PhysicsQ1–38 of 38 questions
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1
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2007
एक कण $x-y$ तल में बल $\vec{F}$ के प्रभाव में इस प्रकार गति करता है कि उसका रैखिक संवेग $\vec{P}(t) = \hat{i} \cos(kt) - \hat{j} \sin(kt)$ है। यदि $k$ एक स्थिरांक है,तो $\vec{F}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण क्या होगा?
A
$\frac{\pi}{2}$
B
$\frac{\pi}{6}$
C
$\frac{\pi}{4}$
D
$\frac{\pi}{3}$
Solution
(A) दिया गया रैखिक संवेग $\vec{P}(t) = \cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}$ है।
बल $\vec{F}$ संवेग के परिवर्तन की दर है: $\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt}$.
$\vec{F} = \frac{d}{dt} [\cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}] = -k \sin(kt) \hat{i} - k \cos(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणनफल (dot product) का उपयोग करते हैं: $\vec{F} \cdot \vec{P} = |\vec{F}| |\vec{P}| \cos \theta$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = (-k \sin(kt))(\cos(kt)) + (-k \cos(kt))(-\sin(kt))$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = -k \sin(kt) \cos(kt) + k \sin(kt) \cos(kt) = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।
बल $\vec{F}$ संवेग के परिवर्तन की दर है: $\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt}$.
$\vec{F} = \frac{d}{dt} [\cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}] = -k \sin(kt) \hat{i} - k \cos(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणनफल (dot product) का उपयोग करते हैं: $\vec{F} \cdot \vec{P} = |\vec{F}| |\vec{P}| \cos \theta$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = (-k \sin(kt))(\cos(kt)) + (-k \cos(kt))(-\sin(kt))$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = -k \sin(kt) \cos(kt) + k \sin(kt) \cos(kt) = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।
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2
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2007
$m$ द्रव्यमान के दो कणों को $2a$ लंबाई की एक हल्की डोरी के सिरों पर बांधा गया है। पूरी प्रणाली को एक घर्षणहीन क्षैतिज सतह पर इस प्रकार रखा गया है कि डोरी तनी हुई रहे और प्रत्येक द्रव्यमान केंद्र $P$ से $a$ दूरी पर हो (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। अब,डोरी के मध्य-बिंदु को एक छोटे लेकिन स्थिर बल $F$ द्वारा लंबवत ऊपर की ओर खींचा जाता है। परिणामस्वरूप,कण सतह पर एक-दूसरे की ओर बढ़ते हैं। जब उनके बीच की दूरी $2x$ हो जाती है,तो त्वरण का परिमाण क्या होगा?
A
$\frac{F}{2m} \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}$
B
$\frac{F}{2m} \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$
C
$\frac{F}{2m} \frac{x}{a}$
D
$\frac{F}{2m} \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}$
Solution
(B) मान लीजिए कि डोरी द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है। डोरी के प्रत्येक आधे भाग की लंबाई $a$ है। जब कणों के बीच की दूरी $2x$ होती है,तो केंद्र $P$ से प्रत्येक कण की क्षैतिज दूरी $x$ होती है।
ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{x}{a}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$।
डोरी के मध्य-बिंदु के ऊर्ध्वाधर संतुलन पर विचार करने पर: $2T \sin \theta = F$,इसलिए $T = \frac{F}{2 \sin \theta}$।
प्रत्येक कण पर लगने वाला क्षैतिज बल $T \cos \theta = ma$ है,जहाँ $a$ कण का त्वरण है।
$T$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $ma = \left( \frac{F}{2 \sin \theta} \right) \cos \theta = \frac{F}{2} \cot \theta$।
चूंकि $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x/a}{\sqrt{a^2-x^2}/a} = \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$,
हमें $ma = \frac{F}{2} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \right)$ प्राप्त होता है,
जिससे त्वरण $a = \frac{F}{2m} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \right)$ मिलता है।
ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{x}{a}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$।
डोरी के मध्य-बिंदु के ऊर्ध्वाधर संतुलन पर विचार करने पर: $2T \sin \theta = F$,इसलिए $T = \frac{F}{2 \sin \theta}$।
प्रत्येक कण पर लगने वाला क्षैतिज बल $T \cos \theta = ma$ है,जहाँ $a$ कण का त्वरण है।
$T$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $ma = \left( \frac{F}{2 \sin \theta} \right) \cos \theta = \frac{F}{2} \cot \theta$।
चूंकि $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x/a}{\sqrt{a^2-x^2}/a} = \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$,
हमें $ma = \frac{F}{2} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \right)$ प्राप्त होता है,
जिससे त्वरण $a = \frac{F}{2m} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \right)$ मिलता है।
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3
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2007
$STATEMENT-1$: $m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक खुरदरी क्षैतिज सतह पर $v$ वेग से चलना शुरू करता है। ब्लॉक और सतह के बीच घर्षण के कारण कुछ दूरी तय करने के बाद यह रुक जाता है। अब सतह को क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर झुकाया जाता है और उसी ब्लॉक को समान प्रारंभिक वेग $v$ के साथ सतह पर ऊपर की ओर भेजा जाता है। दूसरी स्थिति में यांत्रिक ऊर्जा में कमी पहली स्थिति की तुलना में कम है। क्योंकि
$STATEMENT-2$: ब्लॉक और सतह के बीच घर्षण गुणांक झुकाव कोण के बढ़ने के साथ घटता है।
$STATEMENT-2$: ब्लॉक और सतह के बीच घर्षण गुणांक झुकाव कोण के बढ़ने के साथ घटता है।
A
$Statement-1$ सत्य है,$Statement-2$ सत्य है; $Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या है।
B
$Statement-1$ सत्य है,$Statement-2$ सत्य है; $Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$Statement-1$ सत्य है,$Statement-2$ असत्य है।
D
$Statement-1$ असत्य है,$Statement-2$ सत्य है।
Solution
(C) पहले मामले में (क्षैतिज सतह),घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_1 = -f_k d_1 = -\mu mg d_1$ है। ब्लॉक तब रुकता है जब उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा समाप्त हो जाती है: $\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg d_1$,इसलिए $d_1 = \frac{v^2}{2\mu g}$। यांत्रिक ऊर्जा में कमी $\Delta E_1 = \frac{1}{2}mv^2$ है।
दूसरे मामले में (झुकी हुई सतह),घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_2 = -f_k d_2 = -\mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$ है। ब्लॉक तब रुकता है जब उसकी प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा समाप्त हो जाती है: $\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2 + mg d_2 \sin(30^{\circ})$। यांत्रिक ऊर्जा में कमी घर्षण द्वारा किया गया कार्य है,$\Delta E_2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$। चूंकि $\cos(30^{\circ}) < 1$,घर्षण बल छोटा है। हालांकि,घर्षण गुणांक $\mu$ सामग्री का एक गुण है और यह झुकाव के कोण के साथ नहीं बदलता है। इसलिए,$Statement-2$ असत्य है। चूंकि घर्षण द्वारा नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta E = \int f_k dx$ है,और $f_k = \mu N$,जहां $N = mg \cos(\theta)$,इसलिए दूसरे मामले में ऊर्जा की हानि वास्तव में कम है। अतः,$Statement-1$ सत्य है।
दूसरे मामले में (झुकी हुई सतह),घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_2 = -f_k d_2 = -\mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$ है। ब्लॉक तब रुकता है जब उसकी प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा समाप्त हो जाती है: $\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2 + mg d_2 \sin(30^{\circ})$। यांत्रिक ऊर्जा में कमी घर्षण द्वारा किया गया कार्य है,$\Delta E_2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$। चूंकि $\cos(30^{\circ}) < 1$,घर्षण बल छोटा है। हालांकि,घर्षण गुणांक $\mu$ सामग्री का एक गुण है और यह झुकाव के कोण के साथ नहीं बदलता है। इसलिए,$Statement-2$ असत्य है। चूंकि घर्षण द्वारा नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta E = \int f_k dx$ है,और $f_k = \mu N$,जहां $N = mg \cos(\theta)$,इसलिए दूसरे मामले में ऊर्जा की हानि वास्तव में कम है। अतः,$Statement-1$ सत्य है।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2007
$\text{कथन}-1$: दो पिंडों के बीच एक प्रत्यास्थ टक्कर में, टक्कर के बाद पिंडों की सापेक्ष गति टक्कर से पहले की सापेक्ष गति के बराबर होती है। क्योंकि
$\text{कथन}-2$: एक प्रत्यास्थ टक्कर में, निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
$\text{कथन}-2$: एक प्रत्यास्थ टक्कर में, निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
A
$\text{कथन}-1$ सत्य है, $\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या है।
B
$\text{कथन}-1$ सत्य है, $\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या $\text{नहीं}$ है।
C
$\text{कथन}-1$ सत्य है, $\text{कथन}-2$ असत्य है।
D
$\text{कथन}-1$ असत्य है, $\text{कथन}-2$ सत्य है।
Solution
(B) एक प्रत्यास्थ टक्कर में, रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ हैं, और अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग का संरक्षण: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ => $m_1(u_1 - v_1) = m_2(v_2 - u_2)$ (समीकरण $1$)।
गतिज ऊर्जा का संरक्षण: $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ => $m_1(u_1^2 - v_1^2) = m_2(v_2^2 - u_2^2)$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर: $u_1 + v_1 = v_2 + u_2$ => $u_1 - u_2 = v_2 - v_1$।
यह दर्शाता है कि दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग $(u_1 - u_2)$ पृथक्करण के सापेक्ष वेग $(v_2 - v_1)$ के बराबर है। अतः, $\text{कथन}-1$ सत्य है।
$\text{कथन}-2$ भी सत्य है क्योंकि बाहरी बलों की अनुपस्थिति में किसी भी टक्कर (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है। हालाँकि, सापेक्ष गति के गुण को व्युत्पन्न करने के लिए केवल संवेग का संरक्षण पर्याप्त नहीं है; गतिज ऊर्जा का संरक्षण आवश्यक है। इसलिए, $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ हैं, और अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग का संरक्षण: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ => $m_1(u_1 - v_1) = m_2(v_2 - u_2)$ (समीकरण $1$)।
गतिज ऊर्जा का संरक्षण: $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ => $m_1(u_1^2 - v_1^2) = m_2(v_2^2 - u_2^2)$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर: $u_1 + v_1 = v_2 + u_2$ => $u_1 - u_2 = v_2 - v_1$।
यह दर्शाता है कि दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग $(u_1 - u_2)$ पृथक्करण के सापेक्ष वेग $(v_2 - v_1)$ के बराबर है। अतः, $\text{कथन}-1$ सत्य है।
$\text{कथन}-2$ भी सत्य है क्योंकि बाहरी बलों की अनुपस्थिति में किसी भी टक्कर (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है। हालाँकि, सापेक्ष गति के गुण को व्युत्पन्न करने के लिए केवल संवेग का संरक्षण पर्याप्त नहीं है; गतिज ऊर्जा का संरक्षण आवश्यक है। इसलिए, $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
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5
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2007
एक निश्चित ऊष्मीय रूप से सुचालक बेलन की त्रिज्या $R$ और ऊँचाई $L_0$ है। बेलन अपने निचले सिरे पर खुला है और इसके शीर्ष पर एक छोटा छेद है। $M$ द्रव्यमान का एक पिस्टन शीर्ष सतह से $L$ दूरी पर रखा गया है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। वायुमंडलीय दबाव $P_0$ है।
$1.$ पिस्टन को अब धीरे-धीरे बाहर खींचा जाता है और शीर्ष से $2L$ दूरी पर रखा जाता है। तब बेलन में इसके शीर्ष और पिस्टन के बीच का दबाव होगा
$(A) P_0$ $(B) \frac{P_0}{2}$ $(C) \frac{P_0}{2} + \frac{Mg}{\pi R^2}$ $(D) \frac{P_0}{2} - \frac{Mg}{\pi R^2}$
$2.$ जब पिस्टन शीर्ष से $2L$ दूरी पर होता है,तो शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। पिस्टन को फिर एक ऐसी स्थिति में छोड़ा जाता है जहाँ वह संतुलन में रह सके। इस स्थिति में,शीर्ष से पिस्टन की दूरी है
$(A) \left(\frac{2P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 + Mg}\right)(2L)$ $(B) \left(\frac{P_0 \pi R^2 - Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(C) \left(\frac{P_0 \pi R^2 + Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(D) \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$
$3.$ पिस्टन को बेलन से पूरी तरह बाहर निकाल लिया जाता है। शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। एक पानी की टंकी को बेलन के नीचे लाया जाता है और ऐसी स्थिति में रखा जाता है कि टंकी में पानी की सतह बेलन के शीर्ष के समान स्तर पर हो,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पानी का घनत्व $\rho$ है। संतुलन में,बेलन में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $H$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करती है?
$(A) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
$(B) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(C) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(D) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ पिस्टन को अब धीरे-धीरे बाहर खींचा जाता है और शीर्ष से $2L$ दूरी पर रखा जाता है। तब बेलन में इसके शीर्ष और पिस्टन के बीच का दबाव होगा
$(A) P_0$ $(B) \frac{P_0}{2}$ $(C) \frac{P_0}{2} + \frac{Mg}{\pi R^2}$ $(D) \frac{P_0}{2} - \frac{Mg}{\pi R^2}$
$2.$ जब पिस्टन शीर्ष से $2L$ दूरी पर होता है,तो शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। पिस्टन को फिर एक ऐसी स्थिति में छोड़ा जाता है जहाँ वह संतुलन में रह सके। इस स्थिति में,शीर्ष से पिस्टन की दूरी है
$(A) \left(\frac{2P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 + Mg}\right)(2L)$ $(B) \left(\frac{P_0 \pi R^2 - Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(C) \left(\frac{P_0 \pi R^2 + Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(D) \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$
$3.$ पिस्टन को बेलन से पूरी तरह बाहर निकाल लिया जाता है। शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। एक पानी की टंकी को बेलन के नीचे लाया जाता है और ऐसी स्थिति में रखा जाता है कि टंकी में पानी की सतह बेलन के शीर्ष के समान स्तर पर हो,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पानी का घनत्व $\rho$ है। संतुलन में,बेलन में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $H$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करती है?
$(A) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
$(B) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(C) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(D) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$B, A, D$
B
$A, D, C$
C
$C, A, D$
D
$B, D, C$
Solution
(B,D,C) $1.$ चूंकि बेलन ऊष्मीय रूप से सुचालक है और प्रक्रिया धीमी है,इसलिए यह समतापीय है। प्रारंभिक अवस्था: $P_1 = P_0$,$V_1 = \pi R^2 L$. अंतिम अवस्था: $V_2 = \pi R^2 (2L)$. बॉयल के नियम के अनुसार,$P_1 V_1 = P_2 V_2 \implies P_0 (\pi R^2 L) = P_2 (\pi R^2 2L) \implies P_2 = \frac{P_0}{2}$. सही विकल्प $(B)$ है।
$2.$ मान लीजिए कि नई संतुलन दूरी $x$ है। अंदर का दबाव $P$ है। संतुलन की स्थिति: $P_0 \pi R^2 = P \pi R^2 + Mg \implies P = P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}$. $2L$ वाली स्थिति से समतापीय प्रक्रिया का उपयोग करते हुए: $P_{initial} V_{initial} = P_{final} V_{final} \implies P_0 (\pi R^2 2L) = (P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}) (\pi R^2 x) \implies x = \frac{P_0 (2L)}{P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}} = \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$. सही विकल्प $(D)$ है।
$3.$ हवा की प्रारंभिक अवस्था: $P_0, V_0 = \pi R^2 L_0$. अंतिम अवस्था: $P, V = \pi R^2 (L_0 - H)$. बॉयल के नियम के अनुसार: $P_0 (\pi R^2 L_0) = P (\pi R^2 (L_0 - H)) \implies P = \frac{P_0 L_0}{L_0 - H}$. हाइड्रोस्टेटिक संतुलन से: $P + \rho g (L_0 - H) = P_0 \implies \frac{P_0 L_0}{L_0 - H} + \rho g (L_0 - H) = P_0$. $(L_0 - H)$ से गुणा करने पर: $P_0 L_0 + \rho g (L_0 - H)^2 = P_0 (L_0 - H) \implies \rho g (L_0 - H)^2 - P_0 (L_0 - H) + P_0 L_0 = 0$. सही विकल्प $(C)$ है।
$2.$ मान लीजिए कि नई संतुलन दूरी $x$ है। अंदर का दबाव $P$ है। संतुलन की स्थिति: $P_0 \pi R^2 = P \pi R^2 + Mg \implies P = P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}$. $2L$ वाली स्थिति से समतापीय प्रक्रिया का उपयोग करते हुए: $P_{initial} V_{initial} = P_{final} V_{final} \implies P_0 (\pi R^2 2L) = (P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}) (\pi R^2 x) \implies x = \frac{P_0 (2L)}{P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}} = \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$. सही विकल्प $(D)$ है।
$3.$ हवा की प्रारंभिक अवस्था: $P_0, V_0 = \pi R^2 L_0$. अंतिम अवस्था: $P, V = \pi R^2 (L_0 - H)$. बॉयल के नियम के अनुसार: $P_0 (\pi R^2 L_0) = P (\pi R^2 (L_0 - H)) \implies P = \frac{P_0 L_0}{L_0 - H}$. हाइड्रोस्टेटिक संतुलन से: $P + \rho g (L_0 - H) = P_0 \implies \frac{P_0 L_0}{L_0 - H} + \rho g (L_0 - H) = P_0$. $(L_0 - H)$ से गुणा करने पर: $P_0 L_0 + \rho g (L_0 - H)^2 = P_0 (L_0 - H) \implies \rho g (L_0 - H)^2 - P_0 (L_0 - H) + P_0 L_0 = 0$. सही विकल्प $(C)$ है।
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PhysicsAdvancedIIT JEE · 2007
दो डिस्क $A$ और $B$ एक ऊर्ध्वाधर धुरी पर समाक्षीय रूप से लगी हैं। सामान्य अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I$ और $2I$ है। डिस्क $A$ को $x_1$ दूरी तक संकुचित स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा का उपयोग करके $2\omega$ का प्रारंभिक कोणीय वेग दिया जाता है। डिस्क $B$ को समान स्प्रिंग नियतांक वाली और $x_2$ दूरी तक संकुचित स्प्रिंग द्वारा $\omega$ का कोणीय वेग दिया जाता है। दोनों डिस्क दक्षिणावर्त दिशा में घूमती हैं।
$1.$ $x_1/x_2$ का अनुपात क्या है?
$(A)$ $2$ $(B)$ $1/2$ $(C)$ $\sqrt{2}$ $(D)$ $1/\sqrt{2}$
$2.$ जब डिस्क $B$ को डिस्क $A$ के संपर्क में लाया जाता है,तो वे $t$ समय में एक सामान्य कोणीय वेग प्राप्त कर लेती हैं। इस अवधि के दौरान एक डिस्क द्वारा दूसरी डिस्क पर लगाया गया औसत घर्षण बल आघूर्ण क्या है?
$(A)$ $\frac{2I\omega}{3t}$ $(B)$ $\frac{9I\omega}{2t}$ $(C)$ $\frac{9I\omega}{4t}$ $(D)$ $\frac{3I\omega}{2t}$
$3.$ इस प्रक्रिया के दौरान गतिज ऊर्जा में हुई हानि क्या है?
$(A)$ $\frac{I\omega^2}{2}$ $(B)$ $\frac{I\omega^2}{3}$ $(C)$ $\frac{I\omega^2}{4}$ $(D)$ $\frac{I\omega^2}{6}$
$1.$ $x_1/x_2$ का अनुपात क्या है?
$(A)$ $2$ $(B)$ $1/2$ $(C)$ $\sqrt{2}$ $(D)$ $1/\sqrt{2}$
$2.$ जब डिस्क $B$ को डिस्क $A$ के संपर्क में लाया जाता है,तो वे $t$ समय में एक सामान्य कोणीय वेग प्राप्त कर लेती हैं। इस अवधि के दौरान एक डिस्क द्वारा दूसरी डिस्क पर लगाया गया औसत घर्षण बल आघूर्ण क्या है?
$(A)$ $\frac{2I\omega}{3t}$ $(B)$ $\frac{9I\omega}{2t}$ $(C)$ $\frac{9I\omega}{4t}$ $(D)$ $\frac{3I\omega}{2t}$
$3.$ इस प्रक्रिया के दौरान गतिज ऊर्जा में हुई हानि क्या है?
$(A)$ $\frac{I\omega^2}{2}$ $(B)$ $\frac{I\omega^2}{3}$ $(C)$ $\frac{I\omega^2}{4}$ $(D)$ $\frac{I\omega^2}{6}$
Solution
(C,A,B) $1.$ स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा = घूर्णी गतिज ऊर्जा: $\frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}I(2\omega)^2 = 2I\omega^2$ और $\frac{1}{2}kx_2^2 = \frac{1}{2}(2I)(\omega)^2 = I\omega^2$. दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{x_1^2}{x_2^2} = \frac{2I\omega^2}{I\omega^2} = 2$,अतः $\frac{x_1}{x_2} = \sqrt{2}$.
$2.$ कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से: $I(2\omega) + 2I(\omega) = (I + 2I)\omega'$,जिससे $\omega' = \frac{4I\omega}{3I} = \frac{4\omega}{3}$ प्राप्त होता है। डिस्क $B$ के लिए कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L_B = I_B(\omega' - \omega) = 2I(\frac{4\omega}{3} - \omega) = 2I(\frac{\omega}{3}) = \frac{2I\omega}{3}$. चूंकि $\tau_{avg} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$,इसलिए $\tau = \frac{2I\omega}{3t}$.
$3.$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}I(2\omega)^2 + \frac{1}{2}(2I)(\omega)^2 = 2I\omega^2 + I\omega^2 = 3I\omega^2$. अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(I + 2I)(\frac{4\omega}{3})^2 = \frac{1}{2}(3I)(\frac{16\omega^2}{9}) = \frac{8I\omega^2}{3}$. हानि $\Delta K = 3I\omega^2 - \frac{8I\omega^2}{3} = \frac{I\omega^2}{3}$.
$2.$ कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से: $I(2\omega) + 2I(\omega) = (I + 2I)\omega'$,जिससे $\omega' = \frac{4I\omega}{3I} = \frac{4\omega}{3}$ प्राप्त होता है। डिस्क $B$ के लिए कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L_B = I_B(\omega' - \omega) = 2I(\frac{4\omega}{3} - \omega) = 2I(\frac{\omega}{3}) = \frac{2I\omega}{3}$. चूंकि $\tau_{avg} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$,इसलिए $\tau = \frac{2I\omega}{3t}$.
$3.$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}I(2\omega)^2 + \frac{1}{2}(2I)(\omega)^2 = 2I\omega^2 + I\omega^2 = 3I\omega^2$. अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(I + 2I)(\frac{4\omega}{3})^2 = \frac{1}{2}(3I)(\frac{16\omega^2}{9}) = \frac{8I\omega^2}{3}$. हानि $\Delta K = 3I\omega^2 - \frac{8I\omega^2}{3} = \frac{I\omega^2}{3}$.
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स्तंभ $I$ में कुछ भौतिक राशियाँ दी गई हैं और स्तंभ $II$ में कुछ संभावित $SI$ मात्रक दिए गए हैं जिनमें इन राशियों को व्यक्त किया जा सकता है। स्तंभ $I$ की भौतिक राशियों को स्तंभ $II$ के मात्रकों के साथ सुमेलित कीजिए।
A
$A \rightarrow (q), B \rightarrow (r), C \rightarrow (r), D \rightarrow (r)$
B
$A \rightarrow (p), B \rightarrow (r), C \rightarrow (r), D \rightarrow (r)$
C
$A \rightarrow (q), B \rightarrow (r), C \rightarrow (s), D \rightarrow (r)$
D
$A \rightarrow (p), B \rightarrow (s), C \rightarrow (q), D \rightarrow (r)$
Solution
(A) $GM_e M_s$ का मात्रक बल $\times$ दूरी यानी ऊर्जा है। ऊर्जा का मात्रक जूल है। $1 \text{ Joule} = 1 \text{ Volt} \times 1 \text{ Coulomb}$. साथ ही,$G M_e M_s = (N \cdot m^2/kg^2) \cdot kg^2 = N \cdot m^2 = (kg \cdot m/s^2) \cdot m^2 = kg \cdot m^3 \cdot s^{-2}$. अतः,$(A) \rightarrow (p)$ और $(q)$।
$(B)$ $\frac{3RT}{M}$ का मान $v_{rms}^2$ है। इसका मात्रक $(m/s)^2 = m^2 \cdot s^{-2}$ है। अतः,$(B) \rightarrow (r)$।
$(C)$ $\frac{F}{qB} = v$ (वेग)। अतः,$\frac{F^2}{q^2 B^2} = v^2$। इसका मात्रक $(m/s)^2 = m^2 \cdot s^{-2}$ है। साथ ही,$\frac{1}{2} C V^2 = E$ (ऊर्जा)। अतः $V^2 = 2E/C$। मात्रक: $J/F = (J/C) \cdot (J/V) = V \cdot V = V^2$। अतः,$(C) \rightarrow (r)$ और $(s)$।
$(D)$ $\frac{GM_e}{R_e}$ गुरुत्वीय विभव है,जो प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा है। मात्रक: $J/kg = (N \cdot m)/kg = (kg \cdot m/s^2 \cdot m)/kg = m^2 \cdot s^{-2}$। अतः,$(D) \rightarrow (r)$।
$(B)$ $\frac{3RT}{M}$ का मान $v_{rms}^2$ है। इसका मात्रक $(m/s)^2 = m^2 \cdot s^{-2}$ है। अतः,$(B) \rightarrow (r)$।
$(C)$ $\frac{F}{qB} = v$ (वेग)। अतः,$\frac{F^2}{q^2 B^2} = v^2$। इसका मात्रक $(m/s)^2 = m^2 \cdot s^{-2}$ है। साथ ही,$\frac{1}{2} C V^2 = E$ (ऊर्जा)। अतः $V^2 = 2E/C$। मात्रक: $J/F = (J/C) \cdot (J/V) = V \cdot V = V^2$। अतः,$(C) \rightarrow (r)$ और $(s)$।
$(D)$ $\frac{GM_e}{R_e}$ गुरुत्वीय विभव है,जो प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा है। मात्रक: $J/kg = (N \cdot m)/kg = (kg \cdot m/s^2 \cdot m)/kg = m^2 \cdot s^{-2}$। अतः,$(D) \rightarrow (r)$।
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समान घनत्व वाली एक छोटी वस्तु प्रारंभिक वेग $v$ के साथ एक वक्र सतह पर ऊपर की ओर लुढ़कती है। यह प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष $\frac{3 v^2}{4 g}$ की अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती है। वह वस्तु है
A
रिंग
B
ठोस गोला
C
खोखला गोला
D
डिस्क
Solution
(D) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है: $K_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{r^2})$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $K_i = mgh$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = mgh$.
दिया गया है $h = \frac{3v^2}{4g}$,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}v^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = g(\frac{3v^2}{4g})$
$\frac{1}{2}(1 + \frac{k^2}{r^2}) = \frac{3}{4}$
$1 + \frac{k^2}{r^2} = \frac{3}{2}$
$\frac{k^2}{r^2} = \frac{1}{2}$.
चूँकि डिस्क के लिए घूर्णन त्रिज्या $k$ का वर्ग $k^2 = \frac{1}{2}r^2$ होता है,इसलिए वह वस्तु एक डिस्क है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $K_i = mgh$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = mgh$.
दिया गया है $h = \frac{3v^2}{4g}$,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}v^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = g(\frac{3v^2}{4g})$
$\frac{1}{2}(1 + \frac{k^2}{r^2}) = \frac{3}{4}$
$1 + \frac{k^2}{r^2} = \frac{3}{2}$
$\frac{k^2}{r^2} = \frac{1}{2}$.
चूँकि डिस्क के लिए घूर्णन त्रिज्या $k$ का वर्ग $k^2 = \frac{1}{2}r^2$ होता है,इसलिए वह वस्तु एक डिस्क है।
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एक छात्र सियरल की विधि द्वारा $2 \,m$ लंबे तार का यंग मापांक निर्धारित करने के लिए एक प्रयोग करता है। एक विशेष रीडिंग में, छात्र तार की लंबाई में विस्तार $0.8 \,mm$ मापता है, जिसमें $\pm 0.05 \,mm$ की अनिश्चितता है और भार ठीक $1.0 \,kg$ है। छात्र तार का व्यास $0.4 \,mm$ मापता है, जिसमें $\pm 0.01 \,mm$ की अनिश्चितता है। $g=9.8 \,m/s^2$ (सटीक) लें। रीडिंग से प्राप्त यंग मापांक है:
A
$(2.0 \pm 0.3) \times 10^{11} \,N/m^2$
B
$(2.0 \pm 0.2) \times 10^{11} \,N/m^2$
C
$(2.0 \pm 0.1) \times 10^{11} \,N/m^2$
D
$(2.0 \pm 0.05) \times 10^{11} \,N/m^2$
Solution
(B) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{Ae} = \frac{4FL}{\pi D^2 e}$ है।
दिया गया है: $L = 2 \,m$, $F = 1.0 \times 9.8 \,N$, $e = 0.8 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta e = 0.05 \times 10^{-3} \,m$, $D = 0.4 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta D = 0.01 \times 10^{-3} \,m$.
सबसे पहले, $Y$ का मान ज्ञात करें:
$Y = \frac{4 \times 9.8 \times 2}{\pi \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times (0.8 \times 10^{-3})} = \frac{78.4}{\pi \times 0.16 \times 10^{-6} \times 0.8 \times 10^{-3}} \approx 1.95 \times 10^{11} \,N/m^2 \approx 2.0 \times 10^{11} \,N/m^2$.
अब, सापेक्ष अनिश्चितता $\frac{\Delta Y}{Y}$ ज्ञात करें:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta e}{e}$.
चूंकि $F$ और $L$ सटीक हैं, $\frac{\Delta F}{F} = 0$ और $\frac{\Delta L}{L} = 0$.
$\frac{\Delta Y}{Y} = 2 \left( \frac{0.01}{0.4} \right) + \left( \frac{0.05}{0.8} \right) = 2(0.025) + 0.0625 = 0.05 + 0.0625 = 0.1125$.
निरपेक्ष अनिश्चितता $\Delta Y = 0.1125 \times Y = 0.1125 \times 1.95 \times 10^{11} \approx 0.22 \times 10^{11} \,N/m^2$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, $\Delta Y \approx 0.2 \times 10^{11} \,N/m^2$.
अतः, $Y = (2.0 \pm 0.2) \times 10^{11} \,N/m^2$.
दिया गया है: $L = 2 \,m$, $F = 1.0 \times 9.8 \,N$, $e = 0.8 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta e = 0.05 \times 10^{-3} \,m$, $D = 0.4 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta D = 0.01 \times 10^{-3} \,m$.
सबसे पहले, $Y$ का मान ज्ञात करें:
$Y = \frac{4 \times 9.8 \times 2}{\pi \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times (0.8 \times 10^{-3})} = \frac{78.4}{\pi \times 0.16 \times 10^{-6} \times 0.8 \times 10^{-3}} \approx 1.95 \times 10^{11} \,N/m^2 \approx 2.0 \times 10^{11} \,N/m^2$.
अब, सापेक्ष अनिश्चितता $\frac{\Delta Y}{Y}$ ज्ञात करें:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta e}{e}$.
चूंकि $F$ और $L$ सटीक हैं, $\frac{\Delta F}{F} = 0$ और $\frac{\Delta L}{L} = 0$.
$\frac{\Delta Y}{Y} = 2 \left( \frac{0.01}{0.4} \right) + \left( \frac{0.05}{0.8} \right) = 2(0.025) + 0.0625 = 0.05 + 0.0625 = 0.1125$.
निरपेक्ष अनिश्चितता $\Delta Y = 0.1125 \times Y = 0.1125 \times 1.95 \times 10^{11} \approx 0.22 \times 10^{11} \,N/m^2$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, $\Delta Y \approx 0.2 \times 10^{11} \,N/m^2$.
अतः, $Y = (2.0 \pm 0.2) \times 10^{11} \,N/m^2$.
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अनुनाद स्तंभ (resonance column) का उपयोग करके ध्वनि की गति निर्धारित करने के प्रयोग में, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
A
ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स को ऊर्ध्वाधर तल में रखा जाता है।
B
ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स को क्षैतिज तल में रखा जाता है।
C
अवलोकित दो अनुनादों में से एक में, अनुनाद वायु स्तंभ की लंबाई हवा में ध्वनि की तरंग दैर्ध्य के करीब होती है।
D
अवलोकित दो अनुनादों में से एक में, अनुनाद वायु स्तंभ की लंबाई हवा में ध्वनि की तरंग दैर्ध्य के आधे के करीब होती है।
Solution
(A) अनुनाद स्तंभ प्रयोग में, ट्यूनिंग फोर्क को नली के खुले सिरे के ऊपर रखा जाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि ध्वनि तरंगें नली में प्रभावी ढंग से आगे बढ़ें, ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स को ऊर्ध्वाधर तल में रखा जाता है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$ शर्त $L + e = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ को पूरा करती है, जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है और $n = 1, 2, 3, ...$ है।
पहला अनुनाद $L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$ पर होता है और दूसरा अनुनाद $L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$ पर होता है।
इनको घटाने पर, हमें $L_2 - L_1 = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, दो अनुनाद वायु स्तंभों की लंबाई के बीच का अंतर हवा में ध्वनि की तरंग दैर्ध्य के आधे के बराबर होता है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$ शर्त $L + e = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ को पूरा करती है, जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है और $n = 1, 2, 3, ...$ है।
पहला अनुनाद $L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$ पर होता है और दूसरा अनुनाद $L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$ पर होता है।
इनको घटाने पर, हमें $L_2 - L_1 = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, दो अनुनाद वायु स्तंभों की लंबाई के बीच का अंतर हवा में ध्वनि की तरंग दैर्ध्य के आधे के बराबर होता है।
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चित्र में दिखाए अनुसार $R$ त्रिज्या के बीकर में $h$ ऊँचाई तक पानी भरा है। पानी का घनत्व $\rho$ है,पानी का पृष्ठ तनाव $T$ है और वायुमंडलीय दबाव $P_0$ है। बीकर के व्यास से गुजरने वाले पानी के स्तंभ के एक ऊर्ध्वाधर खंड $ABCD$ पर विचार करें। इस खंड के एक तरफ के पानी पर दूसरी तरफ के पानी द्वारा लगाए गए बल का परिमाण क्या है?
A
$\left|2 P_0 Rh+\pi R^2 \rho gh-2 RT\right|$
B
$\left|2 P_0 Rh+R \rho gh^2-2 RT\right|$
C
$\left|P_0 \pi R^2+R \rho g h^2-2 RT\right|$
D
$\left|P_0 \pi R^2+R \rho g h^2+2 RT\right|$
Solution
(B) पानी की मुक्त सतह से $x$ गहराई पर $dx$ ऊँचाई की एक ऊर्ध्वाधर आयताकार पट्टी पर विचार करें। इस पट्टी की चौड़ाई बीकर का व्यास है,जो $2R$ है।
$x$ गहराई पर दबाव $P(x) = P_0 + \rho g x$ है।
इस पट्टी पर दबाव द्वारा लगाया गया बल $dF_p = P(x) \cdot (2R) dx = (P_0 + \rho g x) 2R dx$ है।
इसका $x = 0$ से $x = h$ तक समाकलन करने पर,दबाव के कारण कुल बल $F_p = \int_0^h (P_0 + \rho g x) 2R dx = 2R [P_0 x + \frac{1}{2} \rho g x^2]_0^h = 2 P_0 R h + R \rho g h^2$ प्राप्त होता है।
इसके अतिरिक्त,खंड के ऊपरी किनारे पर पृष्ठ तनाव के कारण एक बल कार्य करता है। सतह पर खंड की लंबाई $2R$ है,इसलिए पृष्ठ तनाव के कारण बल $F_T = T \cdot (2R) = 2RT$ है।
चूँकि पृष्ठ तनाव बल दबाव बल की विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए बल का कुल परिमाण $F = |F_p - F_T| = |2 P_0 R h + R \rho g h^2 - 2 RT|$ होगा।
$x$ गहराई पर दबाव $P(x) = P_0 + \rho g x$ है।
इस पट्टी पर दबाव द्वारा लगाया गया बल $dF_p = P(x) \cdot (2R) dx = (P_0 + \rho g x) 2R dx$ है।
इसका $x = 0$ से $x = h$ तक समाकलन करने पर,दबाव के कारण कुल बल $F_p = \int_0^h (P_0 + \rho g x) 2R dx = 2R [P_0 x + \frac{1}{2} \rho g x^2]_0^h = 2 P_0 R h + R \rho g h^2$ प्राप्त होता है।
इसके अतिरिक्त,खंड के ऊपरी किनारे पर पृष्ठ तनाव के कारण एक बल कार्य करता है। सतह पर खंड की लंबाई $2R$ है,इसलिए पृष्ठ तनाव के कारण बल $F_T = T \cdot (2R) = 2RT$ है।
चूँकि पृष्ठ तनाव बल दबाव बल की विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए बल का कुल परिमाण $F = |F_p - F_T| = |2 P_0 R h + R \rho g h^2 - 2 RT|$ होगा।
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$STATEMENT-1$ यदि किसी पिंड पर उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) नहीं है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग नियत रहता है। क्योंकि
$STATEMENT-2$ एक विलगित निकाय (isolated system) का रैखिक संवेग नियत रहता है।
$STATEMENT-2$ एक विलगित निकाय (isolated system) का रैखिक संवेग नियत रहता है।
A
कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।
B
कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ असत्य है।
D
कथन-$1$ असत्य है,कथन-$2$ सत्य है।
Solution
(D) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$,कुल बाह्य बल $(F_{ext})$ से $F_{ext} = M a_{cm} = M (dv_{cm}/dt)$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
यदि कुल बाह्य बल शून्य है,तो $a_{cm} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $v_{cm}$ नियत है।
$STATEMENT-1$ कहता है कि कोई बाह्य बल आघूर्ण नहीं है। बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति का अर्थ है कि कोणीय संवेग संरक्षित है,लेकिन इसका अर्थ यह नहीं है कि कुल बाह्य बल शून्य है।
उदाहरण के लिए,किसी पिंड पर कार्य करने वाला बल-युग्म (couple) बल आघूर्ण उत्पन्न करता है लेकिन कुल बल शून्य होता है। अतः,यदि कुल बल मौजूद है तो $v_{cm}$ बदल सकता है,भले ही कुल बल आघूर्ण शून्य हो।
इसलिए,$STATEMENT-1$ असत्य है।
$STATEMENT-2$ यांत्रिकी का एक मूलभूत सिद्धांत (रैखिक संवेग संरक्षण का नियम) है और यह सत्य है।
अतः,$STATEMENT-1$ असत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है।
यदि कुल बाह्य बल शून्य है,तो $a_{cm} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $v_{cm}$ नियत है।
$STATEMENT-1$ कहता है कि कोई बाह्य बल आघूर्ण नहीं है। बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति का अर्थ है कि कोणीय संवेग संरक्षित है,लेकिन इसका अर्थ यह नहीं है कि कुल बाह्य बल शून्य है।
उदाहरण के लिए,किसी पिंड पर कार्य करने वाला बल-युग्म (couple) बल आघूर्ण उत्पन्न करता है लेकिन कुल बल शून्य होता है। अतः,यदि कुल बल मौजूद है तो $v_{cm}$ बदल सकता है,भले ही कुल बल आघूर्ण शून्य हो।
इसलिए,$STATEMENT-1$ असत्य है।
$STATEMENT-2$ यांत्रिकी का एक मूलभूत सिद्धांत (रैखिक संवेग संरक्षण का नियम) है और यह सत्य है।
अतः,$STATEMENT-1$ असत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है।
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$STATEMENT-1$: एक आदर्श गैस के दिए गए द्रव्यमान के सभी अणुओं की कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा उसके दाब और आयतन के गुणनफल की $1.5$ गुनी होती है। क्योंकि
$STATEMENT-2$: गैस के अणु एक-दूसरे से टकराते हैं और टक्कर के कारण अणुओं के वेग में परिवर्तन होता है।
$STATEMENT-2$: गैस के अणु एक-दूसरे से टकराते हैं और टक्कर के कारण अणुओं के वेग में परिवर्तन होता है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(B) एक आदर्श गैस के लिए,कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} nRT$ है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है।
$nRT$ को $PV$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ प्राप्त होता है।
अतः,$STATEMENT-1$ सत्य है।
$STATEMENT-2$ गैस में आणविक टक्करों की प्रकृति का वर्णन करता है,जो गैसों के गतिज सिद्धांत का एक मूलभूत सिद्धांत है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि गतिज ऊर्जा $PV$ के साथ $1.5$ के अनुपात में क्यों संबंधित है। इसलिए,$STATEMENT-2$ सत्य है लेकिन यह $STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है।
$nRT$ को $PV$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ प्राप्त होता है।
अतः,$STATEMENT-1$ सत्य है।
$STATEMENT-2$ गैस में आणविक टक्करों की प्रकृति का वर्णन करता है,जो गैसों के गतिज सिद्धांत का एक मूलभूत सिद्धांत है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि गतिज ऊर्जा $PV$ के साथ $1.5$ के अनुपात में क्यों संबंधित है। इसलिए,$STATEMENT-2$ सत्य है लेकिन यह $STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
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$STATEMENT-1$: एक मेज पर कपड़ा बिछा है। उस पर कुछ बर्तन रखे हैं। मेज से बर्तनों को गिराए बिना कपड़े को खींचा जा सकता है। क्योंकि
$STATEMENT-2$: प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
$STATEMENT-2$: प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
A
$Statement-1$ सत्य है,$Statement-2$ सत्य है; $Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या है।
B
$Statement-1$ सत्य है,$Statement-2$ सत्य है; $Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$Statement-1$ सत्य है,$Statement-2$ असत्य है।
D
$Statement-1$ असत्य है,$Statement-2$ सत्य है।
Solution
(B) $Statement-1$ जड़त्व के गुण के कारण सत्य है। जब कपड़े को बहुत तेजी से खींचा जाता है,तो बर्तनों पर बल कार्य करने का समय अंतराल अत्यंत कम होता है। विराम के जड़त्व के कारण,बर्तन अपनी स्थिति में बने रहने की प्रवृत्ति रखते हैं।
$Statement-2$ गति का एक मूलभूत नियम (न्यूटन का तीसरा नियम) है,जो स्वयं में सत्य है। हालाँकि,बर्तनों को हिलाए बिना कपड़े को खींचने की घटना को न्यूटन के प्रथम नियम (जड़त्व) द्वारा समझाया जाता है,न कि तीसरे नियम द्वारा।
अतः,$Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
$Statement-2$ गति का एक मूलभूत नियम (न्यूटन का तीसरा नियम) है,जो स्वयं में सत्य है। हालाँकि,बर्तनों को हिलाए बिना कपड़े को खींचने की घटना को न्यूटन के प्रथम नियम (जड़त्व) द्वारा समझाया जाता है,न कि तीसरे नियम द्वारा।
अतः,$Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
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दो ट्रेनें $A$ और $B$ एक ही सीधी पटरी पर एक ही दिशा में क्रमशः $20 \ m/s$ और $30 \ m/s$ की गति से चल रही हैं,जिसमें $B$,$A$ से आगे है। इंजन आगे के सिरों पर हैं। ट्रेन $A$ का इंजन एक लंबी सीटी बजाता है। मान लीजिए कि सीटी की ध्वनि $f_1=800 \ Hz$ से $f_2=1120 \ Hz$ तक की आवृत्ति के घटकों से बनी है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। आवृत्ति में प्रसार (उच्चतम आवृत्ति - न्यूनतम आवृत्ति) $320 \ Hz$ है। स्थिर हवा में ध्वनि की गति $340 \ m/s$ है।
$1.$ सीटी की ध्वनि की गति है
$(A)$ $A$ में यात्रियों के लिए $340 \ m/s$ और $B$ में यात्रियों के लिए $310 \ m/s$
$(B)$ $A$ में यात्रियों के लिए $360 \ m/s$ और $B$ में यात्रियों के लिए $310 \ m/s$
$(C)$ $A$ में यात्रियों के लिए $310 \ m/s$ और $B$ में यात्रियों के लिए $360 \ m/s$
$(D)$ दोनों ट्रेनों में यात्रियों के लिए $340 \ m/s$
$2.$ ट्रेन $A$ में यात्रियों द्वारा देखी गई सीटी की ध्वनि तीव्रता का वितरण सबसे अच्छी तरह से किसके द्वारा दर्शाया गया है?
$3.$ ट्रेन $B$ में यात्रियों द्वारा देखी गई आवृत्ति का प्रसार है
$(A)$ $310 \ Hz$ $(B)$ $330 \ Hz$ $(C)$ $350 \ Hz$ $(D)$ $290 \ Hz$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ सीटी की ध्वनि की गति है
$(A)$ $A$ में यात्रियों के लिए $340 \ m/s$ और $B$ में यात्रियों के लिए $310 \ m/s$
$(B)$ $A$ में यात्रियों के लिए $360 \ m/s$ और $B$ में यात्रियों के लिए $310 \ m/s$
$(C)$ $A$ में यात्रियों के लिए $310 \ m/s$ और $B$ में यात्रियों के लिए $360 \ m/s$
$(D)$ दोनों ट्रेनों में यात्रियों के लिए $340 \ m/s$
$2.$ ट्रेन $A$ में यात्रियों द्वारा देखी गई सीटी की ध्वनि तीव्रता का वितरण सबसे अच्छी तरह से किसके द्वारा दर्शाया गया है?
$3.$ ट्रेन $B$ में यात्रियों द्वारा देखी गई आवृत्ति का प्रसार है
$(A)$ $310 \ Hz$ $(B)$ $330 \ Hz$ $(C)$ $350 \ Hz$ $(D)$ $290 \ Hz$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$D, A, C$
B
$B, A, A$
C
$C, A, D$
D
$A, A, B$
Solution
(D, A, A) $1.$ ध्वनि की गति माध्यम (हवा) के सापेक्ष होती है। चूंकि दोनों ट्रेनें एक ही हवा में चल रही हैं,ट्रेन $A$ (जो $20 \ m/s$ की गति से चल रही है) में यात्रियों के लिए ध्वनि की गति $340 \ m/s$ रहती है क्योंकि वे स्रोत के सापेक्ष स्थिर हैं। ट्रेन $B$ (जो $30 \ m/s$ की गति से दूर जा रही है) में यात्रियों के लिए,उनके सापेक्ष ध्वनि की गति $v_B = 340 - 30 = 310 \ m/s$ है। अतः,विकल्प $D$ सही है।
$2.$ चूंकि ट्रेन $A$ के यात्री स्रोत (ट्रेन $A$ का इंजन) के सापेक्ष स्थिर हैं,वे स्रोत द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति सीमा का ही अवलोकन करते हैं। इसलिए,तीव्रता का वितरण अपरिवर्तित रहता है,जिसे ग्राफ $A$ द्वारा दर्शाया गया है।
$3.$ ट्रेन $B$ में यात्रियों के लिए देखी गई आवृत्तियाँ $f'_1$ और $f'_2$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती हैं: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$। यहाँ $v = 340 \ m/s$,$v_o = 30 \ m/s$ (दूर जा रहे हैं),$v_s = 20 \ m/s$ (दूर जा रहे हैं)। इसलिए,$f' = f \left( \frac{340 - 30}{340 - 20} \right) = f \left( \frac{310}{320} \right) = f \left( \frac{31}{32} \right)$।
नया प्रसार $\Delta f' = f'_2 - f'_1 = (f_2 - f_1) \times \frac{31}{32} = 320 \times \frac{31}{32} = 310 \ Hz$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2.$ चूंकि ट्रेन $A$ के यात्री स्रोत (ट्रेन $A$ का इंजन) के सापेक्ष स्थिर हैं,वे स्रोत द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति सीमा का ही अवलोकन करते हैं। इसलिए,तीव्रता का वितरण अपरिवर्तित रहता है,जिसे ग्राफ $A$ द्वारा दर्शाया गया है।
$3.$ ट्रेन $B$ में यात्रियों के लिए देखी गई आवृत्तियाँ $f'_1$ और $f'_2$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती हैं: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$। यहाँ $v = 340 \ m/s$,$v_o = 30 \ m/s$ (दूर जा रहे हैं),$v_s = 20 \ m/s$ (दूर जा रहे हैं)। इसलिए,$f' = f \left( \frac{340 - 30}{340 - 20} \right) = f \left( \frac{310}{320} \right) = f \left( \frac{31}{32} \right)$।
नया प्रसार $\Delta f' = f'_2 - f'_1 = (f_2 - f_1) \times \frac{31}{32} = 320 \times \frac{31}{32} = 310 \ Hz$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
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स्तंभ $I$ में कुछ स्थितियाँ दी गई हैं जिनमें एक छोटी वस्तु गति करती है। स्तंभ $II$ इन गतियों की कुछ विशेषताओं का वर्णन करता है। स्तंभ $I$ की स्थिति को स्तंभ $II$ की विशेषताओं के साथ सुमेलित करें।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| $(A)$ वस्तु $x$-अक्ष पर एक संरक्षी बल के अंतर्गत इस प्रकार गति करती है कि उसकी चाल $v = c_1 \sqrt{c_2 - x^2}$ है,जहाँ $c_1, c_2 > 0$ है। | $(p)$ वस्तु सरल आवर्त गति करती है। |
| $(B)$ वस्तु $x$-अक्ष पर इस प्रकार गति करती है कि उसका वेग $v = -kx$ है,जहाँ $k > 0$ है। | $(q)$ वस्तु अपनी दिशा नहीं बदलती है। |
| $(C)$ एक वस्तु लिफ्ट में स्प्रिंग से जुड़ी है जो $a$ त्वरण से ऊपर जा रही है। लिफ्ट से गति का अवलोकन किया जाता है। | $(r)$ वस्तु की गतिज ऊर्जा लगातार घटती जाती है। |
| $(D)$ वस्तु को $2 \sqrt{GM_e / R_e}$ की चाल से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। | $(s)$ वस्तु केवल एक बार अपनी दिशा बदल सकती है। |
A
$A \rightarrow (p), B \rightarrow (q) \& (r), C \rightarrow (p), D \rightarrow (r) \& (q)$
B
$A \rightarrow (r), B \rightarrow (q) \& (r), C \rightarrow (p), D \rightarrow (p) \& (q)$
C
$A \rightarrow (q), B \rightarrow (r) \& (r), C \rightarrow (p), D \rightarrow (q) \& (r)$
D
$A \rightarrow (s), B \rightarrow (q) \& (s), C \rightarrow (p), D \rightarrow (s) \& (r)$
Solution
(A) दिया गया है $v = c_1 \sqrt{c_2 - x^2}$। यह सरल आवर्त गति का वेग समीकरण है $(v = \omega \sqrt{A^2 - x^2})$। अतः,$(A) \rightarrow (p)$।
$(B)$ दिया गया है $v = -kx$। जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$v$ अधिक ऋणात्मक होता जाता है। वस्तु मूल बिंदु की ओर बढ़ती है और $x=0$ पर रुक जाती है। यह कभी दिशा नहीं बदलती। जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$v$ घटता है,इसलिए गतिज ऊर्जा घटती है। अतः,$(B) \rightarrow (q) \& (r)$।
$(C)$ ऊपर की ओर त्वरित लिफ्ट में,वस्तु पर एक छद्म बल कार्य करता है। संतुलन स्थिति बदल जाती है,लेकिन गति नई संतुलन स्थिति के सापेक्ष सरल आवर्त गति ही रहती है। अतः,$(C) \rightarrow (p)$।
$(D)$ पलायन वेग $\sqrt{2GM_e/R_e}$ है। प्रक्षेपण चाल $\sqrt{2}$ गुना है। इसलिए यह वापस नहीं आएगी और दिशा नहीं बदलेगी। जैसे-जैसे यह दूर जाती है,चाल कम होती है,इसलिए गतिज ऊर्जा घटती है। अतः,$(D) \rightarrow (r) \& (q)$।
$(B)$ दिया गया है $v = -kx$। जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$v$ अधिक ऋणात्मक होता जाता है। वस्तु मूल बिंदु की ओर बढ़ती है और $x=0$ पर रुक जाती है। यह कभी दिशा नहीं बदलती। जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$v$ घटता है,इसलिए गतिज ऊर्जा घटती है। अतः,$(B) \rightarrow (q) \& (r)$।
$(C)$ ऊपर की ओर त्वरित लिफ्ट में,वस्तु पर एक छद्म बल कार्य करता है। संतुलन स्थिति बदल जाती है,लेकिन गति नई संतुलन स्थिति के सापेक्ष सरल आवर्त गति ही रहती है। अतः,$(C) \rightarrow (p)$।
$(D)$ पलायन वेग $\sqrt{2GM_e/R_e}$ है। प्रक्षेपण चाल $\sqrt{2}$ गुना है। इसलिए यह वापस नहीं आएगी और दिशा नहीं बदलेगी। जैसे-जैसे यह दूर जाती है,चाल कम होती है,इसलिए गतिज ऊर्जा घटती है। अतः,$(D) \rightarrow (r) \& (q)$।
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स्तंभ $I$ में कुछ उपकरण दिए गए हैं और स्तंभ $II$ में कुछ प्रक्रियाएं दी गई हैं जिन पर इन उपकरणों की कार्यप्रणाली निर्भर करती है। स्तंभ $I$ के उपकरणों को स्तंभ $II$ की प्रक्रियाओं के साथ सुमेलित करें।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| $(A)$ द्विधात्विक पट्टी (Bimetallic strip) | $(p)$ गर्म पिंड से विकिरण |
| $(B)$ भाप का इंजन | $(q)$ ऊर्जा रूपांतरण |
| $(C)$ तापदीप्त लैंप (Incandescent lamp) | $(r)$ गलनांक (पिघलना) |
| $(D)$ विद्युत फ्यूज | $(s)$ ठोसों का ऊष्मीय प्रसार |
A
$A \rightarrow (s), B \rightarrow (q), C \rightarrow (p), D \rightarrow (r)$
B
$A \rightarrow (p), B \rightarrow (q), C \rightarrow (s), D \rightarrow (r)$
C
$A \rightarrow (r), B \rightarrow (q), C \rightarrow (s), D \rightarrow (p)$
D
$A \rightarrow (q), B \rightarrow (r), C \rightarrow (p), D \rightarrow (s)$
Solution
$(A)$ द्विधात्विक पट्टी ठोसों के ऊष्मीय प्रसार के सिद्धांत पर कार्य करती है, जहाँ गर्म करने पर दो अलग-अलग धातुएं अलग-अलग मात्रा में फैलती हैं, जिससे पट्टी मुड़ जाती है। अतः, $A \rightarrow (s)$.
$(B)$ भाप का इंजन ऊष्मीय ऊर्जा (भाप से) को यांत्रिक कार्य में परिवर्तित करता है। अतः, $B \rightarrow (q)$.
$(C)$ तापदीप्त लैंप एक फिलामेंट को उच्च तापमान तक गर्म करके कार्य करता है, जिससे यह विकिरण के माध्यम से प्रकाश उत्सर्जित करता है। अतः, $C \rightarrow (p)$.
$(D)$ विद्युत फ्यूज एक सुरक्षा उपकरण है जो धारा के एक निश्चित सीमा से अधिक होने पर पिघल जाता है, जिससे परिपथ टूट जाता है। अतः, $D \rightarrow (r)$.
अतः, सही मिलान $A \rightarrow (s), B \rightarrow (q), C \rightarrow (p), D \rightarrow (r)$ है।
$(B)$ भाप का इंजन ऊष्मीय ऊर्जा (भाप से) को यांत्रिक कार्य में परिवर्तित करता है। अतः, $B \rightarrow (q)$.
$(C)$ तापदीप्त लैंप एक फिलामेंट को उच्च तापमान तक गर्म करके कार्य करता है, जिससे यह विकिरण के माध्यम से प्रकाश उत्सर्जित करता है। अतः, $C \rightarrow (p)$.
$(D)$ विद्युत फ्यूज एक सुरक्षा उपकरण है जो धारा के एक निश्चित सीमा से अधिक होने पर पिघल जाता है, जिससे परिपथ टूट जाता है। अतः, $D \rightarrow (r)$.
अतः, सही मिलान $A \rightarrow (s), B \rightarrow (q), C \rightarrow (p), D \rightarrow (r)$ है।
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$\lambda$ दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य वाला एक इलेक्ट्रॉन $X$-रे ट्यूब में एक लक्ष्य पर आपतित होता है। उत्सर्जित $X$-रे की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य क्या है?
A
$\lambda_0 = \frac{2m^2c^2\lambda^3}{h^2}$
B
$\lambda_0 = \lambda$
C
$\lambda_0 = \frac{2mc\lambda^2}{h}$
D
$\lambda_0 = \frac{2h}{mc}$
Solution
(C) मान लीजिए कि इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ है।
इलेक्ट्रॉन की दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$,जिसका अर्थ है $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
सतत $X$-रे के लिए कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा द्वारा निर्धारित होती है,जो आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है: $E = \frac{hc}{\lambda_0} = K$।
$K$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
$\lambda_0$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $\lambda_0 = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
इलेक्ट्रॉन की दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$,जिसका अर्थ है $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
सतत $X$-रे के लिए कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा द्वारा निर्धारित होती है,जो आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है: $E = \frac{hc}{\lambda_0} = K$।
$K$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
$\lambda_0$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $\lambda_0 = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
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एक परिपथ चित्र में दिखाए अनुसार जुड़ा है जिसमें स्विच $S$ खुला है। जब स्विच बंद किया जाता है,तो $Y$ से $X$ तक प्रवाहित होने वाला कुल आवेश कितना है?
A
$0$
B
$54 \mu C$
C
$27 \mu C$
D
$81 \mu C$
Solution
(C) जब स्विच $S$ खुला होता है,तो संधारित्र $9 \ V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में होते हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{3 \mu F \times 6 \mu F}{3 \mu F + 6 \mu F} = 2 \mu F$ है। प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = C_{eq}V = 2 \mu F \times 9 \ V = 18 \mu C$ है। $X$ पर विभव $V_X = 9 \ V - \frac{18 \mu C}{3 \mu F} = 3 \ V$ है। $Y$ पर विभव $V_Y = 0 \ V$ है।
जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो परिपथ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाता है। बाईं शाखा में $3 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ $3 \mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में है और दाईं शाखा में $6 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ $6 \mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में है। स्विच के माध्यम से $X$ बिंदु धनात्मक टर्मिनल से जुड़ने के कारण इसका विभव $9 \ V$ हो जाता है। $Y$ का विभव $0 \ V$ है। $3 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_1 = 3 \mu F \times 9 \ V = 27 \mu C$ है। $6 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_2 = 6 \mu F \times 9 \ V = 54 \mu C$ है। स्विच बंद करने से पहले $X$ नोड पर कुल आवेश $0$ था। बंद करने के बाद,$X$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेश $-(27 \mu C + 54 \mu C) = -81 \mu C$ हो जाता है। $Y$ से $X$ तक प्रवाहित होने वाला आवेश $X$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेश में परिवर्तन है,जो $27 \mu C$ है।
जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो परिपथ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाता है। बाईं शाखा में $3 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ $3 \mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में है और दाईं शाखा में $6 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ $6 \mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में है। स्विच के माध्यम से $X$ बिंदु धनात्मक टर्मिनल से जुड़ने के कारण इसका विभव $9 \ V$ हो जाता है। $Y$ का विभव $0 \ V$ है। $3 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_1 = 3 \mu F \times 9 \ V = 27 \mu C$ है। $6 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_2 = 6 \mu F \times 9 \ V = 54 \mu C$ है। स्विच बंद करने से पहले $X$ नोड पर कुल आवेश $0$ था। बंद करने के बाद,$X$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेश $-(27 \mu C + 54 \mu C) = -81 \mu C$ हो जाता है। $Y$ से $X$ तक प्रवाहित होने वाला आवेश $X$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेश में परिवर्तन है,जो $27 \mu C$ है।
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एक लंबा,खोखला चालक बेलन,एक बड़े त्रिज्या वाले दूसरे लंबे,खोखले चालक बेलन के अंदर समाक्षीय रूप से रखा गया है। प्रारंभ में दोनों बेलन विद्युत रूप से उदासीन हैं।
A
जब आंतरिक बेलन को आवेश घनत्व दिया जाता है तो दोनों बेलनों के बीच एक विभवांतर उत्पन्न होता है।
B
जब बाहरी बेलन को आवेश घनत्व दिया जाता है तो दोनों बेलनों के बीच एक विभवांतर उत्पन्न होता है।
C
जब बेलनों की अक्ष के अनुदिश एक समान रेखीय आवेश रखा जाता है तो दोनों बेलनों के बीच कोई विभवांतर उत्पन्न नहीं होता है।
D
जब दोनों बेलनों को समान आवेश घनत्व दिया जाता है तो दोनों बेलनों के बीच कोई विभवांतर उत्पन्न नहीं होता है।
Solution
(A) $R$ त्रिज्या और $\lambda$ रेखीय आवेश घनत्व वाले आवेशित चालक बेलन के लिए,$r > R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब आंतरिक बेलन को आवेश दिया जाता है,तो दोनों बेलनों के बीच के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र मौजूद होता है,जिसके परिणामस्वरूप विभवांतर $V = \int_{R_1}^{R_2} E \, dr$ प्राप्त होता है।
यदि बाहरी बेलन को आवेश दिया जाता है,तो खोखले चालक के गुणों (गॉस के नियम) के कारण बाहरी बेलन के अंदर के भाग में विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,बेलनों के बीच कोई विभवांतर नहीं होता है।
यदि दोनों को समान आवेश घनत्व $\lambda$ दिया जाता है,तो आंतरिक बेलन क्षेत्र बनाता है,लेकिन बाहरी बेलन उनके बीच के क्षेत्र में योगदान नहीं देता है। इसलिए,आंतरिक बेलन के कारण विभवांतर बना रहेगा।
अतः,विकल्प $A$ सही है क्योंकि आंतरिक बेलन को आवेशित करने से बेलनों के बीच एक त्रिज्यीय विद्युत क्षेत्र बनता है,जिससे विभवांतर उत्पन्न होता है।
जब आंतरिक बेलन को आवेश दिया जाता है,तो दोनों बेलनों के बीच के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र मौजूद होता है,जिसके परिणामस्वरूप विभवांतर $V = \int_{R_1}^{R_2} E \, dr$ प्राप्त होता है।
यदि बाहरी बेलन को आवेश दिया जाता है,तो खोखले चालक के गुणों (गॉस के नियम) के कारण बाहरी बेलन के अंदर के भाग में विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,बेलनों के बीच कोई विभवांतर नहीं होता है।
यदि दोनों को समान आवेश घनत्व $\lambda$ दिया जाता है,तो आंतरिक बेलन क्षेत्र बनाता है,लेकिन बाहरी बेलन उनके बीच के क्षेत्र में योगदान नहीं देता है। इसलिए,आंतरिक बेलन के कारण विभवांतर बना रहेगा।
अतः,विकल्प $A$ सही है क्योंकि आंतरिक बेलन को आवेशित करने से बेलनों के बीच एक त्रिज्यीय विद्युत क्षेत्र बनता है,जिससे विभवांतर उत्पन्न होता है।
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नीचे दिए गए विकल्पों में, मान लीजिए $E$ एक नाभिक की विराम द्रव्यमान ऊर्जा (rest mass energy) को दर्शाता है और $n$ एक न्यूट्रॉन है। सही विकल्प है:
A
$E({}_{92}^{236}U) > E({}_{53}^{137}I) + E({}_{39}^{97}Y) + 2E(n)$
B
$E({}_{92}^{236}U) < E({}_{53}^{137}I) + E({}_{39}^{97}Y) + 2E(n)$
C
$E({}_{92}^{236}U) < E({}_{56}^{140}Ba) + E({}_{36}^{94}Kr) + 2E(n)$
D
$E({}_{92}^{236}U) = E({}_{56}^{140}Ba) + E({}_{36}^{94}Kr) + 2E(n)$
Solution
(A) नाभिकीय विखंडन एक ऊष्माक्षेपी प्रक्रिया है जिसमें एक भारी नाभिक हल्के टुकड़ों में विभाजित होता है और ऊर्जा मुक्त करता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
विखंडन अभिक्रिया में, मूल नाभिक की विराम द्रव्यमान ऊर्जा उत्पादों की विराम द्रव्यमान ऊर्जा और मुक्त हुई गतिज ऊर्जा ($Q$-मान) के योग के बराबर होती है।
इसलिए, $E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} + Q$।
चूंकि स्वतःस्फूर्त विखंडन प्रक्रिया के लिए $Q > 0$ होता है, इसलिए $E_{\text{initial}} > E_{\text{final}}$ होता है।
अतः, ${}_{92}^{236}U$ की विराम द्रव्यमान ऊर्जा विखंडन टुकड़ों और उत्सर्जित न्यूट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा के योग से अधिक होनी चाहिए।
विकल्प $A$ इस असमानता को सही ढंग से दर्शाता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
विखंडन अभिक्रिया में, मूल नाभिक की विराम द्रव्यमान ऊर्जा उत्पादों की विराम द्रव्यमान ऊर्जा और मुक्त हुई गतिज ऊर्जा ($Q$-मान) के योग के बराबर होती है।
इसलिए, $E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} + Q$।
चूंकि स्वतःस्फूर्त विखंडन प्रक्रिया के लिए $Q > 0$ होता है, इसलिए $E_{\text{initial}} > E_{\text{final}}$ होता है।
अतः, ${}_{92}^{236}U$ की विराम द्रव्यमान ऊर्जा विखंडन टुकड़ों और उत्सर्जित न्यूट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा के योग से अधिक होनी चाहिए।
विकल्प $A$ इस असमानता को सही ढंग से दर्शाता है।
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$u-v$ विधि द्वारा अवतल दर्पण की फोकस दूरी $(f)$ निर्धारित करने के एक प्रयोग में,एक छात्र वस्तु पिन $A$ को मुख्य अक्ष पर ध्रुव $P$ से $x$ दूरी पर रखता है। छात्र पिन और उसके उल्टे प्रतिबिंब को $PA$ की सीध में अपनी आँख रखकर दूर से देखता है। जब छात्र अपनी आँख को बाईं ओर ले जाता है,तो प्रतिबिंब वस्तु पिन के दाईं ओर दिखाई देता है। तब,
A
$x < f$
B
$f < x < 2 f$
C
$x = 2 f$
D
$x > 2 f$
Solution
(B) वर्णित घटना को लंबन (parallax) के रूप में जाना जाता है। जब आँख को बाईं ओर ले जाया जाता है,यदि प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष दाईं ओर खिसकता हुआ दिखाई देता है,तो यह इंगित करता है कि प्रतिबिंब वस्तु पिन के पीछे (दर्पण से अधिक दूरी पर) स्थित है।
अवतल दर्पण के लिए,जब वस्तु को फोकस बिंदु $f$ के बाहर रखा जाता है तो एक उल्टा प्रतिबिंब बनता है।
यदि वस्तु को $f$ और $2f$ के बीच रखा जाता है,तो प्रतिबिंब $2f$ के बाहर बनता है।
चूंकि प्रतिबिंब वस्तु की दूरी से अधिक दूरी पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब आँख की गति की विपरीत दिशा में वस्तु के सापेक्ष खिसकता हुआ दिखाई देगा।
इसलिए,वस्तु को $f < x < 2f$ क्षेत्र में रखा जाना चाहिए।
अवतल दर्पण के लिए,जब वस्तु को फोकस बिंदु $f$ के बाहर रखा जाता है तो एक उल्टा प्रतिबिंब बनता है।
यदि वस्तु को $f$ और $2f$ के बीच रखा जाता है,तो प्रतिबिंब $2f$ के बाहर बनता है।
चूंकि प्रतिबिंब वस्तु की दूरी से अधिक दूरी पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब आँख की गति की विपरीत दिशा में वस्तु के सापेक्ष खिसकता हुआ दिखाई देगा।
इसलिए,वस्तु को $f < x < 2f$ क्षेत्र में रखा जाना चाहिए।
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हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य $122 \ nm$ है। हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के अवरक्त (infrared) क्षेत्र में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य (निकटतम पूर्णांक में) है ($nm$ में)
A
$802$
B
$823$
C
$1882$
D
$1648$
Solution
(B) हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
पराबैंगनी क्षेत्र लाइमैन श्रेणी $(n_f = 1)$ के अनुरूप है। सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है,जो $n_i = 2$ से $n_f = 1$ है।
दिया गया है $\lambda_{max, UV} = 122 \ nm$,इसलिए $\frac{1}{122} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$।
अतः,$\frac{1}{R} = 122 \times \frac{3}{4} = 91.5 \ nm$।
अवरक्त क्षेत्र में पाशन श्रेणी $(n_f = 3)$,ब्रैकेट श्रेणी $(n_f = 4)$ और फंड श्रेणी $(n_f = 5)$ शामिल हैं। पूरे अवरक्त क्षेत्र में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य अधिकतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है,जो पाशन श्रेणी की सीमा ($n_f = 3$ से $n_i = \infty$) है।
$\frac{1}{\lambda_{min, IR}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$।
$\lambda_{min, IR} = \frac{9}{R} = 9 \times 91.5 = 823.5 \ nm$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $823 \ nm$ प्राप्त होता है। इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।
पराबैंगनी क्षेत्र लाइमैन श्रेणी $(n_f = 1)$ के अनुरूप है। सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है,जो $n_i = 2$ से $n_f = 1$ है।
दिया गया है $\lambda_{max, UV} = 122 \ nm$,इसलिए $\frac{1}{122} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$।
अतः,$\frac{1}{R} = 122 \times \frac{3}{4} = 91.5 \ nm$।
अवरक्त क्षेत्र में पाशन श्रेणी $(n_f = 3)$,ब्रैकेट श्रेणी $(n_f = 4)$ और फंड श्रेणी $(n_f = 5)$ शामिल हैं। पूरे अवरक्त क्षेत्र में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य अधिकतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है,जो पाशन श्रेणी की सीमा ($n_f = 3$ से $n_i = \infty$) है।
$\frac{1}{\lambda_{min, IR}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$।
$\lambda_{min, IR} = \frac{9}{R} = 9 \times 91.5 = 823.5 \ nm$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $823 \ nm$ प्राप्त होता है। इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।
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एक मीटर-ब्रिज के एक गैप में $2 \Omega$ का प्रतिरोध और दूसरे गैप में $2 \Omega$ से अधिक का एक अज्ञात प्रतिरोध जोड़ा गया है (तार की लंबाई $100 \text{ cm}$ है)। जब इन प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाता है,तो संतुलन बिंदु $20 \text{ cm}$ खिसक जाता है। किसी भी सुधार को नगण्य मानते हुए,अज्ञात प्रतिरोध ज्ञात कीजिए। ($Omega$ में)
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(A) माना अज्ञात प्रतिरोध $x$ है। मीटर-ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,पहली स्थिति के लिए:
$\frac{2}{x} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ ...............$(I)$
जब प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया संतुलन बिंदु $\ell' = \ell + 20$ हो जाता है (चूंकि $x > 2$ है,इसलिए संतुलन बिंदु बड़े प्रतिरोध की ओर खिसकता है)। अतः,दूसरी स्थिति के लिए:
$\frac{x}{2} = \frac{\ell + 20}{100 - (\ell + 20)} = \frac{\ell + 20}{80 - \ell}$ ...............$(II)$
$(I)$ से,$\frac{\ell}{100 - \ell} = \frac{2}{x} \implies \ell x = 200 - 2\ell \implies \ell(x + 2) = 200 \implies \ell = \frac{200}{x + 2}$.
$(II)$ से,$\frac{x}{2} = \frac{\ell + 20}{80 - \ell} \implies 80x - \ell x = 2\ell + 40 \implies 80x - 40 = \ell(x + 2)$.
$\ell(x + 2) = 200$ को समीकरण $80x - 40 = \ell(x + 2)$ में रखने पर:
$80x - 40 = 200$
$80x = 240$
$x = 3 \Omega$.
$\frac{2}{x} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ ...............$(I)$
जब प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया संतुलन बिंदु $\ell' = \ell + 20$ हो जाता है (चूंकि $x > 2$ है,इसलिए संतुलन बिंदु बड़े प्रतिरोध की ओर खिसकता है)। अतः,दूसरी स्थिति के लिए:
$\frac{x}{2} = \frac{\ell + 20}{100 - (\ell + 20)} = \frac{\ell + 20}{80 - \ell}$ ...............$(II)$
$(I)$ से,$\frac{\ell}{100 - \ell} = \frac{2}{x} \implies \ell x = 200 - 2\ell \implies \ell(x + 2) = 200 \implies \ell = \frac{200}{x + 2}$.
$(II)$ से,$\frac{x}{2} = \frac{\ell + 20}{80 - \ell} \implies 80x - \ell x = 2\ell + 40 \implies 80x - 40 = \ell(x + 2)$.
$\ell(x + 2) = 200$ को समीकरण $80x - 40 = \ell(x + 2)$ में रखने पर:
$80x - 40 = 200$
$80x = 240$
$x = 3 \Omega$.
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जल में यात्रा कर रही प्रकाश की एक किरण हवा के संपर्क में आने वाली इसकी सतह पर आपतित होती है। आपतन कोण $\theta$ है,जो क्रांतिक कोण से कम है। तब क्या होगा?
A
केवल एक परावर्तित किरण और कोई अपवर्तित किरण नहीं
B
केवल एक अपवर्तित किरण और कोई परावर्तित किरण नहीं
C
एक परावर्तित किरण और एक अपवर्तित किरण और उनके बीच का कोण $180^{\circ}-2 \theta$ से कम होगा
D
एक परावर्तित किरण और एक अपवर्तित किरण और उनके बीच का कोण $180^{\circ}-2 \theta$ से अधिक होगा
Solution
(C) जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम (जल) से विरल माध्यम (हवा) में यात्रा करती है और आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण से कम होता है,तो आंशिक परावर्तन और आंशिक अपवर्तन होता है।
$1$. परावर्तित किरण जल माध्यम में अभिलंब के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
$2$. अपवर्तित किरण हवा माध्यम में अभिलंब के साथ $r$ कोण बनाती है। स्नेल के नियम के अनुसार,$n_w \sin \theta = n_a \sin r$। चूंकि $n_w > n_a$,इसलिए $\sin r > \sin \theta$,जिसका अर्थ है $r > \theta$।
$3$. परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $\phi = 180^{\circ} - (\theta + r)$ है।
$4$. चूंकि $r > \theta$,इसलिए $\theta + r > 2\theta$ होगा।
$5$. अतः,$180^{\circ} - (\theta + r) < 180^{\circ} - 2\theta$।
$6$. इस प्रकार,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $180^{\circ} - 2\theta$ से कम होता है।
$1$. परावर्तित किरण जल माध्यम में अभिलंब के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
$2$. अपवर्तित किरण हवा माध्यम में अभिलंब के साथ $r$ कोण बनाती है। स्नेल के नियम के अनुसार,$n_w \sin \theta = n_a \sin r$। चूंकि $n_w > n_a$,इसलिए $\sin r > \sin \theta$,जिसका अर्थ है $r > \theta$।
$3$. परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $\phi = 180^{\circ} - (\theta + r)$ है।
$4$. चूंकि $r > \theta$,इसलिए $\theta + r > 2\theta$ होगा।
$5$. अतः,$180^{\circ} - (\theta + r) < 180^{\circ} - 2\theta$।
$6$. इस प्रकार,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $180^{\circ} - 2\theta$ से कम होता है।
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एक उदासीन चालक गोले पर विचार करें। एक धनात्मक बिंदु आवेश को गोले के बाहर रखा जाता है। तो गोले पर कुल आवेश होगा,
A
ऋणात्मक और गोले की सतह पर समान रूप से वितरित
B
ऋणात्मक और केवल गोले के उस बिंदु पर दिखाई देता है जो बिंदु आवेश के सबसे निकट है
C
ऋणात्मक और गोले की पूरी सतह पर असमान रूप से वितरित
D
शून्य
Solution
(D) एक उदासीन चालक गोले में धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों की संख्या समान होती है,जिसके परिणामस्वरूप कुल आवेश $0$ होता है।
जब एक धनात्मक बिंदु आवेश को गोले के बाहर रखा जाता है,तो यह चालक के भीतर आवेशों के पुनर्वितरण को प्रेरित करता है।
ऋणात्मक आवेश धनात्मक बिंदु आवेश के सबसे निकट वाले गोले के हिस्से की ओर आकर्षित होते हैं,जबकि धनात्मक आवेश दूर वाले हिस्से की ओर प्रतिकर्षित होते हैं।
हालाँकि,यह प्रक्रिया केवल मौजूदा आवेशों का आंतरिक पुनर्वितरण है।
चूंकि पृथक चालक गोले में कोई आवेश न तो जोड़ा जाता है और न ही हटाया जाता है,इसलिए गोले पर कुल शुद्ध आवेश $0$ ही रहता है।
जब एक धनात्मक बिंदु आवेश को गोले के बाहर रखा जाता है,तो यह चालक के भीतर आवेशों के पुनर्वितरण को प्रेरित करता है।
ऋणात्मक आवेश धनात्मक बिंदु आवेश के सबसे निकट वाले गोले के हिस्से की ओर आकर्षित होते हैं,जबकि धनात्मक आवेश दूर वाले हिस्से की ओर प्रतिकर्षित होते हैं।
हालाँकि,यह प्रक्रिया केवल मौजूदा आवेशों का आंतरिक पुनर्वितरण है।
चूंकि पृथक चालक गोले में कोई आवेश न तो जोड़ा जाता है और न ही हटाया जाता है,इसलिए गोले पर कुल शुद्ध आवेश $0$ ही रहता है।
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$\text{कथन}-1$: गोलीय दर्पण के लिए $u, v$ और $f$ को जोड़ने वाला सूत्र केवल उन दर्पणों के लिए मान्य है जिनका आकार उनकी वक्रता त्रिज्या की तुलना में बहुत छोटा होता है। क्योंकि
$\text{कथन}-2$: परावर्तन के नियम समतल सतहों के लिए सख्ती से मान्य हैं, लेकिन बड़ी गोलीय सतहों के लिए नहीं।
$\text{कथन}-2$: परावर्तन के नियम समतल सतहों के लिए सख्ती से मान्य हैं, लेकिन बड़ी गोलीय सतहों के लिए नहीं।
A
$\text{कथन}-1$ सत्य है, $\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या है।
B
$\text{कथन}-1$ सत्य है, $\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$\text{कथन}-1$ सत्य है, $\text{कथन}-2$ असत्य है।
D
$\text{कथन}-1$ असत्य है, $\text{कथन}-2$ सत्य है।
Solution
(C) $\text{कथन}-1$ सत्य है। गोलीय दर्पण के लिए सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ को पैराकियल सन्निकटन (paraxial approximation) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, जो यह मानता है कि किरणें मुख्य अक्ष के करीब हैं और दर्पण का द्वारक (aperture) उसकी वक्रता त्रिज्या $(R)$ की तुलना में छोटा है।
$\text{कथन}-2$ असत्य है। परावर्तन के नियम (आपतन कोण = परावर्तन कोण) मौलिक हैं और किसी भी परावर्तक सतह के लिए सत्य हैं, चाहे वह समतल हो या गोलीय, आकार चाहे जो भी हो। बड़े गोलीय दर्पणों में विचलन गोलीय विपथन (spherical aberration) के कारण होता है, न कि परावर्तन के नियमों के उल्लंघन के कारण।
$\text{कथन}-2$ असत्य है। परावर्तन के नियम (आपतन कोण = परावर्तन कोण) मौलिक हैं और किसी भी परावर्तक सतह के लिए सत्य हैं, चाहे वह समतल हो या गोलीय, आकार चाहे जो भी हो। बड़े गोलीय दर्पणों में विचलन गोलीय विपथन (spherical aberration) के कारण होता है, न कि परावर्तन के नियमों के उल्लंघन के कारण।
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$\text{कथन}-1$: यदि $X$-ray ट्यूब में त्वरक विभव (accelerating potential) को बढ़ाया जाता है, तो अभिलक्षणिक (characteristic) $X$-rays की तरंगदैर्ध्य नहीं बदलती है। क्योंकि
$\text{कथन}-2$: जब एक इलेक्ट्रॉन बीम $X$-ray ट्यूब में लक्ष्य (target) से टकराती है, तो गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा $X$-ray ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
$\text{कथन}-2$: जब एक इलेक्ट्रॉन बीम $X$-ray ट्यूब में लक्ष्य (target) से टकराती है, तो गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा $X$-ray ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
A
$\text{कथन}-1$ सत्य है, $\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या है।
B
$\text{कथन}-1$ सत्य है, $\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$\text{कथन}-1$ सत्य है, $\text{कथन}-2$ असत्य है।
D
$\text{कथन}-1$ असत्य है, $\text{कथन}-2$ सत्य है।
Solution
(B) अभिलक्षणिक $X$-rays लक्ष्य परमाणुओं के आंतरिक कोशों के बीच इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के कारण उत्पन्न होती हैं। इन संक्रमणों की ऊर्जा केवल लक्ष्य सामग्री की परमाणु संख्या $(Z)$ पर निर्भर करती है, न कि इलेक्ट्रॉनों के त्वरक विभव पर। अतः, $\text{कथन}-1$ सत्य है।
जब एक इलेक्ट्रॉन बीम लक्ष्य से टकराती है, तो वह गतिज ऊर्जा खो देती है, जो $X$-ray फोटॉन (ब्रेम्सस्ट्रालुंग और अभिलक्षणिक) के रूप में उत्सर्जित होती है। यह ट्यूब में होने वाली एक सामान्य भौतिक प्रक्रिया है। अतः, $\text{कथन}-2$ सत्य है।
हालाँकि, $\text{कथन}-2$ $X$-rays के सामान्य उत्पादन का वर्णन करता है, जबकि $\text{कथन}-1$ विशेष रूप से अभिलक्षणिक $X$-ray तरंगदैर्ध्य की त्वरक विभव से स्वतंत्रता के बारे में है। इसलिए, $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
जब एक इलेक्ट्रॉन बीम लक्ष्य से टकराती है, तो वह गतिज ऊर्जा खो देती है, जो $X$-ray फोटॉन (ब्रेम्सस्ट्रालुंग और अभिलक्षणिक) के रूप में उत्सर्जित होती है। यह ट्यूब में होने वाली एक सामान्य भौतिक प्रक्रिया है। अतः, $\text{कथन}-2$ सत्य है।
हालाँकि, $\text{कथन}-2$ $X$-rays के सामान्य उत्पादन का वर्णन करता है, जबकि $\text{कथन}-1$ विशेष रूप से अभिलक्षणिक $X$-ray तरंगदैर्ध्य की त्वरक विभव से स्वतंत्रता के बारे में है। इसलिए, $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
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स्तंभ $I$ में कुछ नियम/प्रक्रियाएं दी गई हैं। इन्हें स्तंभ $II$ में दी गई भौतिक घटनाओं के साथ सुमेलित कीजिए।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| $(A)$ दो परमाणु ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण | $(p)$ अभिलक्षणिक $X$-किरणें |
| $(B)$ किसी पदार्थ से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन | $(q)$ प्रकाश-विद्युत प्रभाव |
| $(C)$ मोजले का नियम | $(r)$ हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम |
| $(D)$ फोटॉन ऊर्जा का इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन | $(s)$ $\beta$-क्षय |
A
$A \rightarrow (q) \& (s), B \rightarrow (q) \& (p), C \rightarrow (p), D \rightarrow (s)$
B
$A \rightarrow (p) \& (r), B \rightarrow (q) \& (s), C \rightarrow (p), D \rightarrow (q)$
C
$A \rightarrow (s) \& (r), B \rightarrow (p) \& (s), C \rightarrow (p), D \rightarrow (s)$
D
$A \rightarrow (p) \& (q), B \rightarrow (q) \& (r), C \rightarrow (p), D \rightarrow (q)$
Solution
$(A)$ दो परमाणु ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण के परिणामस्वरूप फोटॉन का उत्सर्जन होता है, जो हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम $(r)$ और अभिलक्षणिक $X$-किरणों $(p)$ से संबंधित है।
$(B)$ किसी पदार्थ से इलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन प्रकाश-विद्युत प्रभाव $(q)$ या $\beta$-क्षय $(s)$ के माध्यम से हो सकता है।
$(C)$ मोजले का नियम अभिलक्षणिक $X$-किरणों $(p)$ की आवृत्ति को लक्ष्य पदार्थ की परमाणु संख्या से जोड़ता है।
$(D)$ फोटॉन ऊर्जा का इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन प्रकाश-विद्युत प्रभाव $(q)$ का मूल सिद्धांत है।
अतः, सही मिलान है: $A \rightarrow (p) \& (r), B \rightarrow (q) \& (s), C \rightarrow (p), D \rightarrow (q)$.
$(B)$ किसी पदार्थ से इलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन प्रकाश-विद्युत प्रभाव $(q)$ या $\beta$-क्षय $(s)$ के माध्यम से हो सकता है।
$(C)$ मोजले का नियम अभिलक्षणिक $X$-किरणों $(p)$ की आवृत्ति को लक्ष्य पदार्थ की परमाणु संख्या से जोड़ता है।
$(D)$ फोटॉन ऊर्जा का इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन प्रकाश-विद्युत प्रभाव $(q)$ का मूल सिद्धांत है।
अतः, सही मिलान है: $A \rightarrow (p) \& (r), B \rightarrow (q) \& (s), C \rightarrow (p), D \rightarrow (q)$.
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स्तंभ $I$ में कुछ स्थितियाँ दी गई हैं जिनमें $R$ प्रतिरोध वाले सीधे धात्विक तार का उपयोग किया जाता है और स्तंभ $II$ में कुछ परिणामी प्रभाव दिए गए हैं। स्तंभ $I$ के कथनों को स्तंभ $II$ के कथनों के साथ सुमेलित कीजिए।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| $(A)$ एक आवेशित संधारित्र को तार के सिरों से जोड़ा जाता है | $(p)$ तार से होकर एक स्थिर धारा प्रवाहित होती है |
| $(B)$ तार को उसकी लंबाई के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में स्थिर वेग से गति कराया जाता है | $(q)$ तार में ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न होती है |
| $(C)$ तार को एक स्थिर विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है जिसकी दिशा तार की लंबाई के अनुदिश है | $(r)$ तार के सिरों के बीच एक स्थिर विभवांतर विकसित होता है |
| $(D)$ स्थिर emf वाली एक बैटरी को तार के सिरों से जोड़ा जाता है | $(s)$ तार के सिरों पर स्थिर परिमाण के आवेश दिखाई देते हैं |
A
$A \rightarrow (q), B \rightarrow (r, s), C \rightarrow (r, s), D \rightarrow (p, q, r)$
B
$A \rightarrow (r), B \rightarrow (r, s), C \rightarrow (r, s), D \rightarrow (p, s, q)$
C
$A \rightarrow (r), B \rightarrow (s, q), C \rightarrow (r, s), D \rightarrow (p, s, r)$
D
$A \rightarrow (s), B \rightarrow (q, s), C \rightarrow (s, s), D \rightarrow (p, q, r)$
Solution
$(A)$ जब एक आवेशित संधारित्र को तार से जोड़ा जाता है, तो यह $R$ प्रतिरोध के माध्यम से डिस्चार्ज होता है, जिससे ऊष्मीय ऊर्जा $(q)$ उत्पन्न होती है।
$(B)$ गतिकीय $EMF$ $e = Blv$ प्रेरित होता है। यह सिरों पर विभवांतर $(r)$ और आवेश पृथक्करण $(s)$ पैदा करता है। चूंकि तार एक परिपथ में है, धारा प्रवाहित होती है और ऊष्मीय ऊर्जा $(q)$ उत्पन्न होती है।
$(C)$ एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में, विभवांतर $V = El$ विकसित होता है $(r)$ और सिरों पर आवेश दिखाई देते हैं $(s)$।
$(D)$ बैटरी स्थिर $EMF$ प्रदान करती है, जिससे तार में स्थिर धारा $(p)$, ऊष्मीय ऊर्जा $(q)$ और स्थिर विभवांतर $(r)$ उत्पन्न होता है।
$(B)$ गतिकीय $EMF$ $e = Blv$ प्रेरित होता है। यह सिरों पर विभवांतर $(r)$ और आवेश पृथक्करण $(s)$ पैदा करता है। चूंकि तार एक परिपथ में है, धारा प्रवाहित होती है और ऊष्मीय ऊर्जा $(q)$ उत्पन्न होती है।
$(C)$ एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में, विभवांतर $V = El$ विकसित होता है $(r)$ और सिरों पर आवेश दिखाई देते हैं $(s)$।
$(D)$ बैटरी स्थिर $EMF$ प्रदान करती है, जिससे तार में स्थिर धारा $(p)$, ऊष्मीय ऊर्जा $(q)$ और स्थिर विभवांतर $(r)$ उत्पन्न होता है।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2007
चित्र में दिखाए अनुसार एक ठोस गोले,जिसमें आवेश उसके आयतन में समान रूप से वितरित है,से एक गोलाकार भाग हटा दिया गया है। खाली की गई जगह के अंदर विद्युत क्षेत्र है
A
हर जगह शून्य
B
शून्येतर और एकसमान
C
असमान
D
केवल इसके केंद्र पर शून्य
Solution
(B) $\rho$ आवेश घनत्व वाले एक ठोस गोले पर विचार करें जिसमें एक गोलाकार गुहा (cavity) है। गुहा के अंदर किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र को अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। हम इस प्रणाली को $\rho$ आवेश घनत्व वाले एक बड़े ठोस गोले और गुहा को भरने वाले $-\rho$ आवेश घनत्व वाले एक छोटे गोले के रूप में मान सकते हैं।
एक समान रूप से आवेशित गोले के अंदर उसके केंद्र से $\vec{r}$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $\vec{b}$ बड़े गोले के केंद्र $(O)$ से बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है और $\vec{a}$ गुहा के केंद्र $(Q)$ से बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है। $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र बड़े गोले और गुहा के ऋणात्मक आवेश के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है:
$\vec{E}_{net} = \vec{E}_{large} + \vec{E}_{cavity} = \frac{\rho \vec{b}}{3 \epsilon_0} + \frac{-\rho \vec{a}}{3 \epsilon_0} = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} (\vec{b} - \vec{a})$.
ज्यामिति से,$\vec{b} - \vec{a} = \vec{r}$,जहाँ $\vec{r}$ बड़े गोले के केंद्र से गुहा के केंद्र तक का स्थिर सदिश है। अतः,$\vec{E}_{net} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$.
चूंकि $\rho$,$\vec{r}$,और $\epsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्येतर और एकसमान (uniform) है।
एक समान रूप से आवेशित गोले के अंदर उसके केंद्र से $\vec{r}$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $\vec{b}$ बड़े गोले के केंद्र $(O)$ से बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है और $\vec{a}$ गुहा के केंद्र $(Q)$ से बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है। $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र बड़े गोले और गुहा के ऋणात्मक आवेश के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है:
$\vec{E}_{net} = \vec{E}_{large} + \vec{E}_{cavity} = \frac{\rho \vec{b}}{3 \epsilon_0} + \frac{-\rho \vec{a}}{3 \epsilon_0} = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} (\vec{b} - \vec{a})$.
ज्यामिति से,$\vec{b} - \vec{a} = \vec{r}$,जहाँ $\vec{r}$ बड़े गोले के केंद्र से गुहा के केंद्र तक का स्थिर सदिश है। अतः,$\vec{E}_{net} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$.
चूंकि $\rho$,$\vec{r}$,और $\epsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्येतर और एकसमान (uniform) है।
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एक चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = B_0 \hat{j}$,$a < x < 2a$ क्षेत्र में और $\overrightarrow{B} = -B_0 \hat{j}$,$2a < x < 3a$ क्षेत्र में मौजूद है,जहाँ $B_0$ एक धनात्मक स्थिरांक है। $v_0$ वेग के साथ गति करने वाला एक धनात्मक बिंदु आवेश,जहाँ $v_0$ एक धनात्मक स्थिरांक है,$x = a$ पर चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है। इस क्षेत्र में आवेश का प्रक्षेपवक्र कैसा हो सकता है?
A
B
C
D
Solution
(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$a < x < 2a$ क्षेत्र के लिए,$\overrightarrow{v} = v_0 \hat{i}$ और $\overrightarrow{B} = B_0 \hat{j}$ है।
अतः,$\overrightarrow{F} = q(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{j}) = q v_0 B_0 \hat{k}$।
चूंकि बल $+\hat{k}$ दिशा में है,इसलिए पथ ऊपर की ओर अवतल (concave upward) होगा।
$2a < x < 3a$ क्षेत्र के लिए,$\overrightarrow{v}$ का $\hat{k}$ दिशा में एक घटक है,लेकिन चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = -B_0 \hat{j}$ है।
बल $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times -B_0 \hat{j})$ में अब $-\hat{k}$ दिशा में एक घटक होगा।
अतः,इस क्षेत्र में पथ नीचे की ओर अवतल (concave downward) होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ में दिखाया गया प्रक्षेपवक्र इस व्यवहार से मेल खाता है।
$a < x < 2a$ क्षेत्र के लिए,$\overrightarrow{v} = v_0 \hat{i}$ और $\overrightarrow{B} = B_0 \hat{j}$ है।
अतः,$\overrightarrow{F} = q(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{j}) = q v_0 B_0 \hat{k}$।
चूंकि बल $+\hat{k}$ दिशा में है,इसलिए पथ ऊपर की ओर अवतल (concave upward) होगा।
$2a < x < 3a$ क्षेत्र के लिए,$\overrightarrow{v}$ का $\hat{k}$ दिशा में एक घटक है,लेकिन चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = -B_0 \hat{j}$ है।
बल $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times -B_0 \hat{j})$ में अब $-\hat{k}$ दिशा में एक घटक होगा।
अतः,इस क्षेत्र में पथ नीचे की ओर अवतल (concave downward) होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ में दिखाया गया प्रक्षेपवक्र इस व्यवहार से मेल खाता है।
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de-Broglie तरंगदैर्ध्य $\lambda$ वाले इलेक्ट्रॉन एक $X$-ray ट्यूब में लक्ष्य पर गिरते हैं। उत्सर्जित $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य क्या है?
A
$\lambda_0 = \frac{2 mc \lambda^2}{h}$
B
$\lambda_0 = \frac{2h}{mc}$
C
$\lambda_0 = \frac{2 m^2 c^2 \lambda^3}{h^2}$
D
$\lambda_0 = \lambda$
Solution
(A) गतिज ऊर्जा $E$ वाले इलेक्ट्रॉन की de-Broglie तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $E$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जित $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो आपतित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$।
$E$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda_0$ के लिए हल करने पर,$\lambda_0 = \frac{2mc\lambda^2}{h}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $E$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जित $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो आपतित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$।
$E$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda_0$ के लिए हल करने पर,$\lambda_0 = \frac{2mc\lambda^2}{h}$ प्राप्त होता है।
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34
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2007
समान परिमाण के धनात्मक और ऋणात्मक बिंदु आवेशों को क्रमशः $(0, 0, a/2)$ और $(0, 0, -a/2)$ पर रखा गया है। जब एक अन्य धनात्मक बिंदु आवेश को $(-a, 0, 0)$ से $(0, a, 0)$ तक ले जाया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य है
A
धनात्मक
B
ऋणात्मक
C
शून्य
D
प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों को जोड़ने वाले पथ पर निर्भर करता है
Solution
(C) आवेशों की दी गई व्यवस्था $z$-अक्ष पर रखा गया एक विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) है,जिसमें धनात्मक आवेश $(0, 0, a/2)$ पर और ऋणात्मक आवेश $(0, 0, -a/2)$ पर है।
विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु पर केंद्रित द्विध्रुव के लिए,निरक्षीय तल (equatorial plane) $xy$-तल $(z = 0)$ है।
$xy$-तल पर किसी भी बिंदु पर,धनात्मक आवेश से दूरी और ऋणात्मक आवेश से दूरी समान होती है,इसलिए $xy$-तल पर हर जगह विभव $V$ शून्य होता है।
प्रारंभिक स्थिति $(-a, 0, 0)$ है,जो $xy$-तल पर स्थित है,इसलिए $V_i = 0$ है।
अंतिम स्थिति $(0, a, 0)$ है,जो भी $xy$-तल पर स्थित है,इसलिए $V_f = 0$ है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W_e = -\Delta U = -q_0(V_f - V_i)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_0$ परीक्षण आवेश है।
चूँकि $V_f = V_i = 0$ है,इसलिए किया गया कार्य $W_e = -q_0(0 - 0) = 0$ होगा।
विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु पर केंद्रित द्विध्रुव के लिए,निरक्षीय तल (equatorial plane) $xy$-तल $(z = 0)$ है।
$xy$-तल पर किसी भी बिंदु पर,धनात्मक आवेश से दूरी और ऋणात्मक आवेश से दूरी समान होती है,इसलिए $xy$-तल पर हर जगह विभव $V$ शून्य होता है।
प्रारंभिक स्थिति $(-a, 0, 0)$ है,जो $xy$-तल पर स्थित है,इसलिए $V_i = 0$ है।
अंतिम स्थिति $(0, a, 0)$ है,जो भी $xy$-तल पर स्थित है,इसलिए $V_f = 0$ है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W_e = -\Delta U = -q_0(V_f - V_i)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_0$ परीक्षण आवेश है।
चूँकि $V_f = V_i = 0$ है,इसलिए किया गया कार्य $W_e = -q_0(0 - 0) = 0$ होगा।
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35
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2007
$STATEMENT-1$ एक ऊर्ध्वाधर लोहे की छड़ के निचले सिरे पर तार की एक कुंडली लिपटी हुई है। कुंडली में एक प्रत्यावर्ती धारा बहती है। छड़ चित्र में दिखाए अनुसार एक चालक वलय (रिंग) से होकर गुजरती है। वलय कुंडली के ऊपर एक निश्चित ऊंचाई पर तैर सकती है। क्योंकि
$STATEMENT-2$ उपरोक्त स्थिति में,वलय में एक धारा प्रेरित होती है जो चुंबकीय क्षेत्र के त्रिज्यीय घटक के साथ परस्पर क्रिया करके ऊपर की दिशा में एक औसत बल उत्पन्न करती है।
$STATEMENT-2$ उपरोक्त स्थिति में,वलय में एक धारा प्रेरित होती है जो चुंबकीय क्षेत्र के त्रिज्यीय घटक के साथ परस्पर क्रिया करके ऊपर की दिशा में एक औसत बल उत्पन्न करती है।
A
कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।
B
कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
C
कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ असत्य है।
D
कथन-$1$ असत्य है,कथन-$2$ सत्य है।
Solution
(A) कथन-$1$ सत्य है: जब कुंडली से प्रत्यावर्ती धारा बहती है,तो यह समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र बनाती है। फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,यह चुंबकीय क्षेत्र चालक वलय में एक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा उत्पन्न करता है।
कथन-$2$ सत्य है: कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं पूरी तरह से ऊर्ध्वाधर नहीं होती हैं; जब वे लोहे की छड़ से बाहर निकलती हैं तो उनका एक त्रिज्यीय (radial) घटक होता है। वलय में प्रेरित धारा चुंबकीय क्षेत्र के इस त्रिज्यीय घटक के साथ परस्पर क्रिया करती है। लोरेंत्ज़ बल नियम $(F = I(L \times B))$ के अनुसार,यह परस्पर क्रिया वलय पर ऊपर की ओर एक बल उत्पन्न करती है। चूंकि कुंडली में धारा प्रत्यावर्ती है,इसलिए वलय में प्रेरित धारा भी बदलती रहती है,लेकिन औसत बल ऊपर की दिशा में ही रहता है,जिससे वलय एक स्थिर स्थिति में तैर सकती है जहाँ यह ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है।
अतः,कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।
कथन-$2$ सत्य है: कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं पूरी तरह से ऊर्ध्वाधर नहीं होती हैं; जब वे लोहे की छड़ से बाहर निकलती हैं तो उनका एक त्रिज्यीय (radial) घटक होता है। वलय में प्रेरित धारा चुंबकीय क्षेत्र के इस त्रिज्यीय घटक के साथ परस्पर क्रिया करती है। लोरेंत्ज़ बल नियम $(F = I(L \times B))$ के अनुसार,यह परस्पर क्रिया वलय पर ऊपर की ओर एक बल उत्पन्न करती है। चूंकि कुंडली में धारा प्रत्यावर्ती है,इसलिए वलय में प्रेरित धारा भी बदलती रहती है,लेकिन औसत बल ऊपर की दिशा में ही रहता है,जिससे वलय एक स्थिर स्थिति में तैर सकती है जहाँ यह ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है।
अतः,कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।
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36
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2007
चित्र दो पारदर्शी माध्यमों,माध्यम-$1$ और माध्यम-$2$ को अलग करने वाली सतह $XY$ को दर्शाता है। रेखाएँ $ab$ और $cd$ माध्यम-$1$ में यात्रा कर रही और $XY$ पर आपतित प्रकाश तरंग के तरंगाग्रों को दर्शाती हैं। रेखाएँ $ef$ और $gh$ अपवर्तन के बाद माध्यम-$2$ में प्रकाश तरंग के तरंगाग्रों को दर्शाती हैं।
$1.$ प्रकाश किस रूप में यात्रा करता है?
$(A)$ प्रत्येक माध्यम में समानांतर किरण पुंज के रूप में
$(B)$ प्रत्येक माध्यम में अभिसारी किरण पुंज के रूप में
$(C)$ प्रत्येक माध्यम में अपसारी किरण पुंज के रूप में
$(D)$ एक माध्यम में अपसारी और दूसरे माध्यम में अभिसारी किरण पुंज के रूप में
$2.$ $c, d, e$ और $f$ पर प्रकाश तरंग की कलाएँ क्रमशः $\phi_{c}, \phi_{d}, \phi_{e}$ और $\phi_{f}$ हैं। यह दिया गया है कि $\phi_{c} \neq \phi_{f}$।
$(A)$ $\phi_{c}$,$\phi_{d}$ के बराबर नहीं हो सकता
$(B)$ $\phi_{a}$,$\phi_{e}$ के बराबर हो सकता है
$(C)$ $(\phi_{d}-\phi_{c})$,$(\phi_{f}-\phi_{e})$ के बराबर है
$(D)$ $(\phi_{d}-\phi_{c})$,$(\phi_{f}-\phi_{e})$ के बराबर नहीं है
$3.$ प्रकाश की गति
$(A)$ माध्यम-$1$ और माध्यम-$2$ में समान है
$(B)$ माध्यम-$2$ की तुलना में माध्यम-$1$ में अधिक है
$(C)$ माध्यम-$1$ की तुलना में माध्यम-$2$ में अधिक है
$(D)$ $b$ और $d$ पर अलग-अलग है
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ प्रकाश किस रूप में यात्रा करता है?
$(A)$ प्रत्येक माध्यम में समानांतर किरण पुंज के रूप में
$(B)$ प्रत्येक माध्यम में अभिसारी किरण पुंज के रूप में
$(C)$ प्रत्येक माध्यम में अपसारी किरण पुंज के रूप में
$(D)$ एक माध्यम में अपसारी और दूसरे माध्यम में अभिसारी किरण पुंज के रूप में
$2.$ $c, d, e$ और $f$ पर प्रकाश तरंग की कलाएँ क्रमशः $\phi_{c}, \phi_{d}, \phi_{e}$ और $\phi_{f}$ हैं। यह दिया गया है कि $\phi_{c} \neq \phi_{f}$।
$(A)$ $\phi_{c}$,$\phi_{d}$ के बराबर नहीं हो सकता
$(B)$ $\phi_{a}$,$\phi_{e}$ के बराबर हो सकता है
$(C)$ $(\phi_{d}-\phi_{c})$,$(\phi_{f}-\phi_{e})$ के बराबर है
$(D)$ $(\phi_{d}-\phi_{c})$,$(\phi_{f}-\phi_{e})$ के बराबर नहीं है
$3.$ प्रकाश की गति
$(A)$ माध्यम-$1$ और माध्यम-$2$ में समान है
$(B)$ माध्यम-$2$ की तुलना में माध्यम-$1$ में अधिक है
$(C)$ माध्यम-$1$ की तुलना में माध्यम-$2$ में अधिक है
$(D)$ $b$ और $d$ पर अलग-अलग है
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
Solution
(A,C,C) $1.$ चूंकि तरंगाग्र समानांतर सीधी रेखाएं हैं,इसलिए प्रकाश किरणें (जो तरंगाग्रों के लंबवत होती हैं) समानांतर हैं। अतः,प्रकाश प्रत्येक माध्यम में समानांतर किरण पुंज के रूप में यात्रा करता है। सही विकल्प $(A)$ है।
$2.$ एक समतल तरंगाग्र के लिए,दो बिंदुओं के बीच कलांतर पथ अंतर पर निर्भर करता है। चूंकि तरंगाग्र समानांतर हैं,एक ही तरंगाग्र पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी स्थिर रहती है। एक ही तरंगाग्र पर दो बिंदुओं के बीच कलांतर शून्य होता है। इसलिए,$(\phi_{d}-\phi_{c}) = 0$ और $(\phi_{f}-\phi_{e}) = 0$। अतः,$(\phi_{d}-\phi_{c}) = (\phi_{f}-\phi_{e})$। सही विकल्प $(C)$ है।
$3.$ क्रमिक तरंगाग्रों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को दर्शाती है। चित्र से,$ab$ और $cd$ के बीच की दूरी (माध्यम-$1$ में तरंगदैर्ध्य,$\lambda_1$) $ef$ और $gh$ के बीच की दूरी (माध्यम-$2$ में तरंगदैर्ध्य,$\lambda_2$) से कम है। चूंकि $v = f\lambda$ और अपवर्तन के दौरान आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए $v \propto \lambda$। अतः,$v_2 > v_1$। प्रकाश की गति माध्यम-$1$ की तुलना में माध्यम-$2$ में अधिक है। सही विकल्प $(C)$ है।
$2.$ एक समतल तरंगाग्र के लिए,दो बिंदुओं के बीच कलांतर पथ अंतर पर निर्भर करता है। चूंकि तरंगाग्र समानांतर हैं,एक ही तरंगाग्र पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी स्थिर रहती है। एक ही तरंगाग्र पर दो बिंदुओं के बीच कलांतर शून्य होता है। इसलिए,$(\phi_{d}-\phi_{c}) = 0$ और $(\phi_{f}-\phi_{e}) = 0$। अतः,$(\phi_{d}-\phi_{c}) = (\phi_{f}-\phi_{e})$। सही विकल्प $(C)$ है।
$3.$ क्रमिक तरंगाग्रों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को दर्शाती है। चित्र से,$ab$ और $cd$ के बीच की दूरी (माध्यम-$1$ में तरंगदैर्ध्य,$\lambda_1$) $ef$ और $gh$ के बीच की दूरी (माध्यम-$2$ में तरंगदैर्ध्य,$\lambda_2$) से कम है। चूंकि $v = f\lambda$ और अपवर्तन के दौरान आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए $v \propto \lambda$। अतः,$v_2 > v_1$। प्रकाश की गति माध्यम-$1$ की तुलना में माध्यम-$2$ में अधिक है। सही विकल्प $(C)$ है।
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37
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2007
दो तार जिनमें से प्रत्येक में $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,कॉलम $I$ में चार विन्यासों में दिखाए गए हैं। परिणामी प्रभावों में से कुछ कॉलम $II$ में वर्णित हैं। कॉलम $I$ के कथनों का कॉलम $II$ के कथनों से मिलान करें।
| कॉलम $I$ | कॉलम $II$ |
| $(A)$ दो समानांतर तार जिनमें धारा समान दिशा में है,$P$ मध्य बिंदु है। | $(p)$ तारों में धारा के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ समान दिशा में हैं। |
| $(B)$ दो समाक्षीय वृत्ताकार लूप जिनमें धारा समान दिशा में है,$P$ अक्ष पर मध्य बिंदु है। | $(q)$ तारों में धारा के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ विपरीत दिशा में हैं। |
| $(C)$ दो समतलीय वृत्ताकार लूप जिनमें धारा विपरीत दिशा में है,$P$ मध्य बिंदु है। | $(r)$ $P$ पर कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं है। |
| $(D)$ दो संकेंद्रित समतलीय वृत्ताकार लूप जिनमें धारा समान दिशा में है,$P$ सामान्य केंद्र है। | $(s)$ तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। |
A
$A \rightarrow (s) \& (r), B \rightarrow (p), C \rightarrow (q) \& (r), D \rightarrow (r)$
B
$A \rightarrow (q) \& (r), B \rightarrow (p), C \rightarrow (q) \& (r), D \rightarrow (q)$
C
$A \rightarrow (s) \& (r), B \rightarrow (s), C \rightarrow (q) \& (r), D \rightarrow (p)$
D
$A \rightarrow (q) \& (r), B \rightarrow (s), C \rightarrow (q) \& (r), D \rightarrow (r)$
Solution
(A) समान दिशा में धारा ले जाने वाले दो समानांतर तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं $(s)$। मध्य बिंदु $P$ पर,ऊपरी तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है,और निचले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर है। इस प्रकार,वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय क्षेत्र शून्य हो जाता है $(r)$।
$(B)$ समान दिशा में धारा वाले दो समाक्षीय लूप अक्ष पर मध्य बिंदु पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं $(p)$।
$(C)$ विपरीत दिशा में धारा वाले दो समतलीय लूप मध्य बिंदु $P$ पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं $(p)$।
$(D)$ समान दिशा में धारा वाले दो संकेंद्रित लूप केंद्र पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
$(B)$ समान दिशा में धारा वाले दो समाक्षीय लूप अक्ष पर मध्य बिंदु पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं $(p)$।
$(C)$ विपरीत दिशा में धारा वाले दो समतलीय लूप मध्य बिंदु $P$ पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं $(p)$।
$(D)$ समान दिशा में धारा वाले दो संकेंद्रित लूप केंद्र पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
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38
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2007
${}^{23}Na_{11}$ से एक पॉज़िट्रॉन उत्सर्जित होता है। परिणामी न्यूक्लाइड के परमाणु द्रव्यमान और परमाणु क्रमांक का अनुपात क्या है?
A
$22 / 10$
B
$22 / 11$
C
$23 / 10$
D
$23 / 12$
Solution
(C) नाभिक से पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन के दौरान,एक प्रोटॉन न्यूट्रॉन में परिवर्तित हो जाता है $(p \rightarrow n + e^+ + \nu_e)$।
परिणामस्वरूप,परमाणु क्रमांक $(Z)$ में $1$ की कमी होती है,जबकि परमाणु द्रव्यमान $(A)$ स्थिर रहता है।
मूल नाभिक ${}^{23}Na_{11}$ के लिए,परमाणु द्रव्यमान $A = 23$ और परमाणु क्रमांक $Z = 11$ है।
पॉज़िट्रॉन के उत्सर्जन के बाद,नया परमाणु क्रमांक $Z' = 11 - 1 = 10$ और परमाणु द्रव्यमान $A' = 23$ होता है।
परिणामी न्यूक्लाइड के परमाणु द्रव्यमान और परमाणु क्रमांक का अनुपात $\frac{A'}{Z'} = \frac{23}{10}$ है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
परिणामस्वरूप,परमाणु क्रमांक $(Z)$ में $1$ की कमी होती है,जबकि परमाणु द्रव्यमान $(A)$ स्थिर रहता है।
मूल नाभिक ${}^{23}Na_{11}$ के लिए,परमाणु द्रव्यमान $A = 23$ और परमाणु क्रमांक $Z = 11$ है।
पॉज़िट्रॉन के उत्सर्जन के बाद,नया परमाणु क्रमांक $Z' = 11 - 1 = 10$ और परमाणु द्रव्यमान $A' = 23$ होता है।
परिणामी न्यूक्लाइड के परमाणु द्रव्यमान और परमाणु क्रमांक का अनुपात $\frac{A'}{Z'} = \frac{23}{10}$ है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
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