\Delta S$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
अभिक्रिया के सभी तापमानों पर स्वतःप्रवर्तित होने के लिए,$\Delta G$ का मान सभी $T$ के लिए ऋणात्मक होना चाहिए।
यदि $\Delta H$ ऋणात्मक है और $\Delta S$ धनात्मक है,तो $\Delta G = (\text{ऋणात्मक}) - T(\text{धनात्मक})$ होगा।
चूंकि केल्विन तापमान $T$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $-T\Delta S$ हमेशा ऋणात्मक रहेगा।
अतः,तापमान चाहे जो भी हो,$\Delta G$ हमेशा ऋणात्मक रहेगा।

(C) माना समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या $x$ है।
$\frac{dx}{dt} \propto x \Rightarrow \frac{dx}{dt} = kx \Rightarrow \int \frac{dx}{x} = \int k \cdot dt$
$\log x = kt + c$
प्रारंभ में,यानी जब $t = 0$ है,तो माना $x = x_{0}$ है।
$\log x_{0} = k \times 0 + c \Rightarrow c = \log x_{0}$
$\log x - \log x_{0} = kt \Rightarrow \log \left(\frac{x}{x_{0}}\right) = kt$ ... $(1)$
चूंकि संख्या $4 \text{ घंटों में}$ दोगुनी हो जाती है,यानी $t = 4$ और $x = 2x_{0}$:
$\log \left(\frac{2x_{0}}{x_{0}}\right) = 4k \Rightarrow \log 2 = 4k \Rightarrow k = \frac{1}{4} \log 2$
जब $t = 12$ है,तो $k$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\log \left(\frac{x}{x_{0}}\right) = 12 \times \left(\frac{1}{4} \log 2\right) = 3 \log 2 = \log 2^{3} = \log 8$
अतः,$\frac{x}{x_{0}} = 8 \Rightarrow x = 8x_{0}$.
चूंकि मूल संख्या $N$ है,इसलिए $12 \text{ घंटों बाद}$ बैक्टीरिया की संख्या $8N$ होगी।

(A) माना $y = f(\tan x)$ और $z = g(\sec x)$ है। हमें $\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x$.
इसके बाद,$x$ के सापेक्ष $z$ का अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dz}{dx} = g^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x$.
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर अनुपात की गणना करें:
$\frac{dy}{dz} = \frac{f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x}{g^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x} = \frac{f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec x}{g^{\prime}(\sec x) \cdot \tan x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\tan x = 1$ और $\sec x = \sqrt{2}$ है:
$\frac{dy}{dz} = \frac{f^{\prime}(1) \cdot \sqrt{2}}{g^{\prime}(\sqrt{2}) \cdot 1} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{4 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) माना कि $I = \int \frac{dx}{\cos x \sqrt{\cos 2x}}$.
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर या व्यंजक को इस प्रकार सरल करने पर:
$I = \int \frac{dx}{\cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}} = \int \frac{dx}{\cos x \cdot \cos x \sqrt{1 - \tan^2 x}} = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} dx$.
माना कि $\tan x = t$,तब $\sec^2 x \, dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$.
$t$ के स्थान पर $\tan x$ रखने पर:
$I = \sin^{-1}(\tan x) + c$.

(A) हमें $\tan \left[\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right]$ का मान ज्ञात करना है।
माना $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \theta$. तब $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
चूँकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{5}$ है।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
इस प्रकार,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right]$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{2}{3}\right)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{17/12}{6/12}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{17}{6}\right)$.
अंत में,$\tan \left[\tan ^{-1} \left(\frac{17}{6}\right)\right] = \frac{17}{6}$.

(D) प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती सत्य हो और परिणामी असत्य हो।
इसलिए,$p$ को $T$ होना चाहिए और $(\sim p \vee q)$ को $F$ होना चाहिए।
चूंकि $p$ सत्य है,इसलिए $\sim p$ असत्य $(F)$ होगा।
वियोजन $(\sim p \vee q)$ के असत्य होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों को $F$ होना चाहिए।
अतः,$q$ को $F$ होना चाहिए।
इसलिए,$p$ और $q$ के सत्य मान क्रमशः $T$ और $F$ हैं।

(C) कथन पैटर्न $\sim p \vee (q \rightarrow \sim r)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम पूरे व्यंजक पर निषेध ऑपरेटर $\sim$ लागू करते हैं:
$\sim [\sim p \vee (q \rightarrow \sim r)]$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$:
$\equiv \sim (\sim p) \wedge \sim (q \rightarrow \sim r)$
$\equiv p \wedge \sim (\sim q \vee \sim r)$
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (\sim q \vee \sim r) \equiv q \wedge r$:
$\equiv p \wedge (q \wedge r)$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(C) रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं और $Y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
ये रेखाएँ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ और $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
रेखाओं की ढाल $m_{1}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ और $m_{2}=\tan 120^{\circ}=-\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y=\sqrt{3}x$ और $y=-\sqrt{3}x$ हैं,जिन्हें $\sqrt{3}x-y=0$ और $\sqrt{3}x+y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संयुक्त समीकरण $(\sqrt{3}x-y)(\sqrt{3}x+y)=0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(\sqrt{3}x)^{2}-y^{2}=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x^{2}-y^{2}=0$ हो जाता है।

(B) चूँकि $f(x)$ एक यादृच्छिक चर $X$ का p.d.f. है,वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए:
$\int_{0}^{1} K(x - x^2) dx = 1$
$K \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1$
$K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 1 \Rightarrow K \left( \frac{1}{6} \right) = 1 \Rightarrow K = 6$
अब,हम $P(X < \frac{1}{2})$ की गणना करते हैं:
$P(X < \frac{1}{2}) = \int_{0}^{1/2} 6(x - x^2) dx$
$= 6 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1/2}$
$= 6 \left( \frac{(1/2)^2}{2} - \frac{(1/2)^3}{3} \right)$
$= 6 \left( \frac{1/4}{2} - \frac{1/8}{3} \right) = 6 \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \right)$
$= 6 \left( \frac{3 - 1}{24} \right) = 6 \left( \frac{2}{24} \right) = 6 \left( \frac{1}{12} \right) = \frac{1}{2}$

(A) दिया है: क्षेत्रफल $= 10 \sqrt{3} \text{ cm}^2$,$\angle B = 60^{\circ}$,परिमाप $P = a + b + c = 20 \text{ cm}$.
क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} ac \sin B$.
$10 \sqrt{3} = \frac{1}{2} ac \sin 60^{\circ} \implies 10 \sqrt{3} = \frac{1}{2} ac \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \implies ac = 40$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2(40)} \implies \frac{1}{2} = \frac{(a+c)^2 - 2ac - b^2}{80}$.
चूँकि $a+c = 20 - b$,इसलिए $40 = (20-b)^2 - 2(40) - b^2$.
$40 = 400 - 40b + b^2 - 80 - b^2$.
$40 = 320 - 40b$.
$40b = 280 \implies b = 7$.
अतः,$\ell(AC) = b = 7 \text{ cm}$.

(C) माना पहली रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ है। तो इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ है। तो इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ है।
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो ऐसे $\lambda$ और $\mu$ मौजूद हैं कि:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ (समीकरण $1$)
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2 \implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$.
समीकरण $1$ में $\lambda = -\frac{3}{2}$ रखने पर: $2(-\frac{3}{2}) - \mu = 2 \implies -3 - \mu = 2 \implies \mu = -5$.
अब,$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $3\lambda - 1 = 2\mu + k$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ और $\mu = -5$ रखने पर: $3(-\frac{3}{2}) - 1 = 2(-5) + k$.
$-\frac{9}{2} - 1 = -10 + k \implies -\frac{11}{2} = -10 + k$.
$k = 10 - \frac{11}{2} = \frac{20-11}{2} = \frac{9}{2}$.

(B) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ के प्रतिच्छेद करने की शर्त $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$,$(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$,और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$.
सारणिक इस प्रकार होगा: $\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$.
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$.
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$.
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$.
$2k - 9 = 0$.
$k = \frac{9}{2}$.

(B) माना कि दो रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ हैं।
रेखाएँ तब प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो। यह शर्त इस बात के बराबर है कि प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु को जोड़ने वाले सदिश और रेखाओं के दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल $0$ हो।
माना $P_1 = (1, -1, 1)$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है और $P_2 = (3, k, 0)$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$ और $\vec{v_2} = (1, 2, 1)$ हैं।
प्रतिच्छेदन के लिए शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$
$2k - 9 = 0$
$k = \frac{9}{2}$

(B) दिया गया समीकरण $\cot x = \sqrt{3}$ है,जो $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के बराबर है।
हम जानते हैं कि $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि $\tan x$ प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में धनात्मक होता है,इसलिए मुख्य हल अंतराल $[0, 2\pi)$ में स्थित होते हैं।
पहला हल $x = \frac{\pi}{6}$ है।
तृतीय चतुर्थांश में दूसरा हल $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ है।
अतः,मुख्य हल $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{7\pi}{6}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\sin (y+z-x), \sin (z+x-y), \sin (x+y-z)$ $AP$ में हैं।
अतः,$2 \sin (z+x-y) = \sin (y+z-x) + \sin (x+y-z)$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर,
$2 \sin (z+x-y) = 2 \sin y \cos (z-x)$.
इस समीकरण को हल करने और $\cos x \cos y \cos z$ से विभाजित करने पर,
$2 \tan y = \tan x + \tan z$ प्राप्त होता है।

(B) हम सर्वसमिका $\cot \theta = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{2 \tan(\theta/2)}$ का उपयोग करते हैं।
दी गई व्यंजक: $\tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$
$= \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \left( \frac{1 - \tan^2 4A}{2 \tan 4A} \right)$
$= \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + \frac{4(1 - \tan^2 4A)}{\tan 4A}$
$= \tan A + 2 \tan 2A + \frac{4 \tan^2 4A + 4 - 4 \tan^2 4A}{\tan 4A}$
$= \tan A + 2 \tan 2A + \frac{4}{\tan 4A} = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \cot 4A$
$= \tan A + 2 \tan 2A + 4 \left( \frac{1 - \tan^2 2A}{2 \tan 2A} \right)$
$= \tan A + 2 \tan 2A + \frac{2(1 - \tan^2 2A)}{\tan 2A}$
$= \tan A + \frac{2 \tan^2 2A + 2 - 2 \tan^2 2A}{\tan 2A} = \tan A + \frac{2}{\tan 2A}$
$= \tan A + 2 \cot 2A = \tan A + 2 \left( \frac{1 - \tan^2 A}{2 \tan A} \right)$
$= \tan A + \frac{1 - \tan^2 A}{\tan A} = \frac{\tan^2 A + 1 - \tan^2 A}{\tan A} = \frac{1}{\tan A} = \cot A$

(B) $L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $L-C-R$ परिपथ बन जाता है।
$L-C-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होती है।
चूंकि $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (यह मानते हुए कि परिपथ अनुनाद में नहीं है जहाँ $X_L = X_C$),इसलिए कुल प्रतिबाधा $Z_2$,$Z_1$ से कम है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{Z}$ होता है।
चूंकि प्रतिबाधा $Z$ घटती है,इसलिए परिपथ में बहने वाली प्रत्यावर्ती धारा $I$ बढ़ जाती है।

(C) $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z_{LR} = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z_{LCR} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (यह मानते हुए कि $X_C$ शून्य नहीं है),परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{Z}$।
चूंकि $I \propto \frac{1}{Z}$,प्रतिबाधा $Z$ में कमी के कारण परिपथ में प्रवाहित होने वाली प्रत्यावर्ती धारा $I$ बढ़ जाती है।

(A) $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक संधारित्र को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
चूंकि $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (यह मानते हुए कि $X_C < 2X_L$),इसलिए प्रतिबाधा $Z'$,$Z$ की तुलना में कम हो जाती है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{Z}$ होता है।
चूंकि प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है,इसलिए परिपथ में प्रवाहित होने वाली प्रत्यावर्ती धारा $I$ बढ़ जाती है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए ऊर्जा स्तर $n=1$ (मूल अवस्था),$n=2$ (पहली उत्तेजित अवस्था),$n=3$ (दूसरी उत्तेजित अवस्था),और $n=4$ (तीसरी उत्तेजित अवस्था) हैं।
तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n=4)$ से दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n=3)$ में पहले संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n=3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में दूसरे संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda_{2}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
अनुपात $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$ लेने पर:
$\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{1/\lambda_{2}}{1/\lambda_{1}} = \frac{R(5/36)}{R(7/144)} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.

(B) जब एक परावैद्युत पदार्थ को संधारित्र की प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो यह ध्रुवीकृत (polarized) हो जाता है। परावैद्युत के भीतर प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E_i$,प्लेटों पर आवेशों द्वारा उत्पन्न बाहरी विद्युत क्षेत्र $E_0$ का विरोध करता है। परिणामी विद्युत क्षेत्र $E = E_0 - E_i$ हो जाता है। चूंकि विभवांतर $V$,विद्युत क्षेत्र से $V = E \cdot d$ द्वारा संबंधित है,इसलिए शुद्ध विद्युत क्षेत्र में कमी के कारण प्लेटों के बीच प्रभावी विभवांतर में कमी आती है। आवेश $Q$ के स्थिर रहने पर,विभव में यह कमी धारिता $C = Q/V$ में वृद्धि का कारण बनती है।

(A) मान लीजिए कि द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ की द्रव्यमान केंद्र से दूरियां क्रमशः $r_{1}$ और $r_{2}$ हैं। द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$m_{1}r_{1} = m_{2}r_{2}$ होता है।
यदि दूसरे कण $(m_{2})$ को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है,तो उसकी नई दूरी $(r_{2} - d)$ हो जाती है।
द्रव्यमान केंद्र को अपरिवर्तित रखने के लिए,मान लीजिए कि पहले कण $(m_{1})$ को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d'$ दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है,जिससे उसकी नई दूरी $(r_{1} - d')$ हो जाती है।
द्रव्यमान केंद्र के लिए नई शर्त $m_{1}(r_{1} - d') = m_{2}(r_{2} - d)$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $m_{1}r_{1} - m_{1}d' = m_{2}r_{2} - m_{2}d$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_{1}r_{1} = m_{2}r_{2}$,ये पद कट जाते हैं,और शेष बचता है $-m_{1}d' = -m_{2}d$।
अतः,$d' = \frac{m_{2}}{m_{1}} d$।
संतुलन बनाए रखने के लिए दोनों कणों को द्रव्यमान केंद्र की ओर स्थानांतरित करना होगा,इसलिए पहले कण को $\frac{m_{2}}{m_{1}} d$ दूरी तक द्रव्यमान केंद्र की ओर स्थानांतरित करना होगा।

(A) परिपथ में दो बैटरियां विपरीत दिशा में जुड़ी हुई हैं और एक प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में जुड़ा है。
परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{net} = 200 \, V - 10 \, V = 190 \, V$ है。
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = 38 \, \Omega$ है。
ओम के नियम के अनुसार, परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $i$ इस प्रकार है:
$i = \frac{E_{net}}{R} = \frac{190 \, V}{38 \, \Omega} = 5 \, A$.

(B) गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाता है।
मान लीजिए $I_g$ गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेपण धारा है।
दिया गया है,$V_g = I_g G$,इसलिए $I_g = \frac{V_g}{G}$।
वोल्टमीटर का कुल प्रतिरोध $(G + R)$ है।
$V$ रेंज के लिए,कुल वोल्टेज $V = I_g(G + R)$ होता है।
$I_g = \frac{V_g}{G}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{V_g}{G}(G + R)$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{V}{V_g} = \frac{G + R}{G} = 1 + \frac{R}{G}$।
इसलिए,$\frac{R}{G} = \frac{V}{V_g} - 1$।
$R = G(\frac{V}{V_g} - 1)$।

(B) प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
यदि $t$ समय में $n$ फोटॉन उत्सर्जित होते हैं,तो उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E_{total} = \frac{nhc}{\lambda}$ होगी।
शक्ति $P$ को प्रति इकाई समय उत्सर्जित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$P = \frac{E_{total}}{t} = \frac{nhc}{\lambda t}$.
$n$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$n = \frac{P \lambda t}{hc}$.

(D) एक प्रेरक से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है।
इससे,हम लिख सकते हैं $L = \frac{\phi}{I}$।
यह व्यंजक $\phi$ बनाम $I$ ग्राफ की ढाल (slope) को दर्शाता है।
चूँकि ढाल $\frac{\phi}{I}$ है,जिस प्रेरक की ढाल सबसे अधिक होगी,उसका स्व-प्रेरकत्व $L$ सबसे अधिक होगा।
ग्राफ को देखने पर,रेखा $A$ की ढाल $B, C$ और $D$ की तुलना में सबसे अधिक है।
इसलिए,प्रेरक $A$ का स्व-प्रेरकत्व सबसे अधिक है।

(A) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का परिमाण $e = n \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t} = n \frac{|\phi_{1} - \phi_{2}|}{t}$ होता है।
प्रेरित धारा $i$ का मान $i = \frac{e}{R_{total}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$i = \frac{n |\phi_{1} - \phi_{2}| / t}{3R/2} = \frac{2n |\phi_{1} - \phi_{2}|}{3Rt}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरित धारा $\frac{2n(\phi_{1} - \phi_{2})}{3Rt}$ है।

(A) एक इंडक्टर के लिए चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ और धारा $(I)$ के बीच का संबंध $\phi = L I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है।
इससे,हम लिख सकते हैं कि $L = \frac{\phi}{I}$।
$\phi$ बनाम $I$ के ग्राफ में,रेखा का ढाल (slope) $\frac{\phi}{I}$ द्वारा प्राप्त होता है,जो स्व-प्रेरकत्व $L$ को दर्शाता है।
अधिक ढाल $L$ के बड़े मान को इंगित करता है।
रेखाओं $A, B, C,$ और $D$ के ढाल की तुलना करने पर,रेखा $A$ का ढाल अधिकतम है।
इसलिए,इंडक्टर $A$ का स्व-प्रेरकत्व सबसे अधिक है।

(D) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ और धारा $I$ के बीच का संबंध $\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ इंडक्टर का स्व-प्रेरकत्व है।
इस समीकरण से,स्व-प्रेरकत्व $L$,$\phi$ बनाम $I$ ग्राफ की ढाल (slope) है,अर्थात $L = \frac{\phi}{I}$।
रेखा की ढाल $L$ के मान को दर्शाती है।
अधिक ढाल $L$ के बड़े मान को इंगित करती है,जबकि कम ढाल $L$ के छोटे मान को इंगित करती है।
चारों रेखाओं $A, B, C,$ और $D$ की ढाल की तुलना करने पर,रेखा $D$ की ढाल सबसे कम है।
इसलिए,इंडक्टर $D$ का स्व-प्रेरकत्व सबसे कम है।

(C) प्रकाश प्रकृति में एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों को अपने संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है और वे निर्वात में लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$ की गति से यात्रा कर सकती हैं। इसलिए,यह कथन कि प्रकाश को संचरण के लिए भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है,गलत है।

(C) माना तार की मूल लंबाई $L$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta l}$ है,जहाँ $\Delta l$ लंबाई में वृद्धि है।
स्थिति $1$: बल $F_1 = 1.5 \text{ kg-wt}$। कुल लंबाई $a = L + \Delta l_1$,इसलिए $\Delta l_1 = a - L$।
अतः,$Y = \frac{1.5 L}{A (a - L)} \implies a - L = \frac{1.5 L}{Y A} \implies a = L (1 + \frac{1.5}{Y A}) \quad \dots (1)$
स्थिति $2$: बल $F_2 = 2.5 \text{ kg-wt}$। कुल लंबाई $b = L + \Delta l_2$,इसलिए $\Delta l_2 = b - L$।
अतः,$Y = \frac{2.5 L}{A (b - L)} \implies b - L = \frac{2.5 L}{Y A} \implies b = L (1 + \frac{2.5}{Y A}) \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{1.5}{Y A} = \frac{a - L}{L}$।
समीकरण $(2)$ से,$\frac{2.5}{Y A} = \frac{b - L}{L}$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{2.5}{1.5} = \frac{b - L}{a - L} \implies \frac{5}{3} = \frac{b - L}{a - L}$।
$5(a - L) = 3(b - L) \implies 5a - 5L = 3b - 3L$।
$5a - 3b = 2L \implies L = \frac{5a - 3b}{2} = 2.5a - 1.5b$।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ और लेंस के पदार्थ के अपवर्तनांक $\mu$ के बीच का संबंध लेंस मेकर सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$ होता है।
कोशी के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu \approx A + \frac{B}{\lambda^2})$।
इसलिए,जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,अपवर्तनांक $\mu$ घटता है।
दिए गए रंगों में,लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य अधिकतम होती है $(\lambda_{red} > \lambda_{yellow} > \lambda_{blue} > \lambda_{violet})$।
चूंकि लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है,इसलिए लेंस के पदार्थ के लिए इसका अपवर्तनांक $\mu$ न्यूनतम होता है।
परिणामस्वरूप,लाल प्रकाश के लिए फोकस दूरी $f$ अधिकतम होगी।

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ,लेंस एक उत्तल लेंस है और दोनों फलकों की वक्रता त्रिज्या समान है,इसलिए $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होगा।
फोकस दूरी $f = 20 \text{ cm}$ और अपवर्तनांक $\mu = 1.55$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \frac{2}{R}$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 1.1 \times 20 = 22 \text{ cm}$
अतः,वक्रता त्रिज्या $22 \text{ cm}$ होगी।

(C) अनुनाद नली के प्रयोग में,अनुनाद लंबाई $l_1$ और $l_2$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और अंत सुधार $e$ के साथ इस प्रकार संबंधित हैं:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 + e = 3\frac{\lambda}{4}$
दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{l_2 + e}{l_1 + e} = 3$
$l_2 + e = 3(l_1 + e)$
$l_2 + e = 3l_1 + 3e$
$l_2 - 3l_1 = 2e$
$e = \frac{l_2 - 3l_1}{2}$
यहाँ $l_1 = 12 ~cm$ और $l_2 = 38 ~cm$ दिया गया है:
$e = \frac{38 - 3(12)}{2} = \frac{38 - 36}{2} = \frac{2}{2} = 1 ~cm$.

(C) दिया गया है: $\frac{g_{m}}{g_{e}} = \frac{1}{6}$ और $\frac{\rho_{e}}{\rho_{m}} = \frac{5}{3}$.
हम जानते हैं कि गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $g = \frac{G \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
अतः,अनुपात $\frac{g_{m}}{g_{e}} = \frac{R_{m} \rho_{m}}{R_{e} \rho_{e}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{6} = \left(\frac{R_{m}}{R_{e}}\right) \times \left(\frac{\rho_{m}}{\rho_{e}}\right)$.
चूंकि $\frac{\rho_{e}}{\rho_{m}} = \frac{5}{3}$,इसलिए $\frac{\rho_{m}}{\rho_{e}} = \frac{3}{5}$.
अतः,$\frac{1}{6} = \left(\frac{R_{m}}{R_{e}}\right) \times \left(\frac{3}{5}\right)$.
$\frac{R_{m}}{R_{e}} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$.
इस प्रकार,$R_{m} = \left(\frac{5}{18}\right) R_{e}$.

(C) गैस के अणुओं का रूट-मीन-स्क्वायर (rms) वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि किसी दी गई गैस के लिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान $(T)$ स्थिर रहता है।
चूंकि तापमान में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए गैस के अणुओं का r.m.s. वेग समान रहता है।

(A) गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
समतापीय प्रक्रिया में,गैस का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है (दी गई गैस के लिए),यदि $T$ स्थिर है,तो $r.m.s.$ वेग $v_{rms}$ भी स्थिर रहेगा।
इसलिए,जब किसी गैस को समतापीय रूप से संपीड़ित किया जाता है,तो अणुओं का $r.m.s.$ वेग समान रहता है।

(C) $r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाले वृत्ताकार चाप द्वारा केंद्र पर बनाए गए $\theta$ कोण के लिए चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi r}$
यहाँ,बनाया गया कोण $\theta = \frac{\pi}{16}$ है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} \times \left( \frac{\pi}{16} \right)$
$B = \frac{\mu_{0} I \pi}{64 \pi r}$
$B = \frac{\mu_{0} I}{64 r}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = eV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ '$e$' इलेक्ट्रॉन का आवेश है और '$V$' त्वरित विभव है।
प्रथम स्थिति में,$K_1 = eV_1 = eV$.
द्वितीय स्थिति में,$K_2 = eV_2 = e(2V) = 2eV$.
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ होता है।
अतः,वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{\frac{2eV}{eV}} = \sqrt{2}$ होगा।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = evB \sin(\theta)$ होता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन अनुप्रस्थ चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,$\theta = 90^\circ$ और $\sin(90^\circ) = 1$ होगा,इसलिए $F = evB$।
'$e$' और '$B$' नियत हैं,इसलिए $F \propto v$ होगा।
अतः,$\frac{F_2}{F_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{2}$।
इसलिए,$F_2 = \sqrt{2}F$।

(B) वृत्ताकार धारावाही लूप द्वारा उसकी अक्ष पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र स्वयं अक्ष की दिशा में होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को अक्ष के अनुदिश प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए उसका वेग सदिश $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जिसका परिमाण $F = qvB \sin \theta$ होता है।
यहाँ,वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta$,$0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ है।
चूंकि $\sin(0^{\circ}) = 0$ और $\sin(180^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए चुंबकीय बल $F = 0$ होगा।
अतः,इलेक्ट्रॉन कोई बल अनुभव नहीं करेगा।

(B) माना हल्के पत्थर का द्रव्यमान $m_1 = m$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = r$ है। इसकी स्पर्शरेखीय गति $v_1$ है।
माना भारी पत्थर का द्रव्यमान $m_2 = 3m$ है और इसकी त्रिज्या $r_2 = \frac{r}{3}$ है। इसकी स्पर्शरेखीय गति $v_2$ है।
दिया गया है कि $v_1 = n v_2$ है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
दोनों पत्थरों के लिए अभिकेंद्र बल को बराबर करने पर: $F_1 = F_2$.
$\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{m (n v_2)^2}{r} = \frac{3m v_2^2}{r/3}$.
$\frac{m n^2 v_2^2}{r} = \frac{9m v_2^2}{r}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $m, v_2^2$ और $r$ को हटाने पर,हमें $n^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 3$.

(C) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण का कोणीय संवेग $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} \times m\overrightarrow{v}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण वृत्ताकार पथ पर गति करता है,इसलिए स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ और वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
कोणीय संवेग सदिश $\overrightarrow{L}$ की दिशा दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है,जो वृत्ताकार गति के तल के लंबवत होती है।
जैसे-जैसे गति $v$ घटती है,कोणीय संवेग का परिमाण $|\overrightarrow{L}| = mvr$ घटता है।
हालाँकि,क्योंकि कण गति के उसी तल में रहता है,इसलिए कोणीय संवेग सदिश की दिशा स्थिर रहती है।

(D) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R$ को क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ अविघटित परमाणुओं की संख्या है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
इसे सक्रियता के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{(\ln 2) N}{T}$ प्राप्त होता है।
दोनों तत्वों के लिए सक्रियताएँ हैं:
$R_{1} = \frac{(\ln 2) N_{1}}{T_{1}}$
$R_{2} = \frac{(\ln 2) N_{2}}{T_{2}}$
उनकी सक्रियता का अनुपात है:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{(\ln 2) N_{1} / T_{1}}{(\ln 2) N_{2} / T_{2}} = \frac{N_{1}}{T_{1}} \times \frac{T_{2}}{N_{2}} = \frac{N_{1} T_{2}}{N_{2} T_{1}}$.

(A) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड के लिए जिसका आयाम $A$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ है,अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान समान $(m_A = m_B = m)$ हैं और बल नियतांक $k_1$ और $k_2$ हैं,इसलिए कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = \sqrt{\frac{k_1}{m}}$ और $\omega_2 = \sqrt{\frac{k_2}{m}}$ होंगी।
चूंकि अधिकतम वेग समान हैं,इसलिए $A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$ होगा।
$\omega_1$ और $\omega_2$ के मान रखने पर:
$A_1 \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$A_1^2 \frac{k_1}{m} = A_2^2 \frac{k_2}{m} \implies \frac{A_1^2}{A_2^2} = \frac{k_2}{k_1}$.
वर्गमूल लेने पर,आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ प्राप्त होता है।

(B) $[CoF_{6}]^{3-}$ में,$Co$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+3$ है।
$Co^{3+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{6}$ है।
चूंकि $F^{-}$ एक दुर्बल क्षेत्र लिगैंड $(WFL)$ है,यह $3d$ कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का युग्मन नहीं करता है।
इसलिए,$Co^{3+}$ आयन छह संकरित कक्षक बनाने के लिए एक $4s$,तीन $4p$ और दो $4d$ कक्षकों का उपयोग करता है।
इसके परिणामस्वरूप $sp^{3}d^{2}$ संकरण होता है।
$sp^{3}d^{2}$ संकरण से जुड़ी ज्यामिति अष्टफलकीय होती है।

(C) उपसहसंयोजन यौगिक में केंद्रीय धातु परमाणु की प्राथमिक संयोजकता उसकी ऑक्सीकरण अवस्था के अनुरूप होती है।
$CoCl_{3}$ में,$Co$ की ऑक्सीकरण अवस्था की गणना इस प्रकार की जाती है:
$x + 3(-1) = 0$
$x - 3 = 0$
$x = +3$
अतः,$Co$ की प्राथमिक संयोजकता $3$ है।

(A) वर्नर के उपसहसंयोजन सिद्धांत के अनुसार,प्राथमिक संयोजकता केंद्रीय धातु परमाणु की ऑक्सीकरण अवस्था के अनुरूप होती है।
यह आयननीय होती है और ऋणात्मक आयनों द्वारा संतुष्ट होती है।
इसलिए,इसे आयननीय संयोजकता के रूप में भी जाना जाता है।

(B) $K_3[Fe(CN)_6]$ में $Fe$ की ऑक्सीकरण संख्या ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए कि $Fe$ की ऑक्सीकरण संख्या $x$ है।
$K$ की ऑक्सीकरण संख्या $+1$ है और $CN^-$ लिगेंड की ऑक्सीकरण संख्या $-1$ है।
एक उदासीन संकुल में सभी परमाणुओं की ऑक्सीकरण संख्याओं का योग $0$ होता है।
इसलिए,$3(+1) + x + 6(-1) = 0$।
$3 + x - 6 = 0$।
$x - 3 = 0$।
$x = +3$।
अतः,$Fe$ की ऑक्सीकरण संख्या $+3$ है।

(C) मैंगनेट आयन का रासायनिक सूत्र $MnO_4^{2-}$ है।
$MnO_4^{2-}$ में,$Mn$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+6$ है। $Mn^{6+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^1$ है।
$3d$ कक्षक में एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन की उपस्थिति के कारण,मैंगनेट आयन अनुचुंबकीय (paramagnetic) होता है।
मैंगनेट आयन का आयनिक आवेश $-2$ है।

(D) क्युप्रोअमोनियम सल्फेट का रासायनिक सूत्र $[Cu(NH_{3})_{4}]SO_{4} \cdot H_{2}O$ है।
संकुल आयन $[Cu(NH_{3})_{4}]^{2+}$ में,$Cu$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+2$ है।
$Cu^{2+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{9}$ है।
$NH_{3}$ (एक प्रबल क्षेत्र लिगेंड) की उपस्थिति के कारण,संकुल $dsp^{2}$ संकरण से गुजरता है,जिसके परिणामस्वरूप वर्ग समतलीय (square planar) ज्यामिति प्राप्त होती है।
चूंकि $3d$ कक्षक में एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन मौजूद है,इसलिए यह संकुल अनुचुंबकीय (paramagnetic) है।

(B) $Cr$ $(Z=24)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है।
$+3$ ऑक्सीकरण अवस्था में, $Cr^{3+}$ तीन इलेक्ट्रॉन खोकर $[Ar] 3d^3$ बनाता है।
इस विन्यास में $n = 3$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं।
प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ की गणना $\mu = \sqrt{n(n+2)} \ BM$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
$n=3$ रखने पर, हमें $\mu = \sqrt{3(3+2)} = \sqrt{15} \approx 3.87 \ BM$ प्राप्त होता है।

(C) कॉपर$(II)$ सल्फेट पेंटाहाइड्रेट की संरचना में,$[Cu(H_{2}O)_{4}]SO_{4} \cdot H_{2}O$,चार जल के अणु सीधे $Cu^{2+}$ आयन के साथ समन्वित होते हैं।
पांचवां जल का अणु क्रिस्टल जालक में $SO_{4}^{2-}$ आयन और समन्वित जल के अणुओं के बीच हाइड्रोजन बंधन द्वारा जुड़ा होता है।

(D) वर्नर के सिद्धांत के अनुसार,केंद्रीय धातु आयन की द्वितीयक संयोजकता उसकी समन्वय संख्या (coordination number) के बराबर होती है।
संकुल $[Co(NH_3)_4 Cl_2]^+$ में,$Co^{3+}$ आयन $4$ $NH_3$ अणुओं और $2$ $Cl^-$ आयनों से जुड़ा है।
अतः,समन्वय संख्या $= 4 + 2 = 6$ है।
इस प्रकार,$Co^{3+}$ की द्वितीयक संयोजकता $6$ है।

(D) $[Pt(NH_{3})_{6}]^{4+}$ संकुल में:
$I$. माना $Pt$ की ऑक्सीकरण अवस्था $x$ है। चूँकि $NH_{3}$ एक उदासीन लिगेंड है,$x + 6(0) = +4$,जिससे $x = +4$ प्राप्त होता है।
$II$. समन्वय संख्या केंद्रीय धातु आयन से जुड़े लिगेंड दाता परमाणुओं की संख्या होती है। चूँकि यहाँ $6$ $NH_{3}$ लिगेंड हैं,इसलिए समन्वय संख्या $6$ है।

(B) $Zn$ $(Z=30)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^2$ है।
$+2$ ऑक्सीकरण अवस्था में,$Zn^{2+}$ का विन्यास $[Ar] 3d^{10}$ होता है।
चूंकि $3d$ उपकोष पूरी तरह से भरा हुआ है,इसलिए इसमें कोई अयुग्मित इलेक्ट्रॉन नहीं है।
अतः,$d-d$ संक्रमण की अनुपस्थिति के कारण $Zn^{2+}$ के यौगिक रंगहीन होते हैं।

(D) लिगेंड की विपाटन क्षमता स्पेक्ट्रोकेमिकल श्रेणी द्वारा निर्धारित की जाती है।
स्पेक्ट्रोकेमिकल श्रेणी के अनुसार,क्षेत्र की प्रबलता का क्रम इस प्रकार है: $S^{2-} < OH^{-} < NCS^{-} < CO$.
$CO$ एक प्रबल क्षेत्र लिगेंड है और यह $d$-कक्षकों का अधिकतम विपाटन करता है।
अतः,$CO$ की विपाटन क्षमता सबसे अधिक है।

(A) $3d-$ श्रेणी के तत्वों में,आवर्त में $Sc$ से $Zn$ की ओर जाने पर घनत्व और परमाणु द्रव्यमान बढ़ता है।
चूंकि $Sc$ $(Z = 21)$ $3d-$ श्रेणी का पहला तत्व है,इसलिए दिए गए विकल्पों में इसका घनत्व सबसे कम है और यह सबसे हल्का है।

(B) -इलेक्ट्रॉनों के कारण मजबूत धात्विक बंधन के कारण अधिकांश संक्रमण तत्व बहुत कठोर होते हैं।
हालाँकि,$Zn, Cd,$ और $Hg$ जैसे तत्वों में पूरी तरह से भरी हुई $d$-कक्षक ($d^{10}$ विन्यास) होती है,जिसके परिणामस्वरूप कमजोर धात्विक बंधन होता है।
इसलिए,$Co, W,$ और $Mo$ की तुलना में $Zn$ एक नरम तत्व है।

(A) बैबिट मेटल मुख्य रूप से टिन से बनी एक नरम मिश्रधातु है।
इसमें सामान्यतः $89.3 \%$ टिन,$7.1 \%$ एंटीमनी और $3.6 \%$ कॉपर होता है।

(C) किसी भी संक्रमण तत्व द्वारा प्रदर्शित उच्चतम ऑक्सीकरण अवस्था $+8$ है।
यह रुथेनियम $(Ru)$ और ओस्मियम $(Os)$ जैसे तत्वों में उनके टेट्रॉक्साइड्स,जैसे $RuO_4$ और $OsO_4$ में देखी जाती है।

(C) $(C)$
$3d-$ श्रेणी में, परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ तत्वों का घनत्व सामान्यतः बढ़ता है, क्योंकि परमाणु द्रव्यमान में वृद्धि होती है और परमाणु त्रिज्या में कमी आती है।
अतः, घनत्व का सही घटता क्रम $Ni > Fe > Cr > V$ है।

(D) जब टंगस्टन $(W)$ धातु ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ के संपर्क में आती है,तो यह सतह पर अधिशोषण और उसके बाद ऑक्सीकरण के माध्यम से टंगस्टन ट्राइऑक्साइड $(WO_3)$ बनाती है।

(B) सही कथन यह है कि एक्टिनॉइड संकुचन,लैंथेनॉइड संकुचन से अधिक होता है।
इसका कारण यह है कि $5f$ इलेक्ट्रॉनों का परिरक्षण प्रभाव (shielding effect) $4f$ इलेक्ट्रॉनों की तुलना में कम होता है,जिससे प्रभावी नाभिकीय आवेश अधिक हो जाता है और एक्टिनॉइड श्रेणी में संकुचन अधिक स्पष्ट होता है।

(D) लैंथेनॉइड्स $(Ln)$ की ऑक्सीजन के साथ अभिक्रिया से स्थिर ऑक्साइड $(Ln_2O_3)$ प्राप्त होता है:
$4Ln + 3O_2 \rightarrow 2Ln_2O_3$ (यौगिक $A$)
जब लैंथेनॉइड ऑक्साइड $(Ln_2O_3)$ अधिक मात्रा में $CO_2$ के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह संबंधित कार्बोनेट $(Ln_2(CO_3)_3)$ बनाता है:
$Ln_2O_3 + 3CO_2 \rightarrow Ln_2(CO_3)_3$ (यौगिक $B$)
अतः,यौगिक $(B)$ का सूत्र $Ln_2(CO_3)_3$ है।

(B) रासायनिक जुड़वां उन तत्वों के जोड़े हैं जो लैंथेनॉइड संकुचन के कारण बहुत समान रासायनिक गुण प्रदर्शित करते हैं।
$Nb-Ta$, $Mo-W$, और $Tc-Re$ रासायनिक जुड़वां के उदाहरण हैं।
$Zr-Hf$ (हेफ़नियम) रासायनिक जुड़वां हैं, लेकिन $Zr-Rf$ (रदरफोर्डियम) नहीं हैं, क्योंकि $Rf$ एक्टिनॉइड श्रृंखला का तत्व है और इसके रासायनिक गुण भिन्न होते हैं।

(C) लैंथेनॉइड श्रेणी में,लैंथेनॉइड संकुचन के कारण परमाणु आकार बाएं से दाएं जाने पर घटता है।
जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक बढ़ता है,$4f$ इलेक्ट्रॉनों का परिरक्षण प्रभाव (shielding effect) कम होता है,जिससे प्रभावी नाभिकीय आवेश में वृद्धि होती है।
दिए गए तत्वों ($Ce$,$Pr$,$Pm$,$Sm$) में,परमाणु क्रमांक $Ce(58)$,$Pr(59)$,$Pm(61)$,और $Sm(62)$ हैं।
चूंकि परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ परमाणु आकार घटता है,इसलिए दिए गए विकल्पों में $Sm$ का परमाणु आकार सबसे छोटा है।
सही क्रम $Ce > Pr > Pm > Sm$ है।

(C) लैंथेनॉइड श्रेणी में,जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक $Ce$ $(Z=58)$ से $Lu$ $(Z=71)$ तक बढ़ता है,त्रिसंयोजक आयनों $(Ln^{3+})$ की आयनिक त्रिज्याओं में लगातार कमी आती है। इस घटना को लैंथेनॉइड संकुचन के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,दिए गए आयनों के लिए आयनिक त्रिज्याओं का घटता क्रम है: $Ce^{3+} > Pm^{3+} > Sm^{3+} > Gd^{3+}$.

(A) लैंथेनॉइड्स के लिए सामान्य ऑक्सीकरण अवस्था $+3$ होती है।
$Ce$ (सीरियम) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] 4f^1 5d^1 6s^2$ है।
चार इलेक्ट्रॉनों को खोने के बाद खाली $f$-कक्षक के स्थायित्व के कारण,$Ce$ $+3$ के अलावा $+4$ ऑक्सीकरण अवस्था भी प्रदर्शित करता है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
लैंथेनॉइड सामान्यतः $+3$ ऑक्सीकरण अवस्था प्रदर्शित करते हैं।
हालाँकि,कुछ तत्व $f^0$,$f^7$,या $f^{14}$ विन्यास के स्थायित्व के कारण $+2$ या $+4$ ऑक्सीकरण अवस्थाएँ भी दिखाते हैं।
गैडोलीनियम $(Gd)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] \ 4f^7 \ 5d^1 \ 6s^2$ है।
तीन इलेक्ट्रॉन खोने के बाद,यह $Gd^{3+}$ बनाता है जिसका विन्यास $[Xe] \ 4f^7$ है,जो एक अर्ध-पूरित स्थिर $f$-उपकोश विन्यास है।
इस अतिरिक्त स्थायित्व के कारण,$Gd$ मुख्य रूप से केवल $+3$ ऑक्सीकरण अवस्था प्रदर्शित करता है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
$Lr$ $(Z=103)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Rn] 5f^{14} 6d^{1} 7s^{2}$ है।
पूर्णतः भरे हुए $5f$ कक्षक के कारण,$Lr$ केवल $+3$ ऑक्सीकरण अवस्था प्रदर्शित करता है।

(C) प्रथम आंतरिक संक्रमण श्रेणी को $Lanthanoid$ श्रेणी के रूप में जाना जाता है,जिसमें परमाणु क्रमांक $58$ $(Ce)$ से $71$ $(Lu)$ तक के तत्व शामिल हैं।
$Pr$ $(Praseodymium)$ का परमाणु क्रमांक $59$ है,जो $Lanthanoid$ श्रेणी के अंतर्गत आता है।
$Bk$ $(Berkelium)$,$Pu$ $(Plutonium)$,और $Fm$ $(Fermium)$ दूसरी आंतरिक संक्रमण श्रेणी,यानी $Actinoid$ श्रेणी के तत्व हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $5f$,$6d$ और $7s$ कक्षकों की तुलनीय ऊर्जा के कारण एक्टिनॉइड्स विभिन्न ऑक्सीकरण अवस्थाएं प्रदर्शित करते हैं।
यद्यपि सबसे सामान्य ऑक्सीकरण अवस्था $+3$ है,लेकिन $Np$ और $Pu$ जैसे तत्व $+7$ तक की ऑक्सीकरण अवस्था प्रदर्शित करते हैं।
अतः,एक्टिनॉइड्स द्वारा प्रदर्शित उच्चतम ऑक्सीकरण अवस्था $+7$ है।

(D) प्रोमेथियम $(Pm)$ एकमात्र रेडियोधर्मी लैंथेनॉइड है।

(A) विद्युत-अपघटनी सेल में,एनोड धनात्मक इलेक्ट्रोड होता है जहाँ ऑक्सीकरण होता है,और कैथोड ऋणात्मक इलेक्ट्रोड होता है जहाँ अपचयन होता है। इसलिए,धनात्मक इलेक्ट्रोड पर ऑक्सीकरण होता है।

(C) मानक सेल विभव की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $E^{\circ}_{cell} = E^{\circ}_{cathode} - E^{\circ}_{anode}$.
दिए गए सेल $Ni|Ni^{2+} || Cu^{2+}| Cu$ में,$Cu$ कैथोड के रूप में और $Ni$ एनोड के रूप में कार्य करता है।
$E^{\circ}_{cell} = E^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu} - E^{\circ}_{Ni^{2+}/Ni}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $E^{\circ}_{cell} = 0.337 \ V - (-0.236 \ V)$.
$E^{\circ}_{cell} = 0.337 \ V + 0.236 \ V = 0.573 \ V$.

(B) जलीय $NaCl$ के विद्युत अपघटन के दौरान,निम्नलिखित अभिक्रियाएँ होती हैं:
कैथोड पर: $2H_2O(l) + 2e^- \rightarrow H_2(g) + 2OH^-(aq)$
एनोड पर: $2Cl^-(aq) \rightarrow Cl_2(g) + 2e^-$
अतः,एनोड पर $Cl_2$ गैस मुक्त होती है।

(B) अपचयन अभिक्रिया है: $Al^{3+} + 3e^{-} \longrightarrow Al$.
अभिक्रिया के अनुसार,$1 \ \text{mole}$ $Al^{3+}$ को $Al$ में अपचयित करने के लिए $3 \ \text{mole}$ इलेक्ट्रॉनों की आवश्यकता होती है।
हम जानते हैं कि $1 \ \text{mole}$ इलेक्ट्रॉन पर आवेश $1 \ F = 96500 \ C$ होता है।
अतः,$3 \ \text{mole}$ इलेक्ट्रॉनों के लिए आवश्यक आवेश $3 \times 96500 \ C = 289500 \ C$ है।
इसे वैज्ञानिक संकेतन में $2.895 \times 10^{5} \ C$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) सेल से प्रवाहित कुल आवेश $Q$ की गणना सूत्र $Q = I \times t$ का उपयोग करके की जाती है।
दिया गया है $I = 5 \ A$ और $t = 200 \ s$,इसलिए $Q = 5 \ A \times 200 \ s = 1000 \ C$ है।
एक इलेक्ट्रॉन का आवेश लगभग $1.602 \times 10^{-19} \ C$ होता है।
इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{Q}{e} = \frac{1000 \ C}{1.602 \times 10^{-19} \ C} \approx 6.24 \times 10^{21}$ इलेक्ट्रॉन है।

(A) सेल अभिक्रिया है: $2 Ag_{(aq)}^{+} + Cd_{(s)} \longrightarrow 2 Ag_{(s)} + Cd_{(aq)}^{2+}$
यहाँ,स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या,$n = 2$ है।
मानक मुक्त ऊर्जा परिवर्तन का सूत्र: $\Delta G^{\circ} = -nFE^{\circ}_{cell}$
मान रखने पर: $\Delta G^{\circ} = -2 \times 96500 \times 1.20 = -231600 \ J = -231.6 \ kJ$

(B) मानक सेल विभव का सूत्र है: $E_{cell}^{0} = E_{cathode}^{0} - E_{anode}^{0}$।
यहाँ,कॉपर इलेक्ट्रोड एनोड के रूप में और सिल्वर इलेक्ट्रोड कैथोड के रूप में कार्य करता है।
दिया गया है: $E_{cell}^{0} = 0.463 \ V$ और $E_{Cu}^{0} = 0.337 \ V$।
मान रखने पर: $0.463 \ V = E_{Ag}^{0} - 0.337 \ V$।
अतः,$E_{Ag}^{0} = 0.463 \ V + 0.337 \ V = 0.800 \ V$।

(B) $1 \ F$,$1 \ \text{mole}$ इलेक्ट्रॉनों का आवेश है।
$1 \ \text{mole}$ इलेक्ट्रॉन = $6.022 \times 10^{23} \ \text{electrons}$.
$0.40 \ F$ के लिए शामिल इलेक्ट्रॉनों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{इलेक्ट्रॉनों की संख्या} = 0.40 \times 6.022 \times 10^{23} = 2.4088 \times 10^{23}$.

(D) कैथोड पर अर्ध-अभिक्रिया है:
$Cu^{2+}_{(aq)} + 2e^- \longrightarrow Cu_{(s)}$
दिया गया है: धारा $I = 1.5 \ A$,समय $t = 10 \ min = 600 \ s$.
फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा हुए पदार्थ का द्रव्यमान:
$m = \frac{I \times t \times M}{n \times F}$
जहाँ $M = 63.7 \ g/mol$,$n = 2$,और $F = 96500 \ C/mol$.
$m = \frac{1.5 \times 600 \times 63.7}{2 \times 96500} = \frac{57330}{193000} \approx 0.297 \ g$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) विद्युत-रासायनिक तुल्यांक $(Z)$ को इलेक्ट्रोलाइट से गुजरने वाले प्रति इकाई आवेश $(Q)$ पर इलेक्ट्रोड पर जमा या मुक्त हुए पदार्थ के द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया जाता है।
फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,$m = Z \times Q$,जहाँ $m$ द्रव्यमान $Kg$ में है और $Q$ आवेश $Coulombs$ $(C)$ में है।
इसलिए,$Z = \frac{m}{Q}$।
द्रव्यमान का $SI$ मात्रक $Kg$ है और आवेश का $SI$ मात्रक $C$ है।
अतः,विद्युत-रासायनिक तुल्यांक का $SI$ मात्रक $Kg \ C^{-1}$ है।

(A) कैथोड पर अपचयन अभिक्रिया है: $Mg^{2+} + 2e^{-} \longrightarrow Mg$।
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,$1 \ mol$ $Mg$ $(24 \ g)$ के लिए $2 \ F$ विद्युत की आवश्यकता होती है।
इसलिए,$4.8 \ g$ $Mg$ के लिए आवश्यक फैराडे की गणना इस प्रकार है:
$\text{Faradays} = \frac{4.8 \ g}{24 \ g/mol} \times 2 \ F/mol = 0.2 \ mol \times 2 \ F/mol = 0.4 \ F$.

(D) $1 \ Faraday$ को $1 \ mole$ इलेक्ट्रॉनों पर मौजूद कुल आवेश के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि किसी भी पदार्थ का $1 \ mole$ $6.022 \times 10^{23}$ कणों के बराबर होता है,इसलिए $1 \ Faraday$ विद्युत $6.022 \times 10^{23}$ इलेक्ट्रॉनों के बराबर होती है।

(A) दिया गया है: $E^{\circ}_{\text{cell}} = 1.049 \ V$,$n = 2$.
$298 \ K$ पर $E^{\circ}_{\text{cell}}$ और साम्य स्थिरांक $K$ के बीच संबंध नर्नस्ट समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$E^{\circ}_{\text{cell}} = \frac{0.0592}{n} \log_{10} K$
$\log_{10} K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\log_{10} K = \frac{E^{\circ}_{\text{cell}} \times n}{0.0592} = \frac{1.049 \times 2}{0.0592}$
$\log_{10} K = \frac{2.098}{0.0592} \approx 35.439$
एंटीलॉग लेने पर:
$K = 10^{35.439} = 2.75 \times 10^{35}$

(C) धातु-धातु आयन इलेक्ट्रोड में एक धातु की छड़ अपने ही आयनों वाले घोल में डूबी होती है।
विकल्प $Zn^{2+} (aq.) \mid Zn (s)$ में,जिंक धातु की छड़ घोल में मौजूद $Zn^{2+}$ आयनों के संपर्क में है।
इसलिए,यह एक धातु-धातु आयन इलेक्ट्रोड का प्रतिनिधित्व करता है।

(B) धातु-अल्प विलेय लवण इलेक्ट्रोड में एक धातु अपने अल्प विलेय लवण और उस लवण के ऋणायन युक्त विलयन के संपर्क में होती है।
इलेक्ट्रोड $Cl^{-} (aq) | AgCl_{(s)} | Ag_{(s)}$ में,धातु $Ag$ अपने अल्प विलेय लवण $AgCl$ और ऋणायन $Cl^{-}$ के संपर्क में है।
अर्ध-सेल अभिक्रिया है: $AgCl_{(s)} + e^{-} \rightarrow Ag_{(s)} + Cl^{-} (aq)$.
यह धातु-अल्प विलेय लवण इलेक्ट्रोड का एक उत्कृष्ट उदाहरण है,जिसका उपयोग संदर्भ इलेक्ट्रोड के रूप में किया जाता है।

(C) लेड एक्यूमुलेटर (लेड-एसिड बैटरी) में,कैथोड लेड डाइऑक्साइड $(PbO_{2_{(s)}})$ का बना होता है।
डिस्चार्जिंग प्रक्रिया के दौरान,कैथोड पर होने वाली अभिक्रिया है: $PbO_{2\text{(s)}} + 4H^{+}{_{\text{(aq)}}} + SO_4^{2-}{_{\text{(aq)}}} + 2e^{-} \rightarrow PbSO_{4\text{(s)}} + 2H_2O_{\text{(l)}}$।
इस अभिक्रिया में,$PbO_{2}$ में $Pb$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+4$ से घटकर $PbSO_{4}$ में $+2$ हो जाती है।
चूंकि ऑक्सीकरण अवस्था कम हो रही है,इसलिए $PbO_{2_{(s)}}$ का $Pb^{2+}$ आयनों में अपचयन होता है (जो बाद में $PbSO_{4_{(s)}}$ बनाते हैं)।

(A) दिया गया है: चालकता,$\kappa = 1.06 \times 10^{-2} \ \Omega^{-1} \ cm^{-1}$ और सांद्रता,$C = 0.1 \ M$।
मोलर चालकता का सूत्र $\Lambda_m = \frac{\kappa \times 1000}{C}$ है।
मान रखने पर: $\Lambda_m = \frac{1.06 \times 10^{-2} \times 1000}{0.1} = \frac{10.6}{0.1} = 106 \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$।
अतः,$\Lambda_m = 1.06 \times 10^{2} \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$।

(B) चालकता $(\kappa)$ प्रतिरोधकता $(\rho)$ का व्युत्क्रम है।
$\kappa = \frac{1}{\rho}$
चूंकि प्रतिरोधकता $\rho = R \times \frac{A}{l}$,जहाँ $R$ प्रतिरोध $\Omega$ में है,$A$ क्षेत्रफल $cm^2$ में है,और $l$ लंबाई $cm$ में है।
$\kappa = \frac{1}{R} \times \frac{l}{A} = \Omega^{-1} \times \frac{cm}{cm^2} = \Omega^{-1} \ cm^{-1}$.
अतः,$C.G.S.$ प्रणाली में चालकता की सामान्य इकाई $\Omega^{-1} \ cm^{-1}$ या $S \ cm^{-1}$ है।

(B) चालकता $(k)$ का सूत्र है: $k = \frac{\text{सेल स्थिरांक}}{R}$
यहाँ सेल स्थिरांक $0.5 \ cm^{-1}$ और प्रतिरोध $(R)$ $375 \ \Omega$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$k = \frac{0.5 \ cm^{-1}}{375 \ \Omega} = 1.333 \times 10^{-3} \ \Omega^{-1} \ cm^{-1}$

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $(R) = 484 \ \Omega$,चालकता $(\kappa) = 0.00141 \ \Omega^{-1} \ cm^{-1}$।
सेल स्थिरांक $(G^*)$ का सूत्र है: $G^* = \kappa \times R$।
मान रखने पर: $G^* = 0.00141 \ \Omega^{-1} \ cm^{-1} \times 484 \ \Omega$।
$G^* = 0.68244 \ cm^{-1} \approx 0.682 \ cm^{-1}$।

(C) कोहलराश के आयनों के स्वतंत्र अभिगमन के नियम के अनुसार,अनंत तनुता पर किसी विद्युत अपघट्य की मोलर चालकता उसके घटक आयनों की मोलर चालकताओं के योग के बराबर होती है।
$\wedge_{m}^{0}(CaCl_{2}) = \lambda_{Ca^{2+}}^{0} + 2 \lambda_{Cl^{-}}^{0}$
दिया गया है,$\lambda_{Ca^{2+}}^{0} = 119 \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$ और $\lambda_{Cl^{-}}^{0} = 71 \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$।
मान रखने पर:
$\wedge_{m}^{0}(CaCl_{2}) = 119 + 2(71)$
$\wedge_{m}^{0}(CaCl_{2}) = 119 + 142 = 261.0 \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$।