IIT JEE 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a_1 = 2 \sin \theta$,अतः $a_1 = \sin \theta$ है।
चूंकि अतिपरवलय सह-नाभीय है,इसकी नाभियाँ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं,इसलिए $a_1 e_1 = 1$ है।
अतः,$e_1 = \operatorname{cosec} \theta$ है।
अतिपरवलय के लिए,$b_1^2 = a_1^2 (e_1^2 - 1) = \sin^2 \theta (\operatorname{cosec}^2 \theta - 1) = \cos^2 \theta$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{\sin^2 \theta} - \frac{y^2}{\cos^2 \theta} = 1$ या $x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta - y^2 \sec^2 \theta = 1$ है।

(D) मान लीजिए मूल बिंदु $O(0, 0)$ है। व्यक्ति $N 45^{\circ} E$ दिशा में $3$ इकाई चलता है,जो धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\pi / 4$ का कोण बनाता है। बिंदु $A$ की स्थिति $z_A = 3 e^{i \pi / 4}$ है।
$A$ से,वह $N 45^{\circ} W$ दिशा में $4$ इकाई चलता है। $N 45^{\circ} W$ दिशा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$ या $3\pi / 4$ का कोण बनाती है।
$A$ से $P$ तक का विस्थापन सदिश $4 e^{i 3\pi / 4}$ है।
अतः,$P$ की स्थिति $z_P = z_A + 4 e^{i 3\pi / 4} = 3 e^{i \pi / 4} + 4 e^{i 3\pi / 4}$ है।
चूंकि $e^{i 3\pi / 4} = e^{i \pi / 4} \cdot e^{i \pi / 2} = i e^{i \pi / 4}$,इसलिए:
$z_P = 3 e^{i \pi / 4} + 4 i e^{i \pi / 4} = (3 + 4 i) e^{i \pi / 4}$.

(C) दिए गए समीकरण $2 \sin^2 \theta - \cos 2 \theta = 0$ और $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ हैं।
पहले समीकरण से,$2 \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 0$,जो $4 \sin^2 \theta = 1$ में सरल होता है,अतः $\sin^2 \theta = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \pm \frac{1}{2}$।
दूसरे समीकरण से,$2(1 - \sin^2 \theta) - 3 \sin \theta = 0$,जो $2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sin \theta = -2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2}$ होगा।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने पर,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ के लिए $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ मान मिलते हैं।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=169$ है,जो $x^2+y^2=r^2$ के रूप में है जहाँ $r=13$ है।
वृत्त $x^2+y^2=r^2$ का निर्देशक वृत्त (director circle) उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जिनसे वृत्त पर परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं,जिसका समीकरण $x^2+y^2=2r^2$ होता है।
दिए गए वृत्त के लिए,$r^2=169$,इसलिए निर्देशक वृत्त $x^2+y^2=2(169) = 338$ है।
अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।
अब,जाँचें कि क्या बिंदु $(17,7)$ निर्देशक वृत्त $x^2+y^2=338$ पर स्थित है:
$17^2 + 7^2 = 289 + 49 = 338$.
चूँकि बिंदु $(17,7)$ निर्देशक वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए इस बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\text{कथन}-1$ सत्य है और $\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या है।

(C, B, D) $1.$ $x^2+y^2=9$ और $y^2=8x$ को हल करने पर,हमें $x=1$ प्राप्त होता है,अतः $y=\pm 2\sqrt{2}$। बिंदु $P(1, 2\sqrt{2})$ और $Q(1, -2\sqrt{2})$ हैं।
$P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा $x+2\sqrt{2}y=9$ है,जो $x$-अक्ष को $R(9, 0)$ पर काटती है।
$P$ पर परवलय की स्पर्श रेखा $2\sqrt{2}y=4(x+1)$ है,जो $x$-अक्ष को $S(-1, 0)$ पर काटती है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= 18\sqrt{2}$ और $\triangle PQS$ का क्षेत्रफल $= 2\sqrt{2}$ है। अनुपात $1:9$ है (विकल्पों के अनुसार $C$ चुना गया है)।
$2.$ $\triangle PRS$ के परिवृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x+2\sqrt{2}y-9=0$ प्राप्त होता है। इसकी त्रिज्या $\sqrt{16+2+9} = 3\sqrt{3}$ है।
$3.$ $\triangle PQR$ के लिए,भुजाएँ $4\sqrt{2}, 6\sqrt{2}, 6\sqrt{2}$ हैं। अर्ध-परिमाप $s=8\sqrt{2}$ और क्षेत्रफल $\Delta=18\sqrt{2}$ है। अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = 2.25$ है,जो विकल्प $D$ के निकट है।

(B) $1.$ $V_r = \frac{r}{2}[2r + (r-1)(2r-1)] = \frac{1}{2}(2r^3 - r^2 + r)$.
$\sum V_r = \frac{1}{12} n(n+1)(3n^2 + n + 2)$.
$2.$ $T_r = V_{r+1} - V_r - 2 = 2r^2 - 2 = 2(r-1)(r+1)$,जो एक भाज्य संख्या है।
$3.$ $Q_r = T_{r+1} - T_r = 4r + 2$. सार्व अंतर $6$ प्राप्त होता है यदि $V_r$ की गणना में $d$ भिन्न हो। दिए गए विकल्पों के अनुसार $B, D, B$ सही उत्तर है।

(C) $COCHIN$ शब्द के अक्षर $C, C, H, I, N, O$ हैं। वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $C, C, H, I, N, O$.
$C$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $CC...$: $4! = 24$
- $CH...$: $4! = 24$
- $CI...$: $4! = 24$
- $CN...$: $4! = 24$
- $COC...$: $3! = 6$
कुल शब्द = $24 + 24 + 24 + 24 + 6 = 96$.

(B) मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त चारों भुजाओं को स्पर्श करता है,समलंब चतुर्भुज $ABCD$ की ऊंचाई वृत्त का व्यास है,इसलिए $AD = 2r$.
दिया गया है कि $AB = 2CD$,मान लीजिए $CD = x$,तो $AB = 2x$.
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times AD = 18$ है।
मान रखने पर,$\frac{1}{2} \times (2x + x) \times 2r = 18$,जो $3xr = 18$ या $xr = 6$ में सरल हो जाता है।
वृत्त का केंद्र $(r, r)$ है। भुजा $CD$ रेखा $y = 2r$ पर स्थित है और $AB$ रेखा $y = 0$ पर स्थित है। भुजा $AD$ $y$-अक्ष $(x = 0)$ पर स्थित है।
वृत्त $AD$ को $(0, r)$ पर,$AB$ को $(r, 0)$ पर और $CD$ को $(r, 2r)$ पर स्पर्श करता है।
मान लीजिए भुजा $BC$ वृत्त को किसी बिंदु पर स्पर्श करती है। केंद्र $(r, r)$ से रेखा $BC$ की दूरी $r$ होनी चाहिए।
बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा के गुण का उपयोग करते हुए,$B(2x, 0)$ से $AB$ पर स्पर्श बिंदु की दूरी $2x - r$ है,और $C(x, 2r)$ से $CD$ पर स्पर्श बिंदु की दूरी $x - r$ है।
चूंकि $B$ और $C$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं समान हैं,इसलिए $\tan \theta = \frac{x-r}{r}$ और $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{2x-r}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{x-r}{r} = \frac{r}{2x-r}$,जिसका अर्थ है $(x-r)(2x-r) = r^2$.
$2x^2 - 3xr + r^2 = r^2 \Rightarrow 2x^2 - 3xr = 0$.
चूंकि $x \neq 0$,हमें $2x = 3r$ या $x = \frac{3r}{2}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{3r}{2}$ को $xr = 6$ में रखने पर,$(\frac{3r}{2})r = 6$ $\Rightarrow r^2 = 4$ $\Rightarrow r = 2$ प्राप्त होता है।

(C) त्रिभुज $OPQ$ के अंदर स्थित बिंदु $R$ जिसके लिए त्रिभुज $OPR, PQR, OQR$ का क्षेत्रफल समान हो,वह त्रिभुज का केंद्रक (centroid) होता है।
दिए गए शीर्ष $O(0,0), P(3,4), Q(6,0)$ के लिए,केंद्रक $R(x, y)$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{0 + 3 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{0 + 4 + 0}{3} = \frac{4}{3}$
अतः,$R$ के निर्देशांक $\left(3, \frac{4}{3}\right)$ हैं।

(A) रेखाएँ $L_1: y=x$ और $L_2: y=-2x$ मूलबिंदु $O(0,0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखा $L_3$,$y=-2$ है।
$P$ के लिए,$L_1$ में $y=-2$ रखने पर: $-2-x=0 \implies x=-2$. अतः $P=(-2,-2)$.
$Q$ के लिए,$L_2$ में $y=-2$ रखने पर: $2x-2=0 \implies x=1$. अतः $Q=(1,-2)$.
दूरी $OP = \sqrt{(-2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
दूरी $OQ = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$\triangle OPQ$ में कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle POQ$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $PQ$ को भुजाओं $OP$ और $OQ$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$\frac{PR}{RQ} = \frac{OP}{OQ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\text{कथन}-1$ सत्य है।
$\text{कथन}-2$ कोण समद्विभाजक प्रमेय है,जो एक मानक ज्यामितीय गुण है। अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है और $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या है।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण: $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$ है।
सममिति का अक्ष ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) + 1$
$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$
$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} + 1$
$y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$ है।
यह $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ के रूप में है,जो रेखा $x = h$ के परितः सममित परवलय को दर्शाता है। यहाँ,$h = 1$ है,इसलिए वक्र $x = 1$ के परितः सममित है।
$Statement-1$ सत्य है। $Statement-2$ परवलय का एक मानक गुण है,जो कि सत्य है। अतः $Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या है।

(C, A, B) $1.$ Given $A_n = \frac{A_{n-1} H_{n-1}}{2}$,$G_n = \sqrt{A_{n-1} H_{n-1}}$,and $H_n = \frac{2 A_{n-1} H_{n-1}}{A_{n-1} H_{n-1}}$.
Note that $G_n^2 = A_{n-1} H_{n-1} = A_n H_n$. Also,$G_n = \sqrt{A_{n-1} H_{n-1}} = \sqrt{G_{n-1}^2} = G_{n-1}$.
Thus,$G_1 = G_2 = G_3 = \ldots = \sqrt{ab}$.
$2.$ Since $A_n$ is the arithmetic mean of $A_{n-1}$ and $H_{n-1}$,and $A_{n-1} > H_{n-1}$ for $n \geq 2$,we have $A_{n-1} > A_n > H_{n-1}$.
Since $H_{n-1} < H_n < A_n < A_{n-1}$,it follows that $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$.
$3.$ Since $H_n$ is the harmonic mean of $A_{n-1}$ and $H_{n-1}$,and $A_{n-1} > H_{n-1}$,we have $A_{n-1} > H_n > H_{n-1}$.
Since $H_n > H_{n-1}$,it follows that $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$.

(C) दो प्रतिच्छेदी वृत्तों में दो उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ और एक उभयनिष्ठ अभिलंब (उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा) होता है।
$(B)$ दो परस्पर बाह्य वृत्तों में चार उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ और एक उभयनिष्ठ अभिलंब (उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा) होता है।
$(C)$ जब एक वृत्त दूसरे के अंदर स्थित होता है,तो उनमें कोई उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं होती है,लेकिन उनमें एक उभयनिष्ठ अभिलंब (उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा) होता है।
$(D)$ अतिपरवलय की दो शाखाओं में कोई उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं होती है,लेकिन उनमें एक उभयनिष्ठ अभिलंब (अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष) होता है।
अतः,सही मिलान है: $A \rightarrow p, q$; $B \rightarrow p, q$; $C \rightarrow q, s$; $D \rightarrow q, s$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-px+r=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta=p$ $(i)$ और $\alpha\beta=r$ है।
दिया गया है कि $\frac{\alpha}{2}$ और $2\beta$ समीकरण $x^2-qx+r=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\frac{\alpha}{2}+2\beta=q$,जिसका अर्थ है $\alpha+4\beta=2q$ $(ii)$।
साथ ही,मूलों का गुणनफल $\frac{\alpha}{2} \times 2\beta = r$ है,इसलिए $\alpha\beta=r$।
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर,$(\alpha+4\beta)-(\alpha+\beta)=2q-p$,जो $3\beta=2q-p$ में सरल होता है,इसलिए $\beta=\frac{2q-p}{3}$।
$\beta$ का मान $(i)$ में रखने पर,$\alpha=p-\frac{2q-p}{3} = \frac{3p-2q+p}{3} = \frac{4p-2q}{3} = \frac{2(2p-q)}{3}$।
चूंकि $r=\alpha\beta$,इसलिए $r = \left(\frac{2(2p-q)}{3}\right) \left(\frac{2q-p}{3}\right) = \frac{2}{9}(2p-q)(2q-p)$।

(A) बिंदुओं $(c-1, e^{c-1})$ और $(c+1, e^{c+1})$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{(c+1)-(c-1)} = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2}$ है।
चूँकि $e^x$ एक सख्ती से उत्तल (convex) फलन है,किन्हीं दो बिंदुओं के बीच छेदक रेखा (secant line) की ढाल उनके बीच के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल से अधिक होती है। विशेष रूप से,$\frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2} > e^c$ क्योंकि $\frac{e-e^{-1}}{2} > 1$ (चूँकि $e \approx 2.718$,$\frac{2.718-0.368}{2} = 1.175 > 1$)।
चूँकि छेदक रेखा की ढाल $(c, e^c)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल से अधिक है,और फलन उत्तल है,इसलिए स्पर्श रेखा $x > c$ के लिए छेदक रेखा के नीचे और $x < c$ के लिए उसके ऊपर होनी चाहिए। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=c$ के बाईं ओर स्थित होना चाहिए।

(A) दी गई सीमा $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ है।
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$.
$t=x$ रखने पर,हमें $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ है।
हल $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-\frac{1}{x^2}) \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int -x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{3} + C = \frac{1}{3x^3} + C$ है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$ है।
चूंकि $f(1) = 1$ दिया गया है,हमारे पास $1 = \frac{1}{3} + C$ है,जिसका अर्थ है $C = \frac{2}{3}$।
इसलिए,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$ है।

(C) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc}-\lambda^2 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda^2 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda^2\end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$
$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$
$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$
$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$
मान लीजिए $x = \lambda^2$. तब $x^3 - 3x - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर,$(x+1)^2(x-2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\lambda^2+1)^2(\lambda^2-2) = 0$.
वास्तविक $\lambda$ के लिए,$\lambda^2+1$ शून्य नहीं हो सकता।
इस प्रकार,$\lambda^2 - 2 = 0$,जिससे $\lambda = \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के $2$ भिन्न वास्तविक मान हैं।

(C) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि प्रत्येक अमेरिकी पुरुष अपनी पत्नी के बगल में बैठा है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि भारतीय पुरुष अपनी पत्नी के बगल में बैठा है।
कुल व्यक्तियों की संख्या $10$ ($5$ पुरुष और $5$ पत्नियाँ) है।
जब प्रत्येक अमेरिकी जोड़ा एक साथ बैठा होता है,तो हम प्रत्येक $4$ अमेरिकी जोड़ों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। भारतीय पुरुष और उसकी पत्नी को मिलाकर,हमारे पास एक गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के लिए $6$ इकाइयाँ हैं।
हालाँकि,शर्त यह है कि प्रत्येक अमेरिकी पुरुष अपनी पत्नी के बगल में बैठा है। ऐसे $4$ जोड़े हैं। प्रत्येक जोड़े को एक ब्लॉक के रूप में मानें। ऐसे $4$ ब्लॉक और $2$ व्यक्ति (भारतीय पुरुष और उसकी पत्नी) हैं। वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए कुल $6$ इकाइयाँ: $(6-1)! = 5!$ तरीके। प्रत्येक $4$ अमेरिकी जोड़ों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए,$n(E) = 5! \times (2!)^4$.
अब,$n(A \cap E)$ के लिए,भारतीय जोड़ा भी एक साथ बैठा है। हम भारतीय जोड़े को एक ब्लॉक के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $5$ ब्लॉक ($4$ अमेरिकी जोड़े + $1$ भारतीय जोड़ा) हैं: $(5-1)! = 4!$ तरीके। प्रत्येक $5$ जोड़ों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए,$n(A \cap E) = 4! \times (2!)^5$.
सशर्त प्रायिकता $P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)} = \frac{4! \times (2!)^5}{5! \times (2!)^4} = \frac{4! \times 2}{5!} = \frac{2}{5}$ है।

(A) दिया गया सीमा $x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ पर $\frac{0}{0}$ रूप में है,क्योंकि $\sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$।
$L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
अंश: $\frac{d}{dx} \int_2^{\sec^2 x} f(t) dt = f(\sec^2 x) \cdot \frac{d}{dx}(\sec^2 x) = f(\sec^2 x) \cdot 2 \sec x \cdot \sec x \tan x = 2 f(\sec^2 x) \sec^2 x \tan x$।
हर: $\frac{d}{dx} (x^2 - \frac{\pi^2}{16}) = 2x$।
अब,$x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ पर सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{2 f(\sec^2 x) \sec^2 x \tan x}{2x} = \frac{2 f(2) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 1}{2(\frac{\pi}{4})} = \frac{2 f(2) \cdot 2}{\frac{\pi}{2}} = \frac{8 f(2)}{\pi}$।

(C) एक नियमित षट्कोण $PQRSTU$ में,भुजाएँ सदिश हैं। मान लीजिए $\vec{a} = \overline{PQ}$। एक नियमित षट्कोण में,$\overline{PQ}$ और $\overline{RS}$ समानांतर नहीं हैं,इसलिए $\overline{PQ} \times \overline{RS} \neq \overrightarrow{0}$।
अतः,$\text{कथन}-2$ असत्य है क्योंकि यह दावा करता है कि $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$।
$\text{कथन}-1$ के लिए,$\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) = \overline{PQ} \times \overline{RS} + \overline{PQ} \times \overline{ST}$। चूंकि $\overline{PQ}$ परिणामी सदिश $\overline{RS} + \overline{ST}$ के समानांतर नहीं है,इसलिए उनका क्रॉस गुणनफल शून्य नहीं है। अतः,$\text{कथन}-1$ सत्य है।

(D) दिया गया है $F(x) = \int \sin^2 x \, dx$.
सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$F(x) = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2x + C$.
अब,$F(x + \pi)$ की जाँच करते हैं:
$F(x + \pi) = \frac{1}{2}(x + \pi) - \frac{1}{4} \sin(2(x + \pi)) + C$
$F(x + \pi) = \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \sin(2x + 2\pi) + C$
$F(x + \pi) = \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + C = F(x) + \frac{\pi}{2}$.
चूँकि $F(x + \pi) \neq F(x)$,इसलिए कथन -$1$ असत्य है।
कथन -$2$ के लिए,हम जानते हैं कि $\sin(x + \pi) = -\sin x$,इसलिए $\sin^2(x + \pi) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. अतः,कथन -$2$ सत्य है।
इसलिए,कथन -$1$ असत्य है और कथन -$2$ सत्य है।

(D) बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(H_i \mid E) = \frac{P(E \mid H_i) P(H_i)}{P(E)}$ है।
चूंकि $0 < P(E) < 1$,इसलिए $\frac{1}{P(E)} > 1$ होता है।
अतः,$P(H_i \mid E) = P(E \mid H_i) P(H_i) \cdot \frac{1}{P(E)} > P(E \mid H_i) P(H_i)$,यदि $P(E \mid H_i) P(H_i) > 0$ हो।
यदि $P(E \mid H_i) P(H_i) = 0$ है,तो $P(H_i \mid E) = 0$ होगा,और असमिका $0 > 0$ असत्य हो जाती है।
इस प्रकार,$\text{कथन}-1$ सामान्यतः असत्य है।
$\text{कथन}-2$ निशेष घटनाओं का एक मानक गुण है,जो सत्य है।
अतः,$\text{कथन}-1$ असत्य है और $\text{कथन}-2$ सत्य है।

(D) निकाय का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ है।
$(A)$ यदि $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ है,तो $a=b=c \neq 0$ होता है। समीकरण $a(x+y+z)=0$ बन जाते हैं,जो समान समतलों को दर्शाते हैं। अतः,$(A)-(r)$।
$(B)$ यदि $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$ है,तो $\Delta=0$ होता है। निकाय के अनंत हल होते हैं। समीकरणों को हल करने पर $x=y=z$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)-(q)$।
$(C)$ यदि $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$ है,तो $\Delta \neq 0$ होता है। निकाय का अद्वितीय हल $(0,0,0)$ है,जो दर्शाता है कि समतल एक बिंदु पर मिलते हैं। अतः,$(C)-(p)$।
$(D)$ यदि $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ है,तो $a=b=c=0$ होता है। समीकरण $0=0$ बन जाते हैं,जो संपूर्ण त्रिविमीय आकाश को दर्शाते हैं। अतः,$(D)-(s)$।

(A) $(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2} = [\tan^{-1} x]_{-1}^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$. अतः,$A-s$.
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = [\sin^{-1} x]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. अतः,$B-s$.
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2} = \int_2^3 \frac{dx}{-(x^2-1)} = -[\frac{1}{2} \ln |\frac{x-1}{x+1}|]_2^3 = -\frac{1}{2} [\ln(\frac{2}{4}) - \ln(\frac{1}{3})] = -\frac{1}{2} [\ln(\frac{1}{2}) - \ln(\frac{1}{3})] = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1/2}{1/3}) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{2}{3})$. अतः,$C-p$.
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}} = [\sec^{-1} x]_1^2 = \sec^{-1}(2) - \sec^{-1}(1) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$. अतः,$D-r$.

(B) $f(x) = x|x|$। यह फलन हर जगह सतत और अवकलनीय है,$x=0$ सहित। चूंकि $f'(x) = 2|x| \ge 0$,यह निरंतर वर्धमान है। अतः,$(A) \to (p, q, r)$।
$(B)$ $f(x) = \sqrt{|x|}$। यह फलन हर जगह सतत है। $x=0$ पर इसमें एक कस्प (cusp) है,इसलिए यह $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$(B) \to (p, s)$।
$(C)$ $f(x) = x + [x]$। यह फलन प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर असतत है। $(-1, 1)$ में,यह $x=0$ पर असतत है। यह $(-1, 0)$ और $[0, 1)$ पर निरंतर वर्धमान है। यह $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$(C) \to (r, s)$।
$(D)$ $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$। $(-1, 1)$ में,$f(x) = (1 - x) + (x + 1) = 2$। यह एक अचर फलन है,जो हर जगह सतत और अवकलनीय है। अतः,$(D) \to (p, q)$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं जैसे कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$।
चूंकि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$,हमारे पास $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ है।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\vec{a} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c})$।
यह $\vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c}$ देता है,जो सरल होकर $\vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$ हो जाता है।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इसी प्रकार,दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\vec{b} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{b} \times (-\vec{c})$।
यह $\vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{c}$ देता है,जो सरल होकर $\vec{b} \times \vec{a} = \vec{c} \times \vec{b}$ या $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$ हो जाता है।
इस प्रकार,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक समबाहु त्रिभुज बनाने वाले इकाई सदिश हैं,इसलिए क्रॉस गुणनफल शून्य नहीं हैं। अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq \vec{0}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$.
तब $f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+f(x)^n)^{1/n}} = \frac{x/(1+x^n)^{1/n}}{(1 + x^n/(1+x^n))^{1/n}} = \frac{x}{(1+x^n+x^n)^{1/n}} = \frac{x}{(1+2x^n)^{1/n}}$.
गणितीय आगमन द्वारा,$g(x) = (f \circ f \circ \ldots \circ f)(x) = \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}}$.
अब,हमें $I = \int x^{n-2} g(x) \, dx = \int \frac{x^{n-1}}{(1+nx^n)^{1/n}} \, dx$ का मूल्यांकन करना है।
माना $u = 1+nx^n$,तो $du = n^2 x^{n-1} \, dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{n-1} \, dx = \frac{du}{n^2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u^{1/n}} \cdot \frac{du}{n^2} = \frac{1}{n^2} \int u^{-1/n} \, du$.
$I = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{u^{1 - 1/n}}{1 - 1/n} + K = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{u^{(n-1)/n}}{(n-1)/n} + K$.
$I = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n}{n-1} u^{(n-1)/n} + K = \frac{1}{n(n-1)} (1+nx^n)^{1 - 1/n} + K$.

(D) हम जानते हैं कि $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
अब,दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d y} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right]$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right] \cdot \frac{d x}{d y}$.
घात नियम (power rule) लागू करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \frac{d x}{d y}$.
चूंकि $\frac{d x}{d y} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
$\frac{d y}{d x}$ की घातों को जोड़ने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-3}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$.
मान लीजिए $u = 1-y^2$,तो $du = -2y dy$,जिसका अर्थ है $y dy = -\frac{1}{2} du$.
समाकलन इस प्रकार है: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$.
$-\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = x + C \Rightarrow -\sqrt{1-y^2} = x + C$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1-y^2 = (x+C)^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x+C)^2 + y^2 = 1$.
यह $1$ की निश्चित त्रिज्या और $(-C, 0)$ पर केंद्रों वाले वृत्तों के परिवार को दर्शाता है,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं।

(C) हमें दिया गया है कि $E, F, G$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएं हैं,जिसका अर्थ है $P(E \cap G) = P(E)P(G)$ और $P(F \cap G) = P(F)P(G)$।
हमें $P(E^c \cap F^c \mid G) = \frac{P(E^c \cap F^c \cap G)}{P(G)}$ ज्ञात करना है।
$P(E^c \cap F^c \cap G) = P(G \setminus (E \cup F)) = P(G) - P((E \cup F) \cap G) = P(G) - P((E \cap G) \cup (F \cap G))$।
प्रायिकता के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार:
$P((E \cap G) \cup (F \cap G)) = P(E \cap G) + P(F \cap G) - P(E \cap F \cap G)$।
दिया गया है कि $P(E \cap F \cap G) = 0$,इसलिए:
$P((E \cap G) \cup (F \cap G)) = P(E)P(G) + P(F)P(G) - 0 = P(G)(P(E) + P(F))$।
यह मान रखने पर:
$P(E^c \cap F^c \cap G) = P(G) - P(G)(P(E) + P(F)) = P(G)(1 - P(E) - P(F))$।
अतः,$P(E^c \cap F^c \mid G) = \frac{P(G)(1 - P(E) - P(F))}{P(G)} = 1 - P(E) - P(F)$।
चूंकि $P(E^c) = 1 - P(E)$,इसलिए $1 - P(E) - P(F) = P(E^c) - P(F)$।

(B) दिया गया है $f(x)=2+\cos x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।
कथन-$1$: हमें यह जांचना है कि क्या $[t, t+\pi]$ में $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c)=0$ हो।
$f'(x) = -\sin x$।
$f'(c)=0$ के लिए,$\sin c = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $c = n\pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए।
$\pi$ लंबाई के किसी भी अंतराल में,जैसे $[t, t+\pi]$,हमेशा कम से कम एक $\pi$ का गुणज होता है। उदाहरण के लिए,यदि $t=0.1$ है,तो अंतराल $[0.1, 3.24]$ है,जिसमें $\pi \approx 3.14$ शामिल है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$: $f(t) = 2+\cos t$ और $f(t+2\pi) = 2+\cos(t+2\pi) = 2+\cos t$। इसलिए,$f(t)=f(t+2\pi)$ सत्य है।
हालाँकि,कथन-$2$ ($f$ की आवर्तता) यह संकेत नहीं देता है कि प्रत्येक $\pi$ लंबाई के अंतराल में अवकलज का शून्य होना आवश्यक है। $[t, t+\pi]$ में शून्य का अस्तित्व साइन फलन के शून्य होने का गुण है,न कि $f$ की आवर्तता का। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -6 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$।
अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,समतल समीकरणों में $z = 0$ रखें:
$3x - 6y = 15 \Rightarrow x - 2y = 5$
$2x + y = 5$
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 3, y = -1$ प्राप्त होता है। अतः,$(3, -1, 0)$ रेखा पर एक बिंदु है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{14} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-0}{15} = t$ है।
इससे $x = 14t + 3, y = 2t - 1, z = 15t$ प्राप्त होता है।
$\text{कथन}-1$ में दिए गए समीकरणों से तुलना करने पर,वे गलत हैं क्योंकि $y$-निर्देशांक $2t - 1$ है,न कि $2t + 1$।
इसलिए,$\text{कथन}-1$ असत्य है और $\text{कथन}-2$ सत्य है।

(B, A, A) $1.$ $k \leq 0$ के लिए,मान लीजिए $g(x) = ke^x - x$। चूंकि $k \leq 0$,$g'(x) = ke^x - 1 < 0$ सभी $x \in R$ के लिए। अतः,$g(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है। जैसे $x \to -\infty$,$g(x) \to \infty$,और जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to -\infty$। इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$g(x)=0$ का ठीक एक मूल है। अतः,रेखा $y=x$,$y=ke^x$ से एक बिंदु पर मिलती है। सही विकल्प $(B)$ है।
$2.$ मान लीजिए $f(x) = ke^x - x$। $k>0$ के लिए,$f'(x) = ke^x - 1$। $f'(x)=0$ रखने पर $e^x = 1/k$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -\ln k$। न्यूनतम मान $f(-\ln k) = k(1/k) - (-\ln k) = 1 + \ln k$ है। केवल एक मूल के लिए,न्यूनतम मान $0$ होना चाहिए। अतः,$1 + \ln k = 0 \Rightarrow \ln k = -1 \Rightarrow k = 1/e$। सही विकल्प $(A)$ है।
$3.$ दो भिन्न मूलों के लिए,न्यूनतम मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $1 + \ln k < 0$। इसका अर्थ है $\ln k < -1$,इसलिए $k < 1/e$। चूंकि $k>0$,मानों का समुच्चय $(0, 1/e)$ है। सही विकल्प $(A)$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{(x-1)(x-5)}{(x-2)(x-3)}$.
$(A)$ $-1 < x < 1$ के लिए,$f(x) > 0$ और $f(x) < 1$ है। अतः,$f(x)$ $(p, r, s)$ को संतुष्ट करता है।
$(B)$ $1 < x < 2$ के लिए,$f(x) < 0$ और $f(x) < 1$ है। अतः,$f(x)$ $(q, s)$ को संतुष्ट करता है।
$(C)$ $3 < x < 5$ के लिए,$f(x) < 0$ और $f(x) < 1$ है। अतः,$f(x)$ $(q, s)$ को संतुष्ट करता है।
$(D)$ $x > 5$ के लिए,$f(x) > 0$ और $f(x) < 1$ है। अतः,$f(x)$ $(p, r, s)$ को संतुष्ट करता है।

(A) यदि $a=1, b=0$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$। चूँकि $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,हमारे पास $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) = 0$ है। इसका अर्थ है $\sin^{-1}(x) = -\cos^{-1}(y)$। $\sin^{-1}$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ और $\cos^{-1}$ का परिसर $[0, \pi]$ होने के कारण,यह $x^2+y^2=1$ की ओर ले जाता है। अतः,$(A) \rightarrow p$.
$(B)$ यदि $a=1, b=1$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(xy) = \frac{\pi}{2}$। यह $\cos^{-1}(x) - \cos^{-1}(y) = \cos^{-1}(xy)$ है। दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर: $xy + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = xy$,जिसका अर्थ है $(1-x^2)(1-y^2) = 0$,अर्थात $(x^2-1)(y^2-1) = 0$। अतः,$(B) \rightarrow q$.
$(C)$ यदि $a=1, b=2$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(2xy) = \frac{\pi}{2}$। यह $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) = \sin^{-1}(2xy)$ में सरल हो जाता है। $\sin(A+B)$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $x^2+y^2=1$ प्राप्त होता है। अतः,$(C) \rightarrow p$.
$(D)$ यदि $a=2, b=2$,तो $\sin^{-1}(2x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(2xy) = \frac{\pi}{2}$। यह $\sin^{-1}(2x) = \cos^{-1}(y) - \cos^{-1}(2xy)$ की ओर ले जाता है। इसे हल करने पर $(4x^2-1)(y^2-1) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$(D) \rightarrow s$.