MHT CET 2020 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કુલ એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{sys}} + \Delta S_{\text{surr}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta S_{\text{sys}} = 15 \ JK^{-1}$.
પર્યાવરણનો એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S_{\text{surr}} = -\frac{\Delta H_{\text{sys}}}{T}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta H_{\text{sys}} = -29.8 \ kJ = -29800 \ J$ હોવાથી,$\Delta S_{\text{surr}} = -\frac{-29800 \ J}{298 \ K} = 100 \ JK^{-1}$ મળે છે.
તેથી,$\Delta S_{\text{total}} = 15 \ JK^{-1} + 100 \ JK^{-1} = 115 \ JK^{-1}$.

(B) કુલ એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{sys}} + \Delta S_{\text{sur}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\Delta S_{\text{sys}} = \Delta S^{\circ} = 15 \ J \ K^{-1}$.
પર્યાવરણનો એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S_{\text{sur}} = -\frac{\Delta H_{\text{sys}}}{T}$ છે.
$\Delta H_{\text{sys}} = -25 \ kJ = -25000 \ J$ હોવાથી,$\Delta S_{\text{sur}} = -\frac{-25000 \ J}{300 \ K} = 83.33 \ J \ K^{-1}$.
તેથી,$\Delta S_{\text{total}} = 15 \ J \ K^{-1} + 83.33 \ J \ K^{-1} = 98.33 \ J \ K^{-1}$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T = 0 \ K$ તાપમાને સંપૂર્ણ સ્ફટિકમય પદાર્થની એન્ટ્રોપી શૂન્ય હોય છે.
જો પદાર્થ સંપૂર્ણ સ્ફટિકમય ન હોય (દા.ત. તેમાં ખામીઓ અથવા જામી ગયેલી અવ્યવસ્થા હોય),તો $T = 0 \ K$ તાપમાને તેની એન્ટ્રોપી શૂન્ય કરતા વધારે હોય છે.
પરમ શૂન્ય તાપમાને રહેલી આ એન્ટ્રોપીને અવશેષ એન્ટ્રોપી (residual entropy) કહેવામાં આવે છે.

(C) સ્વયંભૂતા માટેની શરત ગિબ્સ મુક્ત ઉર્જા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta G = \Delta H - T\Delta S$.
પ્રક્રિયા સંતુલનમાં હોય ત્યારે $\Delta G = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{\Delta H}{\Delta S}$.
આપેલ છે: $\Delta H = -30 \ kJ = -30000 \ J$ અને $\Delta S = -45 \ J \ K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{-30000 \ J}{-45 \ J \ K^{-1}} = 666.67 \ K$.
$\Delta H$ અને $\Delta S$ બંને ઋણ હોવાથી,પ્રક્રિયા $666.67 \ K$ થી નીચેના તાપમાને સ્વયંભૂ છે અને $666.67 \ K$ થી ઉપરના તાપમાને અસ્વયંભૂ બને છે.

(C) પ્રક્રિયા સ્વયંભૂ હોવા માટે,ગિબ્સ મુક્ત ઉર્જામાં ફેરફાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta G < 0$.
ગિબ્સ-હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણ મુજબ,$\Delta G = \Delta H - T\Delta S$.
જો $\Delta H < 0$ (ઉષ્માક્ષેપક) અને $\Delta S > 0$ (એન્ટ્રોપીમાં વધારો) હોય,તો $\Delta G$ હંમેશા બધા તાપમાને ઋણ રહેશે કારણ કે $\Delta H$ ઋણ છે અને $-T\Delta S$ પણ ઋણ છે.
તેથી,સ્થિતિ $\Delta S > 0, \Delta H < 0, \Delta G < 0$ એ બધા તાપમાને સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(B) પ્રમાણિત ગિબ્સ મુક્ત ઊર્જા ફેરફાર અને સંતુલન અચળાંક વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta G^{\circ} = -RT \ln K$.
આપેલ મૂલ્યો: $K = 20$,$T = 300 \ K$,$R = 8 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\Delta G^{\circ} = -(8 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1} \ mol^{-1}) \times (300 \ K) \times \ln(20)$.
$\ln(20) \approx 2.996$ હોવાથી: $\Delta G^{\circ} = -2.4 \times 2.996 \approx -7.19 \ kJ \ mol^{-1}$.
તેથી,સાચું મૂલ્ય $-7.19 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(B) પ્રક્રિયાની સ્વયંભૂતા ગિબ્સ મુક્ત ઉર્જાના સમીકરણ $\Delta G = \Delta H - T\Delta S$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા તમામ તાપમાને સ્વયંભૂ રહે તે માટે,$\Delta G$ નું મૂલ્ય તમામ $T$ માટે ઋણ હોવું જોઈએ.
જો $\Delta H$ ઋણ હોય અને $\Delta S$ ધન હોય,તો $\Delta G = (\text{ઋણ}) - T(\text{ધન})$ થશે.
કેલ્વિન તાપમાન $T$ હંમેશા ધન હોવાથી,$-T\Delta S$ હંમેશા ઋણ રહેશે.
આમ,તાપમાન ગમે તે હોય,$\Delta G$ હંમેશા ઋણ રહેશે.

(C) ધારો કે $t$ સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $x$ છે.
$\frac{dx}{dt} \propto x \Rightarrow \frac{dx}{dt} = kx \Rightarrow \int \frac{dx}{x} = \int k \cdot dt$
$\log x = kt + c$
શરૂઆતમાં,એટલે કે જ્યારે $t = 0$ હોય,ત્યારે ધારો કે $x = x_{0}$ છે.
$\log x_{0} = k \times 0 + c \Rightarrow c = \log x_{0}$
$\log x - \log x_{0} = kt \Rightarrow \log \left(\frac{x}{x_{0}}\right) = kt$ ... $(1)$
બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $4 \text{ કલાકમાં}$ બમણી થાય છે,એટલે કે $t = 4$ અને $x = 2x_{0}$:
$\log \left(\frac{2x_{0}}{x_{0}}\right) = 4k \Rightarrow \log 2 = 4k \Rightarrow k = \frac{1}{4} \log 2$
જ્યારે $t = 12$ હોય,ત્યારે $k$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\log \left(\frac{x}{x_{0}}\right) = 12 \times \left(\frac{1}{4} \log 2\right) = 3 \log 2 = \log 2^{3} = \log 8$
તેથી,$\frac{x}{x_{0}} = 8 \Rightarrow x = 8x_{0}$.
મૂળ સંખ્યા $N$ હોવાથી,$12 \text{ કલાક પછી}$ બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $8N$ થશે.

(A) ધારો કે $y = f(\tan x)$ અને $z = g(\sec x)$. આપણે $\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x$.
ત્યારબાદ,$x$ ની સાપેક્ષમાં $z$ નું વિકલન મેળવો:
$\frac{dz}{dx} = g^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ ગુણોત્તરની ગણતરી કરો:
$\frac{dy}{dz} = \frac{f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x}{g^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x} = \frac{f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec x}{g^{\prime}(\sec x) \cdot \tan x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\tan x = 1$ અને $\sec x = \sqrt{2}$:
$\frac{dy}{dz} = \frac{f^{\prime}(1) \cdot \sqrt{2}}{g^{\prime}(\sqrt{2}) \cdot 1} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{4 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\cos x \sqrt{\cos 2x}}$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા અથવા પદાવલિને નીચે મુજબ સાદું રૂપ આપતા:
$I = \int \frac{dx}{\cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}} = \int \frac{dx}{\cos x \cdot \cos x \sqrt{1 - \tan^2 x}} = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x \, dx = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$.
$t$ ની જગ્યાએ $\tan x$ મૂકતા:
$I = \sin^{-1}(\tan x) + c$.

(A) આપણે $\tan \left[\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \theta$. તેથી $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ મળે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right]$ મળે.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{2}{3}\right)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{17/12}{6/12}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{17}{6}\right)$.
અંતે,$\tan \left[\tan ^{-1} \left(\frac{17}{6}\right)\right] = \frac{17}{6}$.

(D) શરતી વિધાન $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ અસત્ય હોય.
તેથી,$p$ એ $T$ હોવું જોઈએ અને $(\sim p \vee q)$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
$p$ એ $T$ હોવાથી,$\sim p$ એ $F$ થશે.
વિકલ્પન $(\sim p \vee q)$ અસત્ય હોવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને $F$ હોવા જોઈએ.
આમ,$q$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$p$ અને $q$ ના સત્યતા મૂલ્યો અનુક્રમે $T$ અને $F$ છે.

(C) વિધાન પેટર્ન $\sim p \vee (q \rightarrow \sim r)$ નો નિષેધ શોધવા માટે,આપણે સમગ્ર અભિવ્યક્તિ પર નિષેધ ઓપરેટર $\sim$ લાગુ કરીએ છીએ:
$\sim [\sim p \vee (q \rightarrow \sim r)]$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$:
$\equiv \sim (\sim p) \wedge \sim (q \rightarrow \sim r)$
$\equiv p \wedge \sim (\sim q \vee \sim r)$
ફરીથી ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (\sim q \vee \sim r) \equiv q \wedge r$:
$\equiv p \wedge (q \wedge r)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $Y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓ ધન $X$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ અને $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
રેખાઓના ઢાળ $m_{1}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ અને $m_{2}=\tan 120^{\circ}=-\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y=\sqrt{3}x$ અને $y=-\sqrt{3}x$ છે,જેને $\sqrt{3}x-y=0$ અને $\sqrt{3}x+y=0$ તરીકે લખી શકાય.
સંયુક્ત સમીકરણ $(\sqrt{3}x-y)(\sqrt{3}x+y)=0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(\sqrt{3}x)^{2}-y^{2}=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^{2}-y^{2}=0$ થાય છે.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ યાદચ્છિક ચલ $X$ નું p.d.f. છે,તેથી વક્ર હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ:
$\int_{0}^{1} K(x - x^2) dx = 1$
$K \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1$
$K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 1 \Rightarrow K \left( \frac{1}{6} \right) = 1 \Rightarrow K = 6$
હવે,આપણે $P(X < \frac{1}{2})$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X < \frac{1}{2}) = \int_{0}^{1/2} 6(x - x^2) dx$
$= 6 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1/2}$
$= 6 \left( \frac{(1/2)^2}{2} - \frac{(1/2)^3}{3} \right)$
$= 6 \left( \frac{1/4}{2} - \frac{1/8}{3} \right) = 6 \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \right)$
$= 6 \left( \frac{3 - 1}{24} \right) = 6 \left( \frac{2}{24} \right) = 6 \left( \frac{1}{12} \right) = \frac{1}{2}$

(A) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $= 10 \sqrt{3} \text{ cm}^2$,$\angle B = 60^{\circ}$,પરિમિતિ $P = a + b + c = 20 \text{ cm}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{Area} = \frac{1}{2} ac \sin B$.
$10 \sqrt{3} = \frac{1}{2} ac \sin 60^{\circ} \implies 10 \sqrt{3} = \frac{1}{2} ac \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \implies ac = 40$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2(40)} \implies \frac{1}{2} = \frac{(a+c)^2 - 2ac - b^2}{80}$.
$a+c = 20 - b$ હોવાથી,$40 = (20-b)^2 - 2(40) - b^2$.
$40 = 400 - 40b + b^2 - 80 - b^2$.
$40 = 320 - 40b$.
$40b = 280 \implies b = 7$.
આમ,$\ell(AC) = b = 7 \text{ cm}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ છે. તો આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ છે. તો આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ છે.
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો એવા $\lambda$ અને $\mu$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ (સમીકરણ $1$)
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2 \implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$.
સમીકરણ $1$ માં $\lambda = -\frac{3}{2}$ મૂકતા: $2(-\frac{3}{2}) - \mu = 2 \implies -3 - \mu = 2 \implies \mu = -5$.
હવે,$y$-યામને સરખાવતા: $3\lambda - 1 = 2\mu + k$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ અને $\mu = -5$ મૂકતા: $3(-\frac{3}{2}) - 1 = 2(-5) + k$.
$-\frac{9}{2} - 1 = -10 + k \implies -\frac{11}{2} = -10 + k$.
$k = 10 - \frac{11}{2} = \frac{20-11}{2} = \frac{9}{2}$.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ છેદતી હોય,તો તેની શરત $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$,$(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$,અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$.
નિશ્ચાયક આ મુજબ થશે: $\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$.
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$.
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$.
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$.
$2k - 9 = 0$.
$k = \frac{9}{2}$.

(B) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ અને $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ છે.
રેખાઓ ત્યારે જ છેદે જો તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ હોય. આ શરત એ છે કે બંને રેખાઓ પરના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને રેખાઓના દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક $0$ થાય.
ધારો કે $P_1 = (1, -1, 1)$ એ $L_1$ પરનું બિંદુ છે અને $P_2 = (3, k, 0)$ એ $L_2$ પરનું બિંદુ છે.
દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$ અને $\vec{v_2} = (1, 2, 1)$ છે.
છેદન માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$
$2k - 9 = 0$
$k = \frac{9}{2}$

(B) આપેલ સમીકરણ $\cot x = \sqrt{3}$ છે,જે $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ને સમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan x$ પ્રથમ અને ત્રીજા ચરણમાં ધન હોવાથી,મુખ્ય ઉકેલો $[0, 2\pi)$ અંતરાલમાં મળે છે.
પ્રથમ ઉકેલ $x = \frac{\pi}{6}$ છે.
ત્રીજા ચરણમાં બીજો ઉકેલ $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ છે.
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{7\pi}{6}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\sin (y+z-x), \sin (z+x-y), \sin (x+y-z)$ એ $AP$ માં છે.
તેથી,$2 \sin (z+x-y) = \sin (y+z-x) + \sin (x+y-z)$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$2 \sin (z+x-y) = 2 \sin y \cos (z-x)$.
આ સમીકરણને ઉકેલતા અને $\cos x \cos y \cos z$ વડે ભાગતા,
$2 \tan y = \tan x + \tan z$ મળે છે.

(B) અમે નિત્યસમ $\cot \theta = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{2 \tan(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $\tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$
$= \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \left( \frac{1 - \tan^2 4A}{2 \tan 4A} \right)$
$= \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + \frac{4(1 - \tan^2 4A)}{\tan 4A}$
$= \tan A + 2 \tan 2A + \frac{4 \tan^2 4A + 4 - 4 \tan^2 4A}{\tan 4A}$
$= \tan A + 2 \tan 2A + \frac{4}{\tan 4A} = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \cot 4A$
$= \tan A + 2 \tan 2A + 4 \left( \frac{1 - \tan^2 2A}{2 \tan 2A} \right)$
$= \tan A + 2 \tan 2A + \frac{2(1 - \tan^2 2A)}{\tan 2A}$
$= \tan A + \frac{2 \tan^2 2A + 2 - 2 \tan^2 2A}{\tan 2A} = \tan A + \frac{2}{\tan 2A}$
$= \tan A + 2 \cot 2A = \tan A + 2 \left( \frac{1 - \tan^2 A}{2 \tan A} \right)$
$= \tan A + \frac{1 - \tan^2 A}{\tan A} = \frac{\tan^2 A + 1 - \tan^2 A}{\tan A} = \frac{1}{\tan A} = \cot A$

(B) $L-R$ સર્કિટ માટે ઈમ્પીડન્સ $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $L-C-R$ સર્કિટ બની જાય છે.
$L-C-R$ સર્કિટ માટે ઈમ્પીડન્સ $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
કારણ કે $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (ધારી લઈએ કે સર્કિટ રેઝોનન્સમાં નથી જ્યાં $X_L = X_C$),તેથી કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z_2$ એ $Z_1$ કરતા ઓછો છે.
$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{Z}$.
જેમ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે,તેમ સર્કિટમાં વહેતો ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટ $I$ વધે છે.

(C) $LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z_{LR} = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LCR$ સર્કિટ બને છે.
$LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z_{LCR} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (ધારી લઈએ કે $X_C$ શૂન્ય નથી),સર્કિટનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે.
$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{Z}$.
જેમ કે $I \propto \frac{1}{Z}$,ઈમ્પીડન્સ $Z$ માં ઘટાડો થવાથી સર્કિટમાં વહેતો ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટ $I$ વધે છે.

(A) $LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LCR$ સર્કિટ બની જાય છે.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
કારણ કે $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (ધારી લઈએ કે $X_C < 2X_L$),તેથી ઈમ્પીડન્સ $Z'$ એ $Z$ ની સરખામણીમાં ઘટે છે.
$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{Z}$.
જેથી ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટવાથી,સર્કિટમાં વહેતો ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટ $I$ વધે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે ઉર્જા સ્તરો $n=1$ (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ),$n=2$ (પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા),$n=3$ (બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા),અને $n=4$ (ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા) છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=4)$ થી બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=3)$ માં પ્રથમ સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=3)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં બીજા સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda_{2}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$ લેતા:
$\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{1/\lambda_{2}}{1/\lambda_{1}} = \frac{R(5/36)}{R(7/144)} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.

(B) જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ધ્રુવીભવન (polarization) થાય છે. ડાયઇલેક્ટ્રિકની અંદર ઉદ્ભવતું પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_i$,પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 - E_i$ બને છે. પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $V = E \cdot d$ સૂત્ર દ્વારા જોડાયેલ હોવાથી,ચોખ્ખા વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઘટાડો થવાથી પ્લેટો વચ્ચેના અસરકારક પોટેન્શિયલ તફાવતમાં ઘટાડો થાય છે. વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહેતા,પોટેન્શિયલમાં આ ઘટાડો કેપેસિટન્સ $C = Q/V$ માં વધારો કરે છે.

(A) ધારો કે દ્રવ્યમાન $m_{1}$ અને $m_{2}$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર અનુક્રમે $r_{1}$ અને $r_{2}$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$m_{1}r_{1} = m_{2}r_{2}$ થાય.
જો બીજા કણ $(m_{2})$ ને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે,તો તેનું નવું અંતર $(r_{2} - d)$ થાય.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અપરિવર્તિત રાખવા માટે,ધારો કે પ્રથમ કણ $(m_{1})$ ને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d'$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,જેથી તેનું નવું અંતર $(r_{1} - d')$ થાય.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટેની નવી શરત $m_{1}(r_{1} - d') = m_{2}(r_{2} - d)$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $m_{1}r_{1} - m_{1}d' = m_{2}r_{2} - m_{2}d$ મળે છે.
કારણ કે $m_{1}r_{1} = m_{2}r_{2}$,આ પદો રદ થઈ જાય છે,અને બાકી રહે છે $-m_{1}d' = -m_{2}d$.
આમ,$d' = \frac{m_{2}}{m_{1}} d$.
સંતુલન જાળવી રાખવા માટે બંને કણોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ ખસેડવા પડે,તેથી પ્રથમ કણ $\frac{m_{2}}{m_{1}} d$ જેટલા અંતરે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ ખસશે.

(A) આ પરિપથમાં બે બેટરી વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલી છે અને એક અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે。
પરિપથનું કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $E_{net} = 200 \, V - 10 \, V = 190 \, V$ છે。
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = 38 \, \Omega$ છે。
ઓમના નિયમ મુજબ, પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i = \frac{E_{net}}{R} = \frac{190 \, V}{38 \, \Omega} = 5 \, A$.

(B) ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં એક ઉચ્ચ અવરોધ $R$ જોડવામાં આવે છે.
ધારો કે $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
આપેલ છે કે,$V_g = I_g G$,તેથી $I_g = \frac{V_g}{G}$.
વોલ્ટમીટરનો કુલ અવરોધ $(G + R)$ છે.
$V$ રેન્જ માટે,કુલ વોલ્ટેજ $V = I_g(G + R)$ થાય.
$I_g = \frac{V_g}{G}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{V_g}{G}(G + R)$ મળે છે.
$R$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\frac{V}{V_g} = \frac{G + R}{G} = 1 + \frac{R}{G}$.
તેથી,$\frac{R}{G} = \frac{V}{V_g} - 1$.
$R = G(\frac{V}{V_g} - 1)$.

(B) દરેક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $t$ સમયમાં $n$ ફોટોન ઉત્સર્જિત થાય,તો ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E_{total} = \frac{nhc}{\lambda}$ થાય.
પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$P = \frac{E_{total}}{t} = \frac{nhc}{\lambda t}$.
$n$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$n = \frac{P \lambda t}{hc}$.

(D) ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $L = \frac{\phi}{I}$.
આ સમીકરણ $\phi$ વિરુદ્ધ $I$ ના આલેખનો ઢાળ દર્શાવે છે.
ઢાળ $\frac{\phi}{I}$ હોવાથી,જે ઇન્ડક્ટરનો ઢાળ સૌથી વધુ હશે તેનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ સૌથી વધુ હશે.
આલેખ જોતા,રેખા $A$ નો ઢાળ $B, C$ અને $D$ ની સરખામણીમાં સૌથી વધુ છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $A$ નું આત્મ-પ્રેરકત્વ સૌથી વધુ છે.

(A) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $e = n \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t} = n \frac{|\phi_{1} - \phi_{2}|}{t}$ થાય છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{e}{R_{total}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$i = \frac{n |\phi_{1} - \phi_{2}| / t}{3R/2} = \frac{2n |\phi_{1} - \phi_{2}|}{3Rt}$ મળે છે.
આમ,પ્રેરિત પ્રવાહ $\frac{2n(\phi_{1} - \phi_{2})}{3Rt}$ છે.

(A) ઇન્ડક્ટર માટે ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ અને પ્રવાહ $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = L I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $L = \frac{\phi}{I}$.
$\phi$ વિરુદ્ધ $I$ ના આલેખમાં,રેખાનો ઢાળ $\frac{\phi}{I}$ દ્વારા મળે છે,જે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ દર્શાવે છે.
વધારે ઢાળ એ $L$ નું મોટું મૂલ્ય સૂચવે છે.
રેખાઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના ઢાળની સરખામણી કરતા,રેખા $A$ નો ઢાળ મહત્તમ છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $A$ નું આત્મ-પ્રેરકત્વ સૌથી વધુ છે.

(D) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ અને પ્રવાહ $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સમીકરણ પરથી,સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ એ $\phi$ વિરુદ્ધ $I$ ના આલેખનો ઢાળ છે,એટલે કે $L = \frac{\phi}{I}$.
રેખાનો ઢાળ $L$ નું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
વધારે ઢાળ $L$ નું મોટું મૂલ્ય સૂચવે છે,જ્યારે ઓછો ઢાળ $L$ નું નાનું મૂલ્ય સૂચવે છે.
ચાર રેખાઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના ઢાળની સરખામણી કરતા,રેખા $D$ નો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $D$ નું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ સૌથી ઓછું છે.

(C) પ્રકાશ સ્વભાવે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને તેમના પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી અને તે શૂન્યાવકાશમાં લગભગ $3 \times 10^8 \ m/s$ ની ઝડપે મુસાફરી કરી શકે છે. તેથી,પ્રકાશને પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમની જરૂર છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta l}$ છે,જ્યાં $\Delta l$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
કિસ્સો $1$: બળ $F_1 = 1.5 \text{ kg-wt}$. કુલ લંબાઈ $a = L + \Delta l_1$,તેથી $\Delta l_1 = a - L$.
આથી,$Y = \frac{1.5 L}{A (a - L)} \implies a - L = \frac{1.5 L}{Y A} \implies a = L (1 + \frac{1.5}{Y A}) \quad \dots (1)$
કિસ્સો $2$: બળ $F_2 = 2.5 \text{ kg-wt}$. કુલ લંબાઈ $b = L + \Delta l_2$,તેથી $\Delta l_2 = b - L$.
આથી,$Y = \frac{2.5 L}{A (b - L)} \implies b - L = \frac{2.5 L}{Y A} \implies b = L (1 + \frac{2.5}{Y A}) \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{1.5}{Y A} = \frac{a - L}{L}$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$\frac{2.5}{Y A} = \frac{b - L}{L}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{2.5}{1.5} = \frac{b - L}{a - L} \implies \frac{5}{3} = \frac{b - L}{a - L}$.
$5(a - L) = 3(b - L) \implies 5a - 5L = 3b - 3L$.
$5a - 3b = 2L \implies L = \frac{5a - 3b}{2} = 2.5a - 1.5b$.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને લેન્સના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક $\mu$ વચ્ચેનો સંબંધ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\mu \approx A + \frac{B}{\lambda^2})$.
તેથી,જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધે છે,તેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ ઘટે છે.
આપેલા રંગોમાં,લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ મહત્તમ હોય છે $(\lambda_{red} > \lambda_{yellow} > \lambda_{blue} > \lambda_{violet})$.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હોવાથી,લેન્સના દ્રવ્ય માટે તેનો વક્રીભવનાંક $\mu$ ન્યૂનતમ હોય છે.
પરિણામે,લાલ પ્રકાશ માટે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ મહત્તમ હશે.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં,લેન્સ બહિર્ગોળ છે અને બંને સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \text{ cm}$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = 1.55$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \frac{2}{R}$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 1.1 \times 20 = 22 \text{ cm}$
આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા $22 \text{ cm}$ થશે.

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબના પ્રયોગમાં,અનુનાદ લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને અંતિમ સુધારા $e$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 + e = 3\frac{\lambda}{4}$
બીજા સમીકરણને પ્રથમ સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{l_2 + e}{l_1 + e} = 3$
$l_2 + e = 3(l_1 + e)$
$l_2 + e = 3l_1 + 3e$
$l_2 - 3l_1 = 2e$
$e = \frac{l_2 - 3l_1}{2}$
અહીં $l_1 = 12 ~cm$ અને $l_2 = 38 ~cm$ આપેલ છે:
$e = \frac{38 - 3(12)}{2} = \frac{38 - 36}{2} = \frac{2}{2} = 1 ~cm$.

(C) આપેલ છે: $\frac{g_{m}}{g_{e}} = \frac{1}{6}$ અને $\frac{\rho_{e}}{\rho_{m}} = \frac{5}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,તેથી $g = \frac{G \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{g_{m}}{g_{e}} = \frac{R_{m} \rho_{m}}{R_{e} \rho_{e}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = \left(\frac{R_{m}}{R_{e}}\right) \times \left(\frac{\rho_{m}}{\rho_{e}}\right)$.
કારણ કે $\frac{\rho_{e}}{\rho_{m}} = \frac{5}{3}$,તેથી $\frac{\rho_{m}}{\rho_{e}} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\frac{1}{6} = \left(\frac{R_{m}}{R_{e}}\right) \times \left(\frac{3}{5}\right)$.
$\frac{R_{m}}{R_{e}} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$.
આમ,$R_{m} = \left(\frac{5}{18}\right) R_{e}$.

(C) વાયુના અણુઓનો રૂટ-મીન-સ્ક્વેર (rms) વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે આપેલ વાયુ માટે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન $(T)$ અચળ રહે છે.
તાપમાન બદલાતું ન હોવાથી,વાયુના અણુઓનો r.m.s. વેગ સમાન રહે છે.

(A) વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,વાયુનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
કારણ કે $v_{rms}$ ફક્ત તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે (આપેલ વાયુ માટે),જો $T$ અચળ હોય,તો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms}$ પણ અચળ રહેશે.
તેથી,જ્યારે વાયુનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે છે,ત્યારે અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ સમાન રહે છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર આંતરેલા $\theta$ ખૂણા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi r}$
અહીં,આંતરેલો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{16}$ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} \times \left( \frac{\pi}{16} \right)$
$B = \frac{\mu_{0} I \pi}{64 \pi r}$
$B = \frac{\mu_{0} I}{64 r}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં '$e$' એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને '$V$' એ પ્રવેગિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$K_1 = eV_1 = eV$.
બીજા કિસ્સામાં,$K_2 = eV_2 = e(2V) = 2eV$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ મળે.
આમ,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{\frac{2eV}{eV}} = \sqrt{2}$ થાય.
ગતિમાન વીજભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = evB \sin(\theta)$ છે. ઇલેક્ટ્રોન લંબચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશતો હોવાથી,$\theta = 90^\circ$ અને $\sin(90^\circ) = 1$ થાય,તેથી $F = evB$.
'$e$' અને '$B$' અચળ હોવાથી,$F \propto v$ મળે.
તેથી,$\frac{F_2}{F_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{2}$.
આમ,$F_2 = \sqrt{2}F$.

(B) વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપ દ્વારા તેની અક્ષ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અક્ષની દિશામાં જ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને અક્ષની દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું મૂલ્ય $F = qvB \sin \theta$ છે.
અહીં,વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\sin(0^{\circ}) = 0$ અને $\sin(180^{\circ}) = 0$ થાય છે,તેથી ચુંબકીય બળ $F = 0$ મળે છે.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન કોઈ પણ બળ અનુભવશે નહીં.

(B) ધારો કે હલકા પથ્થરનું દળ $m_1 = m$ અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે. તેની સ્પર્શક ઝડપ $v_1$ છે.
ધારો કે ભારે પથ્થરનું દળ $m_2 = 3m$ અને તેની ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{r}{3}$ છે. તેની સ્પર્શક ઝડપ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $v_1 = n v_2$.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
બંને પથ્થરો માટે કેન્દ્રગામી બળને સરખાવતા: $F_1 = F_2$.
$\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{m (n v_2)^2}{r} = \frac{3m v_2^2}{r/3}$.
$\frac{m n^2 v_2^2}{r} = \frac{9m v_2^2}{r}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $m, v_2^2$ અને $r$ ને દૂર કરતા,આપણને $n^2 = 9$ મળે છે.
તેથી,$n = 3$.

(C) વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} \times m\overrightarrow{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}$ અને વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
કોણીય વેગમાન સદિશ $\overrightarrow{L}$ ની દિશા જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે વર્તુળાકાર ગતિના સમતલને લંબ હોય છે.
જેમ ઝડપ $v$ ઘટે છે,તેમ કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{L}| = mvr$ ઘટે છે.
જોકે,કણ સમાન ગતિના સમતલમાં રહેતો હોવાથી,કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ રહે છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R$ એ ક્ષયના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
આ કિંમત એક્ટિવિટીના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{(\ln 2) N}{T}$ મળે છે.
બંને તત્વો માટે એક્ટિવિટી નીચે મુજબ છે:
$R_{1} = \frac{(\ln 2) N_{1}}{T_{1}}$
$R_{2} = \frac{(\ln 2) N_{2}}{T_{2}}$
તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{(\ln 2) N_{1} / T_{1}}{(\ln 2) N_{2} / T_{2}} = \frac{N_{1}}{T_{1}} \times \frac{T_{2}}{N_{2}} = \frac{N_{1} T_{2}}{N_{2} T_{1}}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે જેનો કંપવિસ્તાર $A$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ હોય,તેનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને પદાર્થોના દળ સમાન $(m_A = m_B = m)$ છે અને બળ અચળાંક $k_1$ અને $k_2$ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = \sqrt{\frac{k_1}{m}}$ અને $\omega_2 = \sqrt{\frac{k_2}{m}}$ થશે.
મહત્તમ વેગ સમાન હોવાથી,$A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$ થાય.
$\omega_1$ અને $\omega_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$A_1 \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$A_1^2 \frac{k_1}{m} = A_2^2 \frac{k_2}{m} \implies \frac{A_1^2}{A_2^2} = \frac{k_2}{k_1}$.
વર્ગમૂળ લેતા,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ મળે છે.

(B) $[CoF_{6}]^{3-}$ માં,$Co$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+3$ છે.
$Co^{3+}$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^{6}$ છે.
$F^{-}$ એ નિર્બળ ક્ષેત્ર લિગાન્ડ $(WFL)$ હોવાથી,તે $3d$ કક્ષકોમાં ઇલેક્ટ્રોનનું યુગ્મીકરણ કરતું નથી.
તેથી,$Co^{3+}$ આયન છ સંકર કક્ષકો બનાવવા માટે એક $4s$,ત્રણ $4p$ અને બે $4d$ કક્ષકોનો ઉપયોગ કરે છે.
આના પરિણામે $sp^{3}d^{2}$ સંકરણ થાય છે.
$sp^{3}d^{2}$ સંકરણ સાથે સંકળાયેલી ભૂમિતિ અષ્ટફલકીય છે.

(C) સવર્ગ સંયોજનમાં કેન્દ્રીય ધાતુ પરમાણુની પ્રાથમિક સંયોજકતા તેના ઓક્સિડેશન આંકને અનુરૂપ હોય છે.
$CoCl_{3}$ માં,$Co$ નો ઓક્સિડેશન આંક નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$x + 3(-1) = 0$
$x - 3 = 0$
$x = +3$
તેથી,$Co$ ની પ્રાથમિક સંયોજકતા $3$ છે.

(A) વર્નરના સવર્ગ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રાથમિક સંયોજકતા એ મધ્યસ્થ ધાતુ પરમાણુના ઓક્સિડેશન આંકને અનુરૂપ છે.
તે આયનીય છે અને ઋણ આયનો દ્વારા સંતોષાય છે.
તેથી,તેને આયનીય સંયોજકતા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(B) $K_3[Fe(CN)_6]$ માં $Fe$ નો ઓક્સિડેશન આંક શોધવા માટે,ધારો કે $Fe$ નો ઓક્સિડેશન આંક $x$ છે.
$K$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+1$ છે અને $CN^-$ લિગેન્ડનો ઓક્સિડેશન આંક $-1$ છે.
તટસ્થ સંકીર્ણ સંયોજનમાં તમામ પરમાણુઓના ઓક્સિડેશન આંકનો સરવાળો $0$ થાય છે.
તેથી,$3(+1) + x + 6(-1) = 0$.
$3 + x - 6 = 0$.
$x - 3 = 0$.
$x = +3$.
આમ,$Fe$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+3$ છે.

(C) મેંગેનેટ આયનનું રાસાયણિક સૂત્ર $MnO_4^{2-}$ છે.
$MnO_4^{2-}$ માં,$Mn$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+6$ છે. $Mn^{6+}$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^1$ છે.
$3d$ કક્ષકમાં એક અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની હાજરીને કારણે,મેંગેનેટ આયન પેરામેગ્નેટિક છે.
મેંગેનેટ આયનનો આયનીય વીજભાર $-2$ છે.

(D) ક્યુપ્રોએમોનિયમ સલ્ફેટનું રાસાયણિક સૂત્ર $[Cu(NH_{3})_{4}]SO_{4} \cdot H_{2}O$ છે.
સંકીર્ણ આયન $[Cu(NH_{3})_{4}]^{2+}$ માં,$Cu$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+2$ છે.
$Cu^{2+}$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^{9}$ છે.
$NH_{3}$ (પ્રબળ ક્ષેત્ર લિગન્ડ) ની હાજરીને કારણે,સંકીર્ણ $dsp^{2}$ સંકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે સ્ક્વેર પ્લેનર ભૂમિતિ મળે છે.
$3d$ કક્ષકમાં એક અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,આ સંકીર્ણ પેરામેગ્નેટિક છે.

(B) $Cr$ $(Z=24)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે।
$+3$ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં, $Cr^{3+}$ ત્રણ ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવીને $[Ar] 3d^3$ બનાવે છે।
આ રચનામાં $n = 3$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે।
અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ ની ગણતરી $\mu = \sqrt{n(n+2)} \ BM$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે।
$n=3$ મૂકતા, આપણને $\mu = \sqrt{3(3+2)} = \sqrt{15} \approx 3.87 \ BM$ મળે છે।

(C) કોપર$(II)$ સલ્ફેટ પેન્ટાહાઇડ્રેટની રચનામાં,$[Cu(H_{2}O)_{4}]SO_{4} \cdot H_{2}O$,ચાર પાણીના અણુઓ સીધા $Cu^{2+}$ આયન સાથે જોડાયેલા છે.
પાંચમો પાણીનો અણુ સ્ફટિક લેટીસમાં $SO_{4}^{2-}$ આયન અને સંકલિત પાણીના અણુઓ વચ્ચે હાઇડ્રોજન બંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.

(D) વર્નરના સિદ્ધાંત મુજબ,મધ્યસ્થ ધાતુ આયનની દ્વિતીયક સંયોજકતા તેના સવર્ગ આંક (coordination number) જેટલી હોય છે.
સંકીર્ણ $[Co(NH_3)_4 Cl_2]^+$ માં,$Co^{3+}$ આયન $4$ $NH_3$ અણુઓ અને $2$ $Cl^-$ આયનો સાથે જોડાયેલ છે.
તેથી,સવર્ગ આંક $= 4 + 2 = 6$.
આમ,$Co^{3+}$ ની દ્વિતીયક સંયોજકતા $6$ છે.

(D) $[Pt(NH_{3})_{6}]^{4+}$ સંકીર્ણ માં:
$I$. ધારો કે $Pt$ નો ઓક્સિડેશન આંક $x$ છે. $NH_{3}$ તટસ્થ લિગેન્ડ હોવાથી,$x + 6(0) = +4$,તેથી $x = +4$.
$II$. સવર્ગ આંક એ મધ્યસ્થ ધાતુ આયન સાથે જોડાયેલા લિગેન્ડ દાતા પરમાણુઓની સંખ્યા છે. અહીં $6$ $NH_{3}$ લિગેન્ડ હોવાથી,સવર્ગ આંક $6$ છે.

(B) $Zn$ $(Z=30)$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^{10} 4s^2$ છે.
$+2$ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં,$Zn^{2+}$ ની રચના $[Ar] 3d^{10}$ છે.
$3d$ કક્ષક સંપૂર્ણ ભરાયેલી હોવાથી,તેમાં કોઈ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન નથી.
તેથી,$d-d$ સંક્રમણના અભાવે $Zn^{2+}$ ના સંયોજનો રંગહીન હોય છે.

(D) લિગેન્ડની વિભાજન શક્તિ સ્પેક્ટ્રોકેમિકલ શ્રેણી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
સ્પેક્ટ્રોકેમિકલ શ્રેણી મુજબ,ક્ષેત્રની પ્રબળતાનો ક્રમ આ મુજબ છે: $S^{2-} < OH^{-} < NCS^{-} < CO$.
$CO$ એ પ્રબળ ક્ષેત્ર લિગેન્ડ છે અને તે $d$-કક્ષકોનું મહત્તમ વિભાજન કરે છે.
તેથી,$CO$ ની વિભાજન શક્તિ સૌથી વધુ છે.

(A) $3d-$ શ્રેણીના તત્વોમાં,આવર્તમાં $Sc$ થી $Zn$ તરફ જતાં ઘનતા અને પરમાણ્વીય દળ વધે છે.
તેથી,$Sc$ $(Z = 21)$ એ $3d-$ શ્રેણીનું પ્રથમ તત્વ હોવાથી,આપેલા વિકલ્પોમાં તેની ઘનતા સૌથી ઓછી છે અને તે સૌથી હલકું છે.

(B) -ઇલેક્ટ્રોનને કારણે મજબૂત ધાત્વિક બંધને લીધે મોટાભાગના સંક્રાંતિ તત્વો ખૂબ જ સખત હોય છે.
જોકે,$Zn, Cd,$ અને $Hg$ જેવા તત્વોમાં સંપૂર્ણ ભરાયેલી $d$-કક્ષકો ($d^{10}$ ઇલેક્ટ્રોન રચના) હોય છે,જેના પરિણામે નબળો ધાત્વિક બંધ બને છે.
તેથી,$Co, W,$ અને $Mo$ ની તુલનામાં $Zn$ એક નરમ તત્વ છે.

(A) બેબિટ મેટલ એ મુખ્યત્વે ટીનથી બનેલી નરમ મિશ્રધાતુ છે.
તેમાં સામાન્ય રીતે $89.3 \%$ ટીન,$7.1 \%$ એન્ટિમોની અને $3.6 \%$ કોપર હોય છે.

(C) કોઈપણ સંક્રાંતિ તત્વ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી સૌથી વધુ ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+8$ છે.
આ રૂથેનિયમ $(Ru)$ અને ઓસ્મિયમ $(Os)$ જેવા તત્વોમાં તેમના ટેટ્રોક્સાઇડ્સ,જેમ કે $RuO_4$ અને $OsO_4$ માં જોવા મળે છે.

(C) $(C)$
$3d-$ શ્રેણીમાં, પરમાણુ ક્રમાંક વધવાની સાથે તત્વોની ઘનતા સામાન્ય રીતે વધે છે, કારણ કે પરમાણ્વીય દળમાં વધારો થાય છે અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યામાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી, ઘનતાનો સાચો ઉતરતો ક્રમ $Ni > Fe > Cr > V$ છે.

(D) જ્યારે ટંગસ્ટન $(W)$ ધાતુ ઓક્સિજન વાયુ $(O_2)$ ના સંપર્કમાં આવે છે,ત્યારે તે સપાટી પર અધિશોષણ અને ત્યારબાદ ઓક્સિડેશન પામીને ટંગસ્ટન ટ્રાયોક્સાઇડ $(WO_3)$ બનાવે છે.

(B) સાચું વિધાન એ છે કે એક્ટિનોઇડ સંકોચન એ લેન્થેનોઇડ સંકોચન કરતા વધારે હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે $5f$ ઇલેક્ટ્રોન $4f$ ઇલેક્ટ્રોનની તુલનામાં નબળી શીલ્ડિંગ અસર ધરાવે છે,જેના પરિણામે એક્ટિનોઇડ શ્રેણીમાં વધુ અસરકારક ન્યુક્લિયર ચાર્જ અને વધુ નોંધપાત્ર સંકોચન જોવા મળે છે.

(D) લેન્થેનોઇડ્સ $(Ln)$ ની ઓક્સિજન સાથેની પ્રક્રિયાથી સ્થાયી ઓક્સાઇડ $(Ln_2O_3)$ બને છે:
$4Ln + 3O_2 \rightarrow 2Ln_2O_3$ (સંયોજન $A$)
જ્યારે લેન્થેનોઇડ ઓક્સાઇડ $(Ln_2O_3)$ વધારાના $CO_2$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે તે અનુરૂપ કાર્બોનેટ $(Ln_2(CO_3)_3)$ બનાવે છે:
$Ln_2O_3 + 3CO_2 \rightarrow Ln_2(CO_3)_3$ (સંયોજન $B$)
તેથી,સંયોજન $(B)$ નું સૂત્ર $Ln_2(CO_3)_3$ છે.

(B) રાસાયણિક જોડિયા એવા તત્વોની જોડી છે જે લેન્થેનોઇડ સંકોચનને કારણે સમાન રાસાયણિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
$Nb-Ta$, $Mo-W$, અને $Tc-Re$ એ રાસાયણિક જોડિયાના ઉદાહરણો છે.
$Zr-Hf$ (હેફનિયમ) રાસાયણિક જોડિયા છે, પરંતુ $Zr-Rf$ (રધરફોર્ડિયમ) નથી, કારણ કે $Rf$ એ એક્ટિનોઇડ શ્રેણીનું તત્વ છે અને તેના રાસાયણિક ગુણધર્મો અલગ છે.

(C) લેન્થેનોઇડ શ્રેણીમાં,લેન્થેનોઇડ સંકોચનને કારણે પરમાણ્વીય કદ ડાબેથી જમણે ઘટતું જાય છે.
જેમ પરમાણ્વીય ક્રમાંક વધે છે,તેમ $4f$ ઇલેક્ટ્રોનની શીલ્ડિંગ અસર નબળી હોય છે,જેના પરિણામે અસરકારક કેન્દ્રીય વીજભારમાં વધારો થાય છે.
આપેલા તત્વો ($Ce$,$Pr$,$Pm$,$Sm$) માં,પરમાણ્વીય ક્રમાંક $Ce(58)$,$Pr(59)$,$Pm(61)$,અને $Sm(62)$ છે.
જેમ પરમાણ્વીય ક્રમાંક વધે તેમ પરમાણ્વીય કદ ઘટતું હોવાથી,આપેલા વિકલ્પોમાં $Sm$ નું પરમાણ્વીય કદ સૌથી નાનું છે.
ક્રમ $Ce > Pr > Pm > Sm$ છે.

(C) લેન્થેનોઇડ શ્રેણીમાં,જેમ પરમાણુ ક્રમાંક $Ce$ $(Z=58)$ થી $Lu$ $(Z=71)$ સુધી વધે છે,તેમ ત્રિસંયોજક આયનો $(Ln^{3+})$ ની આયનીય ત્રિજ્યામાં સતત ઘટાડો થાય છે. આ ઘટનાને લેન્થેનોઇડ સંકોચન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,આપેલા આયનો માટે આયનીય ત્રિજ્યાનો ઘટતો ક્રમ છે: $Ce^{3+} > Pm^{3+} > Sm^{3+} > Gd^{3+}$.

(A) લેન્થેનોઇડ્સ માટે સામાન્ય ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+3$ છે.
$Ce$ (સીરિયમ) ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Xe] 4f^1 5d^1 6s^2$ છે.
ચાર ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવ્યા પછી ખાલી $f$-ઓર્બિટલની સ્થિરતાને કારણે,$Ce$ એ $+3$ ઉપરાંત $+4$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા દર્શાવે છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
લેન્થેનોઇડ્સ સામાન્ય રીતે $+3$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા દર્શાવે છે.
જોકે,કેટલાક તત્વો $f^0$,$f^7$,અથવા $f^{14}$ કોન્ફિગરેશનની સ્થિરતાને કારણે $+2$ અથવા $+4$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા દર્શાવે છે.
ગેડોલિનિયમ $(Gd)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Xe] \ 4f^7 \ 5d^1 \ 6s^2$ છે.
ત્રણ ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવ્યા પછી,તે $Gd^{3+}$ બનાવે છે જેની રચના $[Xe] \ 4f^7$ છે,જે અર્ધ-ભરાયેલી સ્થિર $f$-સબશેલ રચના છે.
આ વધારાની સ્થિરતાને કારણે,$Gd$ મુખ્યત્વે ફક્ત $+3$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા દર્શાવે છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$Lr$ $(Z=103)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Rn] 5f^{14} 6d^{1} 7s^{2}$ છે.
સંપૂર્ણ ભરાયેલી $5f$ કક્ષકને કારણે,$Lr$ માત્ર $+3$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા દર્શાવે છે.

(C) પ્રથમ આંતરિક સંક્રાંતિ શ્રેણીને $Lanthanoid$ શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેમાં પરમાણુ ક્રમાંક $58$ $(Ce)$ થી $71$ $(Lu)$ સુધીના તત્વોનો સમાવેશ થાય છે.
$Pr$ $(Praseodymium)$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $59$ છે,જે $Lanthanoid$ શ્રેણીની શ્રેણીમાં આવે છે.
$Bk$ $(Berkelium)$,$Pu$ $(Plutonium)$,અને $Fm$ $(Fermium)$ એ બીજી આંતરિક સંક્રાંતિ શ્રેણી,એટલે કે $Actinoid$ શ્રેણીના તત્વો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $5f$,$6d$ અને $7s$ કક્ષકોની સમાન ઊર્જાને કારણે એક્ટિનોઇડ્સ વિવિધ ઓક્સિડેશન અવસ્થાઓ દર્શાવે છે.
જોકે સૌથી સામાન્ય ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+3$ છે,પરંતુ $Np$ અને $Pu$ જેવા તત્વો $+7$ સુધીની ઓક્સિડેશન અવસ્થા દર્શાવે છે.
તેથી,એક્ટિનોઇડ્સ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી સૌથી વધુ ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+7$ છે.

(D) પ્રોમેથિયમ $(Pm)$ એ એકમાત્ર રેડિયોએક્ટિવ લેન્થેનોઇડ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોલિટીક કોષમાં,એનોડ એ ધન ધ્રુવ છે જ્યાં ઓક્સિડેશન થાય છે,અને કેથોડ એ ઋણ ધ્રુવ છે જ્યાં રિડક્શન થાય છે. તેથી,ધન ધ્રુવ પર ઓક્સિડેશન થાય છે.

(C) પ્રમાણિત કોષ પોટેન્શિયલની ગણતરી આ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે: $E^{\circ}_{cell} = E^{\circ}_{cathode} - E^{\circ}_{anode}$.
આપેલ કોષ $Ni|Ni^{2+} || Cu^{2+}| Cu$ માં,$Cu$ કેથોડ તરીકે અને $Ni$ એનોડ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$E^{\circ}_{cell} = E^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu} - E^{\circ}_{Ni^{2+}/Ni}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E^{\circ}_{cell} = 0.337 \ V - (-0.236 \ V)$.
$E^{\circ}_{cell} = 0.337 \ V + 0.236 \ V = 0.573 \ V$.

(B) જલીય $NaCl$ ના વિદ્યુતવિભાજન દરમિયાન,નીચે મુજબની પ્રક્રિયાઓ થાય છે:
કેથોડ પર: $2H_2O(l) + 2e^- \rightarrow H_2(g) + 2OH^-(aq)$
એનોડ પર: $2Cl^-(aq) \rightarrow Cl_2(g) + 2e^-$
આમ,એનોડ પર $Cl_2$ વાયુ મુક્ત થાય છે.

(B) રિડક્શન પ્રક્રિયા: $Al^{3+} + 3e^{-} \longrightarrow Al$.
પ્રક્રિયા મુજબ,$1 \ \text{mole}$ $Al^{3+}$ ના રિડક્શન માટે $3 \ \text{mole}$ ઇલેક્ટ્રોનની જરૂર પડે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ \text{mole}$ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $1 \ F = 96500 \ C$ છે.
તેથી,$3 \ \text{mole}$ ઇલેક્ટ્રોન માટે જરૂરી વિદ્યુતભાર $3 \times 96500 \ C = 289500 \ C$ થાય.
જેને વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં $2.895 \times 10^{5} \ C$ તરીકે લખી શકાય.

(D) કોષમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $Q = I \times t$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
આપેલ છે $I = 5 \ A$ અને $t = 200 \ s$,તેથી $Q = 5 \ A \times 200 \ s = 1000 \ C$.
એક ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર આશરે $1.602 \times 10^{-19} \ C$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{Q}{e} = \frac{1000 \ C}{1.602 \times 10^{-19} \ C} \approx 6.24 \times 10^{21}$ ઇલેક્ટ્રોન છે.

(A) કોષ પ્રક્રિયા છે: $2 Ag_{(aq)}^{+} + Cd_{(s)} \longrightarrow 2 Ag_{(s)} + Cd_{(aq)}^{2+}$
અહીં,સ્થાનાંતરિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા,$n = 2$ છે.
પ્રમાણિત મુક્ત ઉર્જા ફેરફારનું સૂત્ર: $\Delta G^{\circ} = -nFE^{\circ}_{cell}$
કિંમતો મૂકતા: $\Delta G^{\circ} = -2 \times 96500 \times 1.20 = -231600 \ J = -231.6 \ kJ$

(B) પ્રમાણિત કોષ પોટેન્શિયલનું સૂત્ર: $E_{cell}^{0} = E_{cathode}^{0} - E_{anode}^{0}$ છે.
અહીં,કોપર ઇલેક્ટ્રોડ એનોડ તરીકે અને સિલ્વર ઇલેક્ટ્રોડ કેથોડ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલ છે: $E_{cell}^{0} = 0.463 \ V$ અને $E_{Cu}^{0} = 0.337 \ V$.
કિંમતો મૂકતા: $0.463 \ V = E_{Ag}^{0} - 0.337 \ V$.
તેથી,$E_{Ag}^{0} = 0.463 \ V + 0.337 \ V = 0.800 \ V$.

(B) $1 \ F$ એ $1 \ \text{mole}$ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
$1 \ \text{mole}$ ઇલેક્ટ્રોન = $6.022 \times 10^{23} \ \text{electrons}$.
$0.40 \ F$ માટે સંકળાયેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા} = 0.40 \times 6.022 \times 10^{23} = 2.4088 \times 10^{23}$.

(D) કેથોડ પરની અર્ધ-પ્રક્રિયા છે:
$Cu^{2+}_{(aq)} + 2e^- \longrightarrow Cu_{(s)}$
આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 1.5 \ A$,સમય $t = 10 \ min = 600 \ s$.
ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,જમા થયેલ પદાર્થનું દળ:
$m = \frac{I \times t \times M}{n \times F}$
જ્યાં $M = 63.7 \ g/mol$,$n = 2$,અને $F = 96500 \ C/mol$.
$m = \frac{1.5 \times 600 \times 63.7}{2 \times 96500} = \frac{57330}{193000} \approx 0.297 \ g$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વિદ્યુત-રાસાયણિક તુલ્યાંક $(Z)$ એ વિદ્યુતવિભાજ્યમાંથી પસાર થતા એકમ વિદ્યુતભાર $(Q)$ દીઠ ઇલેક્ટ્રોડ પર જમા થયેલા અથવા મુક્ત થયેલા પદાર્થના દળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,$m = Z \times Q$,જ્યાં $m$ એ દળ $Kg$ માં છે અને $Q$ એ વિદ્યુતભાર $Coulombs$ $(C)$ માં છે.
તેથી,$Z = \frac{m}{Q}$.
દળનો $SI$ એકમ $Kg$ છે અને વિદ્યુતભારનો $SI$ એકમ $C$ છે.
આમ,વિદ્યુત-રાસાયણિક તુલ્યાંકનો $SI$ એકમ $Kg \ C^{-1}$ છે.

(A) કેથોડ પર રિડક્શન પ્રક્રિયા: $Mg^{2+} + 2e^{-} \longrightarrow Mg$ છે.
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$1 \ mol$ $Mg$ $(24 \ g)$ માટે $2 \ F$ વિદ્યુતની જરૂર પડે છે.
તેથી,$4.8 \ g$ $Mg$ માટે જરૂરી ફેરાડેની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\text{Faradays} = \frac{4.8 \ g}{24 \ g/mol} \times 2 \ F/mol = 0.2 \ mol \times 2 \ F/mol = 0.4 \ F$.

(D) $1 \ Faraday$ એ $1 \ mole$ ઇલેક્ટ્રોન પરનો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
કોઈપણ પદાર્થનો $1 \ mole$ $6.022 \times 10^{23}$ કણો ધરાવે છે,તેથી $1 \ Faraday$ વિદ્યુત $6.022 \times 10^{23}$ ઇલેક્ટ્રોનને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ છે: $E^{\circ}_{\text{cell}} = 1.049 \ V$,$n = 2$.
$298 \ K$ તાપમાને $E^{\circ}_{\text{cell}}$ અને સંતુલન અચળાંક $K$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E^{\circ}_{\text{cell}} = \frac{0.0592}{n} \log_{10} K$
$\log_{10} K$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\log_{10} K = \frac{E^{\circ}_{\text{cell}} \times n}{0.0592} = \frac{1.049 \times 2}{0.0592}$
$\log_{10} K = \frac{2.098}{0.0592} \approx 35.439$
એન્ટિલોગ લેતા:
$K = 10^{35.439} = 2.75 \times 10^{35}$

(C) મેટલ-મેટલ આયન ઇલેક્ટ્રોડમાં ધાતુનો સળિયો તેના પોતાના આયનો ધરાવતા દ્રાવણમાં ડૂબેલો હોય છે.
વિકલ્પ $Zn^{2+} (aq.) \mid Zn (s)$ માં,ઝિંક ધાતુનો સળિયો દ્રાવણમાં રહેલા $Zn^{2+}$ આયનોના સંપર્કમાં છે.
તેથી,તે મેટલ-મેટલ આયન ઇલેક્ટ્રોડનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(B) ધાતુ-અલ્પ દ્રાવ્ય ક્ષાર વિદ્યુતધ્રુવમાં ધાતુ તેના અલ્પ દ્રાવ્ય ક્ષાર અને તે ક્ષારના ઋણાયન ધરાવતા દ્રાવણના સંપર્કમાં હોય છે.
વિદ્યુતધ્રુવ $Cl^{-} (aq) | AgCl_{(s)} | Ag_{(s)}$ માં,ધાતુ $Ag$ તેના અલ્પ દ્રાવ્ય ક્ષાર $AgCl$ અને ઋણાયન $Cl^{-}$ ના સંપર્કમાં છે.
અર્ધ-કોષ પ્રક્રિયા છે: $AgCl_{(s)} + e^{-} \rightarrow Ag_{(s)} + Cl^{-} (aq)$.
આ ધાતુ-અલ્પ દ્રાવ્ય ક્ષાર વિદ્યુતધ્રુવનું એક ઉત્તમ ઉદાહરણ છે,જેનો ઉપયોગ સંદર્ભ વિદ્યુતધ્રુવ તરીકે થાય છે.

(C) લેડ એક્યુમ્યુલેટર (લેડ-એસિડ બેટરી) માં,કેથોડ લેડ ડાયોક્સાઇડ $(PbO_{2_{(s)}})$ નો બનેલો હોય છે.
ડિસ્ચાર્જિંગ પ્રક્રિયા દરમિયાન,કેથોડ પરની પ્રતિક્રિયા છે:$PbO_{2\text{(s)}} + 4H^{+}{_{\text{(aq)}}} + SO_4^{2-}{_{\text{(aq)}}} + 2e^{-} \rightarrow PbSO_{4\text{(s)}} + 2H_2O_{\text{(l)}}$.
આ પ્રતિક્રિયામાં,$PbO_{2}$ માં $Pb$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+4$ થી ઘટીને $PbSO_{4}$ માં $+2$ થાય છે.
ઓક્સિડેશન આંક ઘટતો હોવાથી,$PbO_{2_{(s)}}$ નું રિડક્શન $Pb^{2+}$ આયનોમાં થાય છે (જે પછી $PbSO_{4_{(s)}}$ બનાવે છે).

(A) આપેલ છે: વાહકતા,$\kappa = 1.06 \times 10^{-2} \ \Omega^{-1} \ cm^{-1}$ અને સાંદ્રતા,$C = 0.1 \ M$.
મોલર વાહકતાનું સૂત્ર $\Lambda_m = \frac{\kappa \times 1000}{C}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Lambda_m = \frac{1.06 \times 10^{-2} \times 1000}{0.1} = \frac{10.6}{0.1} = 106 \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$.
આમ,$\Lambda_m = 1.06 \times 10^{2} \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$.

(B) વાહકતા $(\kappa)$ એ અવરોધકતા $(\rho)$ નો વ્યસ્ત છે.
$\kappa = \frac{1}{\rho}$
અવરોધકતા $\rho = R \times \frac{A}{l}$ હોવાથી,જ્યાં $R$ એ અવરોધ $\Omega$ માં છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ $cm^2$ માં છે,અને $l$ એ લંબાઈ $cm$ માં છે.
$\kappa = \frac{1}{R} \times \frac{l}{A} = \Omega^{-1} \times \frac{cm}{cm^2} = \Omega^{-1} \ cm^{-1}$.
આમ,$C.G.S.$ પદ્ધતિમાં વાહકતાનો સામાન્ય એકમ $\Omega^{-1} \ cm^{-1}$ અથવા $S \ cm^{-1}$ છે.

(B) વાહકતા $(k)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $k = \frac{\text{કોષ અચળાંક}}{R}$
અહીં કોષ અચળાંક $0.5 \ cm^{-1}$ અને અવરોધ $(R)$ $375 \ \Omega$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$k = \frac{0.5 \ cm^{-1}}{375 \ \Omega} = 1.333 \times 10^{-3} \ \Omega^{-1} \ cm^{-1}$

(A) આપેલ છે: અવરોધ $(R) = 484 \ \Omega$,વાહકતા $(\kappa) = 0.00141 \ \Omega^{-1} \ cm^{-1}$.
કોષ અચળાંક $(G^*)$ માટેનું સૂત્ર: $G^* = \kappa \times R$.
કિંમતો મૂકતા: $G^* = 0.00141 \ \Omega^{-1} \ cm^{-1} \times 484 \ \Omega$.
$G^* = 0.68244 \ cm^{-1} \approx 0.682 \ cm^{-1}$.

(C) કોહલરાઉસના આયનોના સ્વતંત્ર અભિગમનનો નિયમ મુજબ,અનંત મંદતાએ વિદ્યુતવિભાજ્યની મોલર વાહકતા તેના ઘટક આયનોની મોલર વાહકતાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$\wedge_{m}^{0}(CaCl_{2}) = \lambda_{Ca^{2+}}^{0} + 2 \lambda_{Cl^{-}}^{0}$
આપેલ છે,$\lambda_{Ca^{2+}}^{0} = 119 \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$ અને $\lambda_{Cl^{-}}^{0} = 71 \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\wedge_{m}^{0}(CaCl_{2}) = 119 + 2(71)$
$\wedge_{m}^{0}(CaCl_{2}) = 119 + 142 = 261.0 \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ mol^{-1}$.