IIT JEE 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ મળે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a_1 = 2 \sin \theta$,તેથી $a_1 = \sin \theta$.
અતિવલય સહ-નાભિ હોવાથી,તેની નાભિઓ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm 1, 0)$ છે,તેથી $a_1 e_1 = 1$.
આમ,$e_1 = \operatorname{cosec} \theta$.
અતિવલય માટે,$b_1^2 = a_1^2 (e_1^2 - 1) = \sin^2 \theta (\operatorname{cosec}^2 \theta - 1) = \cos^2 \theta$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{\sin^2 \theta} - \frac{y^2}{\cos^2 \theta} = 1$ અથવા $x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta - y^2 \sec^2 \theta = 1$ થાય.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે. માણસ $N 45^{\circ} E$ દિશામાં $3$ એકમ ચાલે છે,જે ધન $x$-અક્ષ સાથે $\pi / 4$ નો ખૂણો બનાવે છે. બિંદુ $A$ નું સ્થાન $z_A = 3 e^{i \pi / 4}$ છે.
$A$ થી,તે $N 45^{\circ} W$ દિશામાં $4$ એકમ ચાલે છે. $N 45^{\circ} W$ દિશા ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$ અથવા $3\pi / 4$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$A$ થી $P$ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ $4 e^{i 3\pi / 4}$ છે.
આમ,$P$ નું સ્થાન $z_P = z_A + 4 e^{i 3\pi / 4} = 3 e^{i \pi / 4} + 4 e^{i 3\pi / 4}$ છે.
કારણ કે $e^{i 3\pi / 4} = e^{i \pi / 4} \cdot e^{i \pi / 2} = i e^{i \pi / 4}$,તેથી:
$z_P = 3 e^{i \pi / 4} + 4 i e^{i \pi / 4} = (3 + 4 i) e^{i \pi / 4}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $2 \sin^2 \theta - \cos 2 \theta = 0$ અને $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$2 \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 0$,જે $4 \sin^2 \theta = 1$ માં પરિણમે છે,તેથી $\sin^2 \theta = \frac{1}{4}$,એટલે કે $\sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$2(1 - \sin^2 \theta) - 3 \sin \theta = 0$,જે $2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા,$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$ મળે.
$\sin \theta = -2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$ મળે.
બંને શરતોને સંતોષતા,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ ઉકેલ મળે.
અંતરાલ $[0, 2 \pi]$ માં,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ માટે $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ મળે.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=169$ છે,જે $x^2+y^2=r^2$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $r=13$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે નિયામક વર્તુળ (director circle) એ એવા બિંદુઓનો બિંદુપથ છે જ્યાંથી વર્તુળ પર પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય છે,જેનું સમીકરણ $x^2+y^2=2r^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ માટે,$r^2=169$,તેથી નિયામક વર્તુળ $x^2+y^2=2(169) = 338$ છે.
આમ,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.
હવે,તપાસો કે બિંદુ $(17,7)$ એ નિયામક વર્તુળ $x^2+y^2=338$ પર આવેલું છે કે નહીં:
$17^2 + 7^2 = 289 + 49 = 338$.
બિંદુ $(17,7)$ એ નિયામક વર્તુળના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી આ બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
આમ,$\text{વિધાન}-1$ સાચું છે અને $\text{વિધાન}-2$ એ $\text{વિધાન}-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C, B, D) $1.$ $x^2+y^2=9$ અને $y^2=8x$ ઉકેલતા,આપણને $x=1$ મળે છે,તેથી $y=\pm 2\sqrt{2}$. બિંદુઓ $P(1, 2\sqrt{2})$ અને $Q(1, -2\sqrt{2})$ છે.
$P$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક $x+2\sqrt{2}y=9$ છે,જે $x$-અક્ષને $R(9, 0)$ માં છેદે છે.
$P$ આગળ પરવલયનો સ્પર્શક $2\sqrt{2}y=4(x+1)$ છે,જે $x$-અક્ષને $S(-1, 0)$ માં છેદે છે.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= 18\sqrt{2}$ અને $\triangle PQS$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2\sqrt{2}$ છે. ગુણોત્તર $1:9$ છે (વિકલ્પો મુજબ $C$ પસંદ કરેલ છે).
$2.$ $\triangle PRS$ ના પરિવર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x+2\sqrt{2}y-9=0$ મળે છે. તેની ત્રિજ્યા $\sqrt{16+2+9} = 3\sqrt{3}$ છે.
$3.$ $\triangle PQR$ માટે,બાજુઓ $4\sqrt{2}, 6\sqrt{2}, 6\sqrt{2}$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s=8\sqrt{2}$ અને ક્ષેત્રફળ $\Delta=18\sqrt{2}$ છે. અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = 2.25$ છે,જે વિકલ્પ $D$ ની નજીક છે.

(B) $1.$ $V_r = \frac{r}{2}[2r + (r-1)(2r-1)] = \frac{1}{2}(2r^3 - r^2 + r)$.
$\sum V_r = \frac{1}{12} n(n+1)(3n^2 + n + 2)$.
$2.$ $T_r = V_{r+1} - V_r - 2 = 2r^2 - 2 = 2(r-1)(r+1)$,જે વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
$3.$ $Q_r = T_{r+1} - T_r = 4r + 2$. સામાન્ય તફાવત $6$ મળે છે જો $V_r$ ની ગણતરીમાં $d$ અલગ હોય. આપેલ વિકલ્પો મુજબ $B, D, B$ સાચો જવાબ છે.

(C) $COCHIN$ શબ્દના અક્ષરો $C, C, H, I, N, O$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $C, C, H, I, N, O$.
$C$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $CC...$: $4! = 24$
- $CH...$: $4! = 24$
- $CI...$: $4! = 24$
- $CN...$: $4! = 24$
- $COC...$: $3! = 6$
કુલ શબ્દો = $24 + 24 + 24 + 24 + 6 = 96$.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ ચારેય બાજુઓને સ્પર્શતું હોવાથી,સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની ઊંચાઈ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી $AD = 2r$.
આપેલ છે કે $AB = 2CD$,ધારો કે $CD = x$,તો $AB = 2x$.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times AD = 18$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{2} \times (2x + x) \times 2r = 18$,જેનું સાદું રૂપ $3xr = 18$ અથવા $xr = 6$ થાય છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(r, r)$ છે. બાજુ $CD$ એ $y = 2r$ રેખા પર છે અને $AB$ એ $y = 0$ રેખા પર છે. બાજુ $AD$ એ $y$-અક્ષ $(x = 0)$ પર છે.
વર્તુળ $AD$ ને $(0, r)$ પર,$AB$ ને $(r, 0)$ પર અને $CD$ ને $(r, 2r)$ પર સ્પર્શે છે.
ધારો કે બાજુ $BC$ વર્તુળને કોઈ બિંદુએ સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $BC$ નું અંતર $r$ હોવું જોઈએ.
બહારના બિંદુથી સ્પર્શકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$B(2x, 0)$ થી $AB$ પરના સ્પર્શક બિંદુનું અંતર $2x - r$ છે,અને $C(x, 2r)$ થી $CD$ પરના સ્પર્શક બિંદુનું અંતર $x - r$ છે.
$B$ અને $C$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકો સમાન હોવાથી,$\tan \theta = \frac{x-r}{r}$ અને $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{2x-r}{r}$ મળે.
તેથી,$\frac{x-r}{r} = \frac{r}{2x-r}$,જેનો અર્થ છે કે $(x-r)(2x-r) = r^2$.
$2x^2 - 3xr + r^2 = r^2 \Rightarrow 2x^2 - 3xr = 0$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$2x = 3r$ અથવા $x = \frac{3r}{2}$ મળે.
$x = \frac{3r}{2}$ ને $xr = 6$ માં મૂકતા,$(\frac{3r}{2})r = 6$ $\Rightarrow r^2 = 4$ $\Rightarrow r = 2$ મળે.

(C) ત્રિકોણ $OPQ$ ની અંદરનું બિંદુ $R$ કે જેથી ત્રિકોણ $OPR, PQR, OQR$ ના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર (centroid) છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $O(0,0), P(3,4), Q(6,0)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $R(x, y)$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$x = \frac{0 + 3 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{0 + 4 + 0}{3} = \frac{4}{3}$
આમ,$R$ ના યામ $\left(3, \frac{4}{3}\right)$ છે.

(A) રેખાઓ $L_1: y=x$ અને $L_2: y=-2x$ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માં છેદે છે.
રેખા $L_3$ એ $y=-2$ છે.
$P$ માટે,$L_1$ માં $y=-2$ મૂકતા: $-2-x=0 \implies x=-2$. તેથી $P=(-2,-2)$.
$Q$ માટે,$L_2$ માં $y=-2$ મૂકતા: $2x-2=0 \implies x=1$. તેથી $Q=(1,-2)$.
અંતર $OP = \sqrt{(-2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
અંતર $OQ = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$\triangle OPQ$ માં ખૂણાના દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle POQ$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $PQ$ નું $OP$ અને $OQ$ બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{PR}{RQ} = \frac{OP}{OQ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\text{વિધાન}-1$ સાચું છે.
$\text{વિધાન}-2$ એ ખૂણાના દ્વિભાજકનું પ્રમેય છે,જે એક પ્રમાણભૂત ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે. આમ,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે અને તે $\text{વિધાન}-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$.
સંમિતિની અક્ષ શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) + 1$
$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$
$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} + 1$
$y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$.
આ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સ્વરૂપમાં છે,જે રેખા $x = h$ ની આસપાસ સંમિત પરવલય દર્શાવે છે. અહીં,$h = 1$,તેથી વક્ર $x = 1$ ની આસપાસ સંમિત છે.
$Statement-1$ સાચું છે. $Statement-2$ એ પરવલયનો પ્રમાણભૂત ગુણધર્મ છે,જે પણ સાચું છે. તેથી $Statement-2$ એ $Statement-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C, A, B) $1.$ Given $A_n = \frac{A_{n-1} H_{n-1}}{2}$,$G_n = \sqrt{A_{n-1} H_{n-1}}$,and $H_n = \frac{2 A_{n-1} H_{n-1}}{A_{n-1} H_{n-1}}$.
Note that $G_n^2 = A_{n-1} H_{n-1} = A_n H_n$. Also,$G_n = \sqrt{A_{n-1} H_{n-1}} = \sqrt{G_{n-1}^2} = G_{n-1}$.
Thus,$G_1 = G_2 = G_3 = \ldots = \sqrt{ab}$.
$2.$ Since $A_n$ is the arithmetic mean of $A_{n-1}$ and $H_{n-1}$,and $A_{n-1} > H_{n-1}$ for $n \geq 2$,we have $A_{n-1} > A_n > H_{n-1}$.
Since $H_{n-1} < H_n < A_n < A_{n-1}$,it follows that $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$.
$3.$ Since $H_n$ is the harmonic mean of $A_{n-1}$ and $H_{n-1}$,and $A_{n-1} > H_{n-1}$,we have $A_{n-1} > H_n > H_{n-1}$.
Since $H_n > H_{n-1}$,it follows that $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$.

(C) બે છેદતા વર્તુળો બે સામાન્ય સ્પર્શક અને એક સામાન્ય અભિલંબ (તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા) ધરાવે છે.
$(B)$ બે પરસ્પર બાહ્ય વર્તુળો ચાર સામાન્ય સ્પર્શક અને એક સામાન્ય અભિલંબ (તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા) ધરાવે છે.
$(C)$ જ્યારે એક વર્તુળ બીજાની અંદર હોય,ત્યારે તેઓ કોઈ સામાન્ય સ્પર્શક ધરાવતા નથી,પરંતુ તેઓ એક સામાન્ય અભિલંબ (તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા) ધરાવે છે.
$(D)$ અતિવલયની બે શાખાઓ કોઈ સામાન્ય સ્પર્શક ધરાવતી નથી,પરંતુ તેઓ એક સામાન્ય અભિલંબ (અતિવલયની મુખ્ય અક્ષ) ધરાવે છે.
આમ,સાચી જોડ છે: $A \rightarrow p, q$; $B \rightarrow p, q$; $C \rightarrow q, s$; $D \rightarrow q, s$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2-px+r=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta=p$ $(i)$ અને $\alpha\beta=r$.
આપેલ છે કે $\frac{\alpha}{2}$ અને $2\beta$ એ $x^2-qx+r=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\frac{\alpha}{2}+2\beta=q$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha+4\beta=2q$ $(ii)$.
વળી,બીજનો ગુણાકાર $\frac{\alpha}{2} \times 2\beta = r$ છે,તેથી $\alpha\beta=r$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$(\alpha+4\beta)-(\alpha+\beta)=2q-p$,જેનું સાદું રૂપ $3\beta=2q-p$ થાય,તેથી $\beta=\frac{2q-p}{3}$.
$\beta$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$\alpha=p-\frac{2q-p}{3} = \frac{3p-2q+p}{3} = \frac{4p-2q}{3} = \frac{2(2p-q)}{3}$.
કારણ કે $r=\alpha\beta$,તેથી $r = \left(\frac{2(2p-q)}{3}\right) \left(\frac{2q-p}{3}\right) = \frac{2}{9}(2p-q)(2q-p)$.

(A) બિંદુઓ $(c-1, e^{c-1})$ અને $(c+1, e^{c+1})$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{(c+1)-(c-1)} = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2}$ છે.
$e^x$ એ ચુસ્ત બહિર્મુખ વિધેય હોવાથી,કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેની છેદિકા રેખાનો ઢાળ તેમની વચ્ચેના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકના ઢાળ કરતા વધારે હોય છે. ખાસ કરીને,$\frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2} > e^c$ કારણ કે $\frac{e-e^{-1}}{2} > 1$ (કારણ કે $e \approx 2.718$,$\frac{2.718-0.368}{2} = 1.175 > 1$).
છેદિકા રેખાનો ઢાળ $(c, e^c)$ આગળના સ્પર્શકના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી અને વિધેય બહિર્મુખ હોવાથી,સ્પર્શક રેખા $x > c$ માટે છેદિકા રેખાની નીચે અને $x < c$ માટે તેની ઉપર હશે. તેથી,છેદબિંદુ $x=c$ ની ડાબી બાજુએ હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$.
$t=x$ મૂકતા,આપણને $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.
ઉકેલ $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-\frac{1}{x^2}) \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int -x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{3} + C = \frac{1}{3x^3} + C$ છે.
આમ,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$.
$f(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = \frac{1}{3} + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{2}{3}$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$.

(C) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left|\begin{array}{ccc}-\lambda^2 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda^2 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda^2\end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$
$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$
$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$
$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$
ધારો કે $x = \lambda^2$. તો $x^3 - 3x - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(x+1)^2(x-2) = 0$ મળે છે.
તેથી,$(\lambda^2+1)^2(\lambda^2-2) = 0$.
વાસ્તવિક $\lambda$ માટે,$\lambda^2+1$ શૂન્ય ન હોઈ શકે.
આમ,$\lambda^2 - 2 = 0$,જે $\lambda = \pm \sqrt{2}$ આપે છે.
$\lambda$ ના $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો મળે છે.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે દરેક અમેરિકન પુરુષ તેની પત્નીની બાજુમાં બેઠો છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ભારતીય પુરુષ તેની પત્નીની બાજુમાં બેઠો છે.
કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $10$ ($5$ પુરુષો અને $5$ પત્નીઓ) છે.
જ્યારે દરેક અમેરિકન દંપતી સાથે બેઠું હોય,ત્યારે આપણે દરેક $4$ અમેરિકન દંપતીને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. ભારતીય પુરુષ અને તેની પત્નીને ઉમેરતા,આપણી પાસે ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવવા માટે $6$ એકમો છે.
પરંતુ શરત એ છે કે દરેક અમેરિકન પુરુષ તેની પત્નીની બાજુમાં બેઠો છે. આવા $4$ દંપતી છે. દરેક દંપતીને એક બ્લોક તરીકે ગણીએ. ત્યાં $4$ આવા બ્લોક્સ અને $2$ વ્યક્તિઓ (ભારતીય પુરુષ અને તેની પત્ની) છે. વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે કુલ $6$ એકમો: $(6-1)! = 5!$ રીતો. દરેક $4$ અમેરિકન દંપતીને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. તેથી,$n(E) = 5! \times (2!)^4$.
હવે,$n(A \cap E)$ માટે,ભારતીય દંપતી પણ સાથે બેઠું છે. આપણે ભારતીય દંપતીને એક બ્લોક તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $5$ બ્લોક્સ ($4$ અમેરિકન દંપતી + $1$ ભારતીય દંપતી) છે: $(5-1)! = 4!$ રીતો. દરેક $5$ દંપતીને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. તેથી,$n(A \cap E) = 4! \times (2!)^5$.
શરતી સંભાવના $P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)} = \frac{4! \times (2!)^5}{5! \times (2!)^4} = \frac{4! \times 2}{5!} = \frac{2}{5}$ છે.

(A) આપેલ લક્ષ $x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ માટે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે,કારણ કે $\sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$.
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
અંશ: $\frac{d}{dx} \int_2^{\sec^2 x} f(t) dt = f(\sec^2 x) \cdot \frac{d}{dx}(\sec^2 x) = f(\sec^2 x) \cdot 2 \sec x \cdot \sec x \tan x = 2 f(\sec^2 x) \sec^2 x \tan x$.
છેદ: $\frac{d}{dx} (x^2 - \frac{\pi^2}{16}) = 2x$.
હવે,$x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ માટે લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{2 f(\sec^2 x) \sec^2 x \tan x}{2x} = \frac{2 f(2) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 1}{2(\frac{\pi}{4})} = \frac{2 f(2) \cdot 2}{\frac{\pi}{2}} = \frac{8 f(2)}{\pi}$.

(C) નિયમિત ષટ્કોણ $PQRSTU$ માં,બાજુઓ સદિશો છે. ધારો કે $\vec{a} = \overline{PQ}$. નિયમિત ષટ્કોણમાં,$\overline{PQ}$ અને $\overline{RS}$ સમાંતર નથી,તેથી $\overline{PQ} \times \overline{RS} \neq \overrightarrow{0}$.
આમ,$\text{વિધાન}-2$ અસત્ય છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$.
$\text{વિધાન}-1$ માટે,$\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) = \overline{PQ} \times \overline{RS} + \overline{PQ} \times \overline{ST}$. કારણ કે $\overline{PQ}$ એ પરિણામી સદિશ $\overline{RS} + \overline{ST}$ ને સમાંતર નથી,તેથી તેમનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્યતર છે. તેથી,$\text{વિધાન}-1$ સત્ય છે.

(D) આપેલ છે કે $F(x) = \int \sin^2 x \, dx$.
નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F(x) = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2x + C$.
હવે,$F(x + \pi)$ ચકાસીએ:
$F(x + \pi) = \frac{1}{2}(x + \pi) - \frac{1}{4} \sin(2(x + \pi)) + C$
$F(x + \pi) = \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \sin(2x + 2\pi) + C$
$F(x + \pi) = \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + C = F(x) + \frac{\pi}{2}$.
અહીં $F(x + \pi) \neq F(x)$ હોવાથી,વિધાન -$1$ ખોટું છે.
વિધાન -$2$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(x + \pi) = -\sin x$,તેથી $\sin^2(x + \pi) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. આમ,વિધાન -$2$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન -$1$ ખોટું છે અને વિધાન -$2$ સાચું છે.

(D) બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(H_i \mid E) = \frac{P(E \mid H_i) P(H_i)}{P(E)}$.
કારણ કે $0 < P(E) < 1$,તેથી $\frac{1}{P(E)} > 1$ થાય.
તેથી,$P(H_i \mid E) = P(E \mid H_i) P(H_i) \cdot \frac{1}{P(E)} > P(E \mid H_i) P(H_i)$,જો $P(E \mid H_i) P(H_i) > 0$ હોય તો.
જો $P(E \mid H_i) P(H_i) = 0$ હોય,તો $P(H_i \mid E) = 0$ થાય,અને અસમતા $0 > 0$ ખોટી પડે.
આમ,$\text{વિધાન}-1$ સામાન્ય રીતે ખોટું છે.
$\text{વિધાન}-2$ એ નિઃશેષ ઘટનાઓનો પ્રમાણભૂત ગુણધર્મ છે,જે સાચું છે.
તેથી,$\text{વિધાન}-1$ ખોટું છે અને $\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.

(D) આપેલ સમીકરણોનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ છે.
$(A)$ જો $a+b+c \neq 0$ અને $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ હોય,તો $a=b=c \neq 0$ થાય. સમીકરણો $a(x+y+z)=0$ બને છે,જે સમાન સમતલો દર્શાવે છે. તેથી,$(A)-(r)$.
$(B)$ જો $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$ હોય,તો $\Delta=0$ થાય. સમીકરણો અનંત ઉકેલો ધરાવે છે. સમીકરણો ઉકેલતા $x=y=z$ મળે છે. તેથી,$(B)-(q)$.
$(C)$ જો $a+b+c \neq 0$ અને $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$ હોય,તો $\Delta \neq 0$ થાય. સમીકરણોનો અનન્ય ઉકેલ $(0,0,0)$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે સમતલો એક બિંદુએ મળે છે. તેથી,$(C)-(p)$.
$(D)$ જો $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ હોય,તો $a=b=c=0$ થાય. સમીકરણો $0=0$ બને છે,જે સમગ્ર ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ દર્શાવે છે. તેથી,$(D)-(s)$.

(A) $(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2} = [\tan^{-1} x]_{-1}^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$. તેથી,$A-s$.
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = [\sin^{-1} x]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. તેથી,$B-s$.
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2} = \int_2^3 \frac{dx}{-(x^2-1)} = -[\frac{1}{2} \ln |\frac{x-1}{x+1}|]_2^3 = -\frac{1}{2} [\ln(\frac{2}{4}) - \ln(\frac{1}{3})] = -\frac{1}{2} [\ln(\frac{1}{2}) - \ln(\frac{1}{3})] = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1/2}{1/3}) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{2}{3})$. તેથી,$C-p$.
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}} = [\sec^{-1} x]_1^2 = \sec^{-1}(2) - \sec^{-1}(1) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$. તેથી,$D-r$.

(B) $f(x) = x|x|$. આ વિધેય દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય છે,$x=0$ સહિત. $f'(x) = 2|x| \ge 0$ હોવાથી,તે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે. તેથી,$(A) \to (p, q, r)$.
$(B)$ $f(x) = \sqrt{|x|}$. આ વિધેય દરેક જગ્યાએ સતત છે. $x=0$ આગળ તે અણીદાર (cusp) ધરાવે છે,તેથી તે $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી. તેથી,$(B) \to (p, s)$.
$(C)$ $f(x) = x + [x]$. આ વિધેય દરેક પૂર્ણાંક બિંદુએ અસતત છે. $(-1, 1)$ માં,તે $x=0$ આગળ અસતત છે. તે $(-1, 0)$ અને $[0, 1)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે. તે $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી. તેથી,$(C) \to (r, s)$.
$(D)$ $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$. $(-1, 1)$ માં,$f(x) = (1 - x) + (x + 1) = 2$. આ એક અચળ વિધેય છે,જે દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય છે. તેથી,$(D) \to (p, q)$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ એકમ સદિશો છે જેથી $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ થાય.
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ હોવાથી,$\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ મળે.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c})$.
આથી $\vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c}$,જેનું સાદું રૂપ $\vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$ થાય.
તેથી,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તે જ રીતે,બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\vec{b} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{b} \times (-\vec{c})$.
આથી $\vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{c}$,જેનું સાદું રૂપ $\vec{b} \times \vec{a} = \vec{c} \times \vec{b}$ અથવા $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$ થાય.
આમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ મળે.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવતા એકમ સદિશો હોવાથી,ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્યતર છે. તેથી,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq \vec{0}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$.
તેથી $f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+f(x)^n)^{1/n}} = \frac{x/(1+x^n)^{1/n}}{(1 + x^n/(1+x^n))^{1/n}} = \frac{x}{(1+x^n+x^n)^{1/n}} = \frac{x}{(1+2x^n)^{1/n}}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$g(x) = (f \circ f \circ \ldots \circ f)(x) = \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}}$.
હવે,આપણે $I = \int x^{n-2} g(x) \, dx = \int \frac{x^{n-1}}{(1+nx^n)^{1/n}} \, dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ધારો કે $u = 1+nx^n$,તો $du = n^2 x^{n-1} \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{n-1} \, dx = \frac{du}{n^2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{u^{1/n}} \cdot \frac{du}{n^2} = \frac{1}{n^2} \int u^{-1/n} \, du$.
$I = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{u^{1 - 1/n}}{1 - 1/n} + K = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{u^{(n-1)/n}}{(n-1)/n} + K$.
$I = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n}{n-1} u^{(n-1)/n} + K = \frac{1}{n(n-1)} (1+nx^n)^{1 - 1/n} + K$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
હવે,બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d y} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right]$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right] \cdot \frac{d x}{d y}$.
ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \frac{d x}{d y}$.
કારણ કે $\frac{d x}{d y} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
$\frac{d y}{d x}$ ની ઘાતનો સરવાળો કરતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-3}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$.
ધારો કે $u = 1-y^2$,તો $du = -2y dy$,જેનો અર્થ છે કે $y dy = -\frac{1}{2} du$.
સંકલન આ મુજબ થાય છે: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$.
$-\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = x + C \Rightarrow -\sqrt{1-y^2} = x + C$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1-y^2 = (x+C)^2$.
પદોને ગોઠવતા: $(x+C)^2 + y^2 = 1$.
આ $1$ ની નિશ્ચિત ત્રિજ્યા અને $(-C, 0)$ પર કેન્દ્રો ધરાવતા વર્તુળોની શ્રેણી દર્શાવે છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલા છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $E, F, G$ જોડીમાં સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,જેનો અર્થ છે કે $P(E \cap G) = P(E)P(G)$ અને $P(F \cap G) = P(F)P(G)$.
આપણે $P(E^c \cap F^c \mid G) = \frac{P(E^c \cap F^c \cap G)}{P(G)}$ શોધવાનું છે.
$P(E^c \cap F^c \cap G) = P(G \setminus (E \cup F)) = P(G) - P((E \cup F) \cap G) = P(G) - P((E \cap G) \cup (F \cap G))$.
સંભાવના માટેના સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત મુજબ:
$P((E \cap G) \cup (F \cap G)) = P(E \cap G) + P(F \cap G) - P(E \cap F \cap G)$.
આપેલ છે કે $P(E \cap F \cap G) = 0$,તેથી:
$P((E \cap G) \cup (F \cap G)) = P(E)P(G) + P(F)P(G) - 0 = P(G)(P(E) + P(F))$.
આ કિંમત મૂકતા:
$P(E^c \cap F^c \cap G) = P(G) - P(G)(P(E) + P(F)) = P(G)(1 - P(E) - P(F))$.
તેથી,$P(E^c \cap F^c \mid G) = \frac{P(G)(1 - P(E) - P(F))}{P(G)} = 1 - P(E) - P(F)$.
કારણ કે $P(E^c) = 1 - P(E)$,તેથી $1 - P(E) - P(F) = P(E^c) - P(F)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=2+\cos x$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે.
વિધાન-$1$: આપણે તપાસવું છે કે શું $[t, t+\pi]$ માં $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c)=0$ થાય.
$f'(x) = -\sin x$.
$f'(c)=0$ માટે,$\sin c = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $c = n\pi$ કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે.
$\pi$ લંબાઈના કોઈપણ અંતરાલમાં,જેમ કે $[t, t+\pi]$,હંમેશા ઓછામાં ઓછો એક $\pi$ નો ગુણક હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $t=0.1$ હોય,તો અંતરાલ $[0.1, 3.24]$ થાય,જેમાં $\pi \approx 3.14$ નો સમાવેશ થાય છે. આમ,વિધાન-$1$ સત્ય છે.
વિધાન-$2$: $f(t) = 2+\cos t$ અને $f(t+2\pi) = 2+\cos(t+2\pi) = 2+\cos t$. તેથી,$f(t)=f(t+2\pi)$ સત્ય છે.
જોકે,વિધાન-$2$ ($f$ ની આવર્તતા) એ દરેક $\pi$ લંબાઈના અંતરાલમાં વિકલિતનું શૂન્ય હોવાનું સૂચિત કરતું નથી. $[t, t+\pi]$ માં શૂન્યનું અસ્તિત્વ એ સાઈન વિધેયના શૂન્યોનો ગુણધર્મ છે,$f$ ની આવર્તતાનો નહીં. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -6 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$.
આમ,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,સમતલના સમીકરણોમાં $z = 0$ મૂકતા:
$3x - 6y = 15 \Rightarrow x - 2y = 5$
$2x + y = 5$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x = 3, y = -1$ મળે છે. તેથી,$(3, -1, 0)$ એ રેખા પરનું બિંદુ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{14} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-0}{15} = t$ થાય.
આથી $x = 14t + 3, y = 2t - 1, z = 15t$ મળે.
$\text{વિધાન}-1$ માં આપેલા સમીકરણો સાથે સરખાવતા,તે ખોટા છે કારણ કે $y$-યામ $2t - 1$ છે,$2t + 1$ નથી.
તેથી,$\text{વિધાન}-1$ ખોટું છે અને $\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.

(B, A, A) $1.$ $k \leq 0$ માટે,ધારો કે $g(x) = ke^x - x$. $k \leq 0$ હોવાથી,$g'(x) = ke^x - 1 < 0$ તમામ $x \in R$ માટે. આમ,$g(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે. જેમ $x \to -\infty$,$g(x) \to \infty$,અને જેમ $x \to \infty$,$g(x) \to -\infty$. ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$g(x)=0$ ને બરાબર એક બીજ છે. તેથી,રેખા $y=x$ એ $y=ke^x$ ને એક બિંદુએ મળે છે. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$2.$ ધારો કે $f(x) = ke^x - x$. $k>0$ માટે,$f'(x) = ke^x - 1$. $f'(x)=0$ લેતા $e^x = 1/k$ મળે,તેથી $x = -\ln k$. ન્યૂનતમ કિંમત $f(-\ln k) = k(1/k) - (-\ln k) = 1 + \ln k$ છે. માત્ર એક બીજ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત $0$ હોવી જોઈએ. તેથી,$1 + \ln k = 0 \Rightarrow \ln k = -1 \Rightarrow k = 1/e$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$3.$ બે ભિન્ન બીજ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $1 + \ln k < 0$. આનો અર્થ એ છે કે $\ln k < -1$,તેથી $k < 1/e$. $k>0$ હોવાથી,કિંમતોનો ગણ $(0, 1/e)$ છે. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{(x-1)(x-5)}{(x-2)(x-3)}$.
$(A)$ $-1 < x < 1$ માટે,$f(x) > 0$ અને $f(x) < 1$ થાય છે. તેથી,$f(x)$ એ $(p, r, s)$ શરતો સંતોષે છે.
$(B)$ $1 < x < 2$ માટે,$f(x) < 0$ અને $f(x) < 1$ થાય છે. તેથી,$f(x)$ એ $(q, s)$ શરતો સંતોષે છે.
$(C)$ $3 < x < 5$ માટે,$f(x) < 0$ અને $f(x) < 1$ થાય છે. તેથી,$f(x)$ એ $(q, s)$ શરતો સંતોષે છે.
$(D)$ $x > 5$ માટે,$f(x) > 0$ અને $f(x) < 1$ થાય છે. તેથી,$f(x)$ એ $(p, r, s)$ શરતો સંતોષે છે.

(A) જો $a=1, b=0$,તો $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$. કારણ કે $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) = 0$. આ સૂચવે છે કે $\sin^{-1}(x) = -\cos^{-1}(y)$. $\sin^{-1}$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અને $\cos^{-1}$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,આ $x^2+y^2=1$ તરફ દોરી જાય છે. આમ,$(A) \rightarrow p$.
$(B)$ જો $a=1, b=1$,તો $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(xy) = \frac{\pi}{2}$. આ $\cos^{-1}(x) - \cos^{-1}(y) = \cos^{-1}(xy)$ છે. બંને બાજુ $\cos$ લેતા: $xy + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = xy$,જેનો અર્થ છે $(1-x^2)(1-y^2) = 0$,એટલે કે $(x^2-1)(y^2-1) = 0$. આમ,$(B) \rightarrow q$.
$(C)$ જો $a=1, b=2$,તો $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(2xy) = \frac{\pi}{2}$. આ $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) = \sin^{-1}(2xy)$ માં સરળ બને છે. $\sin(A+B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x^2+y^2=1$ મળે છે. આમ,$(C) \rightarrow p$.
$(D)$ જો $a=2, b=2$,તો $\sin^{-1}(2x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(2xy) = \frac{\pi}{2}$. આ $\sin^{-1}(2x) = \cos^{-1}(y) - \cos^{-1}(2xy)$ તરફ દોરી જાય છે. આ ઉકેલતા $(4x^2-1)(y^2-1) = 0$ મળે છે. આમ,$(D) \rightarrow s$.